美式期权有限差分定价方法综述
基于Landau's变换的求解美式期权的有限差分法
基于Landau's变换的求解美式期权的有限差分法赵文雯;张琪;吕显瑞【摘要】We proposed a finite difference method based on Landau's transformation for the standard American put option pricing problem.Firstly,the Landau's transformation and truncation technique was used to transform the American option problem into a parabolic problem on a regular bounded domain,and then we used the finite difference method to solve the option price and used the Newton iteration method to solve the optimal exercise boundary at the same time.The numerical results show that the algorithm can effectively solve the optimal exercise boundary more smoothly than traditional binomial tree method,and can accurately simulate the American put option price.%针对标准美式看跌期权定价问题给出一种基于Landau's变换的有限差分法.先利用Landau's变换及截断技巧将美式期权问题转化为一个有界规则区域上的抛物问题,再利用有限差分法求解期权价格,并利用Newton迭代法同时求解出最佳实施边界.数值实验结果表明,该算法能快速有效地求解出较传统二叉树法更光滑的最佳实施边界,并能准确地模拟美式看跌期权价格.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)004【总页数】5页(P898-902)【关键词】美式看跌期权;Landau's变换;有限差分法【作者】赵文雯;张琪;吕显瑞【作者单位】吉林大学数学学院,长春 130012;天津机电职业技术学院,天津300350;吉林大学数学学院,长春 130012;吉林大学数学学院,长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O241.8目前, 基于偏微分方程及变分不等式模型求解美式期权的研究已有很多成果, 例如: Cox等[1]给出了求解美式期权的二叉树法; Wang等[2]提出了迎风有限体积格式; Holmes等[3]提出了利用Front-Fixing变换处理求解区域的不规则边界; Zhang 等[4]在Lantos等[5]研究的基础上提出了一种基于完美匹配层求解美式期权的方法; Song等[6]在He[7]研究的基础上提出了预估校正方法. 本文针对美式期权边界不易处理的难点, 利用Landau’s变换给出解决方案, 并利用嵌套Newton迭代的有限差分法同时对期权价格V(S,t)及最佳实施边界B(t)进行求解.美式期权是一种具有提前实施权力的期权, 因此其价格在最佳实施边界一侧符合Black-Scholes(B-S)方程, 而最佳实施边界未知为问题的求解带来很多困难. 以美式看跌期权为例, 假设原生资产价格为S, 时间为t, 期权价格为V(S,t), σ,r,q,T,K分别表示原生资产波动率、无风险利率、原生资产红利率、期权到期时间及看跌期权敲定价格, 则美式看跌期权满足偏微分方程:其中： (K-S)+=max{K-S,0}; B(t)为看跌期权最佳实施边界. 因此, 美式看跌期权当B(t)≤S<+∞时满足B-S方程, 即问题求解区域一侧为未知的不规则边界, 而另一侧无界. 此外, 在求解期权价格过程中, 最佳实施边界未知, 因此还需对最佳实施边界值进行修正.首先, 对式(1)做变换:其中α,β为待定系数. 此时, 原问题将变成如下常系数的扩散问题:其中:利用Landau’s变换将原问题不规则的一侧变成规则边界:对于无界的一侧区域考虑如下引理:引理1[4] 任意给定0∈(0,1), 期权价格满足: V(S,t)≤0, ∀S≥KeL1, 0≤t<T, 其中引理2[8] 最佳实施边界B(t)满足B(T)≥B(t)≥KX. 其中: B(T)=Kmin{r/q,1}; KX为永久美式看跌期权的最佳实施边界,根据引理1和引理2做截断: L=1-L1/ln(X), 则截断后原问题变为此时已将原问题转化为规则区域的问题, 在此基础上可以进行数值求解.下面对式(3)采用θ格式的差分法进行离散, 引入时间剖分Jτ和空间剖分Ih:对式(3)中第一式的各部分做如下差分离散:从而式(3)的θ格式差分离散结果为其中.为了与上述离散方法精度匹配, 对式(3)中第四式采用二阶公式离散, 经过整理可将离散问题写成如下矩阵形式:其中A为N-1阶三对角矩阵, 系数如下:同时满足:定理1 当和足够小时, 系数矩阵A为M-矩阵, 且右端fm非负.证明: 考虑θ=0的情形, 当和足够小时, 易验证系数矩阵A当j=1,2,…,N-2时, 满足当j=N-1时, 满足当j=0时, 满足已知u0≥0, 若um-1≥0, 则可证明当h足够小时有综上, 可以证明系数矩阵A为M-矩阵, 且右端fm非负, 此时能保证数值解的非负性.下面考虑利用式(3)中第三式, 通过Newton迭代法对bm进行求解. 利用定义可知, bm满足方程为了利用Newton迭代法求解, 还需要对式(6)关于bm求导:在利用Q(bm)和Q′(bm)进行Newton迭代时,可以通过求解式(5)得到, 而对于Q′(bm)中的还需要对式(5)关于bm求导, 得其中gm为对Aum=fm求导后得到的右端. 对式(7)求解即可得.综上, 可得求解美式看跌期权的算法如下:算法1 基于Landau’s变换嵌套Newton迭代的差分法.For m=1∶M当j=0时, b(j)=bm-1-km对于j>0,通过式(5),(7)求解um和计算若重复上述运算, 否则bm=b(j), 终止循环;利用bm求解式(5), 得到最佳的um\%;end\%.考虑对一支敲定价格K=10的1年期美式看跌期权进行数值模拟, 其中模型(1)中参数分别为r=0.08, q=0.05, σ=0.2, 数值结果如图1所示. 图1(A)为本文基于Land au’s变换的有限差分法与二叉树法在求解最佳实施边界时的对比结果. 其中本文算法取M=256, N=256, 二叉树法中选取剖分数为M=2 048. 由图1(A)可见, 本文算法能较精确地给出最佳实施边界, 并且运算结果比二叉树法光滑. 图1(B)为通过本文算法得到的期权价格的三维图像. 由图1(B)可见, 本文算法在描述期权价格方面可行、有效.综上, 本文提出了一种基于Landau’s变换求解美式期权定价问题的有限差分法, 并通过数值实验验证了该算法的准确性, 在与二叉树方法对比中, 本文方法能得到更光滑的最佳实施边界曲线, 同时在表述期权价格方面也具有可行性.【相关文献】[1] Cox J C, Ross S A, Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach [J]. J Fin Econ, 1979, 7(3): 229-263.[2] WANG Hong, ZHAO Weidong. An Upwind Finite Volume Scheme and Its Maximum-Principle-Preserving ADI Splitting for Unsteady-State Advection-Diffusion Equations [J]. Numer Methods Partial Differ Equ, 2003, 19(2): 211-226.[3] Holmes A D, YANG Hongtao. A Front-Fixing Finite Element Method for the Valuation of American Options [J]. SIAM J Sci Comput, 2008, 30(4): 2158-2180.[4] ZHANG Kai, SONG Haiming, LI Jingzhi. Front-Fixing FEMs for the Pricing of American Options Based on a PML Technique [J]. Appl Anal, 2015, 94(5): 903-931.[5] Lantos N, Nataf F. Perfectly Matched Layers for the Heat and Advection-Diffusion Equations [J]. J Comput Phys, 2010, 229(24): 9042-9052.[6] SONG Haiming, ZHANG Ran. Projection and Contraction Method for the Valuation of American Options [J]. East Asian J Appl Math, 2015, 5(1): 48-60.[7] HE Bingsheng. A Class of Projection and Contraction Methods for Monotone Variational Inequalities [J]. Appl Math Optim, 1997, 35(1): 69-76.[8] 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法 [M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2008: 151-169. (JIANG Lishang. Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing [M]. 2nd ed. Beijing: Higher Education Press, 2008: 151-169.)。
