上海市嘉定区2021届新高考数学模拟试题(2)含解析
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ ．2．（4分）抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式|x 41x|≤0的解为 ． 4．（4分）已知复数z 满足（1+i ）•z ＝2（i 为虚数单位），则|z |＝ ．5．（4分）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4），则tan(π2+α)= ．6．（4分）设函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）＝1，则f （2）＝ ．7．（5分）设各项均为正数的无穷等比数列{a n }满足：a 1＝1，a 2+2a 3＝1，则数列{a 2n }的各项的和为 ．8．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为 ．9．（5分）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，CE →=16CB →+23CA →，则AE →⋅BC →= ． 10．（5分）甲和乙等5名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有 种不同的参加方法（结果用数值表示）．11．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，若对任意的n ∈N *，总存在k ∈N *，使S 2k ﹣1＝（2k ﹣1）S n ，则k ﹣3n 的最小值为 ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |+3x ．若存在a ∈[﹣3，4]，使得关于x 的方程f （x ）＝tf （a ）有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）已知x ≠0，n ∈N *，则“n ＝2”是“(x +1x )n 的二项展开式中存在常数项”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．（5分）已知a 、b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1a ＜1bB ．lna ＞lnbC ．a 2＞b 2D ．2a ＞2b15．（5分）过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A 、O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）A ．x 23−y 2=1 B ．x 2−y 23=1 C ．x 22−y 22=1 D ．x 22−y 26=116．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是该正方体棱上一点．若满足|PB |+|PC 1|＝m （m ＞0）的点的个数为4，则m 的取值范围是（ ）A ．[2√2，4]B ．[4，2+2√3]C ．[4，4√2]D ．[2+2√3，4√2]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D ＝4．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线A 1D 与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数f （x ）＝cos （ωx ）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数g(x)=√3f(π4−x)−f(x)，x ∈[0，π2]的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若A ∈(0，π2)，f(A)=−12，△ABC 的面积为3√3，b ﹣c ＝2，求a 的值．19．（14分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：v ={50，0＜x ≤2060−k 140−x ，20＜x ≤120(k ∈R)．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y ＝x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且经过点Q(32，√3)，A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若OB →+2OC →=0→，求线段P A 的长；（3）试问：四边形ABCD 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．（18分）若有穷数列{a n }满足：0≤a 1＜a 2＜…＜a k （k ∈N *，k ≥3）且对任意的i ，j （1≤i ≤j ≤k ），a j +a i 与a j ﹣a i 至少有一个是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为k （k ∈N *，k ≥3）的数列{a n }具有性质P ，求证：ka k ＝2（a 1+a 2+…+a k ﹣1+a k ）；（3）若项数为k （k ∈N *，k ≥3）的数列{a n }具有性质P ，写出一个当k ＝4时，{a n }不是等差数列的例子，并证明当k＞4时，数列{a n}是等差数列．2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ {2，4} ．【解答】解：集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝{2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2＝4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p ＝2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式|x 41x|≤0的解为 {x |﹣2≤x ≤2} ． 【解答】解：不等式|x 41x |≤0，化为：x 2﹣4≤0， 解得﹣2≤x ≤2，所以不等式的解：{x |﹣2≤x ≤2}．故答案为：{x |﹣2≤x ≤2}．4．（4分）已知复数z 满足（1+i ）•z ＝2（i 为虚数单位），则|z |＝ √2 ．【解答】解：∵（1+i ）•z ＝2，∴|1+i |•|z |＝2，∴√2|z |＝2，∴|z |=√2，故答案为：√2．5．（4分）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4），则tan(π2+α)= −34 ．【解答】解：角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4）， 可得sin α=45，cos α=35，tan(π2+α)=sin(α+π2)cos(α+π2)=cosα−sinα=35−45=−34． 故答案为：−34．6．（4分）设函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）＝1，则f （2）＝ 6 ．【解答】解：由题意得：函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）过（1，2），将（1，2）代入f （x ）得：a 2﹣2＝2，解得：a ＝2，故f （x ）＝2x +1﹣2，故f （2）＝6，故答案为：6．7．（5分）设各项均为正数的无穷等比数列{a n }满足：a 1＝1，a 2+2a 3＝1，则数列{a 2n }的各项的和为 23（1﹣2﹣2n ） ．【解答】解：由题意设公比是q （q ＞0），而a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，∵a 2+2a 3＝1，∴q +2q 2＝1，解得：q 1=12（﹣1舍），故a n =(12)n−1，则数列{a 2n }的首项是12，公比是q 2=14， 故数列{a 2n }的各项的和S =a 1(1−q n )1−q =12[1−(14)n ]1−14=23（1﹣2﹣2n ）， 故答案为：23（1﹣2﹣2n ）．8．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为 15π ．【解答】解：如图示：，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，得到的是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥，。
【最新】上海市2022-2021年高考二模数学试卷(理)含答案
上海市2022-2021年高考模拟考试数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m =．2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+． 3．函数3()1f x x =的反函数1()f x -=． 4．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为．5．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．6．已知菱形ABCD ，若||1AB =，3A π=，则向量AC 在AB 上的投影为． 7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V =．8．已知函数32()lg(1)f x x x x =++，若()f x 的定义域中的a 、b 满足f (-a )+f (-b )-3=f (a )+f (b )+3，则()()f a f b +=．9．在代数式5221(425)1x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数等于．10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码第7题1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数表示）． 12．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望73E ξ=，则a b +=． 13．正整数a 、b 满足1a b <<，若关于x 、y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为．14．数列{}n a 中，若10a =，2i a k =（*i ∈N ，122k k i +<≤，1,2,3,k =），则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．复数i1im z +=-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足()()()7910a b b c c a +++=∶∶∶∶，则△ABC [答] ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]f x x x x x =π⋅π⋅π⋅π的定义域与区间[0,1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为[答] ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60︒．若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳子的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数．（1）若24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 10，求a 、b 的值．（2）若1a =，6x π=是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()3f x =0[0,2]x ∈π．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数2()1x x f x a x -=++，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．ABC PO已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中*n ∈N ，1k 、2k ∈Z ． （1）试写出一组1k 、2k 的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数． （2）若11k =，*2k ∈N ，数列{}n b 满足nn a b n=，且对任意的*m ∈N （3m ≠），均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值．