总体标准差的置信区间为
两个正态总体均值差及方差比的置信区间
1,2)
均未知,
求方差比
2 1
2 2
的置信度为0.90 的置信
区间. 解 n1 Байду номын сангаас8, n2 13,
0.10,
s12 0.34(mm2 ), s22 0.29(mm2 ),
F / 2(n1 1, n2 1) F0.05(17, 12) 2.59,
F1
/ 2(17,
12)
F0.95 (17,
涉及的两总体分别为
N
(
1
,
2
)和N
(
2
,
2
),
1
,
2
,
2 1
,
2 2
均未知，两样本相互独立，
求
2 1
/
2 2
的置信水平为
0.90的置信区间。
解 现在 n1 7 , n2 8, 1 0.9, / 2 0.05,
1
1
F0.05 (6,7)
3.87 , F10.05 (6,7)
F0.05 (7,6)
2 1
2 2
的一个置信度为
1
的置信区间
S12 S22
F / 2 (n1
1 1, n2
1)
,
S12 S22
1 F1 / 2 (n1
1, n2
1) .
推导过程如下:
由于 (n1 1)S12
2 1
~ 2(n1 1),
(n2 1)S22
22
~ 2(n2 1),
且由假设知
( n1
1)S12
Y
~
N
1
2
,
2 1
n1
2 2
置信区间——精选推荐
置信区间-11[ 例题1 ]某企业从长期实践得知，其产品直径X 是一个随机变量，服从标准差为0.05的正态分布。
从某日产品中随机抽取6个，测得其直径分别为14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1（单位：厘米）。
在0.95的置信度下，试求该产品直径的均值的置信区间。
[ Minitab 解法]①将题中的6个数据输入到Minitab 中的C1列②路径：Stat →Basic Statistics →1-Sample Z …③输入相关参数（参考右图）置信区间-13[ 例题2 ]某企业生产某种产品的工人有1000人，某日采用不重复抽样从中随机抽取100人调查他们的当日产量，样本人均产量为35件，产量的样本标准差为4.5件，试以95.5%的置信度估计平均产量的置信区间。
[ Minitab 解法]①打开Minitab②路径：Stat →Basic Statistics →1-Sample Z…置信区间-16[ 例题3 ]某食品厂从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得每袋重量（单位：克）分别为789、780、794、762、802、813、770、785、810、806，要求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋重量的区间范围及其允许误差。
[ Minitab 解法]①将题中的10个数据输入到Minitab 中的C1列②路径：Stat →Basic Statistics →1-Sample t …置信区间-20[ 例题4 ]用[例题3]的10个数据求标准差的置信区间[ Minitab 解法]①将题中的10个数据输入到Minitab 中的C1列②路径：Stat →Basic Statistics →Graphical Summary …置信区间-28[例题5 ]某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重复抽样抽取样品200只，样本良品率为85%，试计算当把握程度为90%时良品率的区间范围。
[ 公式求法]已知：n=200，p=0.85，1-a=0.90，Z a/2=1.645则将上面的数字代入公式中，得总体良品率P 的置信度为90%的置信区间为：85% -4.15%≤P ≤85%+ 4.15%；即为（80.85%，89.15%）置信区间-291. 在班上随机选了10名学员，调查他们考试总成绩的结果参考下面的数据。
统计学练习及参考答案
》第一章参考答案一、填空1、统计一词的含义是统计工作、统计数据（统计资料）、统计学。
2、标志是说明总体单位的特征的，分为品质标志和数量标志。
3、要研究工业企业生产经营状况时，全部工业企业构成总体，每一个工业企业是总体单位。
4、工人的年龄、工资、工龄属于数量标志，工人的性别、民族、工种属于品质标志。
5、设备台数、工人人数属于离散变量，身高、体重、年龄属于连续变量。
