美国人口增长预测模型

2016年数学建模论文

第一套

论文题目：人口增长模型的确定

组别：第35组

姓名：耿晨闫思娜王强

提交日期：2016年7月4日

题目：美国人口增长预测模型

摘要

本文根据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据，建立了指数增长模型，即Malthus模型，并通过1790-1890年的数据验证了它的准确性。但是，随着时间的推移，拟合函数与统计数据误差逐渐增大，所以，又建立了阻滞增长模型，即Logistic 模型，这个模型的拟合函数与统计数据误差较小，并用该模型对美国未来几年的人口做出了预测。总体来说，阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。

关键词：指数增长模型，阻滞增长模型，人口预测

一、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

表1：人口记录表

1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。

3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。

二、问题分析

影响人口增长的因素很多，其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。出生率受到婴儿死亡率、对避孕的态度及措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因素的影响；死亡率则受到卫生设施与公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等因素的影响。此外，影响人口在一个地区增长的因素还有迁入和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等。在这些因素中，有些是常态的或者有规律的，这些因素对人口的增长是恒定的；而有些因素是随机的，对人口的增长是没有规律的。因此，当大范围、长时期研究人口增长问题时，对人口增长产生影响的随机因素就不在考虑了。

建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化，并与实际的数据进行对比，看误差的大小。在此基础上利用改进的模型对美国人口同时期数量进行预测，并进行总结分析。

三、问题假设

人口指数增长模型中采用以下基本假设：

（1）单位时间的人口总量增长与当时的人口呈正比，比例常数为k；

（2）假设t时刻的人口为N(t)，因为人口数一般是很大的，所以将N(t)近似地视为连续，可微的函数。记初始时刻（t=0）的人口数为N0。新生人口数百分率为a，死亡的百分率为b，那么,经过Δt时间后，人口数量为N（t+Δt）就是原来人口数量加上Δt时间内新生人口数减去死亡人口数。

四、变量说明

t 0：数据的起始时间，即1790年； t ：时间变量； r ：人口固有增长率；

N 0：当时间t=1790时的人口数量，即3.9*10^6人； N(t)：t 时刻人口数量； N m ：最大人口容量。

五、模型建立

在Malthus 的人口指数增长模型中，根据假设我们可以得到：

()()()()N t t N t aN t t bN t t +∆=+∆-∆ （1）

上式进行变形，

()()()bN N

aN t t kN t t

∆=-=∆， 其中，t N N

∆=∆（+t ）-N(t) 可见在一段时间内，人口的变化和人口的数量成正比，用瞬时变化率逼近平均变化率得：

00()dN

kN dt N t N ==⎧⎨⎩

（2）

式中：N 0--初始时刻的人口数；N--人口数。 用分离变量法得到上述方程的解为：

()

0kt kt N e N t e = （3）

即方程的解为 0()

0k t t N N e -= （4）

六、模型求解

利用MATLAB 数学工具，对数据中前十一年(1790-1890)的人口数拟合（4）式.现对问题进行变形以便处理，对（4）式进行取对数，得：

()00ln ln N k t t N =-+ （5）

取00=t ，在MATLAB 中输入程序（程序1）：

可以得到 k=0.2808;

lnN 0=1.4107即N 0=4.0988

所以1790年到1890年的拟合函数为线性函数ln 0.2808 1.4107N t =+，所以：

0.28084.0988t N e = （6）

绘制离散点和拟合函数的图像进行对比，在MATLAB 中输入程序（程序2）： 得图1如下：

图1:1790-1890年美国人口拟合曲线图

比较拟合的曲线图和散点图（图1）可以发现与19世纪的人口增长情况相吻合。类似地，可以求出1790年至1990年的拟合函数为

0.21425.5918t N e = （7）

拟合过程如下：

在MATLAB 中输入程序见（程序3）： 可以得到 k=0.2142

ln N 0=1.7213即N 0=5.5918

所以1970年到1990年的拟合函数为线性函数0.2142 1.7213y x =+，所以：

0.21425.5918t N e =

绘制离散点和拟合函数的图像进行对比，在MATLAB 中输入程序（程序4）， 得图2如下：

图2:1790-1990年美国人口拟合曲线图

此时我们可以观察到虽然前期的数据能较好的吻合，但是随着时间的推移并不能很好的反应后期的人口真实情况，函数估计值与统计数据的误差越来越大。这说明，用指数增长模型预测短期人口的数量可以得到较好的结果，但是从长期来看，任何地区的人口数量都不可能无限制地增长。因此，指数增长模型不适合预测长时期人口的增长情况。

Malthus 模型中，我们只考虑了出生率和死亡率对人口的影响，而忽略了其他因素如自然资源、生存环境等对人口的影响。然而这些因素对人口增长起着阻滞作用，并且随着人口数量的增加，阻滞作用也会增大。因此需要将增长率k 看作是人口数量的函数，丹麦生物学家Pierre-Francois-Verhulst 在指数增长模型的基础上建立了改进的Malthus 模型，即Logistic 模型。

一般来说人口的增长率是变化的，当人口较少时，增长速度较快，增长率较大；当增加至一定的数量时，增长速度必然会减慢，增长率开始减小。因此增长率K 应该视为人口数量的函数。

在修正的人口阻滞增长模型中，有以下假设：

（1）假设人口增长率k(t)是t 时人口N(t)的函数，随着人口的增加，自然资源、环境条件等对人口增长的阻滞作用越来越明显，k(N)应是N 的减函数.

一个简单的假设是k(N)是N 的线性函数，k(N)=r-sN ，其中s>0，k>0式中r 称为固有增长率，表示人口很少时的增长率。其中m

k s N (N m 称为最大人口容量)。

（2）考虑自然资源和环境因素所能容纳的最大人口数量N m ，当N=N m 时增长率为0（环境饱和），即k(N m )=0。