（3）若12k k <，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <）的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k 、2k 的最小值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于双曲线(,)a b C ：22221x y a b -=（,0a b >），若点00(,)P x y 满足2200221x y a b-<，则称P 在(,)a b C 的外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b->，则称P 在(,)a b C 的内部．（1）若直线1y kx =+上点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围．（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=（0r >）在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围．（3）若曲线2||1xy mx =+（0m >）上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围．数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)1．1 2．13．3(1)x -，x ∈R 4．π 5．25 6．327．33 8．3- 9．（理）15（文）123n - 10．（理）103（文）1511．（理）114（文）103．（理）16（文）213．（理）2016（文）11414．（理）128（文）2016二、选择题(本大题满分20分)15．B 16．D17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分)[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得63AO =（4分） 在直角三角形PAO 中，318OP AO ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分） 三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分） 20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [解]（1）因为22()sin cos )f x a x b x a b x θ=+++（其中22sin a bθ=+，22cos a bθ=+），所以()f x 22a b + 2210a b +（2分）及2224f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（4分）解得1a =-，3b =或3a =，1b =-．（6分）（2）易知，当x π=21b +21b -+ 于是213162f b π⎛⎫=+=±+ ⎪⎝⎭3b =（8分）于是()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，（10分）当()3f x =2x k =π或23x k π=π+（k ∈Z ）．（12分）因为0[0,2]x ∈π，故所求0x 的值为0，3π，2π．（13分）21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当2n k ()f n 单调递减；当2n k ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）2,0,||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩≤其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩≤不合题意；（12分）于是，有120k k <<，此时12122,,0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩≤≤（14分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉． 于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分） 又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分） （文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，得2222200031(31)8()88x y x x x -=-+=--+，（2分） 对于x ∈R ，22118x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分）（2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分） 2200||(1)MN x y =++22001x y +≥，得22200013||1(1)2()22MN y y y +++=++≥，（8分）对于0y ∈R 201362()22y ++6||MN ≥，（10分）因此，||MN 6（3）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为22,22r r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（12分） 将2r x ，2ry =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（13分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（15分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（17分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为(22,)+∞．（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2200(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分） 对于不等式220(1)220k x kx ---<，当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有22210,48(1)0,k k k ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩解得||2k 故k 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．（4分）（2）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为22r r ⎝⎭．将2r x ，2ry =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（6分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（7分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（9分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为(22,)+∞．（10分） （3）由2||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b -<，由题设，不等式22221||||1m x x x a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分） 其中22222222222221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设22222()()2af t b a m t a m t=---，（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分） 当2220b a m -<时，22222222()2()a b a m t a m b a t----≤，函数()f t 的最大值为222222()2a m b a a m --，因为0m >222222()201a m b a a m---<<；（16分）当2220b a m -=时，22()201a f t a m t =--<<．（17分）综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（18分）（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当2n k ()f n 单调递减；当2n k ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩≤≤（12分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分）于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）。
上海市嘉定区2021届高三二模数学答案
上海市嘉定区2021届高三二模数学试题参考答案1．{0,1}【思路点拨】根据交集定义计算．【解析】因为{12},{0,1,2,3}A xx B =-<<=∣，所以{0,1}A B =.2本题首先可根据11i z =-得出1z i =-，然后求出共轭复数z ，最后通过复数的模的相关性质即可得出结果. 【解析】因为11i z =-， 所以21111z i iii=+=+=-，则1z i =+，z ==，3．4【思路点拨】利用1,a d 表示2438a a =-，整理可得5a .【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由2438a a =-得：()11338a d a d +=+-， 整理可得：()1128248a d a d +=+=，即5144a a d =+=.4．6【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得最优解，将最优解代入目标函数即可得最值.【解析】由约束条件作出可行域如图，由图可知直线2z x y =-，即2y x z =-过点()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最大值为6.5．13【思路点拨】函数与其反函数图象关于直线y x =对称，则(2,1)在已知函数图象上，代入求解a .【解析】()f x 与其反函数图象关于直线y x =对称，()y f x =的反函数的图像经过点(1,2)，则()2log (1)a f x x =++的图像经过点(2,1)，所以12log (21)a =++， 即log 31a =-，解得13a =. 【名师指导】函数与其反函数的图象关于直线y x =对称.6．8【思路点拨】由三视图，还原原几何体，确定几何体的结构尺寸，然后由体积公式计算． 【解析】由三视图得该几何体是底面为直角边为3和4的直角三角形， 高为4的三棱锥，故体积11434832V =⨯⨯⨯⨯=.7．9【思路点拨】根据114y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式求得结果.【解析】1144559y y x xy x x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当4xy xy =，即2xy =时取等号），1y x∴+的最小值为9. 8．4【思路点拨】由行列式得4n n S a +=，然后根据n S 与n a 的关系得数列{}n a 是等比数列，代入等比数列的前n 项和即可求得.【解析】411n nn n a a S S =+=-（1），当1n =时，124a =，即12a =；当2n ≥时，114n n S a --+=（2），（1）和（2）相减得12n n a a -=，所以数列{}n a 是112,2a q ==的等比数列， 所以()1121122lim limlim 41111122nnn n n n a q S q→∞→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭====---. 9．114【思路点拨】根据二项式定理确定二项展开式中有理项的项数以及总的项数，然后求出排列的个数，再由概率公式计算概率． 【解析】7x ⎛+⎝的展开式的通项为137722177rrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当0,2,4,6r =时，为有理项，一共4项， 当1,3,5,7r =时，为无理项，一共4项，要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，再把有理项插到无理项的5个空档中，共有44542880P P ⋅=种情况， 全部的情况有8840320P =种，故所求概率444588288014032014P P P P ===.10．x ±y ＝0【解析】如图所示，过点P 作PC ⊥x 轴，因为|AB |＝|PB |＝2a ，∠PBC ＝60°，所以|BC |＝a ，y P ＝|PC |＝3a，点P (2a ，3a )，将P 代入2222x y a b-＝1中得a ＝b ，所以其渐近线方程为x ±y ＝0.11．[)1,5-【思路点拨】求得x ≥2时的值域，方法一，只需使x ＜2时对应的函数图像在该值域区间上只有一个交点即可，利用数形结合的办法，对参数分类讨论，写出满足的不等式组，求得a 的取值范围；方法二：对a 分类讨论，求得函数单调性，利用单调性满足只有一个交点，且值域要比上面求的值域要大，来求得参数的取值范围.