6、研究某市居民生活状况，该市全部居民构成了总体，居民家庭的收入是数量标志。
`7、某市职工人数普查中，该市全部职工人数是指标，每一个职工是总体单位。
8、从个人奖金最高额、最低额，企业奖金总额和人均奖金总额等方面研究某企业奖金的分配情况，该项研究中统计指标是企业奖金总额、人均奖金总额，变量值是奖金最高额、最低额。
二、单选1、构成统计总体的个别事物称为（ D ）。
A 调查单位B 标志值C 品质标志D 总体单位2、对某城市工业企业未安装设备进行普查，总体单位是（B ）。
A 工业企业全部未安装的设备B 工业企业每一台未安装设备C 每个工业企业的未安装设备D 每一个工业企业；3、下面属于统计总体的是（ B ）。
A 某地区的粮食总产量B 某地区的全部企业C 某商场全年商品销售额D 某地区全部职工人数4、在全国人口普查中（ B ）。
A 男性是品质标志B 人的年龄是变量C 人口的平均寿命是数量标志D 全国人口是统计指标5、下列指标中属于质量指标的是（ B ）。
A 社会总产值B 产品合格率C 产品总成本D 人口总数~6、指标是说明总体特征的，标志是说明总体单位特征的（ B ）。
A 标志和指标之间的关系是固定不变的B 标志和指标之间的关系是可以变化的C 标志和指标都是可以用数值表示的D 只有指标才可以用数值表示7、某工人月工资1500元，工资是（ A ）。
A 数量标志B 品质标志C 质量指标D 数量指标8、下列属于数量标志的是（A）。
A 职工的年龄B 职工的性别C 政治面貌D 籍贯9、研究某市工业企业生产设备使用状况，统计总体为（ D ）。
Henkel 2022 六西格玛黑带测试题
Henkel 2022六西格玛黑带测试题L全部为单项选择题。
每题2分，满分1（）（）分，7（）分为合格。
2.每人有2次答题机会。
3.中途退出已答部分不保存，建议一次性答完。
1.在下列陈述中，不正确的是：（）［单选题］*A .六西格玛管理仅是适合于制造过程质量改进的工具确答案）B.六西格玛管理是保持企业经营业绩持续改善的系统方法C.六西格玛管理是增强企业领导力和综合素质的管理模式D.六西格玛管理是不断提高顾客满意度的科学方法2.在六西格玛改进项目推行过程中，把握方向、协调资源、排除障碍是下列哪个角色的职责：（）［单选题］*A.黑带B.黑带大师C倡导者（正确答案）D.六西格玛团队成员3.有关DMAIC流程的说法，下列哪个是不正确的？（）［单选题］*A.DMAIC流程是一套系统的业务改进流程B.DMAIC流程的逻辑本质和PDCA是一致的C.DMAIC各个阶段的工作有严格的区分〔正确答案）D.DMAIC流程即可应用于造流程改进吗，也可以应用于服务或管理流程改进4.六西格玛项目团队在明确项目范围时，应采用以下什么工具？（）［单选题］*A.因果图B.SIPOC图（正确答案）C.PDPC 法D.头脑风暴5.对IOOO个零件进行检验，每个零件有5个缺陷机会，结果共发现40个零件不合格，合计80个缺陷，则DPMO值为：（）I单选题］*A.0.016B.8000C.16000正确答案）D.800006.在六西格玛团队的组建中，以下哪种说法是不正确的：（）［单选题］*A.六西格玛团队一般由资深的统计学家和黑带组成;，E确答案）B.项目负责人应该对整个项目负责，包括确定核心成员；C .有些只需部分参与项目的成员（如供应商代表等），按项目的需要，也可成为扩展成员D.倡导者负责对项目的审核，批准项目的目标、计划7•对于一个六西格玛团队来说，良好的沟通非常有必要，但同时又很困难。
那么，以下哪种说法是错误的：（）［单选题］*A.确定项目目标和计划时需要沟通B,沟通的目的是使团队统一思想，采取正确行动c.沟通的地点最好限定在会议室中:正确答案）D.项目负责人应该做一个良好的模范8.六西格玛团队是跨职能开展活动的，要确保团队活动的有效开展及项目的顺利进行，需要对项目的“利益相关方”进行确认和分析。
已知均值求标准差的置信区间
已知均值求标准差的置信区间
在统计学中，置信区间是用来估计参数真实值的范围。
当我们已知一个样本的均值，想要估计总体标准差的置信区间时，我们可以使用统计学的方法来进行计算。
首先，我们需要明确一些基本概念。
总体的标准差通常用σ表示，而样本的标准差通常用s表示。
当总体的标准差未知时，我们可以利用样本的标准差s来估计总体的标准差σ。
而置信区间则是用来估计参数真实值的范围，通常表示为(μ-Δ, μ+Δ)，其中μ为总体均值，Δ为置信度对应的标准误差。