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价数值方法
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权 利。
期权类型
按行权时间可分为欧式期权和美式期权，按交易场所可分为场内期权和场外 期权。
期权定价模型
Black-Scholes模型
基于无套利原则，通过随机过程和偏微分方程等方法，推导出标的资产价格和波 动率的关系。
二叉树模型
将连续的时间和空间离散化为有限个元素，通过建立线性方程组来求解期权价格。优点是 适用于处理不规则区域和复杂边界条件，精度较高。缺点是对于某些复杂期权或边界条件 ，需要使用高阶元素，计算量较大。
蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Si…
通过随机抽样来模拟期权价格的波动过程，并利用此模拟结果来估算期权价格。优点是适 用于各种类型的期权和边界条件，计算速度快。缺点是对于某些特殊期权或边界条件，需 要设计特定的抽样方法，精度相对较低。
风险中性概率
在蒙特卡洛模拟中，使用风险中性概率来计算标的资产价格在未 来的可能性，该概率将风险中性概率和实际概率联系起来。
估计期权收益
通过模拟标的资产价格路径，可以估计期权的收益，从而得到期 权的预期价格。
蒙特卡洛模拟法的实现步骤
定义参数
确定影响期权价格 的因素，如标的资 产价格、行权价、 剩余期限、波动率 和无风险利率等。
05
偏微分方程法在期权定价 中的应用
偏微分方程的推导
基于无套利原则
通过无套利原则，推导出偏微分方程，该方程描述了资产价格变 化的随机过程，以及投资者对风险和收益的权衡。
风险中性概率
在风险中性概率下，衍生品的价格可以表示为标的资产价格和相 应期限的贴现值之积。
标的资产价格动态
标的资产价格的变化受到多种因素的影响，如市场利率、波动率 、股息等。
一种基于并行计算的美式期权定价方法
一
种 基 于并 行 计 算 的美 式 期 权 定 价 方 法
祝 丹 梅 ，黄 春 宇
（ 辽宁石油化工 大学理学院 ， 辽 宁抚 顺价 问 题 是 当今 金 融 学 的 重要 研 究 课 题 之 一 。 由 于 美式 期 权 可 以提 前 执 行 ， 故 其 定 价 要
第３ ３ 卷第２ 期
２ ０１ ３年 ６月
辽
宁
石
油
化
工
大
学
学
报
ＶＯ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． ２
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ０Ｆ Ｉ Ｉ Ａ０ＮＩ ＮＧ Ｓ Ｈ１ ＨＵＡ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｊ ｕ ｎ ．２ Ｏ １ ３
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — ６ ９ ５ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ ８ ５ — ０ ３
比 欧 式 期 权 定 价 困难 得 多 。利 用有 限 差 分 法 ， 通过对 Ｓ ａ ｕ ￣ ｅ ｖ格 式 进 行 转 换 ， 将 半 隐 式 格 式 转 换 为 易 于 并行 计 算 的 显 式格 式 ， 最 终 构 造 出一 种 计 算 方便 的 美式 期 权 定 价 差 分 方 法 ， 并 验 证 了此 差 分 格 式 的收 敛性 与无 条件 稳 定 性 。 关键词 ： 美式 期 权 定价 ； 有 限 差分 法 ； 并行计 算 ； 无 条 件 稳 定
Ａｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｉ ｃ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗａ ｓ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｉ ｅ ｎ ｔ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｕ ｎ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ
求解股票期权定价问题的差分方法
收稿日期:2003 08 29基金项目:辽宁省自然科学基金资助项目(20022021)作者简介:张 铁(1956-),男,辽宁沈阳人,东北大学教授第25卷第2期2004年2月东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern U niversity(Natural Science)Vol 25,No.2Feb.2004文章编号:1005 3026(2004)02 0190 04求解股票期权定价问题的差分方法张 铁,李明辉(东北大学理学院,辽宁沈阳 110004)摘 要:期权是最重要的金融衍生工具,期权理论的核心是期权定价问题 对于美式期权的价格,不存在解析公式也无法求得精确解 因此,研究各种计算美式期权价格的数值方法具有重要意义 研究美式股票看跌期权定价问题的差分方法 对美式期权所遵循的变分不等式方程建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,利用能量方法进行了差分解的稳定性和收敛性分析,并给出最优阶误差估计 数值计算表明该算法是一个高效和收敛的算法关 键 词:美式看跌期权;股票期权;变分不等式;差分逼近;稳定性;收敛性;数值计算中图分类号:F 224.9 文献标识码:A期权是最重要的金融衍生工具之一,它是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出售标的资产的权利 对于欧式期权,Black 和Scholes 早已给出解析形式的定价公式[1,2]然而,对于美式期权的价格,并不存在这样的解析公式,也无法求得精确解 因此,发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义 美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方程 作者在文献[3]中已经讨论了美式股票期权定价问题的有限元方法 本文将进一步研究相应问题的有限差分方法,建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,论证了差分解的存在唯一性和稳定性,并给出了最优阶误差估计 最后,用数值计算例验证了本文方法的有效性 为明确起见,本文假定期权的标的资产为股票 用S 表示股票价格,E 为期权的执行价格,P 为期权价格,T 为期权执行日期, 为股票价格的波动率,r 为无风险利率(假定为常数) 进一步假设世界是风险中性的,在期权有效期内股票无红利支付 在这样假设下,美式股票看跌期权的价格P =P(t,S )将满足如下线性互补偏微分方程[4]P t +12 2S 2 2P 2S +r S P S -rP(P -G (S ))=0,(1)P t +12 2S 2 2P 2S +rS PS -rP 0,P G (S ),(2)G (S )=max (E -S ,0),0 S ,0<t <T ,P (T ,S )=G (S ),P(t,0)=G (0),P (t ,S )=0,S(3)1 有限差分逼近首先对问题(1)~(3)进行化简,目的是将变系数方程化为常系数方程,将反向时间问题化为正向时间问题 引进变量变换S =E e x ,t =T - 12 2,P(t,S )=E e -12(k -1)x u (,x )(4)其中,k =r12 2在此变换下,直接计算可知问题(1)-(3)转化为如下问题u - 2u x 2+14(k +1)2u(u -g)=0,0< T 1,(5)u - 2u x 2+14(k +1)2u 0,u g (6)其中,T 1=12 2T ,g(x )=1Ee 12(k -1)x G (S)=e 12k x max (e-12x -e 12x,0)为了便于构造数值方法,还需将上述问题限制在有界区域上,并根据原问题的性质给定相应的边界条件 首先考虑到股票价格S 既不可能上升为无限大,也不可能下降为零,因此可限制变量x [-a,a],a>0充分大 又由于当股票价格S远大于执行价格E时,看跌期权价格P(t,S)=0,因此可令u( ,a)=0 其次,原问题(1)~(3)来源于自由边值问题,也即存在自由边界S*=S*(t)>0,且当0 S<S*时,P(t,S)=G(S)(参见文献[4]第6章,自由边界S*是期权最佳执行边界) 则由变换关系式可令u( ,-a)=g(-a) 这样,问题(5)~(6)的初边值条件可确定为u(0,x)=g(x),u( ,-a)=g(-a), u( ,a)=0(7)现在建立问题(5)~(7)的有限差分近似 剖分空间区域[-a,a]:-a=x0<x1< <x N= a,空间剖分步长h=x i-x i-1=2a/N 再剖分时间区间[0,T1] 0=t0<t1< <t M=T1时间剖分步长 t=t n-t n-1=T1/M 简记u n j=u (t n,x j),引进时间方向一阶向后差分算子 t和空间方向二阶中心差分算子 2x:t u n j=1 t(u n j-u n-1j),2x u n j=1h2(u n j+1-2u n j+u n j-1),那么可有ut(t n,x j)= t u nj +t2u tt( k,x j),u x x(t n,x j)= 2x u n j+h212u(4)x(t n, j)(8)则在剖分节点(t n,x j)处,方程(5)~(7)可离散为( t u n j- 2x u n j+14(k+1)2u nj+nj)(unj-g j)=0,(9)( t u n j- 2x u n j+14(k+1)2u n j+ n j) 0,u n j g j,(10) u0j=g j,u n j=g0,u n N=0,n=1,2, ,M, j=1,2, ,N-1 (11)其中,g j=g(x j),截断误差 n j=O( t+h2) 根据式(9)~(11),定义期权定价问题(5)~(7)的向后欧拉有限差分近似为:求U n j使满足( t U n j- 2x U n j+14(k+1)2U n j)(U n j-g j)=0,(12)t U n j- 2x U n j+14(k+1)2U n j 0,U n j g j,(13) U0j =g j,U n j=g0,U n N=0,n=1,2, ,M,j=1,2, ,N-1 (14)记N维向量U n=(U n0, ,U n N-1)T,G=(g0, , g N-1)T引进R N中的闭凸子集 N={U R N U G,U0=g0} 那么差分方程(12)~(14)的矩阵方程形式为:求U n N,U0=G使满足(U n-U n-1+ t AU n,U n-G)=0,(15)U n-U n-1+ t AU n 0,n=1,2, ,M(16)其中,( , )表示向量欧式内积,用 表示相应的范数,A=(a ij)为对称正定的三对角矩阵,其元素为a ii=2h2+14(k+1)2,a i,i 1=-1h22 差分方程的适定性和误差分析为了研究差分方程(15)~(16)解的存在惟一性、稳定性和收敛性,需要将其转化为等价的变分方程形式定理1 U n为差分方程(15)~(16)解的充要条件是U n N,U0=G满足如下线性变分不等式方程(U n-U n-1+ t AU n,V-U n) 0, V N(17)证明 设U n为(15)~(16)的解 利用方程(16),对任意V N(注意V G)可得(U n-U n-1+ t AU n,V-G) 0,再减去式(15)推得方程(17)成立 反之,设U n N为方程(17)的解 在方程(17)中取V=U n+ C,向量C 0,则得到(U n-U n-1+ t AU n,C) 0,由向量C 0的任意性知方程(16)成立 再取C=U n-G得到(U n-U n-1+ t A U n,U n-G) 0在方程(17)中取V=G,结合此式推得方程(15)成立,证毕 方程(17)可进一步改写为:求U n N,U0=G使满足(BU n-U n-1,V-U n) 0, V N,(18)其中,B=I+ t A 这是与问题(15)~(16)等价的R N中线性变分不等式方程 由于B是对称正定的,因此它的解U n N惟一存在 关于问题(17)的各种求解方法可参见文献[5~10] 下面进行稳定性和收敛性分析定理2 差分方程(15)~(16)按向量A 范是绝对稳定的,即191第2期 张 铁等:求解股票期权定价问题的差分方法U n A U 0 A ,n =0,1, ,M 证明 在方程(17)中取V =(U n +U n +1)/2 N,利用柯西不等式得到 U n-Un-12+12t U n 2A12t (AU n ,U n-1) 12 t U n A U n-1 A ,由此推得定理2结论成立设精确解u(t ,x )在t n 时间层的节点值向量u n =(u(t n ,x 0), ,u(t n ,x N -1))T,误差向量 n( n 0, , n N -1)T那么由方程(9)~(11),完成类似定理1的证明,可知u n N ,u 0=G 满足(u n -u n-1+ t Au n + n,v -u n ) 0,v N(19)定理3 设u (t,x )为问题(5)~(7)解,U n j为(12)~(14)定义的差分近似解,则成立如下误差估计 u n -U n h2aT 1( t/2+h 2/12) max t,x(|u tt (t,x )|+|u (4)x (t,x )|),n =1,2, ,这里 u n h =N-1j=0h |u n j |2表示离散L 2 范数证明 记误差向量e n =u n -U n ,则有(e n,e n)+ t(Ae n,e n)=(u n,u n-U n)+ t(Au n ,u n -U n )-(U n ,u n -U n )- t(AU n,u n-U n )(20)由u n 和U n 所满足的方程(17)和(19)可知(u n ,u n -v )+ t(Au n ,u n -v )(u n-1- t n,u n -v ),v N ,(21)(U n,U n-V )+ t(A U n,U n-V ) (U n-1,U n -V ),V N ,(22)在式(21)和(22)中分别取v =U n,V =u n结合式(20)~(22)得到 e n2+ t en 2A(un-1- t n ,e n)-(U n-1,e n )=(e n-1,e n )- t( n,e n ) ( e n-1 + t n ) e n由此式得到e n h e n-1 h + t n h ,n =1,2,关于n 求和,注意e 0=0,n t T 1,得到 e nh tnk=1k h T 1max 1 k n kh ,由式(8)且注意hN =2a,可得到nh2a ( t/2+h 2/12)max t,x(|u tt (t,x )|+|u (4)x (t,x )|),从而定理3得证3 数值计算例考虑由差分方程导出的线性变分不等式方程(17)的求解 为了处理x 0点的边值条件,引进N -1维向量b = th2g (x 0),0, ,0T采用投影SOR 方法[11]求解变分不等式方程(17),记1< <2为超松弛因子 主要计算步骤如下:(1)计算U 0=G =(g (x 1),g (x 2), ,g (x N -1))T,F 0=U 0+b ;(2)对n =0,1, ,M -1循环执行步(3)到步(6);(3)V 0=max (G ,U n );(4)对i =1,2, ,N -1计算,V i =(F ni -a i ,i -1V i -1-a i ,i +1V 0i +1)/a ii ,V i =max (g i ,V 0i+ (V i -V 0i ));(5)如果 V -V 0执行步(6);否则,置V 0=V 转步(4);(6)置U n +1=V ,F n +1=U n +1+b利用上述计算程序计算出中间变量x i ,U n后,再利用变换(4)即可求出t n =T -n t 122时刻与股票价格S i =E e xi 相应的期权值P(t n ,S i )=E e -12(k-1)x i U n i现在考虑一个在期权执行内不付红利的美式看跌股票期权的估值 设相关数据为E =60,r =0 10, =0 30,期权执行期分别为T =3,6,9,12个月 假设当前时刻股票价格为S =60,下面将对不同的执行期T ,计算当前时刻与S =60相应的期权值取计算区域(x ,t) [-a,a] [0,T 1],a =5,T 1=122T ,相应的股票价格变化区域是[E e -a ,E e a ]=[0 404277,8904 79] 令剖分步长h =2a/N , t =T 1/M 由于T 1已经很小(以年为单位),在计算中仅取M =10 表1给出了当前时刻期权的估值 计算结果表明本文算法是收敛的 上述计算是在PC586计算机上进行的,计表1 美式看跌期权价格的估值Table 1 Evaluation of American put option pri cing T N =250N =300N =350N =400N =50032 9527322 9636452 9699862 9740622 97872763 9208453 9268383 9321703 9346473 93791594 5650924 5711444 5741094 5760014 578771192东北大学学报(自然科学版)第25卷算时间在1s 之内 这表明本文数值方法是一个快速而又收敛的期权估值算法 参考文献:[1]Black F,Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].J Pol Econ ,1973,81:637-659.[2]Hull J.Op tion ,f u tur e s and other derivativ e se c urities [M ].S econd Edi tion.Englewood Cliffs:Prentice Hall,1993.84-105.[3]张铁 美式期权定价问题的数值方法[J] 应用数学学报,2002,(1):113-122(Zhang T.The numerical methods for Ameri can option pricing [J].A cta M ath App l S inica ,2002,(1):113-122.)[4]Wilmott P,Dewynne J,How ison S.Op tion p ricing :mathe matical mod el and comp utation [M ].London:Ox ford Financial Press,1995.134-156.[5]Elliott C,Ockendon J.Weak and variational methods f or f ree and mov ing bou ndary proble ms [M ].London:PitmanPublishing,1982.34-48.[6]Eaves B.On the basic theorem of complementarity [J ].M athematical Prog ramming ,1971,(1):68-75.[7]Fukushima.A relaxed projection method for variational inequalities[J].M athematical Program ming ,1986,(35):58-70.[8]Gemm i ll G.Options pricing [M ].New York:M cGraw H i ll,1992.203-245.[9]张铁 一个新型的期权定价二叉树参数模型[J ] 系统工程理论与实践,2000,(11):90-94(Zhang T.A new type of binomial tree parameter model for option pricing[J].System Engineering Theory and Practice ,2000,(11):90-94.)