【解析】【法1】当[)2,x ∈+∞时，2()28xf x x =+．因为1()42f x x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 而4424x x x x+≥⨯=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以()y f x =的取值范围是108⎛⎤ ⎥⎝⎦，．由题意及函数1()22x af x x -⎛⎫=<⎪⎝⎭，的图像与性质可得 221128aa -≥⎧⎪⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩或 221128a a -<⎧⎪⎨⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎩，如上图所示．解得 25a ≤< 或 12a -≤<，所以所求实数a 的取值范围是 [)1,5-．【法2】当[)2,x ∈+∞时，2()28xf x x =+，即1()42f x x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为4424x x x x+≥⨯=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以()y f x =的取值范围是108⎛⎤ ⎥⎝⎦，；当(),2x ∈-∞时，（1）若2a ≥，则||11()22x a a xf x --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（(),2x ∈-∞），它是增函数，此时()y f x =的取值范围是210,2a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意可得21128a -⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得 5a <，又2a ≥，所以 25a ≤<；（2）若2a <，则1,,2()1,22a xx ax a f x a x --⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩．函数()y f x =在(],a -∞上是增函数，此时()y f x =的取值范围是(]0,1；而函数()y f x =在[),2a 上是减函数，此时()y f x =的取值范围是21,12a -⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦．由题意可得21128a-⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得1a ≥-，又 2a <，所以 12a -≤<．综上，所求实数a 的取值范围是[)1,5- ．【名师指导】数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单调性求解问题.12．12+由a c b d T -+-≥转化为求a c b d -+-的最小值，转化为求AE BF +的最大值，再由梯形中位线转化为求MN 的最大值得解.【解析】设a OA b OB ==，，c OC d OD ==，，则点A 、B 在单位圆上，点C 、D 在直线10x y +-=上，a b ，的夹角为23π．如图所示．根据m 、n 的任意性，即求点A 、B 到直线10x y +-=距离之和的最小值， 即AE BF + （点E 、F 分别是点A 、B 在直线10x y +-=上的射影点）； 同时根据,a b 的存在性，问题转化为求AE AF +的最大值．设AB 的中点为M ，设点M 、O 在直线10x y +-=上射影点分别为N 、'O ， 则22(')AE BF MN MO OO +=≤+122122=+=+（ 当且仅当点M 、O 、'O 依次在一条直线上时，等号成立． 所以12T ≤T 的最大值是12+ 【名师指导】把向量模长最值转化为点到直线的距离.13．B 【思路点拨】根据最小正周期计算ω，再利用充分必要性判断即可. 【解析】因为最小正周期2T ππω==，故2ω=±，所以“函数()sin()f x x ω=（x 、ω∈R ，且0ω≠）的最小正周期为π”是“2ω=”的必要非充分条件. 故选：B.14．A 【思路点拨】利用平均数可构造方程求得a ，由方差公式计算可求得结果. 【解析】由题意得：346855a ++++=，解得：4a =，∴方差()()()()()2222223545456585 3.25s -+-+-+-+-==.故选：A.15．D 【思路点拨】先消参将参数方程转化为普通方程，得A 、B 两点关于原点对称，转化PA PB +为2PO ，则问题转化为定点O 到直线上一点P 距离为1，建立不等式求斜率范围即可.【解析】椭圆方程为2214x y +=，椭圆中心在原点，直线y x =与椭圆交于A 、B 两点，则由对称性可知，A 、B 关于原点对称，所以|||2|2PA PB PO +==，所以||1PO =，故原点到直线3y kx =+的距离1d =≤，解得k ≥k ≤- 故选：D.【名师指导】关于三角形中线的向量表示：在ABC 中，AM 是边BC 上的中线，则1122AM AB AC =+. 16．A 【思路点拨】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，判断其单调性与奇偶性；从而得出()f x 单调性与对称性，将所求不等式化为2(4)(3)f x f x -≤，根据函数单调性，即可求出结果.【解析】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ， 根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数，所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增；又3()202120212()x x g x x x g x --=-=---，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称； 又()131()2021(1)202121)212x x f x x x g x --=+--+-+=-+（，即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到， 所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4f x f x +-=，即 (2)4()f x f x -=-．由2(4)(23)4f x f x -+-≤得 2(4)4(23)f x f x -≤--，即()()242(23)f x f x -≤--，即2(4)(3)f x f x -≤，所以 243x x -≤，解得 14x -≤≤． 故选：A ．【名师指导】求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数()f x 的单调性与对称性，进而即可求解不等式.17．【思路点拨】（1）根据题意可证1AM DD ⊥，AM CD ⊥，由线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面1CDD ，即得1AM CD ⊥；（2）由题意得异面直线CM 与AD 所成的角等于直线CM 与直线BC 所成的角，即BCM ∠，然后计算各边长，利用余弦定理求解. 【解析】（1）由题意知，1AM DD ⊥，因为CD 是圆柱的一条母线，所以CD 垂直于圆柱的底面，则得CD AM ⊥，即AM CD ⊥， 又因为1DD CD D =，且1DD 、CD ⊂平面1CDD ，所以AM ⊥平面1CDD ，因为1CD ⊂平面1CDD ，所以1AM CD ⊥． （2）连接BM ．由题意知，BC ∥AD ，所以异面直线CM 与AD 所成的角等于直线CM 与直线BC 所成的角，即BCM ∠. 因为1BC =，2AB =，在BCM 中，CM ===2BM ===，由余弦定理得 222222323212cos 23221BC CM BM BCM BC CM +-+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⋅⋅⋅所以2BCM ∠=． 所以异面直线CM 与AD 所成的角的大小为2arccos6． 【名师指导】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和线线角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理证明.18．【思路点拨】（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；（2）将问题转化为13203xx a a ⋅++=在[]0,1上有实数解，令3x t =，可将问题进一步转化为2210at at ++=在[]1,3有实数解，通过分离变量法可得[]()2121,3t t t a-=+∈，由[]()221,3y t t t =+∈的值域可构造不等式求得a 的范围.【解析】（1）由题意知：函数()f x 的定义域为R ，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即113333x xx x a a --⎛⎫⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭， 即13333x xx x a a ⎛⎫+=-⋅+ ⎪⎝⎭，整理可得：()()1910xa ++=，对任意x ∈R 都成立，10a ∴+=，解得：1a =-．（2）将问题转化为()20f x a +=在区间[]0,1上有实数解，即关于x 的方程13203xxa a ⋅++=在区间[]0,1上有实数解． 设3x t =，[]0,1x ∈，[]1,3t ∴∈，则原问题等价于关于t 的方程2210at at ++=（*）在区间[]1,3上有实数解． 当0a =时，方程（*）不成立，0a ∴≠， 则方程（*）可化为：[]()2121,3t t t a-=+∈， 即函数1=-y a与函数[]()221,3y t t t =+∈的图象有公共点． 函数[]()221,3y t t t =+∈为增函数，则该函数的值域为[]3,15，∴1315a ≤-≤，解得：11315a -≤≤-，即实数a 取值范围为11,315⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【名师指导】已知函数有零点(方程根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．【思路点拨】（1）由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； （2）首先利用正弦定理表示ON ，并表示2sin OPNS S OP ON θ==⋅⋅化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 【解析】（1）在OPN 中，2π3ONP ∠=， π6PON OPN ∠=∠=， 由正弦定理得sin sin ON OPOPN ONP=∠∠，即 π2πsin sin 63ON OP=，即ON =则停车场面积π2sin 90303sin135032338.36OPNS SOP ON θ==⋅⋅=⨯⨯=≈（平方米）， 即停车场面积约为2338.3平方米．（2）在OPN 中，2π3ONP ∠=，π3OPN θ∠=-． 由正弦定理得sin sin ON OPOPN ONP=∠∠，即 2ππsin sin 33ON OPθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即 π603sin()3ON θ=-．则停车场面积π2sin 54003sin()3OPNS SOP ON θθθ==⋅⋅=-，即 π54003sin()3S θθ=-，其中 π03θ<<． π54003sin()3S θθ=-3154003sin (sin )2θθθ=- 31127003(2cos 2)22θθ=+- 27003)135036πθ=+-因为π03θ<<，所以 ππ5π2666θ<+<，则当π262πθ+=，即 π6θ=时，停车场面积S 取得最大值． 所以当π6θ=时，停车场面积S 取得最大值．【名师指导】本题考查三角函数的实际应用，本题的关键是根据图象，利用正弦定理，正确表示ON ，并利用三角函数正确表示停车场的面积.20．【思路点拨】（1）由焦点坐标可求得p ，由此得到抛物线方程；（2）根据抛物线焦半径公式可构造方程求得P 点横坐标，代入抛物线方程可求得结果； （3）设:AB yk x t ，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，求得M 点坐标，利用直线,AB CD 互相垂直可同理求得N 点坐标，由两点间距离公式表示出,TM TN 后，根据12TMNSTM TN =⋅，利用基本不等式可求得结果. 