吉林省吉林大学附属中学2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析

吉林省吉林大学附属中学2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

作答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC 是圆O 的割线，与圆O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）证明：A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小.（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 是曲线1C 上任意一点，点N 是曲线2C 上任意一点，求||MN 的取值范围.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为m . （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）若(0)a b c ∈+∞，，，，2222a cb m ++=，求ab bc +的最大值.吉林省吉林大学附属中学2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题答案注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{|1x x <-或1}3x >，则()0x f e >的解集为（A ）{|1x x <-或ln3}x >- （B ）{|1ln3}x x -<<- （C ）{|ln3}x x >- （D ）{|ln3}x x <- 解析：D（2）若2i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（A ）13i 22+ （B ）13i 22-+ （C ）33i 22+ （D ）33i 22-解析：A.（3）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）ln y x =（B ）21y x =+（C ）sin y x =（D ）cos y x =解析：D.（4）两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ={至少有一枚骰子6点向上}，B ={两枚骰子都是6点向上}，则(|)P B A =（A ）16 （B ）136（C ）112（D ）111解析：D.有一枚骰子6点向上的概率为551116636-⨯=，两枚骰子都是6点向上的概率为1116636⨯=，故有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是1136111136=.（5）执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（A（B）（C ）12 （D ）12-解析：7k =，71sin 62S π==-. （6）下列命题：①“若a b ≤，则a b <”的否命题；②“若1a =，则230ax x -+≥的解集为R ”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中真命题序号为（B ）（A ）②④ （B ）①②③ （C ）②③④ （D ）①②③④解析：B ，逆命题为真，故否命题为真；“若1a =，则230ax x -+≥的解集为R ”原命题为真，故逆否命题为有理数，则x 为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假.（7）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（B ）（A ）（B ）（C ）（D ）直观图解析：俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，选B ．（8）已知向量(12)(321)x y =+=-，，，，m n 若m ⊥n ，则8x +16y的最小值为（A ）（A（B ）4（C ）（D ）解析：由m ⊥n ，得3(x ＋1)＋2(2y －1)＝0，即3x ＋4y ＝－1，则8x +16y ?28x ·16y ＝223x ·24y ＝223x ＋4y＝2，当且仅当8x ＝16y ，即x ＝－16，y ＝－18时，等号成立，故8x ＋16y的最小值为 2.解析：A.（9）sin()πα-=3()2παπ∈，，则sin()22πα+=（A ）（B ）（C （D解析：B. sin()sin παα-==，又3()2παπ∈，，所以2cos 3α=-. 由23cos 2cos 1()2224ααππα=-∈，，得sin()cos 222παα===+（10）三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为8π，则三棱柱111ABC A B C -的最大体积为（A ）2 （B ）3 （C ）（D ）4解析：A.（11）设A B 、为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22||||OA OB AB +- 的最小值为（A ）24.p - （B ）23.p - （C ）22.p - （D ）2.p -解析：A ，设()().A A B B A x y B x y ，，，则22||||4()A B A B OA OB AB x x y y +-=+，若直线AB 斜率存在设为()y k x a =-，联立得222222()0k x ak p x k a -++=，则2A B x x a =，2()()2.A B A B y y k x a x a ap =--=-222222||||4(2)4[()]4.OA OB AB a ap a p p p +-=-=---?若直线不存在，当A B A B x x a y y ===-，.故所求最小值为24.p - 当且仅当直线AB 过点(0)p ，时等号成立. （12）设函数()|lg(1)|f x x =+，满足1()()2b f a f b +=-+，10(1)6(2)14lg 2f a b +++-=（），其中 a b a b ∈<R 且，，，则a b +的值为（A ）0 （B ）115（C ）1115-（D ）1-解析：C.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．（13）设371152α⎧⎫∈-⎨⎬⎭⎩，，，，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 . 解析：： 315，（14）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为 .解析：840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20，1≤l ≤20，1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25120l -+≤k ≤3720l-.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．（15）我校有4名青年教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有种.解析：首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为34C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为24C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为33A ，即满足题意的情况共有323443144C C A =种.（16）已知点0)A 和曲线y x =剟上的点12n P P P ，，，.若12||||||n P A P A P A ，，，成等差数列且公差1(5d ∈，则n 的最大值为______.解析：题设的曲线是如下双曲线的一段，即2211(20)4x y x y -=剟?.0)A 是它的右焦点，（其中直线l 为右准线x =，点(2)P ，离心率e =）.易知m i n||2n P A，max ||||3n P A e PH ===.依题意，可设等差数列的第一项12a =，第n 项3n a =，则32)(1)n d =+-.得1)d n =>.由题意，15d <<，即115<<.得426n <<-.而75 2.244=⨯-<.且26265 2.215--⨯=.则715n <<，故n 的最大可取14.三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知点*1()()n n P a a n +∈N ,是函数214y x =在点1(1)4,处的切线上的点，且112a =．（Ⅰ）证明：1{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解析：（Ⅰ）证明：∵函数214y x =的导数为12y x '=，∴函数214y x =在点1(1)4,处的切线斜率为12．故函数214y x =在点1(1)4,处的切线方程为11(1)42y x -=-．………………………..….2分∵点P 在此切线上，∴111(1)42n n a a +-=-．∴1111()222n n a a ++=+．…………….……5分∵112a =，∴102n a +≠．∴数列1{}2n a +是首项为1，公比为12的等比数列．….……6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知111()22n n a -+=，∴111()22n n a -=-．………………….……..….10分∴211111()()2222n n n S -=++++- 111()122122212nn n n --=-=---．………………….……12分（18）（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3X ≤的概率；（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解析：（Ⅰ）（法一）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“5X =”，…………………………………………………...2分因为224(5)3515P X ==⨯=，所以11()1(5)15P A P X ===－，即这2人的累计得分3X ≤的概率为1115．………………………………………..….6分（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X ．由已知可得，12~(2)3X B ,，22~(2)5X B ,，………………………………………8分所以124()233E X =⨯=，224()255E X =⨯=，从而118(2)2()3E X E X ==，2212(3)3()5E X E X ==．…………………………..…10分因为12(2)(3)E X E X >，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．……………….12分（法二）（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则事件A 包含有“0X =”，“2X =”，“3X =”三个两两互斥的事件，因为221(0)(1)(1)355P X ==-⨯-=，222(2)(1)355P X ==⨯-=，222(3)(1)3515P X ==-⨯=，所以11()(0)(2)(3)15P A P X P X P X ==+=+==，即这2人的累计得分3X ≤的概率为1115．…………………………………………………..….6分（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为2X ，则1X ，2X 的分布列如下：所以1144()0249993E X =⨯+⨯+⨯=，2912412()0362525255E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………...….10分因为12()()E X E X >，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．….12分（19）（本小题满分12分）A 1CD 1DA BB 1C 1在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AAABCD ⊥底面, 90ADC ∠= ，AB CD ||，122AD CD DD AB ====.（Ⅰ）求证：11AD BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的正弦值；解：（Ⅰ）由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1A AA D A = ，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D= ，所以⊥1AD 平面11DC BA ，从而C B AD 11⊥. ……………………………………………………………………………....….6分（Ⅱ）以D 为坐标原点，DA ，DC ,1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则易得)0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0(11A C ，设平面1A BD 的法向量为),,(1111z y x n =，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111DA n n ，求得)1,2,1(1--=n ；设平面BD C 1的法向量为),,(2222z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0122DC n DB n ，求得)2,2,1(2-=n ，则根据66c o ==θ,于是可得630sin =θ. …………………………..………………………………..….12分（20）（本小题满分12分）椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，，右顶点为A ，上顶点为B .已知12||||AB F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）过点(20)M a -，的直线交椭圆Γ于P 、Q （不同于左、右顶点）两点，且11111||||12PF QF +=.当1PQF △面积最大时，求直线PQ 的方程.解析：（Ⅰ）设椭圆右焦点2F 的坐标为(0)c ，．由12||||AB F F =，可得2227a b c +=.又222b a c =-，则2214c a =，所以椭圆的离心率12e =.…………………………………..…4分（II ）椭圆的离心率是12，所以2234b a =，所以椭圆方程可写为 222343x y a +=.设直线PQ 的方程为2x my a =-，联立直线和椭圆方程，消去x 得222(34)1290m y may a +-+=. 因而1221234ma y y m +=+，2122934a y y m =+.依题意，该方程的判别式0>△，即240m ->…..….6分设11()P x y ，、22()Q x y ，，由焦半径公式1211||||||||22my my PF QF ==，.因此11111||||12PF QF +=可化为 1211||||24m y y +=. ① 将1221234ma y y m +=+，2122934a y y m =+代入①式得，2|12|||924ma m a =，解得32a =.所以1212139||222PQF a a S y y =-= △. ②..…………………….8分令t =0t >），则②式可化为12229923162PQF a t a S t ==+ △…………………………………..10分当且仅当2163t =时，“=”成立，此时m =.所以直线PQ 的方程为64x y =-或64x y =-.…………………………………………………………………………….….12分（21）（本小题满分12分）已知函数211()ln()(22f x ax x ax a =++-为常数，0a >）．（Ⅰ）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）求证：02a <≤时，()f x 在1[)2+∞，上是增函数；（Ⅲ）若对任意的(12)a ∈，，总存在0x 1[1]2∈，，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）2()2211122aa f x x a x a ax ax '=+-=+-++．………………………..2分1()10212a f a a '=+-=+，2(1)(2)0a a a +-+=，即220a a --=，解得2a =或1a =-，又0a >，得2a =．经检验符合题意. ………………………..4分（Ⅱ）12()(2)(1)2()11a ax x a x a ax a f x ax ax +-+-+'==++． 102011110222ax ax a x a ⎧⎪+>⎪>⎨⎪⎪+-+-=⎩≥，得()0f x '≥，()f x 在1[)2+∞，上单调递增．……………….8分（Ⅲ）1122a x <<，≥，由（Ⅱ）知()f x 在1[1]2，上单调递增，由01[1]2x ∃∈，，不等式20()(1)f x m a >-成立，得2max ()(1)f x m a >-，即21(1)ln()1(1)(12)2a f a m a a +=+->-∈，，．令21()ln 1(1)(12)(1)02a g a a m a a g +=+-+-∈=，，，．2211221()12121211ma m a g a ma ma a a a +-'=⋅-+=-+=+++（）(221)1a ma m a +-=+，导函数的零点122m a m -=，……………….10分当0m ≤时，()0g a '<，则()(1)0(12)g a g a <=∈，，，不合题意，当1212m m -≤，且0m >时，即1()04m g a '>≥，，()g a 在(12)a ∈，上单调递增，故 ()(1)0f a g >=，当12122m m -<<时，即1164m <<，()g a 在12(1)2m m -，上递减，12(2)2m m -，上递增，不合题意；当1222m m -≥时，即16m ≤，()g a 在(12)，上单调递减，不合题意．综上，实数m 的取值范围是1[)4+∞，．……………….12分（讨论不全扣1分）请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

