高中数学北师大版选修2-2、2-3综合测试题(含解析)
高中数学北师大版选修2-2、2-3综合测试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．根据导数的定义， ()1f x '等于（ ） A. ()()0101limx x f x f x x x→-- B. ()()100limx f x f x x∆→-∆C. ()()1102lim2x f x x f x x∆→+∆-∆ D. ()()1110limx f x x f x x→+∆-∆2．曲线()xf x e =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A. 0ex y -= B. 0ex y += C. 10ex y --= D. 20ex y e --=3．甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（ ） A. 吉利，奇瑞 B. 吉利，传祺 C. 奇瑞，吉利 D. 奇瑞，传祺 4．用反证法证明命题“已知为整数，若不是偶数，则都不是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A. 假设都是偶数 B. 假设中至多有一个偶数 C. 假设都不是奇数 D. 假设中至少有一个偶数5．用数学归纳法证明“()221*111,1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-，在验证1n =时，等式左边是 （ ）A. 1B. 1a +C. 21a a ++D. 231a a a +++ 6．已知i 为虚数单位，复数121iz i+=-，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限7．的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 808．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（ ） A. 33 B. 36 C. 40 D. 489．在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为（附：A. 6B. 7C. 9D. 1010．下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程0.7ˆˆyx a =+，则ˆa =（ ）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.5511．已知离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 为( )A.13 B. 23 C. 13 或 23 D. 1412．1201x dx -=⎰（ ）A. πB.2π C. 4πD. 0 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知i 是虚数单位,若()12z i i -=,则z =________ 14．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值__________． 15．函数的单调减区间为___________________．16．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上为单调增函数，则k 的取值范围是__________三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知函数()322f x ax bx x =+-，且()f x 在1x =和2x =处取得极值.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()g x f x t =+，是否存在实数t ，使得曲线()y g x =与x 轴有两个交点，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数．（1）求函数的单调区间．日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： [)20,30，[)30,40， [)40,50， [)50,60， [)60,70， []70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.20．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求甲得分的数学期望；（2）求甲、乙两人同时入选的概率．21．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了 100名中学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.（1）求的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？22．已知曲线y＝x3，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程．高中数学北师大版选修2-2、2-3综合测试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C 2 .A 3 .A 4 .D 5.C 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B 11.A 12.C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分） 13.2 14. 3- 15. （0，1） 16 . [)1,+∞三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤） 17. 解：（Ⅰ）()2'322f x ax bx =+- 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值， 所以1x =和2x =是()'0f x =的两个根，则2123{ 2123b a a +=-⨯=-，解得13{ 32a b =-=经检验符合已知条件，故()3213232f x x x x =-+-. （Ⅱ）由题意知()3213232g x x x x t =-+-+ ()2'32g x x x =-+-另()'0g x =得， 1x =或2x =，()()'g x g x 、随着x 变化情况如下表所示：由上表可知()()5=16g x g t =-极小值， ()()223g x g t ==-极大值 又x 取足够大的正数时， ()0g x <，x 取足够小的负数时， ()0g x >，因此，为使曲线()y g x =与x 轴有两个交点，结合()g x 的单调性， 得： ()506g x t =-=极小值或()203g x t =-=极大值 ∴5t =或2t =即存在t ，且56t =或23t =时，曲线()y g x =与x 轴有两个交点. 18.解：（1）令，解得或，令，解得：. 故函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，∵对恒成立，∴，即，∴19.解：（1）由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=，所以40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数为400.7530⨯=. （2）40名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3⨯+⨯+⨯+⨯ 650.25750.154+⨯+⨯=.设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人， 年龄在[)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，()2024241015C C P X C ===， ()1124248115C C P X C ===， ()0224246215C C P X C ===， X12P115 815 615数学期望0121515153EX =⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）设甲答对题的道数为X ，则X ⎪⎭⎫⎝⎛53,3~B59533=⨯=EX ，得分1255931059=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯ (6分)（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B . 则 223332381()C ()()()555125P A =+=， 511()12122P B =+=． 故甲乙两人同时入选的概率：250812112581=⨯． (12分) 21.解：（1）由题意知且解得所求平均数为（元）（2）根据频率分布直方图得到如下列联表根据上表数据代入公式可得所以没有的把握认为“高消费群”与性别有关.22.解：y ′＝3x 2.(1)当x ＝1时，y ′＝3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3， ∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则过点P 的切线的斜率为3x ， 由直线的点斜式，得切线方程y －x ＝3x (x －x 0)， 即3x x －y －2x ＝0.∵P (1,0)在切线上，∴3x －2x ＝0. 解之得x 0＝0或x 0＝. 当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.当x 0＝时，切线方程为27x －4y －27＝0.。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2章末综合测评3 含解析
章末综合测评(三）导数应用（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.物体运动的方程为s＝错误!t4－3,则t＝5时的瞬时速度为( ）A。
5 B.25C。
125 D.625【解析】∵v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为53＝125。
【答案】C2.函数f(x）＝(x－3）e x的单调递增区间是（)A。
(－∞，2) B。
（0，3）C.（1，4) D。
（2,＋∞）【解析】f′（x)＝(x－2）e x，由f′(x)>0，得x〉2，所以函数f（x)的单调递增区间是（2,＋∞).【答案】D3.函数f（x）＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是（)A。
a≥0 B。
a〉0C.a≤0D.a〈0【解析】f′(x）＝3ax2＋1，当a＝0时,f′（x）＝1>0，f（x）单调增加，无极值；当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可。
