高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理课件北师大选修2_2
学习目标
思维脉络
1.通过实例能直观了解微 积分基本定理. 2.能利用微积分基本定理 求基本函数的定积分. 3.了解导数与定积分的关 系. 4.能在具体的应用中体会 微积分基本定理的作用和
意义.
微积分基本定理
(1)条件:连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F'(x).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1求下列定积分:
(1)
-1 -2
(2+x2)2dx;
(2)
4 1
������√+������1dx;
(3)
π πcos
3
������-
π 6
dx.
解:(1)∵(x2+2)2=x4+4x2+4,
又
1 5
������5
+
4 3
������3
+
4������
'=x4+4x2+4,
[0,1],[1,2],[2,3]上三段的积分之和.
解:由定积分的性质知,
3 0
f(x)dx=
1 0
f(x)dx+
2 1
f(x)dx+
3 2
f(x)dx.
=
1 0
x3dx+
2 1
√������dx+
3 2
2xdx
=
1 0
x3dx+
2 1
1
������2dx+
3 2
2xdx
=14x4|10
+
2 3
������
∴
-1 -2
(2+x2)2dx=
-1 -2
(x4+4x2+4)dx=
1 5
������5
+
4 3
������3
+
4������
|--21 = 21953.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)∵������+1
√������
=
√������
+
1
1
=������2
√������
+
������-12,
又
2
3
6
2
2
∴
π π cos
3
������-
π 6
dx=
π
π 3
√3 cos������ + 1 sin������
2
2
dx
=√23
π
π 3
cos
xdx+12
π π sin xdx
3
=√3sin x|π π − 1cos x|π π
2
32
3
=-√23sinπ3
−
1 2
cos
π-cos
π 3
=-34
+
1 2
������2
+
1
2������2
3
1
'=������2
+
������-12,
∴4
1
������√+������1dx=
4 1
1
(������2
+
������-12)dx=
2
3
������2
+
1
2������2
3
|14
=23
×
3
1
42+2×42
−
2×1+2×1
3
= 230.
(3)∵cos ������- π = √3cos x+1sin x,
了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的
增量.
2.用微积基本定理求定积分的关键是找到满足F'(x)=f(x)的函
数F(x),再计算F(b)-F(a).
3.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简函数,再求定积分.
【做一做 1】 函数 f(x)=1������是 F(x)的导数,则 F(x)=
(2)结论:
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a).
(3)符号表示:
������ ������
f(x)dx=F(x)
������
������ =F(b)-F(a).
名师点拨1.微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了
被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系,为计算定积分提供
∴
2 1
(t+2)dx=(tx+2x)|12 =(2t+4)-(t+2)=t+2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟由微积分基本定理求定积分的步骤及注意点 第一步:求被积函数f(x)的一个原函数F(x); 第二步:计算函数的增量F(b)-F(a). 注意:当被积函数为两个函数的乘积时,一般要转化为和的形式, 便于求得函数F(x),再计算定积分.
“×”.
(1)运用微积分基本定理求定积分与求导数运算是互逆运算.
(× )
������
(2)因为被积函数f(x)的原函数不唯一,所以 f(x)dx也不唯 ������
一.( × )
(3)若
������ ������
f(x)dx=F(x)
������ ������
,则
f(x)是
F(x)的导数.
(
√
)
(4)若
3 2
|12
+
2������ ln2
|23
=1 + 4√2 − 2 + 8 − 4 =- 5 + 4√2 + 4 .
4 3 3 ln2 ln2 12 3 ln2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟计算分段函数的定积分 1.分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式. 2.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,一般按照原函数 分段的情况分即可. 3.当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数 的定积分再计算.
.
解析:∵(ln x)'=1������,∴F(x)=ln x+c(c 为常数).
答案:F(x)=ln x+c(c为常数)
【做一做 2】
1 0
(4x+5)dx=
.
解析:
1 0
(4x+5)dx=(2x2+5x)
1 0
=(2×12+5)-0=7.
答案:7
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画
+
14=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求分段函数的定积分
������3,������∈[0,1],
【例 2】 求函数 f(x)= √������,������∈(1,2),在区间[0,3]上的积分.
2������ ,������∈[2,3]
分析:f(x)在区间[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成在区间
������ ������
f(x)dx=
������ ������
g(x)dx,则
f(x)=g(x).(
×
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求简单的定积分
【例1】 求下列定积分的值:
(1)
1 0
(2x+3)dx;(2)
1 -2
(1-t3)dt;(3)
2 1
(t+2)dx.
分析:根据微积分基本定理,关键是求相应被积函数的一个原函
数.
解:(1)∵(x2+3x)'=2x+3,
∴
1 0
(2x+3)dx=(x2+3x) |10 =1+3=4.
(2)∵
������-
1 4
������4
'=1-t3,
∴
1 -2
(1-t3)dt=
������-
1 4
������4
|1-2
=1-14 −
-2-
1 4
×
(-2)4
=7-14
=
247.