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吉林省长春市吉林大学附属中学高三数学理模拟试题含解析

吉林省长春市吉林大学附属中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若为虚数单位，则复数等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D2. 已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调增区间是A. B. C.D.参考答案：D3. 设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b参考答案：C 【分析】A选项用空间中直线的位置关系讨论；B选项用面面平行的条件进行讨论；C选项用面面垂直的判定定理进行判断；D选项用线线的位置关系进行讨论，【解答】解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β?a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本命题用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选C【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了面面垂直的判定面面平行的判定，考查了空间想像能力．4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为A. B. C.3 D.5参考答案：A略5. 将正三棱柱截去三个角(如右图所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体如下图，则该几何体按右图所示方向的左视图(或称左视图)为参考答案：A截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B，C，F方向上的6. 函数f(x)的定义域为D，若对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②；③．则等于()A. B. C．1 D.参考答案：D7.设函数，若，且，则mn的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：答案：A8. 某一简单几何体的三视图如图2所示,该几何体的外接球的表面积是( ) A. 13π B. 16π C. 25π D. 27π参考答案：C9. 某次数学测试后从两个班中各随机的抽取10名学生的数学成绩，作出它们的茎叶图如图所示，已知甲班的中位数为，标准差为，乙班的中位数为，标准差为，则由茎叶图可得（）A．B．C．D．参考答案：A10. （04年全国卷Ⅱ理）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在数列中，，则____________.参考答案：-1略12. 若函数f（x）=，则函数f（x ）的定义域是．参考答案：{x|x＜1且x≠0}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】要使函数有意义，则需1﹣x＞0，且lg（1﹣x）≠0，解得即可得到定义域．【解答】解：要使函数有意义，则需1﹣x＞0，且lg（1﹣x）≠0，即有x＜1且x≠0．则定义域为{x|x＜1且x≠0}．故答案为：{x|x＜1且x≠0}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意分式分母不为0，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．13. 已知正四面体A-BCD，它的内切球（与四个面都相切的球)半径为r，外接球（过正四面体的四个顶点的球）的半径为R，则=________参考答案：314. (14)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，f’(x)为的导函数，则f(1) +f (4)= 。

吉林省实验中学2018届高三年级第一次模拟(第五次月考)考试数学理科

（ C） 1,2
（ D） ,1
（ 2）在复平面内，复数 z
2i 的共轭复数的模为
1 2i
（ A） 2 5 5
5 （B）
5
（C）A） x0 R , 使得 ex0 0 .
1
（B） sin x
2(x k , k Z) .
sin x
（C） x R,2 x x2 .
（D） 2 5
1 ，则使得 x2 2
f ( x)
（ D） 40
f (2 x 1) 成立的 x 的取值范围是
（A）
1 ,1
3
1
（ B） ,
1,
3
（C）
11 ,
33
11
（D） ,
,
33
（ 10）若抛物线 y2 4x 的焦点是 F , 准线是 l , 点 M( 4,m) 是抛物线上一点 , 则经过点 F 、 M 且与 l 相切的圆共
吉林省实验中学 2018 届高三年级第一次模拟（第五次月考）考试
数学试题（理科）
一、
第Ⅰ卷
选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
(1) 若集合 M
2x
x y lg
, N x x 1 ，则 M N
x
（ A） (0,2)
（ B） 0,1
（A） 0 个
（ B） 1个
（ C） 2 个
（ D） 4 个
（ 11 ）在正四棱柱 ABCD A1B1C 1D1 中 , AA1 4, AB BC 2 ，动点 P, Q 分别在线段
C1D, AC 上，则线段 PQ 长度的最小值是
（A） 2 2 3

吉林省东北师范大学附属中学2018届高三上学期第一次摸底考试(理)数学试题及答案解析

吉林省东北师范大学附属中学2018届高三上学期第一次摸底考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1. 设集合，，则中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 02. （）A. B. C. D.3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D.4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.5. 教育局派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考情况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为（）A. 144B. 72C. 36D. 486. 已知命题，命题，面积下列判断正确的是（）A. 是假命题B. 是真命题C. 是真命题D. 是真命题7. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（）A.B.C.D.8. 如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（）A. 求，，三数的最大数B. 求，，三数的最小数C. 将，，按从小到大排列D. 将，，按从大到小排列9. 设，H，则（）A. B. 10 C. 20 D. 10010. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.11. 设随机变量，，若，则的值为（）A. B. C. D.12. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题13. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为________。

14. 函数的值域为_______。

15. 函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为______。

16. 若函数的图象关于直线对称，则的最大值为______。

三、解答题17. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点，已知函数。

（Ⅰ）当时，求的不动点；（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围。

18. 某校为选拔参加《CCTV-1中国谜语大会》的队员，在校内组织灯谜竞赛。

规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛。

现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图（如下图所示）。

吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试数学（理）试题

吉林省长春市普通高中2018届高三一模考试数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设为虚数单位，则( )A．B．C．5 D．2. 集合的子集的个数为( )A．4 B．7 C．8 D．163. 右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )A．6 B．7 C．8 D．95. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A．92，94 B．92，86 C．99，86 D．95，916. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）A．B．C．D．7. 已知，，且，则的最小值为A．8 B．9C．12 D．168. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（）A．立方丈B．立方丈C．立方丈D．立方丈9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）A．4 B．D．C．10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为，公比为的等比数列的前项的和B．求首项为，公比为的等比数列的前项的和C．求首项为，公比为的等比数列的前项的和D．求首项为，公比为的等比数列的前项的和11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A．1 B．2 C．4D．12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为( )A．B．C．D．二、填空题13. 已知角满足，，则的取值范围是__________．14. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则_______．15. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin A cos C，且a＝，则△ABC面积的最大值为________.16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为__________．三、解答题17. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将点击量节数 6 18 12（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．20. 已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．21. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径.（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）设直线与圆相交于、两点，求.23. 设不等式的解集为（1）求集合；（2）若，证明：．。