【答案】D4。
（2016·西安高二检测）函数f（x）的导函数f′(x）的图像如图1所示，那么f（x）的图像最有可能的是( ）图1A B C D【解析】数形结合可得在（－∞，－2）,（－1，＋∞)上，f′（x）〈0,f(x)是减函数;在(－2,－1）上,f′（x）>0，f（x）是增函数，从而得出结论。
【答案】B5。
若函数y＝a（x3－x）的递增区间是错误!，错误!，则a的取值范围是( ）A。
a〉0 B。
－1〈a〈0C.a>1 D。
0〈a〈1【解析】依题意得y′＝a（3x2－1)>0的解集为错误!，错误!,∴a〉0.【答案】A6。
若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）－xf′(x)>0，则( ）A.3f（1)〈f(3）B.3f(1）〉f(3）C.3f(1)＝f(3）D.f(1）＝f(3）【解析】由于f（x）>xf′(x)，错误!′＝错误!<0恒成立，因此错误!在R上是单调递减函数,∴错误!<错误!,即3f（1)〉f（3），故选B。
高中数学北师大版选修2-2 第2、3、4章综合检测 Word版含解析
第二、三、四章 综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t解析：物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3. 答案：B2．函数f (x )＝x 2－ln2x 的单调递减区间是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，22 B ．⎣⎡⎭⎫22，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22 D ．⎣⎡⎭⎫－22，0，⎝⎛⎦⎤0，22 解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0<x ≤22时，f ′(x )≤0.答案：A3．下列求导正确的是( ) A ．(ln xx )′＝ln x －1xB ．(x e －x 2)′＝e －x 2·(1＋2x 2)C ．(6cos x )′＝6sin xD ．(x ＋ln x )′＝x ＋22x解析：按导数的运算法则，结合基本初等函数的导数公式计算可知答案为D. 答案：D4．[2013·福建高考]设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)为f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：函数f (x )的极大值f (x 0)不一定是最大值，故A 错；f (x )与－f (－x )关于原点对称，故x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点时，－x 0是－f (－x )的极小值点，故选D.答案：D5．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析：a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .若a >0，则由图像知f (x )有负数零点，不符合题意．则a <0，由图像结合f (0)＝1>0知，此时必有f (2a )>0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1>0，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2，故选C.答案：C6．[2014·大庆高二检测]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]1x ，x ∈(1，e]，则∫e 0f (x )dx 等于( )A ．43B ．54C ．65D ．76解析：⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x＝⎪⎪⎪⎪13x 310＋ln x e 1＝43. 答案：A7．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1， 所以f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，则f ′(1)＝0. 答案：A8．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3) 解析：f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3. 答案：B9．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A ．33 B ．－33 C ．36D ．－36解析：f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.答案：A10．[2014·湖南高考]若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2解析：令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2.当0<x <1时，f ′(x )<0，即f (x )在(0,1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1， ∴f (x 2)<f (x 1)，即e x 2x 2<e x 1x 1，∴x 2e x 1>x 1e x 2，故选C .答案：C11．已知函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )图像关于x ＝1对称． 当x <1时，由(x －1)f ′(x )<0知f ′(x )>0， 即x <1时，f (x )单调递增． a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)＝f (－1)，∵－1<0<12，∴c <a <b ，故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32解析：∵f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，∴f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，∴函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，∴3m －272≥－9，解得m ≥32.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ≥0－x ，x <0，则⎠⎛1－1f (x )d x ＝__________.解析：⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x ＝ ⎪⎪－12x 20－1＋⎪⎪(13x 3＋3x )10＝12＋(13＋3)＝236. 答案：23614．若函数f (x )在x ＝a 处的导数为A(a A ≠0)，函数F (x )＝f (x )－A 2x 2满足F ′(a )＝0，则A ＝__________.解析：f ′(x )|x ＝a ＝A ，即f ′(a )＝A.又F ′(x )＝f ′(x )－2A 2x ，且F ′(a )＝f ′(a )－2a A 2＝A －2a A 2＝0. ∵a A ≠0，∴A ＝12a .答案：12a15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m ,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m ,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m<2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1<m ≤0.答案：(－1,0]16．幂指数函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导数得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )[g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )]．运用此方法可以探求得知y ＝x 1x (x >0)的一个单调递增区间为__________．解析：由题意得y ′＝x 1x (－1x 2ln x ＋1x 2)＝x 1x －2(1－ln x )，由y ′>0，得0<x <e ，所以单调递增区间为(0，e)．答案：(0，e)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f (x )＝x 3－(a ＋1)x 2－ax ，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (－13，1427)处的切线方程．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋1)x －a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝3×9－2(a ＋1)×3－a ＝0， 解得a ＝3.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x . (2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝3x 2－8x －3，f ′(－13)＝13＋83－3＝0，∴切线方程为y ＝1427.18．(12分)若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )单调区间及极值． 解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x ，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x >0)．f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x .由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x )>0时1<x <2；②当f ′(x )<0时0<x <1或x >2.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下：函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln2.19．(12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设R (x )(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R (x )＝⎩⎨⎧10x －130x 3 (0≤x ≤10)，2003 (x >10)，其中x 是年产量(单位：千件)．