【解析】（1）抛物线Γ的焦点为()2,0F ，即 22p=，解得：4p = ∴抛物线Γ的方程为：28y x =；（2）设点(),P x y ，由抛物线的定义得：252pPF x x =+=+=，解得：3x =，点P 在抛物线Γ上，∴把3x =代入28y x =，解得：y =±∴点P 的坐标为(3,-或(3,；（3）由题意知：直线,AB CD 的斜率存在，且不为零， 可设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k-， 则直线AB 的方程为()y k x t =-，直线CD 的方程为()1y x t k=--， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 由()28y k x t y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得：()22222240k x k t x k t -++=，由一元二方程根与系数的关系得：()212224k t x x k ++=，()()()()2121212224822k t y y k x t k x t k x x kt k kt k k+∴+=-+-=+-=⋅-=，即128y y k +=，2244,k t M kk ⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭，同理可得：()24,4N k t k +-，214TM k ∴==⨯，4TN =1188162TMNSTM TN k k ⎛⎫∴=⋅=+≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当1k =，即1k =±时，等号成立），TMN ∴的面积的最小值等于16．【名师指导】求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形或四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用面积公式表示出所求图形的面积；④将所求面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用基本不等式或函数的单调性求解出最值（范围）.21．【思路点拨】（1）由{}n a 是递增数列，先得到1nn n a a p +-=；再由1233,4,5a a a 成等差数列，11a =，列出方程求出p 的值，即可得出结果；（2）先由题中条件，得到2210n n a a -->，2120n n a a +-<，推出11(1)3n n n na a ++--=，再由累加法，即可求出数列{}n a 的通项公式；（3）由11n n a a +-=，得到11n n a a +=±；讨论4n k =或43n k =-（*k ∈N ）；42n k =-或41n k =-（*k ∈N ）两类情况，即可分别得出结论.【解析】（1）因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=．因为11a =，所以 21a p =+，231a p p =++．又因为1233,4,5a a a 成等差数列，所以213835a a a =+，即()()281351p p p +=+++即2530p p -=，解得0p =或35p =． 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列相矛盾，所以35p =． （2）因为{}21n a -是递增数列，则有21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->① 因为2211133n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-② 由①、②得，2210n n a a -->，因此2122113n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即222121(1)3nn n n a a ----= ③又因为{}2n a 是递减数列，则有2220n n a a +-<，于是2221212()()0n n n n a a a a +++-+-< ④ 因为2121133n n+<，所以2221212n n n n a a a a +++-<- ⑤ 由④、⑤得，2120n n a a +-<，因此221213nn n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即212122(1)3n n n n a a ++--=⑥由③、⑥可得11(1)3n n n na a ++--=． 于是当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-2111(1)1333n n --=+-+⋅⋅⋅+1111()151(1)311344313n n n -----=+⨯=+⨯+ 即 151(1)443nn n a --=+⨯．当1n =时，代入上式得11a =，与已知条件相吻合．所以所求数列{}n a 的通项公式是 151(1)443nn n a --=+⨯，*n ∈N ．（3）当4n k =或43n k =- （*k ∈N ）时，存在数列{}n a ，使得n S n =． 此时数列{}n a 满足43414241,0,2k k k k a a a a ---====， 则有44(1012)44k k S k =⨯+++=，4-3144(0121)434k k S a k -=+⨯+++=-， 即n S n =．当42n k =-或41n k =- （*k ∈N ）时，不存在数列{}n a ，使得n S n =．理由如下：因为11n n a a +-=，所以 11n n a a +=±；又因为11a =为奇数，则当*n ∈N 时，21n a -为奇数，2n a 为偶数， 所以当*k ∈N 时，42k S -为奇数，41k S -为偶数， 因此4242k S k -=-，4141k S k -=-均不可能成立．于是当42n k =-或41n k =- （*k ∈N ）时，不存在数列{}n a ，使得n S n =． 【名师指导】求解本题的关键在于对题中条件1nn n a a p +-=的处理，求解每一问时，要根据题干中所给的信息，去绝对值；再利用所学的数列相关知识（等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加法求数列的通项等），即可逐问求解.。
2022年上海市嘉定区高三下学期高考二模数学试卷含逐题详解
2021学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合()1,3A =，()2,B =+∞，则A B = ______．2.不等式12x x -<+的解集是________.3.若等差数列{}n a 满足3516a a +=，则4a =_______．4.已知函数2()1log f x x=+，它的反函数为1()y fx -=，则1(3)f -=_______．5.在6(21)x +展开式中，2x 的系数为________（结果用数值表示）．6.若实数x 、y 满足022y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______．7.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为________．8.若数列{}n a 是首项为12，公比为12a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值为________9.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为________（结果用最简分数表示）．10.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x =++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．11.已知椭圆cos Γ:(sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数，0a >，0)b >的焦点分别1(2,0)F -、2(2,0)F ，点A 为椭圆Γ的上顶点，直线2AF 与椭圆Γ的另一个交点为B ．若12||3||BF BF =，则椭圆Γ的普通方程为__．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知复数2sin 1)i z α=-+（（i 为虚数单位），则“z 为纯虚数”是“π6α=”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（）．A.16B.4C.116 D.1415.在ABC 中，3AB AC ==，2B D D C =．若4AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅= （）．A.3B.3- C.2D.2-16.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段AB 、1BD 上的动点，且直线EF 与1AA所成的角为，则下列直线中与EF 所成的角必为2arctan2的是（）．A.CDB.BDC.1BC D.1DC 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA的中点．求：（1）该圆锥的表面积；（2）直线CD 与平面PAB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.设常数R a ∈，函数1()22x xaf x +=+．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若对任意[)1x ∈+∞，，()3f x >，求实数a 的取值范围．19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知2π3ABC ∠=，π3ACD ∠=，路宽24AD =米．设ACB θ∠=（ππ64θ≤≤）．（1）当π6θ=时，求ABC 的面积；（2）求灯杆BC 与灯柱AB 长度之和L （米）关于θ的函数解析式，并求当θ为何值时，L 取得最小值．20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的方程为0113x y =，它的右顶点与抛物线2Γ3y =：的焦点重合，经过点(9,0)A -且不垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点M 是线段AN 的中点，求点N 的坐标；（3）设P 、Q 是直线9x =-上关于x 轴对称的两点，求证：直线PM 与QN 的交点必在直线13x =-上．21.若项数为k （*k ∈N 且3k ≥）的有穷数列{}n a 满足：12231||||||k k a a a a a a ---⋅⋅⋅- ，则称数列{}n a 具有“性质M ”．（1）判断下列数列是否具有“性质M ”，并说明理由；①1,2,4,3；②2,4,8,16．（2）设1||(1m m m b a a m +=-=，2，⋅⋅⋅，1)k -，若数列{}n a 具有“性质M ”，且各项互不相同．求证：“数列{}n a 为等差数列”的充要条件是“数列{}m b 为常数列”；（3）已知数列{}n a 具有“性质M ”．若存在数列{}n a ，使得数列{}n a 是连续k 个正整数1，2，⋅⋅⋅，k 的一个排列，且12231||||||2k k a a a a a a k --+-+⋅⋅⋅+-=+，求k 的所有可能的值．2021学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合()1,3A =，()2,B =+∞，则A B = ______．【答案】()2,3【分析】利用交集定义直接求解．【详解】解： 集合(1,3)A =，(2,)B =+∞，(2,3)A B ∴= ．故答案为：(2,3)．2.不等式102x x -<+的解集是________.【答案】{}21x x -<<【分析】将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果.【详解】()()10120212x x x x x -<⇔-+<⇔-<<+.故答案为：{|21}x x -<<【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题.3.若等差数列{}n a 满足3516a a +=，则4a =_______．【答案】8【分析】由{}n a 是等差数列可得3542a a a +=，从而即可求出4a 的值．【详解】解：{}n a 是等差数列，354216a a a ∴+==，48a ∴=．故答案为：8．4.已知函数2()1log f x x =+，它的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=_______．【答案】4【分析】令2()1log 3=+=f x x ，求函数的自变量即为对应反函数的函数值()13f -.【详解】因为2()1log f x x =+，所以令2()1log 3=+=f x x ，解得4x =，根据互为反函数之间的关系，可得()134f -=.故答案为：4.5.在6(21)x +展开式中，2x 的系数为________（结果用数值表示）．【答案】60【分析】根据二项式定理求出展开式中含2x 的项，由此即可求解．【详解】解：展开式中含2x 的项为4226(2)60C x x =，所以2x 的系数为60，故答案为：60．6.若实数x 、y 满足0022y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______．