届吉林省长春市普通高中高三一模考试数学试题卷理科解析版

2018届吉林省长春市普通高中高三一模考试题数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为虚数单位，则（）A. B. C. 5 D. -5【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2. 集合的子集的个数为（）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C【解析】集合含有3个元素，则其子集的个数为.本题选择C选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选C......................5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）A. 95，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者.故选D.7. 已知，且，则的最小值为（）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】由题意可得：，则：，当且仅当时等号成立，综上可得：则的最小值为9.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）A. 4B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径.故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角满足，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．14. 已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则__________．【答案】【解析】因为平面内三个不共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.15. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，面积的最大值为__________．【答案】【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为R，由题意可得其体积为：当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设（，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果. 试题解析：(Ⅰ)由，则.当时，，综上.（Ⅱ）由.. 得证.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为 36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，所以节应选出节；（Ⅱ）的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.（Ⅱ）的可能取值为0，20，40，60则的分布列为即.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，平面平面平面（Ⅱ），设菱形的边长为，则.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，则椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.试题解析：(1)由椭圆定义，有，，，从而.(2)设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由已知.21. 已知函数，．（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）证明：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；（Ⅱ）恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由，令，即，即，令，各式相加即可得结果.试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得.（Ⅱ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即不恒成立.因此整数的最大值为2.（Ⅲ）由，令，即，即由此可知，当时，，当时，，当时，，……当时，.综上：.即.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为.（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,23. 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明试题解析：（1）由已知，令由得.（2）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。