(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数关系式；(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 解：(1)依题意有：W ＝⎩⎨⎧ 10x －130x 3－10－1.9x (0≤x ≤10)，2003－10－1.9x (x >10).即W ＝⎩⎨⎧8.1x －130x 3－10(0≤x ≤10)，1703－1.9x (x >10).(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10(0≤x ≤10)，f ′(x )＝－110x 2＋8.1，由f ′(x )＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0≤x ≤9时，f ′(x )≥0；当9≤x ≤10时，f ′(x )≤0，所以当x ＝9时，f (x )取得最大值38.6.当x >10时，1703－1.9x <1133<38.6.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．20．(12分)[2014·课标全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a ，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 21．(12分)[2014·长春高二检测]设函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由a ＝0，f (x )≥h (x )可得 －m ln x ≥－x ，即m ≤x ln x.记φ(x )＝xln x ，则f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x )m i n ，求得φ′(x )＝ln x －1ln 2x ，当x ∈(1，e)时：φ′(x )<0； 当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )>0故φ(x )在x ＝e 处取得极小值，也是最小值， 即φ(x )m i n ＝φ(e)＝e ，故m ≤e.(2)函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x －2ln x ＝a ，在[1,3]上恰有两个相异实根．令g (x )＝x －2ln x ，则g ′(x )＝1－2x当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0； 当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0.∴g (x )在[1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数． 故g (x )m i n ＝g (2)＝2－2ln 2.又g (1)＝1，g (3)＝3－2ln 3， ∵g (1)>g (3)，∴只需g (2)<a <g (3)． 故a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)22．(12分)[2013·天津高考]已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是(0，1e)， 单调递增区间是(1e，＋∞)． (2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0.设t >0， 令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)．由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t lne t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立．(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而ln g (t )ln t ＝ln s ln f (s )＝ln s ln (s 2ln s )＝ln s2ln s ＋ln (ln s )＝u2u ＋ln u，其中u ＝ln s .要使25<ln g (t )ln t <12成立，只需0<lnu<u2.当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾．所以s >e ， 即u>1，从而lnu>0成立． 另一方面，令F (u)＝lnu －u2，u>1.F ′(u)＝1u －12，令F ′(u)＝0，得u ＝2.当1<u<2时，F ′(u)>0；当u>2时，F ′(u)<0. 故对u>1，F (u)≤F (2)<0. 因此lnu<u2成立．综上，当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.。
新教材高中数学北师大版选修2-3模块综合测试2Word版含解析
（新教材）北师大版精品数学资料
选修2－3模块综合测试(二)
(时间120分钟满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
的解集为()
1．方程C x14＝C2x－4
14
A．{4} B．{14}
C．{4,6} D．{14,2}
解析：由C x14＝C2x－4
得x＝2x－4或x＋2x－4＝14，解得x＝4或x＝6.经检验知x＝4或14
x＝6符合题意．
答案：C
2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种I C电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有()
A．7种B．8种
C．6种D．9种
解析：要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张I C卡、
买2张IC卡、买3张I C卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．
买1张I C卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张I C卡有2种方法．不同的
买法共有2＋3＋2＝7种．
答案：A
3．如果χ2＝5.024，那么认为“X与Y有关系”的把握有()
A．75% B．90%
C．95% D．99%
解析：∵χ2＝5.024>3.841，∴有95%的把握认为“X与Y有关系”．
答案：C
4．已知离散型随机变量ξ的分布列如下，则其数学期望Eξ＝()
ξ13 5
P 0.5m 0.2
A.1 B．0.6。
新教材高中数学北师大版选修2-2 第3章 单元综合检测 Word版含解析
（新教材）北师大版精品数学资料第三章 单元综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1． [2014·山东师大附中月考]函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由f ′(x )>0，得x >2，即f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，故选D.答案：D2． 当x ≠0时，以下不等式成立的是( ) A ．e x <1＋xB ．当x >0时e x <1＋x ，当x <0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x <0时e x <1＋x ，当x >0时e x >1＋x解析：构造f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，f (x )>f (0)＝0，即x <0时，e x >x ＋1；当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，f (x )>f (0)＝0，即x >0时，e x >x ＋1，故选C.答案：C3． 函数f (x )＝ln x －12x 2的图像大致是( )解析：函数f (x )的定义域为{x |x >0}，f (x )的导数为f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x .由f ′(x )＝1－x 2x >0，得0<x <1，即函数f (x )的递增区间为(0,1)；由f ′(x )＝1－x 2x<0，得x >1，即函数f (x )的递减区间为(1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极大值，且f (1)＝－12<0，故选B.答案：B4． [2014·课标全国卷Ⅱ]若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x<1，∴k ≥1，故选D.答案：D5． 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上的图像如图所示，则不等式f (x )f ′(x )>0的解集是( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：y ＝f (x )的图像如图所示，①当x >0时，f (x )为增函数，所以f ′(x )>0，若f (x )f ′(x )>0，则只需f (x )>0，由图得x ∈(1，＋∞)；②当x <0时，f (x )为减函数，所以f ′(x )<0，若f (x )f ′(x )>0，则只需f (x )<0，由图得x ∈(－1,0)．综上，x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．故选B.答案：B6． 若函数f (x )＝x 2ln x (x >0)的极值点为α，函数g (x )＝x ln x 2(x >0)的极值点为β，则有( ) A ．α>β B ．α<βC ．α＝βD ．α与β的大小不确定解析：∵f (x )＝x 2ln x (x >0)，∴f ′(x )＝x (2ln x ＋1), 令f ′(x )＝0，得α＝1e；∵g (x )＝x ln x 2(x >0)， ∴g ′(x )＝2(ln x ＋1)，令g ′(x )＝0，得β＝1e ，因此α>β，故选A.答案：A7． [2014·河南省南阳市检测]函数f (x )＝13x 3－x 2＋x ＋a 的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．与a 的取值有关解析：f ′(x )＝x 2－2x ＋1，显然f ′(x )＝(x －1)2≥0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增，∴函数f (x )无极值点，故选A.答案：A8． 已知在正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )A ．