【答案】6【分析】先画出不等式组表示的可行域，然后由2z x y =+，得2y x z =-+，作出直线2y x =-，向上平移过点A 时，目标函数取得最大值，求出点A 的坐标，代入目标函数可求得结果【详解】不等式组表示的可行域如图所示由2z x y =+，得2y x z =-+，作出直线2y x =-，向上平移过点A 时，目标函数取得最大值，由022x y x y -=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，所以2z x y =+的最大值为2226⨯+=，故答案为：67.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为________．【答案】2【分析】由三视图确定三棱柱的底面面积和高，即可求得答案.【详解】由“堑堵”的三视图可知，直三棱柱的底面直角三角形斜边为2，其上的高为1，三棱柱高为2，原几何体如图示：则底面积为12112⨯⨯=，故三棱柱的体积为：122⨯=，故答案为：28.若数列{}n a 是首项为12，公比为12a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值为________【答案】1【分析】由题意可得：1211()2a a =--，化为：22310a a -+=，解得a 并验证即可得出．【详解】由题意可得：1211()2a a =--，化为：22310a a -+=，解得1a =或12，12a =时，公比为0，舍去．1a ∴=．故答案为：1．【点睛】本题考查无穷等比数列的求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为________（结果用最简分数表示）．【答案】528【分析】算出10个数中任取5个的可能数量，再算出所选5个不同的数的中位数为6的可能种数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意知，从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，有510C 252=种可能，所选5个不同的数的中位数为6，则比6小的数有2个，共有2615C =种可能，比6大的数有2个，有23C 3=种可能，故所选5个不同的数的中位数为6的情况共有15345⨯=种可能，故这5个不同的数的中位数为6的概率为45525228P ==,故答案为：52810.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<，所以()1af x x x-=--+，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-.因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a+=，解得3a =（舍），当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a+=，解得3a =，当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在)+∞上单调递增；在(上单调递减；当x =()f x 取得最小值为11f=+=，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以13=，解得1a =（舍），综上，实数a 的值为3.故答案为：3.11.已知椭圆cos Γ:(sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数，0a >，0)b >的焦点分别1(2,0)F -、2(2,0)F ，点A 为椭圆Γ的上顶点，直线2AF 与椭圆Γ的另一个交点为B ．若12||3||BF BF =，则椭圆Γ的普通方程为__．【答案】221128x y +=【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得2c =，即可得224a b =+，结合椭圆的性质可得1||BF 、2||BF 的长，分析可得B 的坐标，进而可得2229(32)44b a ++=，两式联立解可得a 、b 的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，椭圆cos Γ:(sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数，0a >，0)b >，其普通方程为22221x y a b +=，若其焦点分别1(2,0)F -、2(2,0)F ，则2c =，则有224a b =+，①点A 为椭圆Γ的上顶点，则A 的坐标为(0,)b ，又由12||3||BF BF =，而12||||2BF BF a +=，则13||2a BF =，2||2aBF =，又由2||AF a =，且A 、B 、2F 三点共线，则B 的坐标为3,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由13||2a BF =，则有2229(32)44b a ++=，②联立①②，解可得：212a =，28b =；故椭圆的方程为221128x y +=；故答案为：221128x y +=．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()(4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f =，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈，由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈，则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩,只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故答案为：()6,10二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知复数2sin 1)i z α=-+（（i 为虚数单位），则“z 为纯虚数”是“π6α=”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【分析】求z 为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.【详解】当π6α=时，π62sin 1)i=i z =-+（，所以z 为纯虚数；若z 为纯虚数，2sin 10α-=，所以1sin 2α=，所以26k παπ=+或526k παπ=+，所以“z 为纯虚数”是“π6α=”的必要非充分条件.故选：B.14.若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（）．A.16B.4C.116D.14【答案】A【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为0a >、0b >，所以41+≥=a b ，即1≥4≥，即16ab ≥，当仅当41a b=，即82a b ==，时，等号成立.故选：A.15.在ABC 中，3AB AC ==，2B D D C =．若4AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅= （）．A.3B.3- C.2D.2-【答案】B【分析】根据向量的线性运算，将4AD BC ⋅=u u u r u u u r 转化为12()()433AB AC AC AB +⋅-=，结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意可得2()()()()43AD BC AB BD AC AB AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅-=,即212[()]()()()4333AB AC AB AC AB AB AC AC AB +-⋅-=+⋅-=,即221214333AB AC AB AC -+-⋅= ，即2139433AB AC -+⨯-⋅=，解得3AB AC ⋅=-，故选：B16.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段AB 、1BD 上的动点，且直线EF 与1AA所成的角为，则下列直线中与EF 所成的角必为arctan2的是（）．A.CDB.BDC.1BC D.1DC 【答案】C【分析】在1BD 上取一点T ，使 AT EF ，则直线EF 与1AA 所成的角即直线AT 与1AA 所成的角，建立空间直角坐标系，根据EF 与1AA 所成的角为，找出点T 位置，利用空间向量计算线线角分别验证答案即可.【详解】在1BD 上取一点T ，使 AT EF ，则直线EF 与1AA 所成的角即直线AT 与1AA 所成的角，设直线AT 与1AA 所成的角为θ，则tan θ=，cos 3θ=，以D 为原点建立如图空间坐标系，则()()()()()()111,0,01,1,01,0,10,0,10,1,00,0,0、、、、、A B A D C D ，所以()10,0,1=AA ，()()()111,0,11,1,11,,1λλλλλ=+=-+-=--AT AD D B ，所以11cos 3θ⋅====⋅AA ATAA AT ，化简得12λ=，所以111,,222⎛⎫=- ⎪⎝⎭AT ，对于A ：()0,1,0-CD=，所以CD 与EF 所成的角的余弦值即AT 与EF所成的角的余弦值，即33⋅=⋅CD AT CD AT，CD 与EF ，故A 错误；同理，对于B ：BD 与EF 所成的角的正切值为，故B 错误；对于C ：1BC 与EF 所成的角的正切值为22，故C 正确；对于D ：1DC 与EF 所成的角为2π，故D 错误；故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，圆锥的底面半径2OA=，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点．求：（1）该圆锥的表面积；（2）直线CD与平面PAB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】（1）)41π（2）arctan5【分析】（1）求出圆锥母线长，求得圆锥侧面积，即可求得答案；（2）作辅助线，找到直线CD 与平面PAB 所成角，解直角三角形可得答案.【小问1详解】由已知，得OA =2，PO =6，则==PA所以圆锥的侧面积为ππ2S rl ==⨯⨯，于是圆锥的表面积为)4π41πS =+=,即所求圆锥的表面积为)41π．【小问2详解】连接OD ,由题意得PO ⊥平面ABC ，因为OC ⊂平面ABC ，所以PO OC ⊥．又因为点C 是底面直径AB 所对弧的中点，所以OC AB ⊥．而PO 、AB ⊂平面ABC ，PO AB O ⋂=，所以OC ⊥平面PAB ,即OD 是CD 在平面PAB 上的射影，所以CDO ∠是直线CD 与平面PAB 所成角．在Rt CDO △中，2OC =，12OD PA ==则10tan5OC CDO OD ∠==，由于CDO ∠为锐角，所以10arctan 5CDO ∠=,因此直线CD 与平面PAB 所成角的大小为10arctan 5．18.设常数R a ∈，函数1()22x xa f x +=+．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；（2）若对任意[)1x ∈+∞，，()3f x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2（2）(2,)-+∞【分析】（1）根据函数的偶函数的定义即可求解；（2）利用分离参数法解决函数恒成立问题，再利用换元法及二次函数在区间上的最值问题的处理办法即可求解.【小问1详解】函数1()22x xaf x +=+的定义域为R ．因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=．即112222x x x x a a -++-+=+，即222(22)x x x x a ---=-（），即(22)(2)0x x a ---=．因为x ∈R ，所以20a -=，解得2a =．所以实数a 的值为2．【小问2详解】因为()1f x >，即1232x x a++>，因为20x >，可得2432x x a -<⋅-⋅．令2x t =，因为[)1x ∈+∞，，所以t 的取值范围是[2,)+∞，于是223a t t -<-对任意[2,)t ∈+∞都成立．令函数2239()23248g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，对称轴为3t 4=，开口向上，由二次函数的性质知，()g t 在区间[2,)+∞上是增函数，所以当2t =时，函数()g t 取得的最小值为()2222322g =⨯-⨯=，则得2a -<，解得2a >-．所以实数a 的取值范围是(2,)-+∞．19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知2π3ABC ∠=，π3ACD ∠=，路宽24AD =米．设ACB θ∠=（ππ64θ≤≤）．（1）当π6θ=时，求ABC 的面积；（2）求灯杆BC 与灯柱AB 长度之和L （米）关于θ的函数解析式，并求当θ为何值时，L 取得最小值．【答案】（1）平方米π16sin 23y θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）π16sin 23y θ⎛⎫=+⎪⎝⎭（ππ64θ≤≤），且当π4θ=时，L 取得最小值【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理，结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件的出角之间的关系，利用正弦定理求出AC ,BC ，AB 及两角差的正弦公式及二倍角公式，结合辅助角公式及正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】因为π6ACB ∠=，2π3ABC ∠=，所以π6BAC ∠=．