在已知样本均值和样本大小的情况下，我们可以利用t分布来计算标准差的置信区间。
具体步骤如下：
1. 确定置信水平，通常取95%或者99%。
2. 查找t分布表，确定自由度和置信水平对应的t值。
自由度为样本大小减1。
3. 计算标准误差，标准误差为样本标准差除以样本大小的平方
根。
4. 计算置信区间的上下限，上限为样本均值加上t值乘以标准误差，下限为样本均值减去t值乘以标准误差。
通过以上步骤，我们可以得到标准差的置信区间。
这个置信区间表示了我们对总体标准差的估计范围，可以帮助我们更好地理解总体参数的真实情况。
总之，通过已知均值求标准差的置信区间是统计学中常用的方法，它可以帮助我们对总体参数进行估计，并且提供了一个范围来描述参数的真实情况。
在实际应用中，我们可以根据样本数据来计算置信区间，从而更好地理解总体的特征。
参数估计
选择题：1. 在参数估计中，要求用来估计总体参数的估计量的平均值等于被估计的总体参数。
这种评价标准称为（）A. 无偏性B. 有效性C. 一致性D. 充分性知识点：参数估计难易度：12. 评价估计量的一致性标准是指（）A. 样本统计量的值恰好等于待估的总体参数B. 所有可能样本估计值的期望值等于待估总体参数C. 估计量与总体参数之间的误差最小D. 随着样本量的增大，估计量越来越接近总体参数知识点：参数估计难易度：13. 一项抽样研究表明，客运航班晚点平均时间的95%的置信区间为5分钟～20分钟之间。
这里的95%是指（）A. 航班晚点的概率为95%B. 可以用95%的概率保证航班晚点的平均时间在5分钟～20分钟之间C. 在多次估计中，航班晚点的平均值在5分钟～20分钟之间的频率约为95%D. 100个航班中，有95个航班晚点知识点：参数估计难易度：34. 下面参数估计的陈述中，正确的是（）A. 90%的置信区间将以90%的概率包含总体参数B. 当样本量不变时，置信水平越大得到的置信区间就越窄C. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越窄D. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越宽知识点：参数估计难易度：35. 总体均值的置信区间等于样本均值加减估计误差，其中的估计误差等于所要求置信水平的临界值乘以（）A. 样本均值的标准误差B. 样本标准差C. 样本方差D. 总体标准差知识点：参数估计难易度：16. 从总体中抽取一个样本量为50的简单随机样本，用该样本均值构建总体均值99%的置信置信区间，这里的99%是指（）A. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为99%B. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为99%C. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为1%D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为1%知识点：参数估计难易度：27. 下面关于参数估计的陈述中，哪一个是正确的（）A. 一个大样本给出的估计量比一个小样本给出的估计量更接近总体参数B. 一个小样本给出的估计量比一个大样本给出的估计量更接近总体参数C. 一个大样本给出的总体参数的估计区间一定包含总体参数D. 一个小样本给出的总体参数的估计区间一定不包含总体参数知识点：参数估计难易度：28. 要估计全校学生的平均月生活费支出，从全校学生中随机抽取200人，得到的平均月生活费支出为520元。
4个标准差大小与置信区间范围
4个标准差大小与置信区间范围落伍的知识？不要紧，这篇文章的目的就是为你详细解释一下这两个概念。
在开始解释之前，我们先要了解一下什么是“标准差”和“置信区间”。
我们先来讨论一下“标准差”。
标准差是一个统计学上的概念，它是用来衡量一组数据的离散程度或者分散程度的。
如果一组数据的标准差较大，就代表这组数据的离散程度较大，反之亦然。
通俗地说，标准差就是用来表征一组数据的平均偏离程度的。
接下来，我们再来介绍一下“置信区间”。
在统计学中，置信区间是用来估计总体参数的区间。
通俗地讲，如果我们知道一个数据样本的均值和标准差，那么通过计算，就能得到一个置信区间。
