高中数学竞赛讲义(免费)
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高中数学竞赛资料
一、高中数学竞赛大纲
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:
1.平面几何
几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换:对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数
周期函数,带绝对值的函数。三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*
3. 初等数论
同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题
圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。组合计数,组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识
第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x 在集合A 中,称x 属于A ,记为A x ∈,否则称x 不属于A ,记作A x ∉。例如,通常用N ,Z ,Q ,B ,Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用∅来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,则A 叫做B 的子集,记为B A ⊆,例如Z N ⊆。规定空集是任何集合的子集,如果A 是B 的子集,B 也是A 的子集,则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集,而且B 中存在元素不属
于A ,则A 叫B 的真子集。
定义3 交集,}.{B x A x x B A ∈∈=且I
定义4 并集,}.{B x A x x B A ∈∈=或Y
定义5 补集,若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集,},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ,集合
},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ,R 记作).,(+∞-∞
定理1 集合的性质:对任意集合A ,B ,C ,有:
(1));()()(C A B A C B A I Y I Y I = (2))()()(C A B A C B A Y I Y I Y =;
(3));(111B A C B C A C I Y = (4)).(111B A C B C A C Y I =
【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。
(1)若)(C B A x Y I ∈,则A x ∈,且B x ∈或C x ∈,所以)(B A x I ∈或)(C A x I ∈,即)()(C A B A x I Y I ∈;反之,)()(C A B A x I Y I ∈,则)(B A x I ∈或)(C A x I ∈,即A x ∈且B x ∈或C x ∈,即A x ∈且)(C B x Y ∈,即).(C B A x Y I ∈
(3)若B C A C x 11Y ∈,则A C x 1∈或B C x 1∈,所以A x ∉或B x ∉,所以)(B A x I ∉,又I x ∈,所以)(1B A C x I ∈,即)(111B A C B C A C I Y ⊆,反之也有
.)(111B C A C B A C Y I ⊆
定理2 加法原理:做一件事有n 类办法,第一类办法中有1m 种不同的方法,第二类办法中有2m 种不同的方法,…,第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事一共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法。
定理3 乘法原理:做一件事分n 个步骤,第一步有1m 种不同的方法,第二步有2m 种不同的方法,…,第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅=Λ21种不同的方法。
二、方法与例题
1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。
例1 设},,{2
2Z y x y x a a M ∈-==,求证:
(1))(,12Z k M k ∈∈-;
(2))(,24Z k M k ∈∈-;
(3)若M q M p ∈∈,,则.M pq ∈
[证明](1)因为Z k k ∈-1,,且22)1(12--=-k k k ,所以.12M k ∈-
(2)假设)(24Z k M k ∈∈-,则存在Z y x ∈,,使2224y x k -=-,由于y x -和y x +有相同的奇偶性,所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数,不可能等于24-k ,假设不成立,所以.24M k ∉-
(3)设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222,则))((2222b a y x pq --= 22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(
(因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,)。
2.利用子集的定义证明集合相等,先证B A ⊆,再证A B ⊆,则A =B 。
例2 设A ,B 是两个集合,又设集合M 满足
B A M B A B A M B M A Y Y Y I I I ===,,求集合M (用A ,B 表示)
。 【解】先证M B A ⊆)(I ,若)(B A x I ∈,因为B A M A I I =,所以M x M A x ∈∈,I ,所以M B A ⊆)(I ;
再证)(B A M I ⊆,若M x ∈,则.B A M B A x Y Y Y =∈1)若A x ∈,则
B A M A x I I =∈;2)若B x ∈,则B A M B x I I =∈。所以).(B A M I ⊆ 综上,.B A M I =
3.分类讨论思想的应用。
例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ,若C C A A B A ==I Y ,,求.,m a
【解】依题设,}2,1{=A ,再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ,
因为A B A =Y ,所以A B ⊆,所以A a ∈-1,所以11=-a 或2,所以2=a 或3。
因为C C A =I ,所以A C ⊆,若∅=C ,则082<-=∆m ,即2222<<-m ,