吉林省长春82018年高考数学仿真试卷(理科)Word版含解析

吉林省长春82018年高考仿真试卷（理科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x﹣x2＜0}，B={x||x|＜2}，则（∁RA）∩B=（）A．（﹣2，0]∪[1，2）B．[0，1] C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）2．已知复数z=cosθ+isinθ，θ∈R，则z n=cosnθ+isinnθ，n∈N*；若复数z=cos+isin，那么=（）A．0 B．i C．1 D．﹣i3．已知a，b∈R，则“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．165．函数f（x）=sin2x﹣4sin3xcosx的最小正周期与奇偶性分别是（）A．；奇函数B．；奇函数C．；偶函数D．；偶函数6．数列{an }满足a1=2，an+1an=an﹣1，n∈N*，Sn是其前n项和，则S100=（）A． B． C． D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2）…，（xn，yn），则下列不正确的说法是（）A．若求得相关系数r=﹣0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好D．该回归分析只对被调查样本的总体适用9．在△ABC中，若=，sinC=2sinB，则tanA=（）A．B．1 C．D．210．已知x，y满足不等式组，关于目标函数z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|最值的说法正确的是（）A．最小值0，最大值9 B．最小值2，最大值9C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值1011．过双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣）作圆x2+y2=m的切线，切点为A，B，若•=0，则该双曲线的离心率的值为（）A．2 B．3 C．4 D．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x2﹣4x）=a有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，）C．（1，2）D．（2，）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值组成的集合为．14．已知a=5x dx，则二项式（﹣）a展开式中的常数项是．（填数值）15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．16．已知函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对∀x 1∈D ，∃唯一的x 2∈D ，使得=C ，则称常数C 是函数f （x ）在D 上的“倍几何平均数”．已知函数f （x ）=2﹣x ，x ∈[1，3]，则f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=，设b n =a 2n ﹣，S n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求a 2，a 3，b 1，b 2；（2）证明数列{b n }是等比数列；（3）求S n ．18．“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．19．直角梯形ABEF 中，BE ∥AF ，∠FAB=90°，AF=BE=3AB=3，C ，D 分别是边BE ，AF 上的点（不是端点），且CD ⊥AF ，如图1所示；现沿CD 把直角梯形ABEF 折成一个120°的二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．（1）求证：BE ∥平面ADF ；（2）当四棱锥F ﹣ABCD 体积最大时，求平面ADF 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k ≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．已知函数，a ∈R ．（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f （x ）的最小值；（Ⅱ）当a ＜0时，讨论函数 f （x ）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠CED=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：，（t 为参数）与曲线C ：（θ为参数）相交于不同的两点A ，B ．以O 为极点，Ox 正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若α=，求线段|AB|的长度．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f （x ）=|x ﹣a|﹣a ，a ∈R（1）当a=﹣2时，解不等式：f （x ）＜﹣x+2；（2）若f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．吉林省长春82018年高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）A）∩B=（）1．已知集合A={x|x﹣x2＜0}，B={x||x|＜2}，则（∁RA．（﹣2，0]∪[1，2）B．[0，1] C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】通过解一元二次不等式和绝对值不等式便可解出集合A，B，然后进行补集，交集的运算即可．【解答】解：解x﹣x2＜0得，x＜0，或x＞1；解|x|＜2得，﹣2＜x＜2；∴A={x|x＜0，或x＞1}，B={x|﹣2＜x＜2}；A={x|0≤x≤1}；∴∁R∴（∁A）∩B=[0，1]．R故选B．2．已知复数z=cosθ+isinθ，θ∈R，则z n=cosnθ+isinnθ，n∈N*；若复数z=cos+isin，那么=（）A．0 B．i C．1 D．﹣i【分析】利用复数的运算法则化简分子，然后利用复数的除法求解即可．【解答】解：复数z=cosθ+isinθ，θ∈R，则z n=cosnθ+isinnθ，n∈N*；若复数z=cos+isin，那么====﹣i．故选：D．3．已知a，b∈R，则“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解答】解：若直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行，则ab﹣2×2=0，即ab=4，当a=﹣2，b=﹣2时，两直线方程为2x﹣2y﹣1=0，﹣2x+2y+1=0，此时两直线重合，故“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与bx+2y+1=0平行”的必要不充分条件，故选：C．4．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．【解答】解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有×3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C ．5．函数f （x ）=sin2x ﹣4sin 3xcosx 的最小正周期与奇偶性分别是（）A ．；奇函数B ．；奇函数C ．；偶函数D ．；偶函数【分析】先利用二倍角正弦降幂，提取sin2x ，再由二倍角余弦降幂，最后由二倍角正弦化简得f （x ）=，则答案可求．【解答】解：∵f （x ）=sin2x ﹣4sin 3xcosx=sin2x ﹣2sin2x•sin 2x=sin2x （1﹣2sin 2x ）=sin2x•cos2x=．∴T=，∵f （﹣x ）=， ∴f （x ）为奇函数．故选：A ．6．数列{a n }满足a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，S n 是其前n 项和，则S 100=（）A ．B ．C ．D ．【分析】a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，可得：a n+1=1﹣，于是a n+3=a n ．即可得出．【解答】解：∵a 1=2，a n+1a n =a n ﹣1，n ∈N *，∴a n+1=1﹣，可得a 2=，a 3=﹣1，a 4=2，…，∴a n+3=a n ．∴S 100=33×（﹣1）+2=．故选：B ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2）…，（xn，yn），则下列不正确的说法是（）A．若求得相关系数r=﹣0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好D．该回归分析只对被调查样本的总体适用【分析】根据r＜0则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关；线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强；相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，命题可做判断．