抽样调查案例

趣味小案例1．频率与概率Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率， 发现各字母出现的频率不同：从中我们看到字母E 出现的频率最大而字母Z 出现的频率最小等等结果，而且这些字母的频率可以大致看成它们出现的概率。

对于计算机键盘的设计和文字的研究，这些结果都有重要意义。

2．彩票问题我们知道彩票的发行数额巨大，其实质如何呢？请看一则实例：发行彩票10万张，每张1元。

设头奖1个，奖金1万元；二等奖2个，奖金各5仟元；三等奖10个，奖金各1仟元；四等奖100个，奖金各1佰元；五等奖1000个，奖金各10元。

这里的分布列为555551000050001000100100121010010000.988871010101010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可以算出其获奖金额的期望值为5555512101001000()10000500010001001000.988871010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝0.5元，即大约能收回一半。

3．投资与风险投资总具有一定风险，因此在选择投资方向时，计算其期望收益常是可代考虑的决策方法之一。

现某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元。

若存入银行，同期间的利率为5%，问是否应作此项投资？以X 记投资利润，则()80.320.71E X =⨯-⨯=（万元）而存入银行的利息为10⨯5%＝0.5（万元），因此从期望收益的角度看，应选择投资，当然这里要冒一定的风险。

4．保险某保险公司的老年人寿保险共有1万人参加，每人每年交200元。

若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元。

设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率。

设X 为一年中投保老年人的死亡数，则易知~(,)X B n p ，其中10000,0.017n p ==，所以()10000.017170E X np ==⨯= ()(1)10000.0170.983167.11D X np p =-=⨯⨯=利用中心极限定理，有保险公司亏本的概率为{}{}1000010000200200P X P X >⨯=>P ⎧⎫=> 2.3211(2.321)0.01P ⎧⎫⎪=>=-Φ=⎬⎪⎭5．市场调查麦当劳餐馆在7星期内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率90%的保证下，顾客平均消费额的估计区间。

15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 53 22 24 32 46 26第一步：通过Excel 进行统计计算可得到：32==∑n x X ，1)(2--=∑n x x S =9.45，35.14945.9===n S x σ点估计：麦当劳餐馆总体顾客平均消费额为32元。

第二步：根据给定的置信度F （z ）=90%，查概率表得z =1.64。

第三步：计算z =∆x σ=1.64×1.35=2.2元。

据此估计，总体平均消费额下限=∆-x =32–2.2=29.8元，总体平均消费额上限=∆+x =32+2.2=34.2元。

区间估计：以90%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.8—34.2元之间。

6．军事在一场军事战斗中，炮火轰击敌方防御工事100次，每次轰击命中的炮弹数相互独立而且服从同一分布，其数学期望为2，方差为1.5。

求100次轰击后（1）至少命中180发炮弹的概率;（2） 命中的炮弹数不到200发的概率。

设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数，那么10021,,,X X X 相互独立，而且100,,2,1,5.1)(,2)(2 ===k X D X E k k设X 表示100次轰击命中的炮弹数，则,225)(,200)(,1001===∑=X Var X E X X k k由中心极限定理，近似地有)225,200(~N X⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-≈≥152001801)180(X P 91.0)3.1()3.1(1=Φ=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<≤15200015200200)2000(X P 5.0)33.13()0(=-Φ-Φ=7．爱情厦门全岛只有思明和湖里两区。

设,X Y 分别表示两区在情人节当天出售的玫瑰花的数量，并且假定2~(1000,10)X N ，2~(600,5)Y N 而且相互独立。

那么厦门全岛在情人节当天出售的玫瑰花的数量Z 所服从的分布是何呢？ 由于厦门全岛就思明和湖里两区，故Z X Y =+。

于是，()()()E Z E X E Y =+=。

又因为,X Y 相互独立，故()()()10025125Var Z Var X Var Y =+=+=所以，~(1600,125)Z N 。

8．人口估计假定一个基金经理想在一个新地区启动一项金融产品。

他想知道对这个产品的需求如何，因而有兴趣了解该地区的人口情况。

他决定进行一次调查并在第一回合中随机会见了1000个客户。

在会面中，发给每一位客户一个识别代码。

几个月后，在另一回合中，该经理又随机会见了1000个客户。

结果发现在第二回合中有100个客户是在第一回合会见过的。

由此，关于该地区的人口数量，我们能够得出什么结论？为了回答这个问题，给出如下定义：n =未知的人口数；1n =第一回合会见的人数；r =第二回合会见的人数；k =两次都被会见的人数；()k q n k =第二回合会面中恰好包含个第一回合会见过的人的概率。

利用超几何分布，可以看出11()k n n n k r k q n n r -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭在本例中，我们有11000n r ==而100k =。

如果1900n =，将这些数据代入到上面这个式子中，我们得到2430100(1000!)()10(100!1900!)q n -==所以，如果人口数为1900，第二回合又会见到第一回合会见过的同样的100个人其实是不可能的。