这个置信区间可以告诉我们，总体参数（比如总体均值）有多大的概率位于这个区间内。
所以说，置信区间可以帮助我们进行参数估计。
现在我们来谈谈“4个标准差大小与置信区间范围”的关系。
通常情况下，我们会使用标准差的倍数来表示置信区间的范围。
比如说，如果我们使用1个标准差来表示置信区间的范围，那么这个置信区间将包含大约68%的数据；如果使用2个标准差，那么置信区间会扩大到大约95%的数据；如果使用3个标准差，那么置信区间会扩大到大约99.7%的数据。
通过这个规律，我们可以得出结论：4个标准差大小与置信区间范围也是有一定关系的。
在统计学中，我们经常使用1.96作为95%置信区间（双侧）的标准差倍数。
那么当我们将标准差倍数扩大到4的时候，置信区间的范围会扩大到几乎100%的数据。
这就意味着，我们可以比较有把握地估计总体参数了。
通过对“4个标准差大小与置信区间范围”这个主题的简单讲解，我相信你已经对这个概念有了初步的了解。
通过掌握这个概念，我们可以更准确地进行数据分析和统计推断，为决策提供更有力的支持。
希望通过今天的文章，你对这个概念已经有了一定的认识。
接下来，我们可以进一步学习和探讨这个话题，以便在实际应用中更好地运用它。
对于“4个标准差大小与置信区间范围”这个概念，我们需要深入研究和了解其背后的原理和推导过程，同时也需要结合实际情况进行灵活的运用。
置信区间求法
置信区间求法什么是置信区间在统计学中，置信区间是用来估计一个参数真实值范围的一种统计方法。
置信区间表示了我们对于总体参数的不确定性，给出了一个范围，该范围内有一定的概率包含了真实的总体参数。
置信区间通常由两个值组成，下限和上限，表示了参数的估计范围。
置信区间的计算方法依赖于样本数据和所选择的置信水平。
置信水平置信水平是指在重复抽样的情况下，统计方法会产生包含真实参数的区间的频率。
常见的置信水平有95%和99%。
95%置信水平表示，在进行100次抽样时，大约有95次的置信区间会包含真实参数值。
同样地，99%置信水平表示，在进行100次抽样时，大约有99次的置信区间会包含真实参数值。
选择置信水平的大小需要根据具体的应用场景和对结果的要求来决定。
较高的置信水平会导致置信区间变宽，包含更多的可能取值，但也会增加错误估计的概率。
置信区间的计算方法置信区间的计算方法通常依赖于所研究的统计量和总体分布的已知信息。
以下是一些常见的置信区间计算方法：1. 样本均值的置信区间当总体的分布是正态分布，并且总体标准差已知时，可以使用以下公式计算样本均值的置信区间：其中，是样本均值，是总体标准差，是样本容量，是对应于所选置信水平的标准正态分布的临界值。
2. 样本均值的置信区间（总体标准差未知）当总体的分布是正态分布，但总体标准差未知时，可以使用以下公式计算样本均值的置信区间：其中，是样本均值，是样本标准差，是样本容量，是对应于所选置信水平和自由度的t分布的临界值。
3. 比例的置信区间当研究的统计量是比例时，可以使用以下公式计算比例的置信区间：其中，是样本比例，是样本容量，是对应于所选置信水平的标准正态分布的临界值。
置信区间的应用举例为了更好地理解置信区间的应用，我们可以通过一个实际的例子来说明。
假设我们想要估计一家电商平台上某商品的平均评分，我们从该平台上随机抽取了100个用户的评分数据。
我们想要计算出该商品评分的置信区间，以便了解该评分的可信程度。
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解：已知总体是正态分布，但总体方差
用（8.17）式进行计算，首先计算样本均值和样 本方差. x 808
未知，应
1 0.95 ，则 2 0.025。通过查正态分布
82 3.92, 82 3.92
即 78.08, 85.92 。即有95%的把握认为顾客的满 意分数落在区间 78.08, 85.92 内。
案例8.4 在一批包装商品中，抽取100个小包装袋， 已知样本的质量平均数是21克，总体标准差为6克， 在置信度为95%的要求下，计算置信区间。 解：计算平均误差： 6 0.6
2
1 0.95, 0.05
n
100
0.025
2
由( u ) 1
2
2
0.975,
查表得 u 1.96
置信区间的上限是：X 1.96
100
100
＝21 ＋1.96 0.6＝22.18
置信区间的下限是： X 1.96 21 1.96 0.6 19.82
x
i
n
15
53.87