【解答】解：对于A，r＜0则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关，正确；对于B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确；对于C，相关指数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，因此R2越大拟合效果越好，故不正确；对于D，回归分析只对被调查样本的总体适用，正确；故选：C．9．在△ABC中，若=，sinC=2sinB，则tanA=（）A．B．1 C．D．2【分析】由=，sinC=2sinB，化为a2﹣b2=bc，c=2b，再利用余弦定理可得A．【解答】解：在△ABC中，∵=，sinC=2sinB，∴a2﹣b2=bc，c=2b，∴a2=b2+=7b2．∴cosA===，A∈（0，π），∴A=则tanA=．故选：A．10．已知x，y满足不等式组，关于目标函数z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|最值的说法正确的是（）A．最小值0，最大值9 B．最小值2，最大值9C．最小值3，最大值10 D．最小值2，最大值10【分析】作出不等式组对应的平面区域，讨论x﹣2y﹣2和x﹣y的符号，取得极大值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，作出x﹣2y﹣2=0对应的直线，则由图象知平面区域都在直线x﹣2y﹣2=0的左上方，即x﹣2y﹣2＜0，则z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2），当x﹣y≥0，对应的区域在直线x﹣y=0的下方，即平面区域ABED，此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=x﹣y﹣x+2y+2=y+2，即y=z+2，平移直线y=z+2，得当直线经过A（1，0）时，y最小，此时z最小，即z=2，当经过E时，y最大，此时z最大，由得，即E（，），此时z=+2=，即此时2≤z≤，当x﹣y＜0，对应的区域在直线x﹣y=0的上方，即平面区域CDE，此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=﹣x+y﹣x+2y+2=﹣2x+3y+2，即y=x+﹣，平移直线y=x+﹣，得当直线经过D时，直线的截距最小，此时z最小，由，得，即D（1，1），此时z=﹣2+3+2=3，当直线经过C时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即C（1，3），此时z=﹣2+3×3+2=9，即此时3≤z≤9，综上2≤z≤9，即最小值2，最大值9，故选：B．11．过双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣）作圆x2+y2=m的切线，切点为A，B，若•=0，则该双曲线的离心率的值为（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】如图，根据向量的数量积•=0得出∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，从而四边形OAPB是正方形，利用OA=OP求出m的值，又因为双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣），求出n的值，从而得出该双曲线的离心率的值．【解答】解：如图，∵•=0，∴∠APB=90°，又PA=PB，PA，PB是圆的切线，∴四边形OAPB是正方形，∴OA=OP=×2=2，即=2，∴m=4，又因为双曲线﹣=1（m＞0，n＞0）上的点P（，﹣），∴，∴n=12，则该双曲线的离心率的值是e===2．故选A．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x2﹣4x）=a有六个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，）C．（1，2）D．（2，）【分析】作函数f（x）=的图象，从而由题意可得x2﹣4x=m有两个解，f（x）=a有三个都大于﹣4的解，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如右图，∵x2﹣4x=m最多有两个解，f（x）=a最多有三个解，∴当x2﹣4x=m有两个解，f（x）=a有三个解时，方程f（x2﹣4x）=a有6个不同的实根；若使f（x）=a有三个解，则2＜a；若使x2﹣4x=m有两个解，则m＞﹣4；故f（x）=a的三个解都大于﹣4；故x＞﹣4，故﹣x+＜，可得a，故实数a的取值范围是：（2，）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值组成的集合为{0，1，3} ．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．依题意得，或，或，解得x=0，或x=1，x=3．故答案为：{0，1，3}．14．已知a=5x dx ，则二项式（﹣）a 展开式中的常数项是 15 ．（填数值）【分析】求定积分得到a 值，然后写出二项展开式的通项，由x 得指数为0求得r 值，则答案可求．【解答】解：∵a=5x dx==6．∴（﹣）a =（﹣）6，由，取6﹣3r=0，得r=2．∴二项式（﹣）a 展开式中的常数项是．故答案为：15．15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为．【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中，底面边长为1，棱柱的高为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心， ∴正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，表面积为：4πr 2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：××1=，所以球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr 2=π故答案为：π．16．已知函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对∀x 1∈D ，∃唯一的x 2∈D ，使得=C ，则称常数C 是函数f （x ）在D 上的“倍几何平均数”．已知函数f （x ）=2﹣x ，x ∈[1，3]，则f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是．【分析】根据题意可得到对∀x 1∈[1，3]，∃唯一的x 2=4﹣x 1，且x 2∈[1，3]，使得x 1+x 2=4，从而得出，这样便可得出f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”．【解答】解：∵x ∈[1，3]；∴对∀x 1∈[1，3]，∃唯一的x 2=4﹣x 1，且x 2∈[1，3]，使，x 1+x 2=4；∴=；∴f （x ）在[1，3]上的“倍几何平均数”是．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=，设b n =a 2n ﹣，S n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求a 2，a 3，b 1，b 2；（2）证明数列{b n }是等比数列；（3）求S n ．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）由条件====．即可证明．（3）利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【解答】（1）解：由递推关系：a 2=+1=，a 3=a 2﹣3×2=；b 1==﹣，b 2==﹣=﹣．．（2）证明：由条件====．∴数列{b n }是首项为，公比为的等比数列．（3）由（2）知： =﹣．∴S n ==﹣．18．“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．【分析】（1）利用古典概率计算公式结合排列组合知识，能求出至少两次试验成功的概率．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，由此能求出结果．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，分别求出P （ξ=0），P （ξ=1），P （ξ=2），P （ξ=3），P （ξ=4），由此能求出ξ的期望．【解答】解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：P （A ）==．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，所以所求的概率为P （B ）=12×=．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，P （ξ=0）==，P （ξ=1）=+=，P （ξ=2）=++=，P （ξ=3）=+=，P （ξ=4）=•=，E ξ==．19．