[10]张铁 线性有限元导数恢复技术及超收敛性[J] 东北大学学报(自然科学版),2002,23(6):602-605(Zhang T.Supercon vergence derivative recovery techniques for linear finite elements [J ].Jour nal o f N ortheaster n Univ ersity(Natur al Science ),2002,23(6):602-605.)[11]Crank J.Free and mov ing boundary p roblems [M ].Lon don:Oxford University Press,1984.89-123.Difference M ethods for Solving the Stock Option Pricing ProblemsZH A N G T ie ,LI M ing hui(School of Science,Northeaster n U niversity,Sheny ang 110004,China.Corr espondent:ZHA NG T ie,professor ,E mail:ztmath @)Abstract:Opt ion is one of the most impo rtant deriv ative securit ies,of w hich the pr icing problem plays a key role in option t heory.F or American option,no analyt ic fo rmula and ex act solution can be obtained.T herefore,the study on numerical methods for various Amer ican o ptions is of hig h significance.T he difference method is investig ated for American put option pricing problems.A fully discr etized backw ard Euler approx imation scheme is thus established for the variational inequality equations w ith which American opt ion schemes complied.It is proved that the differ ence solution is stable and conver gent.Numerical examples show the efficiency and conv er gence of the alg orithm.Key words:American put option;stock option;v ar iational inequality ;difference approx imat ion;stability;converg ence;numerical examples(Received A ugust 29,2003)待发表文章摘要预报一类具有时滞的广义Hopfield 神经网络的动态分析季 策,张化光研究了一类具有时滞的广义Hopfield 神经网络的动态行为 文中放宽了对Hopfield 神经网络的互连结构必须为对称的要求,考虑一类具有时滞的、且互连结构可为非对称的广义Hopfield 神经网络的稳定性问题 通过构造适当的L yapunov 泛函及扇区条件,给出了平衡点渐近稳定的充分条件 在Hopfield 神经网络的设计及实现过程中,这些条件是很实用的 仿真结果进一步证明了结论的有效性复合地基的褥垫层设计王凤池,朱浮声,王述红,董天文为了从理论上确定褥垫层的设计参数,桩与褥垫层的关系可以看成倒置的桩对地基土的作用,桩体上刺可能引起褥垫层产生整体剪切破坏、局部剪切破坏或刺入破坏,而能够调节应力比的合理模式是整体剪切破坏,据此提出了褥垫层内摩擦角理论上限值的迭代公式 同时根据T er zaghi 滑移线理论,证明了对数螺旋滑移线与基础底板相交时褥垫层的厚度为最小设置厚度,低于最小设置厚度,调节桩土应力比能力减弱 褥垫层的宽度设置应按照应力扩散原则,防止褥垫层失效193第2期 张 铁等:求解股票期权定价问题的差分方法。
美式期权定价的C-N差分格式分析
美式期权定价的C-N差分格式分析
李海蓉
【期刊名称】《廊坊师范学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】2012(012)006
【摘要】金融衍生物就是一种风险管理的工具，而期权就是最重要的金融衍生工具之一，它在防范和规避风险以及投机中起着非常重要的作用。
期权理论的核心就是期权定价问题。
由于美式期权与欧式期权不同，它不可能得到解的显式表达式，所以研究它的数值解以及解本身的一些性质就显得尤为重要。
而对美式看跌期权的Crank—Nicolson格式推导表明，用Crank-Nicolson格式可以得到有效的数值解。
【总页数】3页(P11-12,14)
【作者】李海蓉
【作者单位】宁夏大学,宁夏银川750021
【正文语种】中文
【中图分类】N029
【相关文献】
1.美式期权定价的四阶指数型差分格式分析 [J], 李海蓉;
2.美式期权定价的C-N差分格式分析 [J], 李海蓉
3.美式期权定价的指数型差分格式分析 [J], 李海蓉
4.美式期权定价的四阶指数型差分格式分析 [J], 李海蓉
5.美式期权定价的隐式差分格式分析 [J], 李海蓉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
期权定价方法综述_刘海龙
综述研究期权定价方法综述①刘海龙,吴冲锋(上海交通大学安泰管理学院,上海200052)摘要:介绍了期权定价理论的产生和发展;然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述,突出综述了既适用于完全金融市场,又适用于非完全的金融市场的确定性套利定价方法、区间定价方法和Ε2套利定价方法;最后,对各种方法的条件和特点进行了讨论和评价.关键词:综述;期权定价;蒙特卡罗模拟;有限差分方法;Ε2套利;区间定价中图分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:100729807(2002)022*******0 引 言期权是一种极为特殊的衍生产品,它能使买方有能力避免坏的结果,而从好的结果中获益,同时,它也能使卖方产生巨大的损失.当然,期权不是免费的,这就产生了期权定价问题.期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一,它集中体现了金融理论的许多核心问题,其理论之深,方法之多,应用之广,令人惊叹.期权的标的资产也由股票、指数、期货合约、商品(金属、黄金、石油等),外汇增加到了利率,可转换债券、认股权证、掉期和期权本身等许多可交易证券和不可交易证券.期权是一种企业、银行和投资者等进行风险管理的有力工具.期权的理论与实践并非始于1973年B lack2 Scho les关于期权定价理论论文的发表.早在公元前1200年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形,只不过当时条件下不可能对其有深刻认识.期权的思想萌芽也可以追溯到公元前1800年的《汉穆拉比法典》.公认的期权定价理论的始祖是法国数学家巴舍利耶(L ou is B achelier,1900年),令人难以理解的是,长达半个世纪之久巴舍利耶的工作没有引起金融界的重视,直到1956年被克鲁辛格(K ru izenga)再次发现.1973年芝加哥委员会期权交易所创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集中市场,首次在有组织的交易所内进行股票期权交易,在短短的几年时间里,期权市场发展十分迅猛,美国股票交易所、太平洋股票交易所以及费城股票交易所纷纷模仿,1977年看跌期权的交易也开始出现在这些交易所内.有趣的是,布来克和斯科尔斯(B lack and Scho les)发表的一篇关于期权定价的开创性论文也是在1973年[1],同年,莫顿教授又对其加以推广和完善,不久,B lack2Scho les期权定价方程很快被编成了计算机程序,交易者只需键入包括标的资产价格、标的资产价格的波动率、货币利率和期权到期日等几个变量就很容易解出该方程,后来有人用这个方程对历史期权价格进行了验证,发现实际价格与理论价格基本接近,这一理论研究成果直接被应用到金融市场交易的实践中,推动了各类期权交易的迅猛发展.关于期权定价的理论研究[2-30]和综述文献[31-33]已相当丰富.本文与以往综述类文献根本不同的特点是将金融市场分为完全的金融市场和非完全的金融市场.突出了适用于非完全市场期第5卷第2期2002年4月管 理 科 学 学 报 JOU RNAL O F M ANA GE M EN T SC IEN CES I N CH I NA V o l.5N o.2A p r.,2002①收稿日期:2001201208;修订日期:2002201216.基金项目:国家自然科学基金(70173031)资助项目;国家杰出青年科学基金(70025303)资助项目;教育部跨世纪优秀人才基金资助项目.作者简介:刘海龙(19592),男,吉林省吉林市人,博士,教授.权定价理论的研究成果.金融市场是完全的假设下的期权定价问题的研究已经取得了丰硕的成果[2-8].如今,在金融市场不完全情况下的期权定价问题已经成为人们的研究热点[9-13].股票期权价格是以所对应的标的股票价格为基础的,受股票价格的波动率及无风险收益率等参数的影响.目前关于期权定价方法研究的主要成果有:(1°)传统期权定价方法,(2°)B lack2Scho les期权定价方法,(3°)二叉树期权定价方法,(4°)有限差分方法,(5°)蒙特卡罗模拟方法,(6°)确定性套利方法,(7°)Ε2套利定价方法,(8°)区间定价方法.