数字水印技术ppt
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数字水印技术
9.1.4 数字水印的分类
（2）按感知特性划分：
不可感知水印（不可见水印）：人的感观不能感知 嵌入的水印，不影响作品的质量，具有较高的使用 价值 可感知水印（可见水印）：可觉察数字水印嵌入到 载体后会在媒体中留下明显的印记，主要用于标识 版权，防止非法使用，虽然降低了资料的商业价值， 却不妨碍使用者的使用，如电视台的台标等。
数字水印应具有如下的基本特征:
不可感知性 水印容量 鲁棒性
可证明性
安全性
数字水印的安全性与密码系统的安全性非常类似，即水印嵌入的算 法是公开的，安全性建立在密钥管理基础上，只有拥有密钥才能提 取水印。数字水印系统一般使用一个或多个密钥来确保水印安全。
9.1.3 数字水印系统的组成
可证明性 安全性
9.1.2 数字水印的基本特征
数字水印应具有如下的基本特征:
不可感知性 水印容量 鲁棒性 可证明性
数字水印算法能够正确识别出被嵌入到保护对象中的有关信息，例
如经过注册的用户编码、产品的标识或者其他任何有意义的文字等， 并且在需要时将其提取出来作为证据。
安全性
9.1.2 数字水印的基本特征
Playback control
Record control
Illegal copy
Non-compliant recorder
应用领域(4)——数字指纹
Distributed copies Digital fingerprints Users
Original image
应用领域(5)——内容验证
数字水印应具有如下的基本特征:
不可感知性
对不可感知的数字水印来说，是指加入数字水印后不会改变数字产 品的感知效果，即感知不到数字水印的存在。
信息隐藏与数字水印技术.pptx
• 密码仅仅隐藏了信息的内容，而信息伪装不但 隐藏了信息的内容而且隐藏了信息的存在；
• 传统的以密码学为核心技术的信息安全和伪装 式信息安全技术不是互相矛盾、互相竞争的技 术，而是互补的；
内容
• 信息伪装技术研究的内容包括信息隐藏和信 息的版权认证，信息访问的合法身份认定等。 其研究涉及密码学，图象处理，模式识别， 数学和计算机科学等领域。
题于墙上，使卢俊义遭官府 迫害逼上梁山
信息隐藏的原理框图
载体信 息源
A 秘密消息m
载体对象c
伪装对象
信息嵌入c’ 算法
不安全信 道
信息提取 算法
Ｂ 秘密消息m
密钥k
信息隐藏的原理框图
实现信息隐藏的基本要求
• 载体对象是正常的，不会引起怀疑 • 伪装对象与载体对象无法区分，无论从
感观上，还是从计算机的分析上 • 信息隐藏的安全性取决于第三方有没有
尽可能多地将信息隐藏在公开消息之中
尽可能不让对手发现任何破绽
• 攻击者
✓ 尽可能地发现和破坏对手利用信息隐藏技术隐藏在公开消息 中的机密信息
信息隐藏与信息安全
• 信息隐藏（伪装）就是将秘密信息秘密地隐藏 于另一非机密的文件内容之中。其形式可为任 何一种数字媒体，如图象、声音、视频或一般 的文档等等；
我画蓝江水悠悠，爱晚厅上枫叶愁。 秋月溶溶照佛寺，香烟袅袅绕经楼。
离合诗（Acrostic）
七律•问缘 我常夜半询姻命， 与月为邻爱晚星。 秋槿含情风后落， 香獐有意谷间鸣。 天街雨过涤新树， 长路云收现旧亭。 地老皆缘蕃草木， 久愁比翼痛风铃。
施耐庵《水浒传》第61回 吴用诱使卢俊义将离合诗
卢花潭上有扁舟， 俊杰黄昏独自游。 义到尽头原有命， 反弓逃难必无忧。
• 传统的以密码学为核心技术的信息安全和伪装 式信息安全技术不是互相矛盾、互相竞争的技 术，而是互补的；
内容
• 信息伪装技术研究的内容包括信息隐藏和信 息的版权认证，信息访问的合法身份认定等。 其研究涉及密码学，图象处理，模式识别， 数学和计算机科学等领域。
题于墙上，使卢俊义遭官府 迫害逼上梁山
信息隐藏的原理框图
载体信 息源
A 秘密消息m
载体对象c
伪装对象
信息嵌入c’ 算法
不安全信 道
信息提取 算法
Ｂ 秘密消息m
密钥k
信息隐藏的原理框图
实现信息隐藏的基本要求
• 载体对象是正常的，不会引起怀疑 • 伪装对象与载体对象无法区分，无论从
感观上，还是从计算机的分析上 • 信息隐藏的安全性取决于第三方有没有
尽可能多地将信息隐藏在公开消息之中
尽可能不让对手发现任何破绽
• 攻击者
✓ 尽可能地发现和破坏对手利用信息隐藏技术隐藏在公开消息 中的机密信息
信息隐藏与信息安全
