培优专题运用公式法进行因式分解含答案
2、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式
a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式
a a
b b a b 2222±+=±()
立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()() 补充：欧拉公式：
a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()
=++-+-+-12
222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】
1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22
B. ()()a b a b -++2
C. ()()a b a b -++2
D. ()()a b b a 2222--
分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()
由此可得211120
23a a b m b
+=-+==???
????()()()
由（1）得a =-1
把a =-1代入（2），得b =
1
2
把b =12代入（3），得m =1
2
3. 在几何题中的应用。 例：已知
a b c
、、是?ABC 的三条边，且满足
a b c ab bc ac 2220++---=，试判断?ABC 的形状。
分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解： a b c ab bc ac 2220++---= ∴++---=2222220222a b c ab bc ac
∴-++-++-+=()()()a ab b b bc c c ac a 2222222220 ∴-+-+-=()()()a b b c c a 2220
()()()a b b c c a -≥-≥-≥2
22000，，
∴-=-=-=a b b c c a 000，， ∴==a b c
∴?ABC 为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数） 则()()232122n n +-+
=++++--=+=+()()
()()
2321232124481n n n n n n
由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：因式分解：x xy 324-=________。 解：x xy x x y x x y x y 32
224422-=-=+-()()()
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式：2883223x y x y xy ++=_________。 解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y () 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：
例1. 已知：a m b m c m =+=+=+12112212
3，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。 解：a ab b ac c bc 222222++-+- =+-++()()a b c a b c 222
=+-()a b c 2
a m
b m
c m =
+=+=+1211221
2
3，， ∴原式=+-()a b c 2
=+++-+??????
=()()()12112212314
2
2
m m m m
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从
而简化计算过程。
例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++=
证明： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() ∴把a b c a b c ++=++=00333，代入上式， 可得abc =0，即a =0或b =0或c =0 若a =0，则b c =-， ∴++=a b c 5550
若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++=
说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。
例3. 若x y x xy y 3322
279+=-+=，，求x y 22+的值。
解： x y x y x xy y 332227+=+-+=()() 且x xy y 22
9-+=
)1(92322=++=+∴y xy x y x ，
又x xy y 22
9
2-+=()
两式相减得xy =0 所以x y 22
9+=
说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）()()a a +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+-
（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-
2. 已知：x x +=-13，求x x 44
1+
的值。
3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<
4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。
5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求
（1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b
()()()111111+++++的值。
【试题答案】
1. （1）解：原式=++-+--[()()][()()]a a a a 231231 =+-+()()4123a a =-+-()()4123a a
说明：把a a +-231，看成整体，利用平方差公式分解。 （2）解：原式=---x x y x x y 5222()() =--x x y x 2321()()
=--++x x y x x x 22211()()()
（3）解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2222
=-+-()()x y a x y 22
2. 解： ()x x x x +=++121222
∴+
=+-=--=x x
x x 22
2
2112327()() ∴+=∴++=()x x x x 222441491249， ∴+=x x
441
47
3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。
证明： a b c bc 2222---
=-++=-+=++--a b bc c a b c a b c a b c 22222
2()
()()()
a b c ，，是三角形三边 ∴++>a b c 0且a b c <+ ∴++--<()()a b c a b c 0
即a b c bc 22220---< 4. 解 ωω210++=
∴+++=()()ωωω1102，即ω310-= ∴=∴==ωωω3200136671
1()
5. 分析与解答：（1）由因式分解可知
a b c abc a b c 3333++-=++()?++---()a b c ab bc ca 222 故需考虑a b c ab bc ca 222++---值的情况，
（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：（1） a b c abc 3333++= ∴++-=a b c abc 33330 又 a b c abc 3333++-
=++++---()()a b c a b c ab bc ca 222
∴++++---=()()a b c a b c ab bc ca 2220 而a b c ab bc ca a b b c c a 2222221
2
++---=-+-+-[()()()] a b c ，，不全相等
∴++--->a b c ab bc ca 2220 ∴++=a b c 0 （2） abc ≠0 ∴原式=
+++++1
222abc
a b c b c a c a b [()()()] 而a b c ++=0，即a b c =-+() ∴原式=+--1
333abc b c b c [()]
=+13abc
bc b c [()]
=
-=-1
33
abc abc ()
说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。