为了更好地了解期权定价方法发展的脉络,本文对此进行了较详细的叙述.1 传统期权定价方法在B lack2Scho les以前,最早的期权定价模型的提出应当归功于法国的巴舍利耶,他发表了他的博士论文“投机理论”(T heo rie de la specu lati on)[13],第一次给予了B row n运动以严格的数学描述,他假设股票价格过程是一个没有漂移和每单位时间具有方差Ρ2的纯标准布朗运动,他得出到期日看涨期权的预期价格是P(x,t)=x5x-kΡt-k5x-kΡt+ Ρt x-kΡt(1)其中P(x,t)表示t时刻股票价格为x时期权的价值,x表示股票价格,k表示期权的执行价格,5表示标准正态分布函数, 表示标准正态分布密度函数.现在来看,巴舍利耶期权定价模型的主要缺陷是绝对布朗运动允许股票价格为负和平均预期价格变化为零的假设脱离实际,而且没有考虑资金的时间价值.在巴舍利耶以后,期权定价模型的最新发展,当属斯普里克尔(Sprek le,1961)[14],他假设了一个股票价格服从具有固定平均值和方差的对数分布,且该分布允许股票价格有正向漂移,他得到的看涨期权价值公式为P(x,t)=x eΑt5ln(x k)+Α+12Ρ2t- (1-Π)K5ln(x k+Α-12Α2tΡt(2)其中参数Π是市场“价格杠杆”的调节量,Α是股票预期收益率(不是无风险收益率),这一模型也没有考虑资金的时间价值.这一期间,卡苏夫(Kassouf,1969)、博内斯(Boness,1964)和萨缪尔森(Sam uelson,1965)也相继给出了看涨期权定价公式[15-17],特别是博内斯和萨缪尔森的看涨期权定价公式基本上接近了B lack2Seho les的期权定价公式.2 Black-Seholes期权定价方法B alck2Seho les的期权定价理论假设条件如下[1]:(1°)标的资产价格变动比例遵循一般化的维纳过程,该假定等价于标的资产价格服从对数正态分布;(2°)允许使用全部所得卖空衍生资产;(3°)没有交易费用和税收;(4°)不存在无风险套利机会;(5°)无风险利率r为常数且对所有到期日都相同.B lack2Seho les期权定价方法的基本思想是:衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响,二者遵循相同的维纳过程.如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合,可以消除维纳过程,标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以相互抵消.由这样构成的资产组合为无风险的资产组合,在不存在无风险套利机会的情况下,该资产组合的收益应等于无风险利率,由此可以得到衍生资产价格的B lack2Seho les微分方程5P(x,t)5t-r P(x,t)+r x5P(x,t)x+ 12Ρ2x252P(x,t)5x2=0P(x,T)=m ax{0,x,-k},x>0(3)其中P(x,t)表示t时刻标的资产价格为x时看涨期权的价值,T表示期权的有效期限,r表示无风险利率,Ρ2表示标的资产收益率变化速度的方差,描述的是标的资产价格的易变性.k表示期权的执行价格.该方程的一个重要特性就是消去了预—86—管 理 科 学 学 报 2002年4月期收益率Λ,从而不包含任何反映投资者风险偏好的变量.由于风险偏好对期权定价不产生影响,因此,所有投资者都是风险中性的假定是没有必要的.通过求解偏微分方程(3)可得欧式看涨期权的定价公式P(x,t)=x5(d1)-k5(d2)exp[-r(T-t)](4)其中5( )是标准累积正态分布函数.d1=ln(x k)+(r+Ρ2 2)(T-t)ΡT-td2=ln(x k)+(r-Ρ2 2)(T-t)ΡT-t同理,可以得到欧式看跌期权的定价公式为P(x,t)=-x5(-d1)+k5(-d2)exp[-r(T-t)](5)期权定价方程可以用来制定各种金融衍生产品的价格,是各种金融衍生产品估价的有效工具.期权定价方程为西方国家金融创新提供了有力的指导.B lack2Scho les期权定价方法是现代期权定价理论的又一创举.自从布来克和斯科尔斯的论文发表以后,由默顿、考克斯、鲁宾斯坦等一些学者相继对这一理论进行了重要的推广并得到了广泛的应用[4-6].3 二叉树方法二叉树方法是由Cox,Ro ss和Rob in stein提出来的[3],其基本思想是:把期权的有效期分为若干个足够小的时间间隔,在每一个非常小的时间间隔内假定标的资产的价格从开始的x运动到两个新值,运动到比现价高的值xu的概率为p,运动到比现价低的值xd的概率为1-p.由于标的资产价格的变动率服从正态分布,运用风险中性定价原理,可以求得u=eΡ∃t d=1u=e-Ρ∃t P=e∃t-du-d(6)假设初始时刻时间为0,已知标的资产的价格为x;时间为∃t时,标的资产价格有两种可能: xu和xd;时间为2∃t时,标的资产价格有3种可能:xu2,xud和xd2.注意在计算每个结点标的资产价格时要使用u=1d 这一关系.一般情况下,i∃t时刻,标的资产价格有i+1种可能xu j d i-j j=0,1,…,i(7)如果是看涨期权,其价值应为m ax(x-k,0),这样,在已知到期日的股价之后,可求出二叉树的M+1个末端期权的价格.依据风险中性定价原理,T-∃t时刻每个节点上期权的价格都可由T时刻期权价格的期望值以无风险利率r折现求得.以此类推,可由期权的未来值回溯期权的初始值.值得注意的是,二叉树方法是由期权的未来值回溯期权的初始值,因此可以用于美式期权计算.美式期权在某个节点期权的价格是如下两个价格之中的较大者:一个是立即执行时的价格;另一个是继续持有∃t时间的折现值.假设一个不付红利股票的美式期权的有效期被分成N个长度为∃t的小段.设c ij为i∃t时刻股票价格为xu j d i-j(0≤i≤N,0≤j≤i)时的期权价值,也就是结点(i,j)的期权值.由于美式看涨期权在到期日的价值为m ax(x-k,0),因此c N j=m ax[xu jd N-j-k,0] j=0,1,…,N(8)在i∃t时刻股票价格xu j d N-j从结点(i,j)向(i+1)∃t时刻结点(i+1,j+1)移动的概率p,即移动到股票价格为xu j+1d i-j;向结点(i+1,j)移动的概率为1-p,即移动到股票价格为xu j d i+1-j.假设不提前执行,风险中性倒推公式为c ij=e-r∃t[p c i+1,j+1+(1-p)c i+1,j] (0≤i≤N-1,0≤j≤i)(9)若考虑提前执行时,式中的C ij必须与看涨期权的内涵价值进行比较,因此可以得到c ij=m ax{xu jd i-j-k, e-r∃t[p c i-1,j+1+(1-p)c i+1,j]}(10)因为计算是从T时刻倒推回来的,所以i∃t期权价值不仅反映了在i∃t时刻提前执行这种可能性对期权价值的影响,而且也反映了在后面的时间里提前执行对期权价值的影响.当∃t趋于0时,可以获得准确的美式看涨期权价值.如果不考虑提前执行,就得出欧式看涨期权价值.4 蒙特卡罗模拟方法蒙特卡罗模拟方法是一种对欧式衍生资产估—96—第2期 刘海龙等:期权定价方法综述值方法[18],其基本思想是:假设已知标的资产价格的分布函数,然后把期权的有效期限分为若干个小的时间间隔,借助计算机的帮助,可以从分布的样本中随机抽样来模拟每个时间间隔股价的变动和股价一个可能的运行路径,这样就可以计算出期权的最终价值.这一结果可以被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本,用该变量的另一条路径可以获得另一个随机样本.更多的样本路径可以得出更多的随机样本.如此重复几千次,得到T时刻期权价格的集合,对几千个随机样本进行简单的算术平均,就可求出T时刻期权的预期收益.根据无套利定价原则,把未来T时刻期权的预期收益X T用无风险利率折现就可以得到当前时刻期权的价格. P=e-r T E(X T)(11)其中,P表示期权的价格,r表示无风险利率, E(X T)为T时刻期权的预期收益.蒙特卡罗模拟方法的优点在于它能够用于标的资产的预期收益率和波动率的函数形式比较复杂的情况,而且模拟运算的时间随变量个数的增加呈线性增长,其运算是比较有效率的.但是,该方法的局限性在于只能用于欧式期权的估价,而不能用于对可以提前执行合约的美式期权.且结果的精度依赖于模拟运算次数.5 有限差分方法有限差分方法主要包括内含有限差分方法和外推有限差分方法,其基本思想是通过数值方法求解衍生资产所满足的微分方程来为衍生资产估值,将微分方程(3)转化为一系列差分方程之后,再通过迭代法求解这些差分方程(详见文[18]).总的来看,有限差分方法的基本思想与二叉树方法基本相似,它们既可以用来求解欧式期权的价格又可以用来求解美式期权的价格.6 确定性套利方法确定性套利的期权定价方法是在金融市场是广义完全的假设下提出来的[19],广义完全的金融市场是指在金融市场中对于任意衍生资产v,总存在v的强复制策略.记期权v的强复制策略构成的集合为H(v)={Η:D TΗ≥v},则期权v的价格p3(v)定义为 p3(v)=m inΗ∈Hq TΗ(12)其中v为期权,p3(v)为期权价格,q=[q1,…, q n]T∈R n为标的资产期初价格向量,D表示风险资产在不确定状态下的价格矩阵,Η=[Η1,Η2,…,Ηn]T∈R n表示风险资产组合向量.一般来说,期权的卖方要构造一个强复制策略来对他的潜在负债进行套期保值,因此期权的卖方要求期权价格不低于它的套期保值成本.7 Ε2套利定价方法在非完全市场不存在完全复制策略的情况下,传统期权定价方法、B lack2Scho les期权定价方法、二叉树期权定价方法和有限差分方法就不适用了.Ε2套利定价方法的基本思想是[20]:对于任意期权v,如果对于给定Ε,能够构造一个资产组合Η满足‖D TΗ-v‖≤Ε,则称Η是一个Ε2不完全复制策略,那么Ε2不完全复制策略Η与标的资产期初价格向量q的内积就是期权的价格.记期权v的Ε2复制策略构成的集合为HΕ(v)={Η:‖D TΗ-v‖≤Ε},则有期权的定价公式p3(v)={q TΗ:m inΗ∈HΕ(v)‖D TΗ-v‖}(13)其中v为期权,p3(v)为期权价格,q=[q1,…, q n]T∈R n为标的资产期初价格向量,D表示风险资产在不确定状态下的价格矩阵,Η=[Η1,Η2,…,Ηn]T∈R n表示风险资产组合向量.8 区间定价方法区间定价方法与确定性套利定价方法和Ε2套利定价方法一样既适用于完全的金融市场,又适用于非完全的金融市场.