三角形中向量

三角形中的向量

由于向量具有明确的几何特性,因此在许多各省市的复习模考以及高考试题中出现了较多以三角形和向量为载体的考查题型。本人就近几年各省市模考及高考中出现的与此相关的主要命题形式作了以下归纳。

一、三角形形状的判定

判定三角形形状,一般利用向量数量积的几何特性,如垂直关系的数量积为零,再结合向量的几何运算性质,如三角形法则,平行四边形法则等综合起来分析就能比较快速的判定其三角形特征了。

1.(2008,福州一模考试)已知a、b、c、d为平面上四个互异点,(+-2)(-)=0满足,则△abc的形状为 .

分析:由(+-2)(-)=0可得(+)=0。则由平行四边形法则+过cb中点,故为等腰三角形.

2.(2009,九江市一模考试)在△abc中,已知向量与满足(+)=0,且=,则△abc的形状为

分析:由(+)=0可知∠a的角平分线垂直bc,又因为=,即∠a=60°,所以△abc为等边三角形.

二、动点轨迹过三角形定点

动点轨迹过三角形定点的判定一般均需借用条件恒等变形,利用向量的几何运算特征加以确定.

1.(2009全国宁夏,海南卷9)已知点o,n,p在△abc所在平面内,且==,++=,==.则点o,n,p依次是△abc的心.

分析:由==可知o是△abc的外心,因为++=,所以+=,+=,+=,故n为△abc的重心.由==可知,p是△abc的垂心.

2.(2008湖北黄岗调研)已知o是△abc的外心,动点p满足

=[(1-)+(1-)+(1+2)](∈r,且≠0),则点p的轨迹一定过△abc的() a.内心 b.垂心 c.重心 d.ab边的中点

分析:由=[(1-)+(1-)+(1+2)]可得:3=+++(-)+(-),则有

-+-+-+(-)+(-)=,所以++=(+),所以++++=(+).

则当=0,p是重心,但≠0,所以只能过ab边的中点.

三、三角形中向量求值

三角形中向量求值大多数借用的是三角形的性质特征,故在解答时需熟练的应用三角形四心性质及向量的几何运算.

1.(2009南通市二模五校联考)如图,在△abc中,ab=2,ac=1.d为bc中垂线上任一点,则=

分析:由=(+)=+

因为⊥,所以+==(+)(+)=(2+2)=-.

2.(2009陕西省高考)在△abc中,m是bc中点,am=1,点p在am上且满足=2,则(+)= .

分析:由=2可知p是△abc重心,则+=2所以(+)=2=-。

3.如图,已知点p是△abc内一点,且满足+2+3=0,设q是cp的延长线与ab交点,令=,则=

分析:+2+3=即+2+3=,则可构建新三角形,故有++=,所以p是△ade 的重心.b为pd中点,所以q是△apd的重心。故==3 ,== ,== ,所

以=2

四、三角形面积比

如图,已知点p在内部,若3+2+5=,则s△pbc:s△pac:s△pab= 分析:作=3,=2,=5,则p是△def重心,于是△pde,△pef,△pdf面积相等设为s,则==,=,=,所以s△pbc:s△pac:s△pab=3:2:5

其实可视这个为一个定理:已知点p在内部,若1+2+3=,则s△pbc:s△pac:s△pab=1:2:3

证明:作=1,=2,=3则p是△def重心,于是△pde,△pef,△pdf面积相等设为s,则==,=,=。所以s△pbc:s△pac:s△pab=1:2:3。

由于向量的几何特性,造就了它在命题者心目中的重要地位,使得它成为命题中的一朵奇葩。当然,向量的应用,还有许多,比如与解析几何的结合,在立体几何中的应用,由于篇幅关系,在这就不展开了。

作者单位:瑞金一中