2010年高考理科数学(陕西)卷

2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。

1.集合A={}|12x x -≤≤，B={}|1x x <，则()R A C B ⋂=A. {}|1x x >B.{}|1x x ≥C.{}|12x x <≤D.{}|12x x ≤≤ 2.复数 z =1ii+在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是 A.f(x)在（4π,2π）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称 C. f(x)的最小正周期为2π D. f(x)的最大值为24. ()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于A.-1B. 12C.1D.25.已知函数f(x)= 若f （f （0））=4a ，则实数a 等于A.21 B.54C.2D.9 6.右图是求样本1x ，2x ，…，10x 平均数x 的程序框图，图中 空白框中应填入的内容为A.S=S+n xB.S=S+n x nC.S=S+ nD.S=S+n1 7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.13 B. 23C.1D.222111xx x ax x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，，8.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为A.12B. 1C.2D.4 9.对于数列{}n a ，“1(1...)n n a a n +>=，2，”是“{}n a 为递增数列”的A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为A. y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B. 3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C. 4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D. 5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m ），c=（-1,2），若（a+b ）∥c ，则m= 12.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为 。

13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x ，y)，则点M 取自阴影部分部分的概率为 .14.铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的2CO 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为 .（万元）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）不等式x 323x +--≥的解集为B. (几何证明选做题)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA= . C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎨=+⎩（a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标系为__ _____ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且139,,a a a 成等比数列 （1） 求数列{}n a 的通项公式 （2） 求数列的前n 项和n S17. （本小题满分12分如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=分别是AD,PC的中点。

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

19. （本小题满分12分）为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm 之间的概率。

20. （本小题满分13分）如图，椭圆2222:1x y C a b+=的顶点为1212,,,A A B B ，焦点为12,,F F 11||A B ，112211222A B A B B F B F S S =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于F 点、与椭圆相交于A,B 亮点的直线，|OP|=1，是否存在上述直线l 使1AP PB =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

21. （本小题满分14分）已知函数()()ln ,R f x g x a x a ==∈（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有共同的切线，求a 的值和该切线方程；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，当()h x 存在最小值时，求其最小值()a ϕ的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的()a ϕ和任意的0,0a b >>，证明：()()2()()22a b a b aba bϕϕϕϕ''++''≤≤+参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。

1. D2. A3. B4. D5. C6. A7. C8. C9. B 10. B 10.解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B 法二：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当，所以选B 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11. -1 12.333333212345621+++++=。

13.1314. 15 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）{}1x x ≥ B. (几何证明选做题) 169C.(坐标系与参数方程选做题) (-1,1).(1,1)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16.（本小题满分12分） 解： （1）由题设知公差d ≠0由11a =且139,,a a a 成等比数列得12d 18d112d++=+ 解得d=1,d=0（舍去）故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯=（2）由（1）知22na n =，由等比数列前n 项和公式得2312(12)222 (222)12n nn n S +-=++++==--17. （本小题满分12分解：由题意知海里，906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠sin 5(3sin 455(3sin 45sin sin105sin 45cos60sin 60cos 45AB DAB DB ADB ∙∠+∙︒∙︒∴===∠︒︒∙︒+︒∙︒=，又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒= 在DBC ∆中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-∙∙∠= 1300120029002+-⨯= CD ∴=30（海里），则需要的时间30130t ==（小时）。

答：救援船到达D 点需要1小时。

注：如果认定DBC ∆为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD ，同样给分。

18. 解法一：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系。

∵2,AP AB BC AD ====，四边形ABCD 是矩形∴ A,B,C,D,P的坐标为(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)A B C D P 又E,F 分别是AD,PC 的中点， ∴(1E F∴2),(1(1,0,1)PC BF EF =-=-=, ∴ 2420,2020,PC BF PC EF =-+-==+-= ∴ ,,PC BF PC EF ⊥⊥∴,,,PC BF PC EF BF EF F ⊥⊥⋂=∴ PC ⊥平面BEF（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEF的法向量12)n PC==-,平面BAP的法向量2n AD==，∴12n n =8设平面BEF与平面BAP的家教为θ，则121212||cos|cos(,)|||||n nn nn nθ====∴45θ= ，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二：（Ⅰ）连接PE,EC，在Rt PAE和Rt CDE中，PA=AB=CD,AE=DE,∴ PE=CE,即PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，∴EF⊥PC，又,BF BC F==是PC的中点，∴BF PC⊥又,BF EF F PC BEF⋂=∴⊥平面（Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC,又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC,∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB,又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在PBC中，PB=BC, 90PBC∠= , 45PCB∠=所以平面BEF与平面BAP的夹角为4519. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。

（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm 之间的人数为10，身高在170~180cm 之间的人数为4，设A 表示事件“从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm 之间”，则262102()13C P A C =-=（或1126442102()3C C C P A C ++==） 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由11||A B =227a b +=， ①由112211222A B A B B F B F S S = 知a=2c ， ② 又 222b ac =-， ③ 由①②③解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y += （Ⅱ）设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，假设使1AP PB =成立的直线l 存在，（ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP|=1得1=，即221m k =+∵1AP PB =，|OP |=1，∴()()OA OB OP PA OP PB =++= 2OP OP PB PA OP PA PB +++= 1+0+0-1=0, 即12120x x y y +=将y kx m =+代入椭圆方程，得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=由求根公式可得122834kmx x k -+=+， ④212241234m x x k-=+ ⑤ 121212120()()x x y y x x kx m kx m =+=+++= 22121212()x x k x x km x x m ++++ = 221212(1)()k x x km x x m ++++ 将④，⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= ⑥ 将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=，矛盾 即此时直线l 不存在（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，满足||1OP =的直线l 的方程为x=1或x=-1，当X=1时，A,B,P 的坐标分别为33(1,),(1,),(1,0)22-，∴33(0,),(0,)22AP PB =-=- ，∴914AP PB =≠当x=-1时，同理可得1AP PB ≠，矛盾即此时直线l 也不存在综上可知，使1AP PB =成立的直线l 不存在21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）()()(0)af xg x x x''==>，由已知得ln ,,a x ax == 解得2,2e a x e ==，∴ 两条直线交点的坐标为2(,)e e ，切线的斜率为21()2k f e e '==， ∴ 切线的方程为21()2y e x e e -=-（Ⅱ）由条件知()ln (0),h x a x x >∴ 2()2a a h x x x'== （ⅰ）当a>0时，令()0h x '=，解得24x a =，∴ 当204x a <<时，()0,()h x h x '<在2(0,4)a 上递减；当24x a >时，()0,()h x h x '>在2(4,)a +∞上递增∴24x a =是()h x 在(0,)+∞上的唯一极值点，从而也是()h x 的最小值点 ∴最小值22()(4)2ln 42(1ln 2)a h a a a a a a ϕ==-=-（ⅱ）当0a ≤时，()0,()h x h x '=>在(0,)+∞上递增，无最小值， 故()h x 的最小值()a ϕ的解析式为()2(1ln 2)(0)a a a a ϕ=->（Ⅲ）由（Ⅱ）知()2ln 2a a ϕ'=-对任意的0,0a b >>()()2ln 22ln 2ln 422a b a b ab ϕϕ''++=-=- ① 2()2ln(2)ln()ln 422a b a b a b ab ϕ++'=-=-+≤- ② 22()2ln(2)ln 4ab ab ab a b a b ϕ'=-≥=-=-++ ③ 故由①②③得()()2()()22a b a b ab a b ϕϕϕϕ''++''≤≤+。