它的基本思想是仍然采用无套利定价原理[21].但由于在非完全的金融市场不存在完全的复制策略,因此期权价格不是一个确定的值,而是一个区间,只不过用了买方无套利和卖方无套利确定区间的两个端点.若记衍生资产v的买方强复制策略构成的集合H(v)= v D T—7—管 理 科 学 学 报 2002年4月略构成的集合G(v)={Η:D TΗ-v≥0},定义 a=m axΗ∈H(v)q TΗ(14) b=m inΗ∈G(v)q TΗ(15)衍生资产的卖方通过构造的强复制策略来对他的潜在负债进行套期保值所确定的衍生资产的价格就是衍生资产的买方的无套利价格.衍生资产的买方通过构造的强复制策略对他的潜在负债进行套期保值所确定的衍生资产的价格就是衍生资产的卖方的无套利价格.非完全市场衍生资产价格区间为[a,b]=[m axΗ∈H(v)q TΗ,m inΗ∈G(v)q TΗ](16)9 各种期权定价方法的比较上述各种定价方法从求解角度看可分为解析方法与数值方法,前者包括传统期权定价方法和B lack2Scho les方法;后者包括蒙特卡罗模拟方法、二叉树方法、有限差分方法、确定性套利方法、Ε2套利方法和区间定价方法.从应用的角度看可分为只适用完全金融市场的方法和既适用完全金融市场又适用非完全金融市场的方法,前者包括B lack2Scho les方法、蒙特卡罗模拟、二叉树方法和有限差分方法;后者包括确定性套利定价方法、Ε2套利定价方法和区间定价方法.B lack2Scho les期权定价方法的主要优点是:该方法能够得到套期保值参数和杠杆效应的解析表达式,从而为衍生资产的交易策略提供较清晰的定量结论,解析解本身没有误差,当需要计算的期权的数量较小时,直接使用B lack2Scho les公式比较方便.但是,该方法也存在不足之处,即只能给出欧式期权的解析解,而且,该方法也难以处理期权价格依赖于状态变量历史路径及其它的一些较复杂的情况.数值计算方法各有其优缺点.蒙特卡罗模拟方法的优点在于能处理较复杂的情况且计算的相对效率较高,但由于该方法是由初始时刻的期权值推导未来时刻的期权值,它只能用于欧式期权的计算,而不能用于对可以提前执行合约的美式期权.二叉树方法和有限差分方法是由期权的未来值回溯期权的初始值,因此可以用于美式期权的计算,但这两种方法不仅计算量大、计算效率低,而且难以计算期权依赖于状态变量历史路径的复杂情况.就二者之间的优劣比较而言, Geske2Shastrid的研究结果进一步表明,二叉方法更适用于计算少量期权的价值,而从事大量期权价值计算时有限差分方法更有效率.在非完全市场情况下,传统期权定价方法、B lack2Scho les期权定价方法、二叉树期权定价方法、有限差分方法和蒙特卡罗模拟方法都不适用.衍生资产价格不是一个确定的值,而是一个区间.Ε2套利定价方法所得到的结果位于运用区间定价方法所得到的区间内.在完全金融市场情况下,这个区间就退化为一个点,这时衍生资产区间定价方法与二叉树定价方法和Ε2套利定价方法得到的结果是一致的.二叉树定价方法是确定性套利定价方法、区间定价方法和Ε2套利定价方法的特殊情况,确定性套利定价方法、区间定价方法和Ε2套利定价方法是二叉树定价方法在非完全金融市场的推广,运用Ε2套利定价方法所得到的结果一定在运用区间定价方法所得到的区间内,确定性套利定价方法、区间定价方法和Ε2套利定价方法都既适用于完全金融市场,又适用于非完全的金融市场.本文是在离散时间单期假设下给出的确定性套利定价方法、区间定价方法和Ε2套利定价方法,事实上,这些方法完全可以推广到多期模型和连续时间模型,只不过计算更为复杂.确定性套利定价方法应用价值不大,区间定价法和Ε2套利定价法较符合实际.在多期模型假设下,区间定价法需要解二个多层次线性规划,Ε2套利需要解一个多层次二次规划.另外,完全可以寻找解决非完全市场的B lack2Scho les期权定价方法、二叉树定价方法和有限差分方法.比如在一定假设条件下,按买方无套利和卖方无套利原则求解两个B lack2Scho les 期权定价方程,就可以得到连续时间框架下期权定价区间,当然,也可以按类似的思路、用其它方法解决此问题.应该充分认识到现在和将来,迫切需要创造性地研究出既符合实际又计算灵活方便的期权定价方法.10 结束语综上所述,无论是在连续时间模型框架下,还—17—第2期 刘海龙等:期权定价方法综述是在离散时间模型框架下;无论在完全市场假设下,还是在非完全市场假设下;无论是对欧式期权、美式期权、亚式期权的定价,还是对其它复杂的衍生资产的定价,无套利定价原则都是一个普遍适用的基本原则.正如我国金融工程学科的主要创导者之一,宋逢明教授在文[22]中所述,“不懂得无套利均衡分析,就是不懂得现代金融学的基本方法论,当然,也就不懂得金融工程的基本方法论”.可以说有关各类期权定价方法的研究还在不断的探讨和发展[23230],因为从理论上讲期权发展是无止境的,从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的,因此,研究探讨期权定价方法的共性和个性,对于深入研究复杂期权的定价有重要意义.在这方面文[28]和[34]既有理论意义又有实用价值,值得深入研究.参考文献:[1] B lack F ,Scho les M .T he p ricing of op ti ons and co rpo rate liabilities [J ].Journal of Po litical Econom y ,1973,81(3):6372654[2] D avis M ,Panas V G ,Zari phopoulou T .European op ti on p ricing w ith transacti on co sts [J ].S I AM J .O f Contro land Op ti m izati on 1993,31(2):4702493[3] Cox J C ,Ro ss S A ,R ubinstein M .Op ti on p ricing :a si m p lified app roach [J ].Journal of F inancial Econom ics ,1979,9(7):2292263[4] M erton R .T heo ry of rati onal op ti on p ricing [J ].Bell Journal of Econom ics and M anagem ent Science ,1973,4(1):1412183[5] Cox J ,Ro ss S .T he valuati on of op ti ons fo r alternati on stochasic p rocesses [J ].Journal of F inancial Econom ics ,1976,3(3):1452166[6] R ubinstein M .T he valuati on of uncertain incom e stream s and the p ricing of op ti ons [J ].Bell Journal of Econom icsand M anagem ent Science ,1976,7(2):4072425[7] Cox J ,Ro ss S .A survey of som e new results in financial op ti on p ricing theo ry [J ].Journal of F inancial ,1976,31(2):3832402[8] 黄小原.一种新的期权价格估计方法[J ].预测,1996,15(2):59[9] Toft K .O n the m ean 2variance tradeoff in op ti on rep licati on w ith transacti ons co sts [J ].Journal of F inancial andQ uantitative A nalysis ,1996,31:2332263[10] H ull J C .Op ti ons ,futures ,and o ther derivative securities [M ].Englew ood C liffs ,N J :P rentice 2H all Inc .,1993[11] M cEneaney W M .A robust contro l fram ew o rk fo r op ti on p ricing [J ].M ath .of Operati ons R esearch ,1997,22:2022221[12] 马超群,陈牡妙.标的资产服从混合过程的期权定价模型[J ].系统工程理论与实践,1999,19(4):41246[13] Bachelier L .T heo rie de la speculati on [A ].Coonter P H .A nnales de I ’eco le N o r m ale Superieure .EnglishT ranslati on in the R andom Character of Stock M arket P rices [D ].Cam bridge :M IT P ress ,1964.17278[14] Sp renk le C M .W arrant p rices as indicato rs of expectati ons and p references [J ].Yale Econom ic E ssays ,1961,1(2):1782231[15] Kassouf S T .A n econom etric model fo r op ti on p rice w ith i m p licati ons fo r investo rs expectati ons and audacity [J ].Econom etrica ,1969,37(4):6852694[16] Boness A J .E lem ents of a theo ry of stock op ti on value [J ].Journal of Po litical Econom y ,1964,72(2):1632175[17] Sam uelson P A .R ati onal theo ry of w arrant p ricing [J ].IndustrialM anagem ent R eview ,1965,6(2):13232[18] H ull J C .