(3)∵(tx+2x)'=t+2,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 已知函数 f(x)=
������2-2������ + 1,0 ≤ ������ ≤ 2, 则 ������2 + 2������ + 1,-2 ≤ ������ < 0,
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。
高中数学 第4章 定积分 2 微积分基本定理课件 北师大
―→ Fb－Fa ―→ 结论
2
[边听边记]
(1)
1
(x2＋2x＋1)dx
2
2
2
＝1x2dx＋12xdx＋11dx
＝ x3321 ＋x221＋x21 ＝139.
π
(2)
0
(sin x－cos x)dxபைடு நூலகம்
π
π
＝0sin xdx－0cos xdx
解析： 如图：
2
S＝1(x2－x)dx ＝13x3－ 12x221
＝83－2－13－12
＝56.
答案：
5 6
4．求下列定积分的值：
1
1
(1)0(2x＋3)dx；(2)－2(1－t3)dt；
2
(3) (t＋2)dx. 1
解析： (1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，
b
－
F(a)
，
于
是
牛
顿
—
莱
布
尼
茨
公
式
也
可
写
作
a
f(x)dx
＝
F(x)ab ＝___F_(_b_)－__F_(_a_)___．
(1)求导数运算与求原函数运算互为逆运算，在 微积分基本定理中函数 F(x)叫作函数 f(x)在区间[a，b]上的一个 原函数，因为[F(x)＋c]′＝F′(x)，所以 F(x)＋c 也是函数 f(x) 的原函数．
(2)利用微积分基本定理求定积分，只需两步，即：①求 f(x) 的一个原函数 F(x)，②计算 F(b)－F(a)．
1．定积分11dx 的值等于( ) 0
A．0
B．1
1 C.2
D．2
高中数学第四章定积分4.2.1微积分基本定理教案北师大版选修2_2
2 微积分基本定理（一）、复习：定积分的概念及用定义计算 （二）、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aaf t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xaf t dt ⎰令x b =，有()()()baf x dx F b F a =-⎰此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积 课件
五、教后反思：
2013-4-2
2013-4-2
∴所求“冰激凌”的体积为：
12 1 4 224 2 2 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 3 4 2 3 0
2013-4-2
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕 其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是双曲 线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点，B,B’ 是 下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
x
2013-4-2
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将 其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则 A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， (4,4) B
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计， 取3.14） 2 2 x y (1) 1 49 98
8 2 8
Ｃ’ Ａ’ Ａ
Ｃ
1 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’ 2013-4-2
Ｂ
S侧 2 f ( x) 1 [ f ' ( x)]2 dx
V f
a
b
2
x dx，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定 积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体 体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx a ，即可求旋转体体积的值。 （四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题 4-3中6、7
微积分基本定理(说课课件)
教学活动
教学意图
启发学生观 察思考，激 起学生求知 欲
4、归纳总结，提高认识：微积分基本定理揭示了定积分和不 归纳总结，提高认识： 定积分之间的内在联系，把“ 定积分之间的内在联系，把“新问 题——定积分计算”转化为通过 ——定积分计算” “已 经熟悉的不定积分计算” 经熟悉的不定积分计算”来实现， 而且形式特别简洁明快，充分展示 了数学之美!向学生推荐文章《 了数学之美!向学生推荐文章《飞 5、布置作业 檐走壁之电影实现——微积分基本 檐走壁之电影实现——微积分基本 任务驱动 定理》 定理》 分为必做题和选做题
五、教法和学法
本次课教学采用多媒体教学和传统教学交叉进行的模式， 遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展” 遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展”的教学原则， 教学 方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 教有 设计、学有方法、做有目标” 设计、学有方法、做有目标”。
四、教学设想
教学程序
一、复习提问： 复习提问： 1、定积分的定义
教学活动
教学意图
启发学生观察思 考，激起学生求 知欲
学生回答问题，引导学生 观察，利用定积分的定义，计 算积分值是很困难的，必须寻 n b ∫a f (x)dx = lim∑ f (ξi )∆xi 求计算定积分的简便而有效的 λ→0 i=1 方法，为引入新课做准备。 为学习积分上限函数埋下伏笔
学法： 学法：
(1)观察分析： (1)观察分析：通过引导学生观察思考，化旧知为新知。如引 观察分析 入新课、积分上限函数定义的引入等。 (2)联想转化： (2)联想转化：学生通过类比、联想转化，体会知识间的联系 联想转化 。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。 。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。 (3)练习巩固： (3)练习巩固：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应 练习巩固 用情况，找出未掌握的内容及其差距。
2021学年高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理课件北师大版选修2_2
2
6
,
5
=
2
.