直角梯形ABEF 中，BE ∥AF ，∠FAB=90°，AF=BE=3AB=3，C ，D 分别是边BE ，AF 上的点（不是端点），且CD ⊥AF ，如图1所示；现沿CD 把直角梯形ABEF 折成一个120°的二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．（1）求证：BE ∥平面ADF ；（2）当四棱锥F ﹣ABCD 体积最大时，求平面ADF 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）根据面面平行的性质证明平面BCE ∥平面ADF 即可证明BE ∥平面ADF ；（2）设AD=a ，求出当四棱锥F ﹣ABCD 体积最大时，AD 的值，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在图2中，BC ∥AD ，CE ∥DF ，BC ，CF ⊂平面BCE ，AD ，DF ⊂平面ADF ，且BC∩CE=C，由面面平行判断定理的推论得：平面BCE ∥平面ADF ，又BE ⊂平面BCE ，∴BE ∥平面ADF ．（2）过D 作Dz ⊥平面ABCD ，由条件，以D 为原点，DA ，DC ，DZ 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设AD=a ，（0＜a ＜2），则DF=3﹣a ，V F ﹣ABCD =a （30﹣a ）sin =a （3﹣a ）≤（）2=，当且仅当a=3﹣a ，即a=时，四棱锥F ﹣ABCD 体积最大．此时B（，1，0），F（﹣，0，），E（﹣，1，），=（﹣，﹣1，），=（﹣，0，），设平面BEF的一个法向量=（x，y，z），则：•=﹣x﹣y+z=0，•=﹣x+z=0，取x=，则y=3，z=7，所以=（，3，7），平面ADF的法向量为=（0，1，0），所以平面ADF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为：cosθ=|cos＜，＞|===．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是…（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣1）=0．…设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．则x 1+x 2=，x 1x 2=…（•） …∵直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1，k 2，且4k=k 1+k 2，∴4k==，得2kx 1x 2=m （x 1+x 2），…将（•）代入得：m 2=，…经检验满足△＞0．…21．已知函数，a ∈R ．（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f （x ）的最小值；（Ⅱ）当a ＜0时，讨论函数 f （x ）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后解出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判出在各区间段内的单调性，从而的导函数的最小值；（Ⅱ）求出函数的导函数，根据a 的不同取值对函数定义域分段，由函数导函数的符号判断原函数在各区间段内的单调性；（Ⅲ）在假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立的前提下，把问题转化为（x 2）﹣ax 2＞f （x 1）﹣ax 1恒成立，然后构造函数g （x ）=f （x ）﹣ax ，利用导函数求出使函数g （x ）在（0，+∞）上为增函数的a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由，当a=1时，，．∴当x ∈（0，2）时，f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；当x ∈（2，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．∴f （x ）在x=2时取得最小值，其最小值为f （2）=﹣2ln2．（Ⅱ）∵，∴（1）当﹣2＜a ＜0时，若x ∈（0，﹣a ），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数；若x ∈（﹣a ，2），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；若x ∈（2，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．（2）当a=﹣2时，在（0，+∞）上f ′（x ）≥0，f （x ）为增函数；（3）当a ＜﹣2时，若x ∈（0，2），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数；若x ∈（2，﹣a ），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数；若x ∈（﹣a ，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数．（Ⅲ）假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立，不妨设0＜x 1＜x 2，只要，即：f （x 2）﹣ax 2＞f （x 1）﹣ax 1．令g （x ）=f （x ）﹣ax ，只要 g （x ）在（0，+∞）为增函数即可．又函数．考查函数要使g'（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a ≥0，即a，故存在实数a ，对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有恒成立．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠CED=，⊙O 的半径为3，求OA 的长．【分析】（1）要想证AB 是⊙O 的切线，只要连接OC ，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD ∽△BEC ，得BD 与BC 的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA 的长．【解答】解：（1）如图，连接OC ，∵OA=OB ，CA=CB ，∴OC ⊥AB ．∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵BC 是圆O 切线，且BE 是圆O 割线，∴BC 2=BD•BE，∵tan ∠CED=，∴．∵△BCD ∽△BEC ，∴，设BD=x ，BC=2x ．又BC 2=BD•BE，∴（2x ）2=x•（x+6），解得x 1=0，x 2=2，∵BD=x ＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：，（t 为参数）与曲线C ：（θ为参数）相交于不同的两点A ，B ．以O 为极点，Ox 正半轴为极轴，两坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若α=，求线段|AB|的长度．【分析】（1）利用cos 2θ+sin 2θ=1可把曲线C 的参数方程为普通方程：=1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C 的极坐标方程．（2）当时，直线的参数方程为，把直线的参数方程代入椭圆方程化为：13t 2+56t+48=0，利用|AB=|t 1﹣t 2|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C ：（θ为参数）的参数方程为普通方程： =1，由极坐标与直角坐标的互化公式得C 的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=4，即ρ2=．（2）当时，直线的参数方程为，把直线的参数方程代入=1，化为：13t 2+56t+48=0，∴t 1+t 2=﹣，t 1t 2=．∴|AB=|t 1﹣t 2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f （x ）=|x ﹣a|﹣a ，a ∈R（1）当a=﹣2时，解不等式：f （x ）＜﹣x+2；（2）若f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为9，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣2时，利用绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据绝对值的应用转化为f （x ）=0有两个根，求出方程的根，利用三角形的面积公式建立方程进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，由f （x ）＜﹣x+2，得|x+2|+2＜﹣x+2，即|x+2|＜﹣x ，所以：即x ＜x+2＜﹣x ，则，得，解得：﹣4＜x ＜﹣，所以原不等式的解集为：（﹣4，﹣）．（2）由f （x ）图象与x 轴有公共点，则f （x ）=0有两个根，即|x ﹣a|=a ，有两个根，所以：a ＞0；两个根分别为：x 1=0，x 2=2a ，而f （x ）的图象与x 轴围成的图形为等腰直角三角形，所以：S=，解得：a=3．。