• 信息隐藏（伪装）就是将秘密信息秘密地隐藏 于另一非机密的文件内容之中。其形式可为任 何一种数字媒体，如图象、声音、视频或一般 的文档等等；
我画蓝江水悠悠，爱晚厅上枫叶愁。 秋月溶溶照佛寺，香烟袅袅绕经楼。
离合诗（Acrostic）
七律•问缘 我常夜半询姻命， 与月为邻爱晚星。 秋槿含情风后落， 香獐有意谷间鸣。 天街雨过涤新树， 长路云收现旧亭。 地老皆缘蕃草木， 久愁比翼痛风铃。
施耐庵《水浒传》第61回 吴用诱使卢俊义将离合诗
卢花潭上有扁舟， 俊杰黄昏独自游。 义到尽头原有命， 反弓逃难必无忧。
数字水印的DWTDCT实现方法介绍培训课件
分量G’
数字水印的DWTDCT实现 9
DCT水印算法实现结果1
DCT结果例图1：数缩字放水因印子的QD=W0.0T5DC水T实印现后图像1与0原图基本无差别
DCT水印算法实现结果2
DCT结果例图2：缩放因子数Q字=水0.印5 的水D印W后T图DC像T与实原现图有略11微差别（PC上看）
DCT水印算法实现结果3
数字水印的DWTDCT实现 3
数字水印的应用
彩色图像 灰度图像
灰度图像 二值图像
应用领域
用于版权 保护的 数字水印
用于盗版 跟踪的 数字指纹
ห้องสมุดไป่ตู้
用于拷贝 保护的 数字水印
数字水印的DWTDCT实现 4
用于图像 认证的 数字水印
数字水印基本特性
数字水印的DWTDCT实现 5
数字水印实现的分类
DFT: 离散傅立叶变换域（DiscreteFourier Transform） DCT: 离散余弦变换域（Discrete Cosine Transform） DWT: 离散小波域（DiscreteWavelet Transform）
DCT抵抗压缩性质研究
缩小过程中有信息丢失
放大过程中无信息丢失
数字水印的DWTDCT实现 15
小波变换
小波变换主要思想： 把信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一 系列小波，由这些小波来重构原始信号，因此小波是 小波变换的基函数，小波系数反映的是不同缩放尺度 和平移参数的小波基函数在重构原函数时所占的比重
DCT结果例图3数：字缩水放印因的子DQW=T1DC水T印实后现图像与12原图有些差别
DCT水印算法实现结果4
DCT结果例图4：缩数放字因水子印Q的=D5W水TD印C后T实图现像与原1图3 基本有大的差别
数字水印技术
数字水印技术目录一、数字水印技术发展 (2)二、数字水印技术特点 (2)1、隐蔽性 (2)2、鲁棒性 (2)3、抗篡改性 (3)4、水印容量 (3)5、安全性 (3)6、低错误率 (3)三、数字水印技术分类 (3)1、按特性划分 (3)2、按附载的媒体划分 (4)3、按检测过程划分 (4)4、按内容划分 (5)5、按用途划分 (5)6、按隐藏位置划分 (6)7、按透明性划分 (6)四、数字水印技术应用 (6)1、印刷数字水印 (6)2、打印数字水印 (7)3、屏幕数字水印 (8)4、多媒体数字水印 (8)一、数字水印技术发展数字水印（Digital Watermark）一种应用计算机算法嵌入载体文件的保护信息。
数字水印技术，是一种基于内容的、非密码机制的计算机信息隐藏技术。
它是将一些标识信息（即数字水印）直接嵌入数字载体当中（包括多媒体、文档、软件等）或是间接表示（修改特定区域的结构），且不影响原载体的使用价值，也不容易被探知和再次修改。
但可以被生产方识别和辨认。
通过这些隐藏在载体中的信息，可以达到确认内容创建者、购买者、传送隐秘信息或者判断载体是否被篡改等目的。
数字水印是保护信息安全、实现防伪溯源、版权保护的有效办法，是信息隐藏技术研究领域的重要分支和研究方向。
二、数字水印技术特点1、隐蔽性也称不可感知性，即对于不可见水印处理系统，水印嵌入算法不应产生可感知的数据修改，也就是水印在通常的视觉条件下应该是不可见的，水印的存在不会影响作品的视觉效果。
2、鲁棒性水印必须很难去掉(希望不可能去掉)，当然在理论上任何水印都可以去掉，只要对水印的嵌入过程有足够的了解，但是如果对水印的嵌入只是部分了解的话，任何破坏或消除水印的企图都应导致载体严重的降质而不可用。
3、抗篡改性与抗毁坏的鲁棒性不同，抗篡改性是指水印一旦嵌入到载体中，攻击者就很难改变或伪造。
鲁棒性要求高的应用，通常也需要很强的抗篡改性。
在版权保护中，要达到好的抗窜改性是比较困难的。
数字水印技术PPT课件
与现代光学技术相结合
15
.