1B ． 3C ．2D ．3 解析：设底面边长为a ，则高h ＝ SA 2－(22a )2＝ 12－12a 2，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6. 设y ＝12a 4－12a 6(a >0)，则y ′＝48a 3－3a 5，当y 取极值时，y ′＝0，解得a＝0(舍去)，a ＝－4(舍去)或a ＝4，故a ＝4时体积最大，此时h ＝12－12a 2＝2.故选C.答案：C9. 如图，某农场要修建3个一样的鱼塘，每个面积为10000 m 2，鱼塘前面要留4 m 的运料通道，其余各边为2 m 宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )A ．102 m 、500051 mB ．150 m 、66 mC ．100 m 、100 mD ．150 m 、2003m解析：设鱼塘的宽为x m 、长为y m ，依题意得xy ＝10000.设占地面积为S m 2，则S ＝(3x ＋8)(y ＋6)＝18x ＋80000x ＋30048，令S ′＝18－80000x 2＝0，取正根得x ＝2003，此时y ＝150.故选D.答案：D10. [2014·辽宁高考]当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]解析：当x ＝0时，3≥0恒成立，a ∈R . 当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3.设h (x )＝x 2－4x －3x 3，则h ′(x )＝－(x 2－8x －9)x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4，∵x ∈(0,1]，∴h ′(x )>0，h (x )递增， ∴h (x )max ＝h (1)＝－6， ∴a ≥－6.当－2≤x <0时，a ≤x 2－4x －3x 3.易知h (x )＝x 2－4x －3x 3在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴h (x )min ＝h (－1)＝－2，∴a ≤－2. 综上，－6≤a ≤－2，故选C. 答案：C11. 若函数f (x )＝ax 3－x 在区间(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a ＝2D ．a ＝13解析：f ′(x )＝3ax 2－1，由f ′(x )＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)内恒成立，得a ≤0.故选A.答案：A12. 设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)解析：易知f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0.当x ∈(－∞，－2)时，由图可知x ·f ′(x )<0，∴f ′(x )>0，即当x ∈(－∞，－2)时f (x )为增函数；当x ∈(－2,0)时，由图可知x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )<0，当x ∈(0,2)时，由图可知x ·f ′(x )<0，∴f ′(x )<0，即当x ∈(－2,2)时f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，由图可知x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，即当x ∈(2，＋∞)时f (x )为增函数．故f (x )的极大值与极小值分别是f (－2)与f (2)．故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. [2014·广东省北江中学期中考试]函数f (x )＝e x cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6与f ⎝⎛⎭⎫π5的大小关系为________．解析：∵f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴[0，π4]是函数f (x )的一个单调递增区间，又0<π6<π5<π4，∴f (π6)<f (π5)． 答案：f (π6)<f (π5)14. [2014·甘肃省兰州一中月考]当a ∈________时，函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)没有极值点．解析：由已知可得f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1]，若函数不存在极值点，则对方程f ′(x )＝0，即x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0有Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤4.答案：[0,4]15. 直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，大致画出f (x )的图像，如图所示，观察得当－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)16. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f (x )在R 上有三个零点，且1是其中一个零点，则f (2)的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，由题意知x ＝0为函数f (x )的极值点，∴f ′(0)＝b ＝0.又∵f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝1－a ，∴f (x )＝－x 3＋ax 2＋1－a ，且当x →－∞时，f (x )>0；当x →＋∞时，f (x )<0.又∵f (x )在R 上有三个零点，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f ′(1)>0，解得a >32，∴f (2)＝－7＋3a >－52. 答案：(－52，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a (ln x －1)(0<x <e )x 2＋a (ln x －1)(x ≥e )，其中a ∈R .当a ＝－2时，求函数f (x )在区间[e ，e 2]上的单调性．解： 当a ＝－2，x ∈[e ，e 2]时，f (x )＝x 2－2ln x ＋2， ∴f ′(x )＝2x －2x ，∴当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在[e ，e 2]上单调递增．18．(12分)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，求实数t 的取值范围．解： 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝－3f (－1)＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －2n ＝－3－m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， 所以f (x )＝x 3＋3x 2.由f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，故f (x )在[－2,0]上单调递减，故有[t ，t ＋1]⊂[－2,0]，即－2≤t <t ＋1≤0， 解得－2≤t ≤－1，所以t 的取值范围为[－2，－1]．19．(12分)[2014·开封一模]已知函数f (x )＝x ln x .(1)函数g (x )＝－ax ＋f (x )在区间[1，e 2]上不单调，求a 的取值范围； (2)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对x >1恒成立，求k 的最大值． 解： (1)g ′(x )＝－a ＋1＋ln x (x >0)在(0，＋∞)上单调递增，依题只需⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝－a ＋1<0g ′(e 2)＝－a ＋3>0， 解得1<a <3，∴a 的取值范围为(1,3)． (2)f (x )＋x －k (x －1)>0对x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对x >1恒成立，记h (x )＝x ln x ＋xx －1(x >1)，则h ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2.记u (x )＝x －ln x －2，则u ′(x )＝1－1x ，当x >1时，u ′(x )>0，∴u (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∵u (3)＝1－ln3<0，u (4)＝2－ln4>0， ∴存在x 0∈(3,4)使得u (x 0)＝0， 即x 0－ln x 0－2＝0，ln x 0＝x 0－2. 当1<x <x 0时，u (x )<0，h ′(x )<0； 当x >x 0时，u (x )>0，h ′(x )>0；当x ＝x 0时，u (x )＝0，h ′(x )＝0，此时h (x )有最小值， 且[h (x )]min ＝h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0(x 0－2)＋x 0x 0－1＝x 0，只需k <[h (x )]min ＝x 0∈(3,4)， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为3.20．(12分)在半径为R 的圆上取一个圆心角为α(弧度)的扇形卷成圆锥，问α多大时，圆锥的体积最大？解： 如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则⎩⎪⎨⎪⎧h 2＝R 2－r 2，2πr ＝αR ，从而圆锥的体积为V ＝π3r 2R 2－r 2＝π3r 4(R 2－r 2)，则V ′＝π3·4R 2r 3－6r 52r 4(R 2－r 2)＝π3·2R 2r 3－3r5r 4(R 2－r 2).令V ′＝0，解得r ＝23R ＝63R (舍负)， ∴V 在(0，R )上有唯一的极值点，所以当r ＝63R 时，V 取得最大值．此时，α＝2πR ·6R3＝263π.21．(12分)[2014·重庆高考]已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.22．(12分)[2014·湖北高考]π为圆周率，e ＝2.71828…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln3<elnπ，πlne<πln3，即ln3e<lnπe，lneπ<ln3π.于是根据函数y＝ln x，y＝e x，y＝πx在定义域上单调递增，可得3e<πe<π3，e3<eπ<3π. 故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f(π)<f(3)<f(e)，即lnππ<ln33<lnee.由lnππ<ln33，得lnπ3<ln3π，所以3π>π3；由ln33<lnee，得ln3e<lne3，所以3e<e3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.。