对任意给定的1,n r k 和，我们可能想去求使得概率()k q n 最大的n 的值。

因为对于这样的n ，我们观测到的数据具有最大的概率。

这正是似然原理的关键思想，而求出的n 的值ˆn被称为最大似然估计。

换言之，对于给定的数据集，值ˆn 是n 的所有可能的、就使得似然最大化而言，和已知的数据集最为相容的那些值之一。

为了计算最大似然，考虑比值11()()()(1)()k k q n n n n r q n n n r k n --=---+容易看出111,()(1)1,k nk n rq n q n nk n r ><⎧⎪⎨-<>⎪⎩如果如果这意味着当n 增大时，序列()kq n 先升后降。

当n 为不超过1n r k 的最大整数时，它达到最大。

因此，1ˆn n r k 。

在本例中，人口数的最大似然估计为ˆ10,000n =。

高学历青年的婚姻问题作者：周晓燕出处：中国青少年研究网高学历青年，由于其所受教育程度较高，对生活的认知有别于其他青年群体。

在婚恋及生育观上，其价值取向也呈现出自身的特点，越来越成为社会婚恋生态中引人注目的景观。

但是，目前高学历青年这个特殊群体的婚恋状况，尚未引起研究界足够的重视。

这不能不说是青年婚恋问题研究上的一个缺憾。

进行深入广泛的高学历青年婚恋及生育观的调查研究，不仅对于高学历青年群体的婚育问题具有直接的现实的意义，而且对于国家有关部门相关政策的制定，对于计划生育国策和优生优育政策的研究与实施，也将提供新鲜的可靠的依据。

从优生优育的角度来看，高学历青年的婚恋及生育，对中国将来的人口质量的影响十分直接。

同时，由于这一群体中有相当比例的知识女性，她们将代表中国女性的未来。

因而，研究她们的婚恋及生育观，对于预测中国女性未来婚恋发展走向，也具有特殊的意义。

为此，我们专门对高学历青年的婚恋及生育观进行了一次调研，以期引起有关方面对此问题的重视，并尽量提供为国家制定政策的部门一些有价值的信息和资料。

一、情况与分析本次调查主要通过课题组发放问卷、走访、抽样等方式进行，调查对象是高学历青年，即具有大学以上学历的知识青年。

2002年初在北京调查的范围是，高学历青年较为集中的中国科学院、中国社会科学院、高校以及外企等单位，共发放问卷1410份回收1300份，其中男性759人，占59%，女性537人，占41%，年龄18岁-35岁。

学历：博士研究生472人，占36.7%，硕士研究生720人，占56%，大学本科56人，占4%。

职业：在校生占84.8%，正副教授占5.2%，讲师占7.5%，其他占2.58%。

婚姻状况：未婚914人，占71%，初婚402人，占28.5%，离异7人，占0.5%。

通过调查，我们发现高学历青年婚嫁的动机与前几年相比较发生了一些变化。

大部分青年不再愿意过“快乐单身汉”的生活，88%的人愿意结婚。

认为“婚姻在人的一生中占有非常重要位置”的占42%，认为“重要”的占54%，认为“结婚非常好”的占31%，认为“与单身或独身相比还是结婚好”的占38%。

即使不愿意结婚的人中，其原因，也主要是没有意中人，而不是根本就不想结婚。

这部分人占70%。

由此可见，在高学历青年中，渴望结婚的人数日益增多。

结婚的目的也由以经济条件为主的功利型向情感联系型回归，有59%的青年结婚的目的是为了感情联系，看重生理吸引和经济因素的均占10%，看重生育的占9.7%，希望婚姻浪漫的占8%，希望离开父母小两口独立生活的占3.3%。

这组数据说明，传统的以家庭为本的婚姻观让位于以个人感情幸福美满为本的独立自主婚姻观，情感的满足成为婚姻的第一要素。

而对于晚婚，他们显得尴尬和无奈。

他们希望结婚的年龄在22-25岁之间，但80%的人却在25-30岁结婚，晚婚的原因除了无合适对象外，主要是本人还处在学习阶段。

按照教育部关于在校生不允许结婚的规定，他们在结婚和学习之间只好无奈地选择了后者。

当问及对晚婚所持的态度时，32%的高学历青年认为晚婚“不好”，26%的认为“好”，42%的认为“说不清”。

总之晚婚给高学历青年带来了一定的影响，尤其是对女博士研究生、女硕士研究生的婚姻影响更大。

她们即使在校勉强结婚却又无法生育，晚婚又晚育给她们的身心带来了比较沉重的心理和实际的负担。

学习影响了她们择偶，学习又影响了她们的正常生育，她们的婚姻状况不仅成为她们个人的精神负担，而且也会使他们的家长和社会担忧。

高学历青年的婚恋问题已不单单是她们的“个人问题”而是应当引起人们普遍关心的社会问题。