s
1 n 651.73 2 ( xi x ) 6.82 （天） n 1 i 1 14
置信水平为95%，则 0.025,自由度为n 1 14, 2 查表得 t ( n 1) 2.1448
2
所以边际误差 ： t ( n 1)
体均值的置信区间为以 X 为中心，以 t ( n 1) S n 2 为边际误差的区间。
中心
为未知时，总
S S , X t ( n 1) X t ( n 1) n n 2 2
边际误差
案例8.5 斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅 助程序感兴趣.为了了解这种计算机辅助程序能缩 短多少培训时间,需要评估这种程序在95%置信水 平下培训时间平均值的置信区间。已知培训时间总 体是正态分布，管理者对15名维修工进行了测试， 所得培训时间如表8-2所示，试估计95%置信水平 下总体均值的置信区间。 返回案例8.10 表8-2 15名维修工的培训天数
假定总体标准差为20.又最近一次顾客对CJW满意
程度的平均值为82.试求置信度为95%的总体均值 的置信区间。
解：样本容量大于30，近似按正态分布处理。总体 方差 20，样本均值 X 82。置信度为
表得 U0.025 1.96 ，代入公式（10.1）得置信度 为95%时，顾客满意度的边际误差 为 1.96 20 3.92 ，所以置信区间为 100
一、正态总体数学期望的区间估计
1．标准差
已知时，均值
的区间估计
对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知总体 标准差为 ，样本均值为 X ，则在置信度1 下总体均值 的： n为样本容量， 2 分位点，即
§8.2.3 区间估计
区间估计的具体做法是，构造两个统计量 ˆ1 ( X1 , X2 , Xn ) ˆ , ˆ ) 来估计未 ˆ ˆ ，用区间 ( 及ˆ2 ( x1, X 2 , , X n )， 且 1 2 知参数
ˆ , ˆ) 的可能取值范围，要求 落在区间( 1 2 的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小 ˆ ˆ
2
s n
2.1448
6.82 15
3.78
因而由（8.17）式在应用辅助程序后该公司
培训维修工时间在95%置信度下的置信区间
为
53.87 3.78, 53.87 3.78
即：
50.09, 57.65
案例8.6 表8-3列出了选取36名投保人组成的简单随 机样本的年龄数据。在90%置信水平下，求总体年 龄均值的置信区间。 表8-3 投保人样本的年龄
2
n
中心
, X U X U 2 2 n n
边际误差
案例8.3 CJW公司是一家专营体育设备和器材的
邮购公司.为了跟踪服务质量,CJW每个月选取100
位顾客的邮购订单组成简单随机样本.每位顾客对
公司的服务水平在0(最差等级)到100(最好等级)间 打分,然后计算样本平均值. 根据以往的资料显示, 每个月顾客满意得分的平均值都在变动,但满意得 分的样本标准差趋于稳定的数值20附近.所以我们
侧 分位点， 1 n 差即
S
对于正态分布总体（对其它分布的总体，当样本 容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知样 本均值为 X ，但总体标准差 为未知，则总 体均值 在置信度1 下的置信区间为
2
n
(X n 1
i 1
为样本容量，S 2 。
i
t为样本标准
X)
（8.17）式说明，总体标准差
的数 (0 1, 常取5%或1%) 按概率1 估 ˆ , ˆ ) 的概率。1 计总体参数 可能落入区间 ( 1 2 称为置信度或置信水平, 称为检验水平(估计不成 区间。
1 2
1
2
ˆ , ˆ ) 称为置信度为 功的概率),区间 ( 1 的置信 1 2
X P U 2 / n 1
, X U a X U 2 2 n n
（8.16）
在置信区间中，X 为点估计值。置信区间实际上是 以 X 为中心，以 U 为半径的区间。我们 将 U
2
n
称为边际误差。
即这批小包装的质量平均在22.18至19.82之间，可 信度为95 %。
2．标准差
未知时，均值
的区间估计
S S , X t ( n 1) X t ( n 1) （8.17） n n 2 2 t ( n 1) 其中， 为自由度为 n 1 的 分布的双