最新高中数学北师大版选修2-2、2-3综合测试题(含解析)
高中数学北师大版选修2-2、2-3综合测试题(含解析)------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx高中数学北师大版选修2-2、２－３综合测试题(含解析)一、选择题（共12小题,每小题５分，满分６0分) １．根据导数的定义， ()1f x '等于（ ) A ． ()()0101limx x f x f x x x→-- B. ()()100lim x f x f x x∆→-∆C 。
()()1102lim 2x f x x f x x∆→+∆-∆ D. ()()1110limx f x x f x x→+∆-∆2．曲线()x f x e =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ) Ａ。
0ex y -= Ｂ。
0ex y += Ｃ。
10ex y --= D ． 20ex y e --=3．甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车,汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利。
甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车,丁说:“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利。
”若丁的猜测只对了一个,则甲、乙所买汽车的品牌分别是( )A 。
吉利,奇瑞B 。
吉利,传祺C 。
奇瑞,吉利D 。
奇瑞，传祺4．用反证法证明命题“已知为整数，若不是偶数,则都不是偶数＂时，下列假设中正确的是( )A 。
假设都是偶数 B. 假设中至多有一个偶数 Ｃ. 假设都不是奇数 D ． 假设中至少有一个偶数 5.用数学归纳法证明“()221*111,1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-,在验证1n =时,等式左边是 （ )A. １ B 。
1a + C. 21a a ++ Ｄ. 231a a a +++６．已知i 为虚数单位,复数121iz i+=-，则复数z 在复平面内的对应点位于（ )A 。
高中数学北师大版选修2-2练习章末综合测评3 Word版含答案
章末综合测评(三) 导数应用(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).物体运动的方程为＝－，则＝时的瞬时速度为( )【解析】∵＝′＝，∴＝时的瞬时速度为＝.【答案】.函数()＝(－)的单调递增区间是( ).(，).(－∞，).(，＋∞).(，)【解析】′()＝(－)，由′()>，得>，所以函数()的单调递增区间是(，＋∞).【答案】.函数()＝＋＋有极值的充要条件是( )>≥<≤【解析】′()＝＋，当＝时，′()＝>，()单调增加，无极值；当≠时，只需Δ＝－>，即<即可.【答案】.函数()的导函数′()的图像如图所示，那么()的图像最有可能的是( )图【解析】数形结合可得在(－∞，－)，(－，＋∞)上，′()<，()是减函数；在(－，－)上，′()>，()是增函数，从而得出结论.【答案】.若函数＝(－)的递增区间是，，则的取值范围是( ).－<<><<>【解析】依题意得′＝(－)>的解集为，，∴>.【答案】.若函数()在上可导，且满足()－′()>，则( )()>()()<()()＝()()＝()【解析】由于()>′()，′＝<恒成立，因此在上是单调递减函数，∴<，即()>()，故选.【答案】.若函数()＝－＋＋＋在区间上的最大值为，则它在该区间上的最小值为( ).－.－【解析】∵()′＝－＋＋＝－(＋)(－)，所以函数在内单调递减，所以最大值为(－)＝＋＝，∴＝，最小值为(－)＝－＝－.【答案】.函数＝－的图像大致是( )【解析】因为′＝－，所以令′＝－ >，得 <，此时原函数是增函数；令′＝－ <，得 >，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项正确.【答案】.若()＝－＋(＋)在(－，＋∞)上是减函数，则的取值范围是( )【导学号：】。
高中数学北师大版选修2-3章末综合测评3 Word版含答案
章末综合测评(三) 统计案例(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)．在下列各量与量的关系中是相关关系的为( )①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．．①②③．③④．④⑤．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确．【答案】．四名同学根据各自的样本数据研究变量，之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①与负相关且＝－；②与负相关且＝－＋；③与正相关且＝＋；④与正相关且＝－－.其中一定不正确的结论的序号是( )．①②．②③．③④．①④【解析】与正(或负)相关时，线性回归直线方程＝＋中，的系数>(或<)，故①④错误．【答案】．在一组样本数据(，)，(，)，…，(，)(≥，，，…，不全相等)的散点图中，若所有样本点(，)(＝，…，)都在直线＝＋上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) ．－．．【解析】样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，正相关最强，其相关系数为.【答案】．一位母亲记录了她儿子岁到岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型＝＋，她用这个模型预测儿子岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )．她儿子岁时的身高一定是．她儿子岁时的身高一定是以上．她儿子岁时的身高在左右．她儿子岁时的身高一定是以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选.【答案】．已知一个线性回归方程为＝＋，其中的取值依次为，则＝( )．．．．【解析】∵＝(＋＋＋＋)＝，回归直线过样本点的中心(，)，∴＝×＋＝.【答案】．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝－，变量增加一个单位时，平均增加个单位；③线性回归方程＝＋必过点(，)；④在一个×列联表中，由计算得χ＝，则有的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )．．．．本题可以参考独立性检验临界值表：是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程＝－，当增加一个单位时，平均减少个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程＝＋必过点(，)，③正确；因为χ＝＞，故有的把握确认这两个变量间有关系，④正确．故选.【答案】．利用独立性检验来考虑两个分类变量和是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“和有关系”的可信度，如果>，那么就有把握认为“和有关系”的百分比为( )。
高中数学北师大版选修2-2模块综合测试3 Word版含解析
选修－模块综合测试(三)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．曲线＝在点(－，－)处的切线方程为( )．＝＋．＝－．＝－－．＝－－解析：易知点(－，－)在曲线上，且′＝＝，∴切线斜率＝′＝－＝＝.由点斜式得切线方程为＋＝(＋)，即＝＋.答案：．[·广东高考]若复数满足＝＋，则在复平面内，对应的点的坐标是( ) ．() ．(，－)．(，－) ．()解析：由已知条件得＝＝－，所以对应的点的坐标为(，－)，故选.答案：．函数＝()的图像如下图所示，则导函数＝′()的图像可能是( )解析：当∈(－∞，)时，()为减函数，则′()<.当∈(，＋∞)时，()为减函数，则′()<.故选.答案：．下列结论不正确的是( )．若＝，则′＝．若＝，则′＝－．若＝－，则′＝－．若＝，则′＝＝解析：′＝′＝(－)′＝－－，故选项不正确．答案：．曲线＝在点(，)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )．．．．解析：∵′＝，∴＝在(，)处切线斜率为.∴过点(，)的切线为＝－，它与轴、轴的交点分别为()和(，－)．∴＝××＝.故选.答案：．如下图，阴影部分的面积为( )．．－．．解析：由图形分析阴影部分的面积为(－－)＝＝.答案：．已知三次函数()＝－(－)＋(－－)＋在上是增函数，则的取值范围是( )．<或> ．－<<－．<< ．≤≤解析：由题意′()＝－(－)＋(－－)，由于′()≥在上恒成立，故Δ≤，解之得≤≤，故应选.答案：．设，，都是正数，则三个数＋，＋，＋的值( )．都小于．至少有一个不大于．至少有一个不小于．都大于解析：假设这三个数都小于，。
【金版优课】高中数学北师大版选修2-3模块综合测试2 Word版含解析