由题意得π2BAD ∠=，所以π3CAD ∠=，因此ACD 是等边三角形，所以24AC =．在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB AC ACB B=∠∠，即24π2πsin sin 63AB =，解得AB =所以ABC的面积等于1π11sin 242622AC AB ⋅⋅⋅=⨯⨯=．所以ABC的面积等于【小问2详解】因为2π3ABC ∠=，ACB θ∠=，所以π3BAC θ∠=-．又因为灯柱AB 与地面垂直，即π2BAD ∠=，所以π6CAD θ∠=+．因为π3ACD ∠=，所以π2ADC θ∠=-．在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ACACD ADC =∠∠，即24ππsin sin 32ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得AC θ=．又在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin AB AC BCACB B BAC==∠∠∠，即163cos 2ππsin sin sin 33AB BCθθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得16sin2AB θ=，π32cos sin 3BC θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则得28sin 2BC θθ=-，所以8sin2L AB BC θθ=+=+，化简得π16sin 23y θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ππ64θ≤≤）．因为ππ64θ≤≤，则得2ππ5π2336θ≤+≤，所以当π5π236θ+=，即π4θ=时，)min 81y =（米）．所以L 关于θ的函数解析式为π16sin 23y θ⎛⎫=++⎪⎝⎭（ππ64θ≤≤），且当π4θ=时，L 取得最小值．20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的方程为01x =，它的右顶点与抛物线2Γy =：的焦点重合，经过点(9,0)A -且不垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点M 是线段AN 的中点，求点N 的坐标；（3）设P 、Q 是直线9x =-上关于x 轴对称的两点，求证：直线PM 与QN 的交点必在直线13x =-上．【答案】（1）221339x y -=（2）点N 的坐标为4,13)（或4,13)-（（3）证明见解析【分析】（1）由题意得b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即可求解；（2）设0(N x ，0)y ，因为M 是线段AN 的中点，所以009(,)22x y M -，代入双曲线方程即可求解；（3）由题意可设直线MN 的方程为(9)y k x =+，与双曲线方程联立后整理即可得证．【小问1详解】由题意得b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的标准方程为221339x y -=；【小问2详解】设0(N x ，0)y ，因为M 是线段AN 的中点，所以009(,)22x y M -，则得22220000(9)1,133934394x y x y --=-=⨯⨯，解得04x =，013y =±，所以所求点N 的坐标为(4,13)或(4,13)-；【小问3详解】证明：由题意可设直线MN 的方程为(9)y k x =+，联立方程组221339(9)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，并整理得22222(13)183(2713)0(130)k x k x k k ---+=-≠，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由一元二次方程根与系数的关系，得22121222183(2713),1313k k x x x x k k ++==---，又设(9,)P t -，(9Q -，)(0)t t -≠，则得直线PM 的方程为11(9)9y ty t x x --=++，直线QN 的方程为22(9)9y ty t x x ++=++，两个方程相减得21212(9)99y t y tt x x x +-=-+++①，因为21211221211212(9)(9)(18)99999()81y t y t k x t k x t t x x x x x x x x x x +-+++-++-=-=+++++++，把它代入①得121212182(9)9()81x x x x x x x ++=⋅++++，所以2222121221223(2713)182[]9()29()11313181831813k k x x x x k k x k x x k +⨯-+++--===-+++-，因此直线PM 与QN 的交点在直线13x =-上．21.若项数为k （*k ∈N 且3k ≥）的有穷数列{}n a 满足：12231||||||k k a a a a a a ---⋅⋅⋅- ，则称数列{}n a 具有“性质M ”．（1）判断下列数列是否具有“性质M ”，并说明理由；①1,2,4,3；②2,4,8,16．（2）设1||(1m m m b a a m +=-=，2，⋅⋅⋅，1)k -，若数列{}n a 具有“性质M ”，且各项互不相同．求证：“数列{}n a 为等差数列”的充要条件是“数列{}m b 为常数列”；（3）已知数列{}n a 具有“性质M ”．若存在数列{}n a ，使得数列{}n a 是连续k 个正整数1，2，⋅⋅⋅，k 的一个排列，且12231||||||2k k a a a a a a k --+-+⋅⋅⋅+-=+，求k 的所有可能的值．【答案】（1）①不是M 数列，理由见解细；②是M 数列，理由见解析；（2）证明见解析；（3）4或5【分析】（1）按照题目给出的定义：数列{}n a 具有“性质M ”直接判断；（2）根据充要条件的概念直接证明；（3）根据条件可知12||a a -，23||a a -，1||k k a a -⋅⋅⋅-逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．【小问1详解】解：①|24||43|->- ，即2334||||a a a a ->-∴该数列不具有“性质M ”；②|24||48||816|-<-<- ，即122334||||||a a a a a a --- ∴该数列具有“性质M ”；【小问2详解】证明：充分性，若数列{}m b 是常数列，则1(1,2,3,1}m m b m k b +==⋅⋅-，即112||||m m m m a a a a ++-+-=，112m m m m a a a a +++∴-=-或112()m m m m a a a a +++-=--又数列{}n a 且各项互不相同，112m m m m a a a a +++∴-=-，∴数列{}n a 为等差数列；必要性，若数列{}n a 为等差数列，则1||||m m a a d +-=，即||m b d =，∴数列{}m b 为常数列；【小问3详解】数列{}n a 是连续k 个正整数1，2，⋅⋅⋅，k 的一个排列，∴当3k =时，1||2(1,2)m m a a k +-= ，1223|||||45a a a a ∴-+-< ，不符合题意；当4k =时，数列3，2，4，1满足，122334||||||6a a a a a a -+-+-=，符合题意；当5k =时，数列2，3，4，5，1满足12233445|||||||7a a a a a a a a -+-+-+-=，符合题意；当6k时，令1||(1m m m b a a m +=-=，2，⋅⋅⋅，1)k -，则12311k b b b b -⋅⋅⋅ ，且1212k b b b k -++⋅⋅⋅+=+，m b ∴的取值有以下三种可能①1(1,2,,2)4(1)m m k b m k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩，②1(1,2,4)2(3,2,1)m m k b m k k k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=---⎩，③1(1,2,,3)2(2)3(1)m m k b m k m k =⋅⋅⋅-⎧⎪==-⎨⎪=-⎩，当1(1,2,,2)4(1)m m k b m k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩时，1232k b b b b -===⋅⋅⋅=，由（2）知1a ，2a ，3a ⋅⋅⋅，,1k a -是公差为1或1-的等差数列，若公差为1时，由14k b -=得14k k a a -=+或14k k a a -=-，1142k k a a a k k -∴=+=++>，不合题意，11546k k k a a a k a --=-=+-=不合题意；若公差为1-，同上述方法可得不符合题意；当满足②1(1,2,4)2(3,2,1)m m k b m k k k =⋅⋅⋅-⎧=⎨=---⎩，③1(1,2,,3)2(2)3(1)m m k b m k m k =⋅⋅⋅-⎧⎪==-⎨⎪=-⎩时，同理可证不符合题意，故：4k =或5．【点睛】本题考查了给出新定义“性质M ”的求解问题，利用数列的通项公式，充要条件等知识，理解辨析，综合性较强，是难题．。
2021届上海市长宁区、嘉定区高三二模文科数学试卷
如图，四棱锥 的底面 为菱形， 平面 ， ， ， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数 与时刻 （时）的关系为 , ,其中 是与气象有关的参数,且 ．若用每天 的最大值为当天的综合污染指数,并记作 ．
2021年上海市长宁区、嘉定区高三二模文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 , ,则 ________．
2．抛物线 的焦点到准线的距离是______________．
3．若 ,其中 、 , 是虚数单位,则 _________．
A． B． C． D．
18．在四棱锥 中, , 分别为侧棱 , 的中点,则四面体 的体积与四棱锥 的体积之比为（）
A． B． C． D．
三、解答题
19．（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分．
在△ 中,已知 ,外接圆半径 ．
（1）求角 的大小；
（2）若角 ,求△ 面积的大小.
二、单选题
15．在△ 中,“ ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
16．已知平面直角坐标系内的两个向量 , ,且平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 为实数）,则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
17．设双曲线 的虚轴长为2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为
2021年嘉定、长宁区高三数学(文)二模试卷与答案