吉林省吉林大学附属中学高三数学上学期第一次摸底考试(理)试题(含解析)新人教B版

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A =，，{|05}B x x =∈<<N ，若A C B ⊆⊆，则满足条件的集合C 的个数为（）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）12.函数()lg(2)22x f x x =++-的定义域为（）（A ）(20)(0)-+∞，，（B ）(2)-+∞，（C ）(21]-，（D ）(1)+∞，3.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=（）（A ）1 （B ）12 （C ）12-（D ）－14.在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题()()p q ⌝∨⌝表示（）（A ）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米（B ）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米（C ）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米（D ）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米5.方程1||1x y -=-表示（）（A ）两条直线（B ）两条射线（C ）两条线段（D ）一条射线和一条线段6.已知函数()3sin cos f x x x =－，x ∈R，若()f x ≥1，则x 的取值范围为（A ）{|}3x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（B ）{|22}3x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（C ）5{|}66x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，（D ）5{|22}66x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，7.ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则b a= （A ）23（B ）22（C ）3（D ）28.函数()(1)(1)(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x =+-+--+-+的两个零点分别位于区间（A ）(11)-，和(12)，内（B ）(1)-∞-，和(11)-，内（C ）(12)，和(2)+∞，内（D ）(1)-∞-，和(2)+∞，内9.曲线sin sin cos x y x x =+在点1()42M π，处的切线的斜率为（A ）12-（B ）12（C ）22-（D ）2210.“0a <”是“函数2()||f x ax x =-在区间(0)+∞，上单调递增”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件图①11.已知函数()f x 的图象如图所示，则函数(1)y f x =-的大致图象是O x yO x yO x yO xyO xy1（A ）（B ）（C ）（D ） ()y f x =12.已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题，其中真命题的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；④函数()()y f x g x =⋅的最大值为33. （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.已知幂函数()a f x x =的图象过点1124⎛⎫⎪⎝⎭，，则log 8a = .14.如图，ABC △中，点D 在BC 边上，且2 2.5AC BC ==，，10.5AD BD ==，，则AB 的长为 .B D CA15.已知αβ，均为锐角，且510cos()=sin()αβαβ+-=，，则2=β.16.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++.若“[0)x ∃∈+∞，，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知p :|3|2x ->，q :(1)(1)0x m x m ≤－＋－－，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18.(本小题满分12分)已知函数()sin()(00)2f x A x x πωϕωϕ=+∈><<R ，，，的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．19.(本小题满分12分)在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，设S 为ABC △的面积，满足2223()S a b c =＋－．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．20.(本小题满分12分)已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点()P a b ，成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”.（Ⅰ）将函数()sin()244g x x x x ππ=-+--∈R ，的图像向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标；（Ⅱ）求函数22()log 2xh x x-=图像对称中心的坐标；（Ⅲ）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).21.(本小题满分12分)已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ，，其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，求证：当2x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +>∵请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，锐角ABC △的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点.（Ⅰ）求证：A D F E ，，，四点共圆；（Ⅱ）若50C ∠=︒，求DEF ∠的度数.FE DC BA23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b ϕ>>，为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l θα=：与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；（Ⅱ）设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11A B ，，当4πα=-时，l 与1C ，2C 的交点分别为22A B ，，求四边形1221A A B B 的面积．24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-.（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．。