选修2－3模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)的解集为()1．方程C x14＝C2x－414A．{4} B．{14}C．{4,6} D．{14,2}解析：由C x14＝C2x－4得x＝2x－4或x＋2x－4＝14，解得x＝4或x＝6.经检验知x＝4或14x＝6符合题意．答案：C2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种I C电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有()A．7种B．8种C．6种D．9种解析：要完成的“一件事”是“至少买一张I C电话卡”，分3类完成：买1张I C卡、买2张I C卡、买3张I C卡．而每一类都能独立完成“至少买一张I C电话卡”这件事．买1张I C卡有2种方法，买2张I C卡有3种方法，买3张I C卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．答案：A3．如果χ2＝5.024，那么认为“X与Y有关系”的把握有()A．75% B．90%C．95% D．99%解析：∵χ2＝5.024>3.841，∴有95%的把握认为“X与Y有关系”．答案：C4．已知离散型随机变量ξ的分布列如下，则其数学期望Eξ＝()A.1C．2＋3m D．2.4解析：由分布列的性质知0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，所以Eξ＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.答案：D5．(2x －12x )6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：由题知(2x －12x)6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r ，令6－2r ＝0得r ＝3， 故常数项为(－1)3C 36＝－20. 答案：B6．3个人坐在一排6个座位上，3个空位只有2个相邻的坐法种数为( ) A ．24 B ．36 C ．48D ．72解析：先将三个人排好，共有6种排法，空出4个位，再将空座位插空，有4×3＝12种排法，故有6×12＝72种排法．答案：D7．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A ．110B ．310C ．35D ．910解析：“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因而所求的概率P ＝1－C 33C 35＝1－110＝910.答案：D8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A ．35B ．25C ．110D ．59解析：记“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59. 答案：D9．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：A ．99.9%B ．99%C ．95%D ．90%解析：利用题中列联表，代入公式计算． χ2＝100×(50×25－10×15)265×35×60×40≈22.16>6.635，所以我们有99%的把握认为吸烟量与年龄有关． 答案：B10．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则Eη和Dη的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析：∵ξ～B (10,0.6) ∴Eξ＝10×0.6＝6， Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4. ∵ξ＋η＝8， ∴η＝－ξ＋8，∴Eη＝－Eξ＋8＝－6＋8＝2.Dη＝(－1)2Dξ＝2.4. 答案：B11．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的件数，则Dξ＝( )A ．35B ．1115C ．1415D ．2875解析：ξ的所有可能取值是0,1,2.则 P (ξ＝0)＝C 27C 210＝715.P (ξ＝1)＝C 17C 13C 210＝715.P (ξ＝2)＝C 23C 210＝115.所以，ξ的分布列为于是E ξ＝0×715＋1×715＋2×115＝35，D ξ＝ i ＝1n(x i －EX )2P i ＝2875.答案：D12．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：基本事件共有A 55＝120种，同一科目的书都不相邻的情况可用间接法求解，即A 55－A 22A 22A 23×2－A 22A 22A 33＝48，因此同一科目的书都不相邻的概率是25. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2012·浙江高考]若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10.答案：1014．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k 15(k ＝1,2,3,4,5)，则P (12<ξ<52)的值为__________．解析：P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝115＋215＝15.答案：1515．在某次学校的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是________．(精确到0.001)解析：设摸出的红球个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝5，于是中奖的概率为P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝C 45C 15C 510＋C 55C 510≈0.103.答案：0.10316．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.解析：设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则Eξ＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果．现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用．问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？解：由于要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序依次放入某种液体中，因此需要分步计数．由于同一类物质不同的放入顺序，反应结果可能会不同，因此这是一个排列问题．第1步，放入甲类物质，共有A 23种方案； 第2步，放入乙类物质，共有A 35种方案．根据分步乘法计算原理，共有A 23A 35＝360种方案．因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果．18．(12分)[2014·深圳高二检测]在二项式(3x －123x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项． 解：T r ＋1＝C r n (3x )n －r(－123x )r ＝(－12)r C r n x 13n －23r 由前三项系数的绝对值成等差数列，得 C 0n ＋(－12)2C 2n＝2×12C 1n ，解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第4项为： T 4＝(－12)3C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为(－12)4C 48＝358. 19．(12分)[2014·湖南高考]某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的分布列为数学期望为EX ＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋132015＝210015＝140.20．(12分)某运动项目设计了难度不同的甲乙两个系列，每个系列都有K ，D 两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每位运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列动作情况如下表：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；(2)若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列．解：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列． 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40>115， 可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20<115，不可能获得第一名． 记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A ， 记“该运动员完成D 动作得40分”为事件B ，则P (A )＝34，P (B )＝34，由事件A 与事件B 相互独立，记“该运动员获得第一名”为事件C ，法一：依题意得P (C )＝P (AB )＋P (A B )＝34×34＋14×34＝34.∴该运动员获得第一名的概率为34.法二：由题意可知，该运动员只要D 动作得40分就获得第一名，则P (C )＝P (B )＝34.(2)若该运动员选择乙系列，ξ可能取得的值为50,70,90,110. 则P (ξ＝50)＝110×110＝1100，P (ξ＝70)＝110×910＝9100，P (ξ＝90)＝910×110＝9100，P (ξ＝110)＝910×910＝81100ξ的分布列为：21.(12分)km 时，租车费为10元；若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km .某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km 路程计费，不足5分钟的部分不计费)，这个司机一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收费用为η.(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式； (2)若随机变量ξ的分布列为求所收费用η(3)已知某旅客实付费用38元，而出租汽车实际行驶了15 km ，问出租车在途中因故停车累计多长时间？解：(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10， 即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N ；(2)Eξ＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴Eη＝E (2ξ＋2)＝2Eξ＋2＝34.8(元)， 故所收费用η的数学期望为34.8元． (3)由38＝2ξ＋2，解得ξ＝18，故停车时间t 转换的行车路程为18－15＝3 km ， ∴3×5≤t <4×5，即出租车在途中因故停车累计时间t ∈[15,20)．22．(12分)[2013·安徽高考]某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －1n －1C k n ＝k n，故P (A )＝P (B )＝1－k n ，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－(1－k n )2＝2kn －k 2n 2.(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2.