期权、期货和衍生证券[M ].张陶伟译.北京:华夏出版社,1997.2052252[19] 郑立辉,张 近.确定性套利——非完备市场中期权定价的新概念[A ].吴冲锋,黄培清.亚太金融研究:亚太金融学会第七届年会论文选[C ].上海:上海交通大学出版社,2001.28236[20] 刘海龙,吴冲锋.非完全市场期权定价的Ε2套利方法[J ].预测,2001,20(4):17219[21] M usiela M ,Kutkow sk i M .M artingale m ethods in financial modeling theo ry and app licati on [M ].Beling—27—管 理 科 学 学 报 2002年4月H eidelberg ,N ew Yo rk :Sp ringer 2V erlay ,1997.1262180[22] 宋逢明.金融工程原理[M ].北京:清华大学出版社,1999[23] D uffie D .D ynam ic assets p ricing theo ry [M ].N ew Jersey :P rinceton U niversity P ress ,1992[24] Galitz L .金融工程学[M ].唐 旭译.北京:经济科学出版社,1998.2202228[25] Pheli m P B ,V o rst T .Op ti on rep licati on in discrete ti m e w ith transacti on co sts [J ].Journal of F inance ,1992,47(1):2712293[26] D avid S B ,Johnson H .T he Am erican put op ti on and its critical stock p rice [J ].Journal of F inance ,2000,55(5):233322356[27] 党开宇,吴冲锋.亚式期权定价及其在期股激励上的应用[J ].系统工程,2000,18(2):27232[28] 顾 勇,吴冲锋.基于回售条款的可换股债券的定价研究[J ].管理科学学报,2001,4(4):9215[29] Zhang P G .Exo tic op ti ons :a guide to second generati on op ti ons [M ].Singapo re ,N ew Jersey ,L ondon ,Hongkong :W o rld Scientific ,1998.1262198[30] 郑立辉.基于鲁棒控制的期权定价方法[J ].管理科学学报,2000,3(3):60264[31] 宋逢明.期权定价理论和1997年度诺贝尔经济学奖[J ].管理科学学报,1998,1(2):6210[32] 罗开位,候振挺,李致中.期权定价理论的产生和发展[J ].系统工程,2000,18(6):125[33] 沈艺峰.斯科尔斯和莫顿的期权理论评价[J ].投资研究,1998,5:44248[34] 王承炜,吴冲锋.上市公司可转换债券价值分析[J ].系统工程,2001,19(4):47253Survey of option pr ic i ng m ethodsL IU H a i 2long ,W U Chong 2f engA etna Schoo l of M anagem en t ,Shanghai J iao tong U n iversity ,Shanghai 200052,Ch inaAbstract : T h is p ap er first in troduces the em ergence and developm en t of op ti on p ricing theo ry ,then gives a m o re detailed descri p ti on of the theo retical and em p irical researches on the m ethod .Inparticu lar ,w e focu s on the such m ethods as deter m in istic arb itrage ,Ε2arb itrage and in terval p ricing ,w ith app licati on s to bo th com p lete m arkets and incom p lete m arkets .F inally ,conditi on s andcharacteristics of the vari ou s op ti on p ricing m ethods are discu ssed .Key words : su rvey ;op ti on p ricing ;M on te Carlo si m u late ;fin ite difference m ethod ;Ε2arb itrage ;in terval p ricing—37—第2期 刘海龙等:期权定价方法综述。
求解 Black-Scholes 模型下美式回望看跌期权的有限差分法
求解 Black-Scholes 模型下美式回望看跌期权的有限差分法李庚;朱本喜;张琪;宋海明【摘要】The authors mainly studied the numerical method for valuing American lookback put options under the Black-Scholes model.Applying the finite difference method,we obtained the discretization form of the Black-Scholes equation,which was used to solve the option value,and we got the optimal exercise boundary by Newton’s method.Solving this problem by the two method in turn,we can get the option price and the optimal exercise boundary simultaneously.Numerical experiments verify the efficiency of the method.%考虑 Black-Scholes 模型下美式回望看跌期权的定价问题。
先采用有限差分法对 Black-Scholes 方程离散，求解期权价格，再通过 Newton 法求解最佳实施边界。
用两种方法交替求解，得到了期权价格和最佳实施边界的数值逼近结果。
数值实验验证了算法的有效性。
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】5页(P698-702)【关键词】Black-Scholes 模型;美式回望看跌期权;最佳实施边界【作者】李庚;朱本喜;张琪;宋海明【作者单位】吉林大学数学学院，长春 130012;吉林大学数学学院，长春130012;吉林大学数学学院，长春 130012;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O241.80 引言回望期权［1］是一种依赖于路径的期权.令S，t，σ，r，q，T和J分别表示原生资产价格、时间、原生资产波动率、无风险利率、原生资产红利率、期权的到期日和0时刻到t时刻原生资产价格的最大值，则美式回望看跌期权P（S，J，t）满足的Black－Scholes模型［2－3］为：其中B（t）为美式回望看跌期权的最佳实施边界，它把美式期权的求解区域分成两部分：S＞B（t）为持有区；S≤B（t）为实施区；B（T）＝max｛ln（q／r），0｝.求解Black－Scholes模型下美式回望看跌期权定价问题目前主要存在以下困难：1）问题（1）是一个空间变量为二维的非线性问题，难以直接求解；2）左端的最佳实施边界B（t）是一条未知曲线，空间求解区域为形状不规则的无界区域；3）期权价格P（S，J，t）和最佳实施边界B（t）存在相关性，难以给出同时求出两者的数值方法.针对1），2），本文采用降维变换［4］和Landau’s变换［5］，最终将问题（1）化成一个［0，1］区间上的一维抛物问题.对于3），采用有限差分法和Newton法交替迭代求解离散后的方程组，进而得到期权价格P（S，J，t）和最佳实施边界B（t）.1 降维变换由于方程（1）是一个二维空间上的抛物问题，因此为简化模型，可通过变量替换将美式回望看跌期权定价问题（1）转化为一个自由边值问题：其中：至此已解决了第一个难点，将方程（1）化成了一维抛物问题.同时，也部分解决了第二个难点，观察方程（3）可见，它的求解区域已化为一个有界区域.然而其右边界仍然是一条未知曲线.2 Landau’s变换通过Landau’s变换可将问题（3）化为如下有界规则区域上的抛物问题：为描述简便，做如下变换：将方程（6）由倒向问题化为正向问题：至此已解决了第二个难点.美式回望看跌期权定价问题（1）已转化为一个［0，1］区间上的抛物问题.该问题可采用有限差分法［6－8］进行数值求解.3 数值解法下面考虑求解方程（8）的有限差分法.记时间剖分空间剖分差分近似任给0＜m≤M，方程（8）的θ格式差分离散形式为其中对于方程（8）的Neumann边值条件，采用二阶Taylor展开近似，得到离散格式的数值精度和方程的中心差商精度一致，均为二阶精度，表示成矩阵形式如下：给定bm的一个初值，可利用方程（9）求解um；已知um，可通过Newton法解方程（10）得到bm的一个更好近似，这两步交替求解，便可得到um和bm的逼近结果.由于期权的价格非负，故要求算法求得的数值解非负.