2018年最新吉林省实验中学2018学年度高三年级第一次

吉林省实验中学2018—2018学年度高三年级第一次模拟考试数学（理）考生注意：请将答案写在答题纸的指定区域内，超出区域的部分不计分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U ={2，4，6，8，10}，集合A ={2，4，6}，B ={4，8}，则A ∩（C U B ）=（）A ．{4}B ．{4，6}C ．{6}D ．{2，6} 2．点（1，a ）到直线2x +3y +5=0的距离为13，则a 的值为（）A ．2B ．2或－320C ．320 D ．－2或320 3．若=∈+=+-=x yR y x yi x i i z 则),,(22 （）A ．34-B ．43C ．43-D ． 344．不等式11112-≥-x x 的解集为（）A ．（1，+∞）B ．),0[+∞C ．),1()1,0[+∞D ．),1(]0,1(+∞-5．若将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种 6．曲线y =x 3－3x 2－1在点（1，－3）处的切线方程为（）A ．y =3x －7B ．y =－3xC ．y =－4xD ．y =4x －57．已知等差数列{a n }的公差d <0，若a 4·a 6=24，a 2+a 8=10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为（）A ．50B ．45C ．40D ．358．已知且),23,cos 21(),sin 2,31(αα==∥，则锐角α的值为（）A ．8π B ．6π C ．4π D ．3π 9．已知f (x )的反函数f －1(x )=log 2(x +2)，则方程f (x －1)=0的根为（）A ．23-B ．0C ．1D ．210．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 和A 1D 的公垂线，则EF 和BD 1的关系是（） A ．相交但不垂直 B ．垂直相交C ．异面D ．平行11．二次函数f (x )满足f (3+x )=f (3－x )，又f (x )是[0，3]上的增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a的取值范围是（）A ．a ≥0B ．a ≤0C ．0≤a ≤6D ．a ≤0或a ≥612．如图，在△ABC 中，∠CAB =∠CBA =30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A ．3B ．1C ．23D ．2二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13．在锐角三角形ABC 中，已知,1||,4||==△ABC 的面积为3，则⋅的值为 .14．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是 .15．(x +1)5(2x +1)展开式中x 2系数为 .16．给出下列四个命题；其中所有正确命题的序号是 . ①函数f (x )=x |x |+b x +c 为奇函数的充要条件是c =0； ②函数y =2－x (x >0)的反函数是y =－log 2x (0<x <1);③若函数f (x )=lg(x 2+ax －a )的值域是R ，则a ≤－4，或a ≥0；④若函数y =f (x －1)是偶函数，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0对称.三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知πθπθ22,222tan <<-=. 求：（1）tan θ；（2）θθθθsin cos 1sin 2cos 22+--18．（本小题满分12分）有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中两张写有数字0，三张写有数字1，三张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中三张写有数字0，两张写有数字1，三张写有数字2.（1）如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的三张卡片都写有1的概率是多少？（2）如果从甲乙两个盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望值？19．（本小题满分12分）函数f(x)=x3+ax2+bx+c，以曲线f(x)上的点P（1，f(1)）为切点的切线方程为y=3x+1.（1）若y=f(x)在x=－2时有极值，求y=f(x)的表达式；（2）在（1）的条件下，求y=f(x)在[－3，1]上的最大值.20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，点E、F分别是PC、AP的中点.（1）求证：侧面P AC⊥侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角.21．（本小题满分14分）过直角坐标平面xoy 中的抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为4的直线与抛物线交于A 、B 两点.（1）用P 表示A 、B 两点之间的距离；（2）证明∠AOB 的大小是与P 无关的定值，并求出这个值.22．（本小题满分12分）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）是函数xxx f -+=1log 21)(2的图象上任意两点，且 )(21OM +=，已知点M 的横坐标为21.（1）求证：M 点的纵坐标为定值；（2）若n n i n S n N n n if S 求且其中,2,,)(*11≥∈=∑-=；（3）已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++==+2)1)(1(11,321n S S n a n n n ，其中n T N n .*=为数列}{n a 的前n 项和，若*1)1(N n S T n n ∈+<+对一切λ都成立，试求λ的取值范围.数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 13．2 14．7/15 15．20 16．①②③三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（1）22tan -=θ （2）223+18．（1）1123（2）8=ξE19．（1）f (x )=x 3+2x 2－4x +5 （2）y max =f (－2)=13 20．（1）略（2）arccos3221．（1）4p （2）413arccos-=∠πAOB22．（1）21 （2）*)2,2(21N n n n S n ∈≥-= （3）21>λ。

2018届东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题

2018届东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai +=+为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1B ．0C ．12- D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（）8.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A=+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（）A ．1B 3C ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（）A ．512πB ．712πC ．924π1D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（） A 5B ．72C ．2D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x xx <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E的（）条切线A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}na 的前n 项和为nS ，且21nSn n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（1）求{}na 和{}nb 的通项公式；（2）数列{}nc 中，11c a =，且1nn ncc T +=-，求{}nc 的通项nc ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，1==．PA AB（1）证明：//EF平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数2()45xaf x xx e =-+-（a R ∈）．（1）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）设()()xg x ef x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m>），求证：122x xm+<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈．（1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC二、填空题13.14 14.38 15.72- 16.32242-三、解答题17.解：（1）∵21nSn n =-+，∴令1n =，11a=，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与na （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}nb 为等比数列，222b a ==，458ba ==，∴2424bq b==，∴2q =，∴11b =，∴12n nb-=．（2）122112nn n T -==--，∵12121cc -=-，23221cc -=-，…，1121n nn cc ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---，111c a ==，∴121n nc n -=--， ∴21n nc=-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =，平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==．（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =，X的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=，333464(3)()5125P X C ===，所以X 的分布列为：X0 123P 1125 121254812564125∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=． 19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-，设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =， 12121257cos ,||||142n n n n n n ⋅<>===⋅⨯所以平面EFC 与平面PDC 5720.解：（1）∵12c a =，∴2a c =，椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412cc +=，∴21c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690my my ++-=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，有122634m y ym -+=+，122934y ym -=+，有2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++，点P (2,0)-到直线l 的距离为21m +点(2,0)Q 到直线l 的距离为21m+从而四边形APBQ 的面积2222112(1)2412341m m S m m++=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令21t m =+，1t ≥，有22431tS t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t=->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313tS t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240xa f x x e =-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈，∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴max()(1)2h x h e ==，∵max(42)xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)xx g x ef x x x e a==-+-，∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞， ∴122221122(45)(45)2(45)2x x m xx e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-，∴122221122(45)(45)2(45)x x mxx e x x e m m e -++-+=-+，∴设2()(45)xx xx e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴2'()(1)0xx x eϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增，∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞，∴22'()(1)(1)m xm xF x m x em x e +-=+----，∵0x >， ∴0m xm x ee +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增， ∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞，令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>，又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增， ∴122m xx ->，即122x xm+<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩3cos 2θ=±，∵02πθ≤<，6πθ=，3ρ= ∴所求交点的极坐标(23,)6π．（2）设(,)P ρθ，0(,)Q ρθ且04cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP=，得02,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈．23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当20x -≤<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[2,0)上单调递增，当322x -≤≤-时，'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2)2--上单调递减，所以min()(2)g x g =-2230m =+≥，所以223m ≥-，当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减，所以min335()()026g x g m =-=+≥，所以356m ≥-，综上，223m ≥-．。

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