当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为C k n C 2k －mk C m －k n －k ＝C k n C m －k kC m －k n －k .此时 P (X ＝m )＝C k n C 2k －m k C m －kn －k (C k n )2＝C m －k kC m －k n －k C k n . 当k ≤m <t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－kkC m ＋1－k n －k⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m ) ⇔m ≤2k －(k ＋1)2n ＋2.假如k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2≤t .故P (X ＝m )在m ＝2k －(k ＋1)2n ＋2和m ＝2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2k －[(k ＋1)2n ＋2]处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t .因为1≤k <n ，所以2k －(k ＋1)2n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k (k ＋1)－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0.而2k －(k ＋1)2n ＋2－n ＝－(n －k ＋1)2n ＋2<0，故2k －(k ＋1)2n ＋2<n ，显然2k －(k ＋1)2n ＋2<2k .因此k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<1.。
最新北师大版高中数学选修2-3综合测试题及答案2套
最新北师大版高中数学选修2-3综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( ) A ．24种 B ．52种 C ．10种D ．7种解析： 每层楼均有2种走法，故共有2×2×2×2＝24种不同的走法． 答案： A2．在⎝⎛⎭⎫x － 12x 10的展开式中，x 4的系数为( ) A ．－120 B ．120 C ．－15D ．15解析： 在⎝⎛⎭⎫x － 12x 10的展开式中，x 4项是C 310x 7·⎝⎛⎭⎫－ 12x 3＝－15x 4. 答案： C3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ 12k ，k ＝1,2，…，n ，则P (2＜X ≤4)为( ) A ． 316 B ． 14C ．116D ．516解析： P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝123＋ 124＝ 316. 答案： A4．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率约是( ) A ．0.146 2 B ．0.153 8 C ．0.996 2D ．0.853 8解析： P ＝1－C 237C 240≈0.1 46 2.答案： A5．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：则其数学期望Eξ等于()A．1 B．0.6C．2＋3m D．2.4解析：∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3.∴Eξ＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.答案：D6．若X～N(－1,62)，且P(－3≤X≤－1)＝0.4，则P(X≥1)等于() A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4解析：P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.8，2P(X≥1)＝1－0.8＝0.2，∴P(X≥1)＝0.1.答案：A7．设(1－x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a3＋a5＋a7为() A．27B．－27C．26D．－26解析：令x＝1，有a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0，令x＝－1，有a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝27，两式相减得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－27，∴a1＋a3＋a5＋a7＝－26.答案：D8．在一次独立性检验中，得出列联表如下：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是() A．200 B．720C．100 D．180解析：A和B没有任何关系，也就是说，对应的比例aa＋b和cc＋d基本相等，根据列联表可得2001 000和180180＋a基本相等，检验可知，B满足条件．答案：B9. 如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有()A．180种B．240种C．360种D．420种解析：本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时注意：区域2与4同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法，区域2与4不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种栽种方案，故选D．答案：D10．某单位为了了解电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为() A．58 B．66C．68 D．70解析：x＝18＋13＋10－14＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，所以a＝y－b x＝40－(－2)×10＝60.所以，当x＝－4时，y＝bx＋a＝－2×(－4)＋60＝68.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有____________种(用数字作答)．解析：每人去一所学校有A36种；两人去一所有C23·A26，共有分配方案A36＋C23A26＝210(种)．答案：21012．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2的值是______________.解析：a2即所有x2项的系数和，∴a2＝C22＋C23＋C24＋…＋C210＝165.答案： 16513．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分，已知P (400<X <450)＝0.3，则P (550<X <600)＝______________.解析： 由μ＝500得学生成绩的正态曲线如右图： ∴P (550<X <600) ＝P (400<X <450) ＝0.3. 答案： 0.314．给出下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；④在回归直线方程y ∧＝0.1x ＋10中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧增加0.1个单位． 其中正确命题的个数是____________个．解析： ①是系统抽样；②③④全对，故共有3个正确命题． 答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)为了考察某种新药的副作用，给50位患者服用此新药，另外50位患者服用安慰剂(一种和新药外形完全相同，但无任何药效的东西)，得到如下观测数据.副作用药物有 无 合计 新药 15 35 50 安慰剂 6 44 50 合计2179100由以上数据，你认为服用新药会产生副作用吗？ 解析： 由公式得 χ2＝100×(15×44－35×6)250×50×21×79≈4.882.∵4.882＞3.841∴可以有95%的把握认为新药会产生副作用．16．(本小题满分12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解析： 由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k＝2C k －1n ·2k －1C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1， 解得n ＝7，∴展开式中二项式系数最大两项是： T 4＝C 37(2x )3＝280x 32与 T 5＝C 47(2x )4 ＝560x 2.17．(本小题满分12分)一个盒子里装有标号为1,2,3，…，n 的n (n ＞3且n ∈N ＋)张标签，现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签，记ξ为这两张标签上的数字之和，若ξ＝3的概率为110.(1)求n 的值； (2)求ξ的分布列； (3)求ξ的数学期望．解析： (1)P (ξ＝3)＝2⎝⎛⎭⎫1n ×1n －1＝2n (n －1)， ∴2n (n －1)＝110(n ∈N *)∴n ＝5.(2)ξ的值可以是3,4,5,6,7,8,9. P (ξ＝3)＝110，P (ξ＝4)＝2×15×14＝110，P (ξ＝5)＝2×2×15×14＝15，P (ξ＝6)＝2×2×15×14＝15，P (ξ＝7)＝2×2×15×14＝15，P (ξ＝8)＝2×15×14＝110，P (ξ＝9)＝2×15×14＝110，ξ的分布列为P110 110 15 15 15 110 110Eξ＝3×110＋4×110＋5×15＋6×15＋7×15＋8×110＋9×110＝6.18．(本小题满分14分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x (℃) 10 11 13 12 8 6 就诊人数y (个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b ∧＝ni ＝1x i y i －n x yni ＝1x 2i －n x2＝n i ＝1(x i －x )(y i －y )ni ＝1(x i －x )2，a ∧＝y －b ∧x 解析： (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13.(2)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ∧＝187. 再由a ∧＝y －b ∧x ＝－307.