定理1 假设足够小，则方程组（9）的解是非负的，即≥0，n＝0，1，…，N；m＝1，2，…，M.证明：为简单，只对向后Euler格式（θ＝0）给出证明.把方程组（9）写成如下形式：其中：观察系数和右端，把所有系数都乘以h2／km，当ρ1和ρ2足够小时，可得因此，方程组（9）的系数矩阵是一个M矩阵，由M矩阵的性质可知，它的逆矩阵非负.又因为U0非负，故向量非负.以此类推，和Um（m＝1，2，…，M）均非负.证毕.下面考虑如何求解bm.注意到um是关于bm的非线性函数，根据方程（10）可知，可视为bm的隐函数：采用Newton法求解非线性方程（13），其中算法如下：1）b（0）＝bm－1＋km，1＜m≤M；2）对于j＝1，2，…：① 求解AU＝F和为对AU＝F两端关于b（j－1）求导时得到的右端，从而得u0和② 计算③ 如果令bm＝b（j），终止循环.3）求解AU＝F，得到U的最佳逼近.实际计算时，取ε＝10－6.4 数值算例下面给出一个数值算例验证本文算法的有效性.考虑一支一年期的美式回望看跌期权，假设原生资产的波动率σ＝0.2，红利率q和银行利率r分别取以下3种情形：1）当r＜q时，r＝0.025，q＝0.05；2）当r＝q时，r＝q＝0.05；3）当r＞q时，r＝0.1，q＝0.05.数值结果如图1和图2所示.其中：y表示股价与J商的对数值；t表示时间；S表示股票价格.图1给出了3种情形下本文算法得到的最佳实施边界与二叉树法［4］得到最佳实施边界的对比.对于这3种情形，本文算法取二叉树法中选取M＝10 240.图2给出了3种情形下本文算法计算得到的最佳实施曲面（t，S，J）的三维图像.由数值结果可见，本文算法能较精确地拟合出最佳实施边界和期权价格.图1 FDM法得到的最佳实施边界Fig.1 Optimal exercise boundary obtained by FDM图2 二叉树法得到的最佳实施曲面Fig.2 Optimal exercise surface obtained by binomial method参考文献【相关文献】［1］Goldman M B，Sosin H B，Gatto M A.Path Dependent Options：“Buy at the Low，Sell at the High”［J］.Journal of Finance，1979，34（5）：1111－1127.［2］Black F，Scholes M.The Pricing of Options and Corporate Liabilities［J］.J Pol Econ，1973，81（3）：637－654.［3］花秋玲，杨成荣.美式封顶期权的对称性［J］.吉林大学学报：理学版，2009，47（4）：717－722.（HUA Qiuling，YANG Chengrong.Symmetry Properties on American Options ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2009，47（4）：717－722.）［4］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法［M］.2版.北京：高等教育出版社，2008：170－191.（JIANG Lishang.Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing［M］.2nd ed.Beijing：Higher Education Press，2008：170－191.）［5］MA Jingtang，XIANG Kaili，JIANG Yingjun.An Integral Equation Method with High－Order Collocation Implementations for Pricing American Put Options［J］.International Journal of Economics and Finance，2010，2（4）：102－112.［6］吕桂霞，马富明.抛物方程的一类并行差分格式［J］.吉林大学学报：理学版，2002，40（4）：327－330.（LÜGuixia，MA Fuming.A Parallel Difference Scheme for Parabolic Equation［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2002，40（4）：327－330.）［7］HAN Houde，WU Xiaonan.A Fast Numerical Method for the Black－Scholes Equation of American Options［J］.SIAM J Numer Anal，2004，41（6）：2081－2095. ［8］王智宇，李景诗，朱本喜，等.求解CEV模型下美式看跌期权的有限差分法［J］.吉林大学学报：理学版，2014，52（3）：489－493.（WANG Zhiyu，LI Jingshi，ZHU Benxi，et al.Finite Difference Method for Solving American Put Option under the CEV Model ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2014，52（3）：489－493.）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
美式期权有限差分定价方法综述
摘要：本文针对不支付红利的美式看跌期权定价，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价问题，基础阐述显隐式及高精度的高阶有限差分方法，对美式期权定价B-S模型的发展进行了综述，最后，总结了各种方法的特点和效果。
关键词：综述；美式期权定价；B-S模型；有限差分方法
一、引言
期权是最基本的金融衍生工具之一，以付出一定费用为代价获得的一种权力，这种权力赋予期权持有人在将来的某一时刻按照规定的价格买卖合约指定的基础资产。
期权已成为最具活力的金融衍生产品，得到迅速发展和广泛利用。
其中，美式看跌期权是在期权交易期限内的任何一个时点上，持有者都有按约定价格卖出的权利。
实际应用中，美式期权定价问题应用更为广泛，然而，不同于欧式期权定价问题有精确的解析式，美式期权定价问题不存在解析解，它的有关理论和数值方法研究一直是不同学者的花费大量精力钻研
的领域。
布莱克和斯科尔斯[1]给出不支付红利下的欧式期权的
定价公式重要论文，同年，莫顿[2]可以用来对支付已知红利
的期权进行定价，奠定了期权定价理论基础。
后来，各类学者在B-S模型基础上做出了大量的理论研究与数值方法探讨。
本文主要针对不支付红利的美式看跌期权定价问题，进行各种有限差分方法的综述，首先，介绍了基于B-S模型的美式
期权的定价模型，然后，基础阐述显式、更高精度的高阶有限差分方法，最后，对各种方法的特点和效果进行评价。
二、美式期权定价问题的模型
Black-Scholes期权定价模型
布莱克和斯科尔斯推导出不支付红利下欧式期权价格
满足著名的B-S方程，进而得到欧式期权的解析式，基本假
设有：
利用mathmatic可以得到一个三对角矩阵线性方程组，从而迭代得到最后的期权价值，这里的边界条件和初始条件均不变。
五、结论
对于美式看跌期权的定价，各种文献的数值仿真过程与结果证明：
在最基础的B-S模型上，流行的有限差分直接方法简单
易操作，显式差分方法最易，但与隐式差分格式相比稳定性较弱，CN介于显隐式之间比二者效果好，对计算机性能要求低，这些方法都有一个共同的弱点，在时间和空间上的点数过少，最多只能达到二阶精度，最优执行边界不够平滑。
高
阶有限差分利用更多的点得到空间和时间上的四阶精度，操作比较复杂，必须用到mathmatic进行符号计算，对计算机的性能要求更高，对方法使用人的要求自然也高。
有关美式期权定价有限差分方法的研究还在不断的探
讨和发展，因为从理论上讲期权发展是无止境的，从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的，因此，研究探讨美式期权定价有限差分方法的优缺点，对于深入研究复杂期权的定价有重要意义。
（作者单位：广东工业大学管理学院）参考文献：
[1] Fisher B，Myron S.The pricing of options and corporate liabilities，Journal of Political Economy 81（1973）637?C654.
[2] R.C.Merton.The theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Management Science 1（1973）141?C183.
[3] Gutachter.Numerical simulation of American options.Universit¨at Ulm Fakult¨at f¨ur Mathematik undWirtschaftswissenschaften.（2004）.
[4] Sukha.Advanced mathematics of finance honours project：finite-difference methods for pricing the American put option.（2001）.
[5] H.K.Versteeg，W.Malalasekera.A introduction to computational fluid dynamics the finite volume
method.Pearson Education（1995）.
[6] D.Y.Tangman，1，A.Gopaul，M.Bhuruth.Numerical pricing of options using high-order compact finitedifference schemes.Journal of Computational and Applied Mathematics 218（2008）270 ?C 280。