嘉定区高三数学试卷（文）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．1．已知集合},2||{R ∈≤=x x x A ，},01{2R ∈≥-=x x x B ，则=B A ________． 2．抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．3．若bi i ai -=+2)1(，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则=+||bi a _________． 4．已知函数xx g 2)(=，且有2)()(=b g a g ，若0>a 且0>b ，则ab 的最大值是_______． 5．设等差数列{}n a 满足115=a ，312-=a ，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，则lg M =__________．6．若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ），且565=a ，则=++++8210...a a a a_______________．7. 方程0cos 3sin =+x x 在],0[π∈x 上的解为_____________．8. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为_____________．9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示， 则这个正三棱柱的表面积为__________．10．已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ，若函数()f x 的反函数为)(1x f-，则不等式51)(21<+-x f 的解集为 ．11. 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________． 12．已知函数x a x x x f 2||)(+-=，若0>a ，关于x 的方程9)(=x f 有三个不相等的实主视图左视图俯视图数解，则a的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy中，点列),(111yxA，),(222yxA，…，),(nnnyxA，…，满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++,)(21,)(2111nnnnnnyxyyxx若)1,1(1A，则=+++∞→|)||||(|lim21nnOAOAOA _______．14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}na，若2015=na，则n=____________．15．在△ABC中，“21sin=A”是“6π=A”的……………………………………（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a，)23,(-=→mmb，且平面内的任一向量→c都可以唯一的表示成→→→+=bacμλμλ,(为实数），则实数m的取值范围是（）A．(,2)-∞B．(2,)+∞C．(,)-∞+∞D．(,2)(2,)-∞+∞17．设双曲线12222=-byax（0>a，0>b）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（）A．xy2±=B．xy2±=C．xy22±=D．xy21±=18．在四棱锥ABCDV-中，1B，1D分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体11CDAB的体积与四棱锥ABCDV-的体积之比为……………………………………………（）A．6:1B．5:1C．4:1D．3:119.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中，已知12cos 2sin 22=++C BA ，外接圆半径2=R ． （1）求角C 的大小； （2）若角6π=A ，求△ABC 面积的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，︒=∠60BAD ，E 、E 分别为BC 、PA 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ； （2）求三棱锥DEF P -的体积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围； （2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．E P AC D F已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F 构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数m x x f +=2)(，其中R ∈m ．定义数列}{n a 如下：01=a ，)(1n n a f a =+,*N ∈n ．（1）当1=m 时，求2a ，3a ，4a 的值；（2）是否存在实数m ，使2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当41>m 时，总能找到*N ∈k ，使得2015>k a ． 2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）1．12{-≤≤-x x 或}21≤≤x 2．4 3．5 4．41 5．2 6．256 7．32π=x 8．6 9．3824+ 10．)2,2(- 11．54412．⎪⎭⎫⎝⎛29,4 13．222+ 14．1030二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，12cos )cos(1=++-C B A ，因为π=++C B A ，所以C B A cos )cos(-=+，故01cos cos 22=-+C C ，……（2分） 解得1cos -=C （舍），或21cos =C ． ………………（5分） 所以，3π=C ． ………………（6分）（2）由正弦定理，R C c 2sin =，得43sin =πc，所以323sin 4==πc ． ………（2分）因为6π=A ，由R A a2sin =，得2=a ， …………（4分）又2π=B ，所以△ABC 的面积3221==ac S ． …………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）连结BD ，由已知得△ABD 与△BCD 都是正三角形，所以，2=BD ，BC DE ⊥， ………………（1分） 因为AD ∥BC ，所以AD DE ⊥，……………（2分） 又⊥PD 平面ABCD ，所以DE PD ⊥，……（4分） 因为D PD AD = ，所以⊥DE 平面PAD ．…（6分） （2）因为122121212=⨯⨯==∆∆PDA PDF S S ，……（2分） 且3=DE ， …………………………（4分）所以，33313131=⨯⨯=⋅==∆--DE S V V PDF PDF E DEF P ． ………………（8分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．（1）当0=x 时，0=t ； ………………（2分） 当240<<x 时，因为0212>≥+x x ，所以21102≤+<x x ， ……………………（4分） 即t 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0． ……………………………………（5分） （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a 时，由（1），令12+=x x t ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0t ， …………（1分）所以432||)()(++-==a a t t g x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++≤≤+-=,21,43,0,433t a a t a t t a ………………（3分）于是，)(t g 在[]a t ,0∈时是关于t 的减函数，在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,a t 时是增函数，E PACDBF因为433)0(+=a g ，4521+=⎪⎭⎫ ⎝⎛a g ，由21221)0(-=⎪⎭⎫⎝⎛-a g g ，所以，当410≤≤a 时，4521)(+=⎪⎭⎫⎝⎛=a g a M ；当2141≤<a 时，433)0()(+==a g a M ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤+=.2141,433,410,45)(a a a a a M ………………………………（6分）由2)(≤a M ，解得1250≤≤a ． ………………………………（8分）所以，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0a 时，综合污染指数不超标． …………………………（9分）22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）已知，1=c ，22==c a ， ……………………（2分） 所以3222=-=c a b ， ……………………………………（3分）所以椭圆的标准方程为13422=+y x ． ……………………（4分） （2）)0,1(1-F ，)0,1(2F ，设),(y x M ，则),1(1y x MF ---=，),1(2y x MF --=，12221-+=⋅y x MF MF （22≤≤-x ）， ……………………（2分）因为13422=+y x ，所以，24141312222221+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⋅x x x y x MF ，…（4分） 由402≤≤x ，得21MF MF ⋅的最大值为3，最小值为2． …………………………（6分）（3）假设存在点)0,(m B ，设),(y x P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值λ，则有λ=-+-|4|)(22x y m x ， ………………………………………………（1分）整理得22222)4(2-=+-+x m mx y x λ， ……………………………………（2分）由13422=+y x ，得0163)28(4122222=-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλm x m x 对任意的]2,2[-∈x 都成立． ………………………………………………………………（3分）令22222163)28(41)(λλλ-++-+⎪⎭⎫⎝⎛-=m x m x x F ， 则由0)0(=F 得06322=1-+λm ①由0)2(=F 得044422=-+-λm m ② 由0)2(=-F ，得0364422=-++λm m ③ 由①②③解得得21=λ，1=m ． …………………………（5分）所以，存在满足条件的点B ，B 的坐标为)0,1(． ………………………（6分）23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）因为1=m ，故1)(2+=x x f ， ………………………………（1分） 因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，…………（2分）2)1()(23===f a f a ， …………（3分） 5)2()(34===f a f a ． …………（4分）（2）解法一：假设存在实数m ，使得2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． 则得到2(0)==a f m ，23()==+a f m m m ，()()2243==++a f a m mm ．…（2分）因为2a ，3a ，4a 成等差数列，所以3242=+a a a ， …………3分 所以，()()2222m m m m mm +=+++，化简得()22210m m m +-=，解得0m =（舍）,1m =- …………………………………（5分）经检验，此时234,,a a a 的公差不为0， 所以存在21±=m ，使得2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． …………（6分）方法二：因为2a ，3a ，4a 成等差数列，所以3243-=-a a a a ，即222233+-=+-a m a a m a ， …………………………………………（2分）所以()()2232320---=a a a a ，即()()323210-+-=a a a a ．因为公差0≠d ，故320-≠a a ，所以3210a a +-=解得1m =-． ………（5分） 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．所以存在21±-=m ，使得2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． …………（6分）（3）因为221111244n n n n n a a a m a a m m +⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, …………（2分）又 14m >, 所以令041≥-=m t …………………………（3分）由t a a n n ≥--1，t a a n n ≥---21，……，t a a ≥-12，将上述不等式全部相加得t n a a n )1(1-≥-，即t n a n )1(-≥， …………………（5分） 因此要使2015>k a 成立，只需2015)1(>-t k ，所以，只要取正整数12015+>t k ，就有20152015)1(=⋅>-≥t tt k a k ． 综上，当41>m 时，总能找到*N ∈k ，使得2015>k a ．。
上海市嘉定区2021届新高考数学三模考试卷含解析