所以y 关于x 的线性回归方程为y ∧＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ∧＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22<2； 同样，当x ＝6时，y ∧＝787，⎪⎪⎪⎪7812－12<2， 由题意可知，该小组建立的回归方程是理想的．模块综合检测(B)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知x ∈{2,3,7}，y ∈{－31，－24,4}，则xy 可表示的不同值的个数是( ) A ．1＋1＝2 B ．1＋1＋1＝3 C ．2×3＝6D ．3×3＝9解析： 两个集合各有三个元素，且任何两个xy 都不相同，故由分步乘法计数原理得3×3＝9 答案： D2．如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别为1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析： P (X ＝k )＝ 16(k ＝1,2,3,4,5,6)，∴EX ＝1× 16＋2× 16＋…＋6× 16＝ 16×(1＋2＋…＋6)＝3.5.答案： C3．由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( ) A ．60个 B ．48个 C ．36个D ．24个解析： 个位数有A 12种排法，万位数有A 13种，其余三位数有A 33种，共有A 12A 13A 33＝36(个)．答案： C 4．已知⎝⎛⎭⎫x 2－i x n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为－ 314，其中i 2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( )A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第五项或第六项 解析： T 3＝－C 2n x 2n －5，T 5＝C 4n x 2n－10.由－C 2n ：C 4n ＝－314，得n 2－5n －50＝0， ∴n ＝10，又T r ＋1＝C r 10(－i)rx 20－52r ， 据此可知当r ＝0,2,4,6,8,10时其系数为实数，且当r ＝4时，C 410＝210最大． 答案： C5．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤c )＝P (X ＞c )，则P (X ≤c )等于( ) A ．0B ．1C ．12D ．与μ和σ的取值有关解析： ∵P (X ＞c )＝1－P (X ≤c ) 又P (X ≤c )＝P (X ＞c ) ∴P (X ≤c )＝12.答案： C6．将三颗骰子各掷一次，设事件A “三个点数都不相同”，B “至少出现一个6点”，则概率P (A |B )等于( )A ．6091B ．12C ．518D ．91216解析： P (B )＝1－P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫563，P (A ∩B )＝C 25A 3363＝518，所以P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝6091. 答案： A7．设掷一枚骰子的点数为ξ，则( ) A ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B ．Eξ＝3.5，Dξ＝3512C ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5D ．Eξ＝3.5，Dξ＝3516解析： Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5.Dξ＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16＝3512.答案： B8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5解析： 因a ＝y －b x 由回归方程知0.35＝y －0.7x ＝2.5＋t ＋4＋4.54－0.7×3＋4＋5＋64，解得t＝3.答案： A9．甲、乙、丙3人射击命中目标的概率分别为12，13，14，现在3人同时射击同一目标，目标被击中的概率是( )A ．14B ．34C ．12D ．45解析： P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝1－12×23×34＝1－14＝34. 答案： B10．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是( )A ．997B ．954C ．682D ．341解析： 由题图知X ～N (μ，σ2)． 其中μ＝60，σ＝8， ∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ) ＝P (52<X ≤68)＝0.682 6. ∴人数为0.682 6×1 000≈682. 答案： C二、填空题(每小题5分，共4小题，共20分，请把正确答案填在题中横线上)11．2011年国际劳动节正是星期日，某劳动就业服务中心的7名志愿者准备安排6人在周六、周日两天，在街头做劳动就业指导，若每天安排3人，则不同的安排方案共有____________种(用数字作答)．解析： 先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140(种)． 答案： 14012．已知(1＋x )6(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11，那么a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝____________. 解析： 令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－64； ∴a 1＋a 2＋…＋a 11＝－65. 答案： －6513．(2014·九江高二检测)某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX ＝____________(结果用最简分数表示)．解析： X 可取0,1,2，则P (X ＝0)＝ C 25C 27＝ 1021，P (X ＝1)＝ C 15C 12C 27＝ 1021，P (X ＝2)＝ C 22C 27＝ 121，∴EX ＝0×1021＋1× 1021＋2× 121＝ 47. 答案： 4714．为考虑广告费用与销售额之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：现要使销售额达到6万元，则需广告费约为____________千元． 解析： x ＝7，y ＝41.6，∑i ＝15x i y i ＝1 697，∑i ＝15x 2i ＝349，b ＝1 697－5×7×41.6349－5×49≈2.3，a ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时， 60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15千元． 答案： 15三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演． (1)每排4人，问共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男同志站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？ 解析： (1)要完成这件事，必须分三步：第一步：先从8人中选4人站在前面，另4人站在后面，这共有C 48C 44＝C 48种不同的选法．第二步：前面4人进行排列，有A 44种排法．第三步：后面4人也进行排列，有A 44种排法．三步依次完成，才算这件事完成，故由分步乘法计数原理有N ＝C 48A 44A 44＝40320种不同的排法．(2)除去领唱，在其余5个女同志中选2人有C 25种选法；这2人与2个男同志在后排全排列，有A 44种排法；领唱与其余3个女同志在前排全排列，有A 44种排法；故共有N ＝C 25A 44A 44＝5760种不同的排法．16．(本小题满分12分)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A 、A 分别表示甲、乙两厂的产品，用B 表示产品为合格品．(1)试写出有关事件的概率；(2)求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率． 解析： (1)依题意，P (A )＝70%，P (A )＝30%， P (B |A )＝95%，P (B |A )＝80%.进一步可得P (B |A )＝5%，P (B |A )＝20%.(2)要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的(事件A 发生)，又是合格的(事件B 发生)的概率，也就是求A 与B 同时发生的概率，有P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665.17．(本小题满分12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查．结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)调查结果制成2×2列联表； (2)根据数据作出统计分析推断． 解析： (1)由已知可列2×2列联表得：(2)根据列联表中的数据，由计算公式得： χ2＝540×(20×260－200×60)280×460×220×320≈9.638.∵9.638>6.635.因此，我们有99%的把握说40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．18．(本小题满分14分)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数．(1)求随机变量ξ的概率分布列；(2)求随机变量ξ的数学期望与方差． 解析： (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4.P (ξ＝2)＝ C 12C 13C 12C 15C 14＝ 35，P (ξ＝3)＝ A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝ 310，P (ξ＝4)＝ A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝ 110. 故随机变量ξ的概率分布列为(2)随机变量ξ的数学期望为Eξ＝2× 35＋3× 310＋4× 110＝ 52；随机变量ξ的方差为Dξ＝⎝⎛⎭⎫2－ 522× 35＋⎝⎛⎭⎫3－ 522× 310＋⎝⎛⎭⎫4－ 522× 110＝ 920.。