5
①
1
2
3
0
( − e)d等于(
)
-1
1
e
A.-1− B.−1
3
1
3
C.− 2 + e D. − 2
1 2
解析: ∵
-e
2
0
∴
-1
′
= − e,
1 2 0
1 1
3 1
( − e)d =
-e |-1 = −1 − + = − + .
2
2 e
2 e
2
0
cos 4xdx.
分析利用微积分基本定理解决,其中计算定积分
找到满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x).
2-6, ≥ 3,
4
解(1)∵y=|2x-6|=
∴ 0 |2x-6|dx=
-2 + 6, < 3,
3
0
(-2x+6)dx+
(2)∵
∴
π
2
0
1
sin4
4
4
3
2
(2x-6)dx=(-x +6x)
题型一
题型二
题型三
3
1
解由定积分的性质知 0 f(x)dx= 0
1 3
2
3 x
= 0 x dx+ 1 dx+ 2 2 dx
f(x)dx+
2
1
f(x)dx+
3
2
f(x)dx
4 1
2 32
2 3
= 4 |0 + 3 2 |1 + ln2 |2
4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0 π(cos x＋ex)dx －
0 ＝(sin x＋ex)| －π＝1－e－π.
1 1 2 x ＋ ′＝2x－ 2， (3)∵ x x
1 1 1 22 ∫32x－ 2dx＝x2＋ | 3＝7＋ ＝ . ∴ 1 1
数与定积分之间有什么联系？
提示： f(x)dx＝F(b)－F(a), 其中 F′(x)＝f(x)．
b a
微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)， 则有
∫bfxdx＝ F(b)－F(a) a
定理中的式子称为 牛顿—莱布尼茨公式 ，通常称
F(x)是f(x)的一个 原函数 ．
b ∵f(x)为奇函数，∴ ＝0，即 b＝0. 2 1 a a 1 5 又∵f(1)－f(－1)＝ ，∴ ＋1＋ ＋1＝ .∴a＝－ . 3 3 3 3 2
[一点通] (1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变 量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分
下限不大于积分上限．
(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数， 可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的 性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．
3 2
7 ＝－ . 4
[例 2]
π sin x，0≤x≤2 ， 已知函数 f(x)＝ π 1，2<x<2， x－1，2≤x≤4，
先画
出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
[思路点拨] 按
π π f(x)的分段标准，分成0，2 ，2，2，
在计算定积分时，常常用记号F(x) | F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作
【数学】4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
2019-2020年北师大版数学选修2-2讲义：第4章+§2 微积分基本定理及答案
§2 微积分基本定理1．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(2) (3)(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛abf (x )d x ＝0.1．下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪1＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪1＝12.]2．⎠⎛02π(－sin x )d x 等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．4A [⎠⎛02π(－sin x )d x ＝cos x |2π0＝cos 2π－cos 0＝0.]3．⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝________.ln 2＋32 [根据题意得⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12＝ln 2＋32.](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛－π(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ；(4) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x . 思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33⎪⎪⎪ 21＋x 2⎪⎪⎪21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e x d x ＝sin x ⎪⎪⎪0－π－e x ⎪⎪⎪－π＝1e π－1．(3)2x 2＋x ＋1x ＝2x ＋1＋1x ，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x .∴⎠⎛122x 2＋x ＋1x d x ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2．(4)原式＝⎠⎜⎛0π212(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π2(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π21d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪ π20－sin x 2⎪⎪⎪⎪π2＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. ln 2－12 [⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ； (2)⎠⎛02|x 2－1|d x . 思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？[提示] 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 (1)设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． [解] (1)∵f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ⎪⎪⎪1＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为 f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k 2＋b ， ∴k2＋b ＝1．②由①②得，k ＝65，b ＝25， ∴f (x )＝65x ＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)且f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝316，求函数f (x )的解析式．[解] 由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ① f ′(1)＝2a ＋b ＝1，②又由⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知a 3＋b 2＋c ＝316.③①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝－⎠⎛baf (x )d x . (2)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x (a <c<b )，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a x 1f (x )d x ＋⎠⎜⎛x 1x 2f (x )d x ＋…＋⎠⎛x n b f (x )d x ，其中a <x 1<…<x n <b .(3)若在区间[a ，b ]上，f (x )≥0，则⎠⎛abf (x )d x ≥0.推论1：若在区间[a ，b ]上，f (x )≤g(x )，则⎠⎛a bf (x )d x ≤⎠⎛a bg(x )d x .推论2：|⎠⎛a bf (x )d x |≤⎠⎛ab|f (x )|d x .(4)若函数f (x )为偶函数，则不含常数项的原函数F (x )为奇函数，⎠⎛-a af (x )d x ＝F (x )|a－a ＝F (a )－F (－a )＝2F (a )； (5)若函数f (x )为奇函数，则不含常数项的原函数F (x )为偶函数，⎠⎛-a af (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．43．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 [⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k＋1≤4，解得23≤k ≤2．]4．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。