上海市嘉定区2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2 B ．－4C ．3D ．－3【答案】D 【解析】 【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设AB ：1x my =+，联立方程得到124y y =-，计算 22121216y y OA OB y y ⋅=+得到答案.【详解】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故22121216y y OA OB y y ⋅=+.易知直线斜率不为0，设AB ：1x my =+，联立方程214x my y x =+⎧⎨=⎩，得到2440y my --=，故124y y =-，故221212316y y OA OB y y ⋅=+=-.故选：D . 【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为1x my =+可以简化运算，是解题的关键 .2．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示， 因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为34π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.3．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 4．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.5．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.6．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 7．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++()2211a b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.8．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B 【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增， 又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)， 故选B.9．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A 17 B ．4C ．2D ．117+【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案. 【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．62【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.11．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x ±=B ．20x y ±=C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4± B ．4C ．2±D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，两式相除即可解出q ．【详解】解：由23S =得123a a +=，又23412()12a a a a q +=+=，∴24q =，∴2q =-，或2q，又正项等比数列{}n a 得0q >， ∴2q，故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年上海嘉定区高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③2．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg104．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[12]-，C ．(12]-，D ．2,2⎡⎤-⎣⎦6．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或08．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=9．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．3D ．3310．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即2222221[()]42c a b S a c +-=-若ABC ∆的面积112S =，3a =2b =，则sin A 等于（ ）A ．5510B ．116C ．5510或116D ．1120或113611．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．4512．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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上海市嘉定区2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】作出函数()22log x ,0f x x 22,0x x x ⎧>=⎨++≤⎩的图象如图，由图可知，]D (2,4=，函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，也就是y kx =与()y f x =在2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为12； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为01x ln2， 则切线方程为()2001y log x x x x ln2-=-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1k 2>”的充分不必要条件， 故选A ．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题． 2．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,2⎛ ⎝⎭B ．132⎛- ⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭或132⎛- ⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，()2=1-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =，(1,3)b =，则()22,0a =，所以()2=1-3a b -，， 设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，则22301x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 解得123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或123x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -共线的单位向量为13,2⎛ ⎝⎭或132⎛- ⎝⎭.本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 3．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40 C ．40 D ．50【答案】C 【解析】 【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得.【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221rrrrr rr r r T C x y C x y ---+=-=-5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-；令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=；故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.4．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年C ．10年D ．11年【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出a ，求解15y >，即可求出答案.【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y==在回归直线上，由1ˆ 1.6 1.115,1016yx x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.5．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．4B ．C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-,利用22||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-, 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+ 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=， 所以19||4EB =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 6．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( )A ．B ．0C ．0或32-D ．32-【答案】B 【解析】由数量积的定义表示出向量a 与a b +的夹角为60︒，再由22a a =，22b b =代入表达式中即可求出a b ⋅. 【详解】由向量a 与a b +的夹角为60︒，得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒，所以()222211222a a b a a ba a ab b +⋅=+=+⋅+， 又1a =，3b =，22a a =，22b b =， 所以1111232a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+，解得0a b ⋅=. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 7．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．2C ．12±D ．2±【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直可得()()0a b a b +⋅-=，整理后可知220a b -=，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】 解：()()a b a b +⊥-，()()0a b a b ∴+⋅-=，即220a b -=，将1a =和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入，得出234m =，所以2m =±. 故选:D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理. 8．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.9．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ． 10．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32 C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 232322πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 11．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B.本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，可得当11111,33BM BB C C N C ==时1AM MN ND ++最小，设正方体1AC 的棱长为3a ，得327V a =，进一步求出四面体1AMND 的体积即可． 【详解】 解：如图，∵点M ，N 分别在棱11,BB CC 上，要1AM MN ND ++最小，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，1,,AM MN ND 三线共线时，1AM MN ND ++最小，∴11111,33BM BB C C N C == 设正方体AC 的棱长为，则3，∴327V a =． 取13BG BC =，连接NG ，则1AGND 共面，在1AND ∆中，设N 到1AD 的距离为1h ，11122211111112,,,cos sin 11sin =222D NA AD D N AN D NA D NA S D N AN D NA AD ah h ∆======∴∠==∴∠=∴=⋅⋅⋅∠=⋅⋅∴，设M 到平面1AGND 的距离为2h ，22111111[(2)322]323222M AGN A MGNV V h a a a a a a h a --∴=∴⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅-⋅⋅∴=⋅⋅=131339AMND V V a ∴===. 故选D ． 【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。