PART3 基于数字全息的水印技术
基于数字全息的水印技术
•
16
.
gmark (x, y) g0 (x, y)=gmark (x, y) exp[i2(x, y)]
Gmark ( ,) g0 (x, y) exp[2 i( x y)]dxdy R(,) R0 exp[2i(a b)]
9
.
数字水印技术（Digital Watermarking）
• 数字水印为计算机网络上的多媒体产品的版权保护等问题提供了有效 的解决方案。
• 它通过在原始数据中嵌入秘密信息(水印)来证实该数据的所有权。 • 被嵌入的水印可以是一段文字、标识、序列号等。
10
.
特点
• 数字水印技术具有以下几个方面的特点：
17
基于数字全息的水印技术
.
g0(x, y)的傅里叶变换谱与参考光波R发生干涉，其光强分布可以表示为
H ( ,) Gmark ( ,) R( ,) 2
(4)
Gmark ( ,) 2 R( ,) 2 Gmark ( ,)R( ,)* Gmark ( ,)* R( ,)
(4)式中第一二项为傅里叶变换全息图的晕轮光和中心亮点，对再现像的质量影 响很大，应该去除，去除后变为：
盗版
5
.
• 保护数字产品的知识产权和阻止盗版已经成为数字产 品和网络应用面临的严峻问题。
• 对数字图像、音频、视频等多媒体产品进行水印处理 已经成为近年来研究的热点领域之一
如何在网络环境中实施有效的版权
保护和信息安全？
6
.
信息隐藏
• 信息隐藏是把机密信息隐藏在大量信息中不让对手发觉的一种方法。
数字水印技术
数字水印技术(Digital Watermarking) ,其基本思想是将经过适当变换后的特殊信息(数字水印)利用数字嵌入的方法隐藏在载体对象(数字作品)中。
水印信息可以是ID序列号、签名、图章、商标、图片等权利人身份标识或其他具有特定意义的内容，用来标明作品的来源、版本、著作者、出版者、发行者、日期、权限等权利管理信息。
数字水印的发展方向主要体现在以下几个方面：(1)鲁棒性、安全性更好的数字水印算法，同时还要考虑水印的不可感知性、自适应性、数据容量等特性。
(2)基于数字水印技术、可适用于多种媒体类型的软件开发及系统集成，如数字版权保护管理系统等。
(3)数字水印在网络环境下的应用，特别是水印的网络快速自动验证。
利用移动代理技术，可在网络上自动追踪非法或未授权的数字媒体内容。
(4)数字水印技术的标准化，如制定具有通用性的水印算法标准、水印系统评估和测试标准等。
(5)数字水印技术与其他信息安全技术(如加密、数字签名等)相结合，构建完整的数字版权保护解决方案。
(6)数字水印技术与生物认证技术相结合，利用人类自身的生理特征(如指纹、虹膜、DNA等)或行为特征(如签名、语音、步态等)构造认证水印。
数字水印的概念：数字水印是通过一定的嵌入算法在多媒体数据(数字化的图像、文本、音频、视频、三维动画等)中隐藏的特殊信息(版权信息、认证信息、保密信息或其他有关信息)，可以通过相应的检测和提取算法对水印信息加以验证。
数字水印的基本特性：数字水印具有不可感知性、安全性、鲁棒性等基本特性。
不可感知性(imperceptibility)也称透明性。
从信号处理的角度看，嵌入载体作品的水印信号可以视为在强背景下叠加一个弱信号，只要叠加的水印信号强度低于人类视觉系统HVS的对比度门限或人类听觉系统HAS对声音的感知门限，HVS或HAS就无法感知到信号的存在。
由于HVS和HAS 受空间、时间和频率特性的限制，数字水印技术利用数字作品中普遍存在的冗余数据与随机性，对作品作一定的调整处理，可以在不被感知的情况下隐藏水印信息。
数字水印技术
数字水印技术
余金蓉
数字水印（Digital Watermarking）技术
将一些标识信息（即数字水印）直接嵌入数字载体（包括 多媒体、文档、软件等）当中，但不影响原载体的使用价 值，也不容易被人的知觉系统（如视觉或听觉系统）觉察 或注意到。 通过这些隐藏在载体中的信息，可以达到确认内容创建者、 购买者、传送隐秘信息或者判断载体是否被篡改等目的。 数字水印是信息隐藏技术的一个重要研究方向。 属于信息隐藏（Information Hiding）技术的一种。
一般来说，目前学术界研究的数字水印大多数是盲水印。
数字水印的分类
按内容划分 › 有意义水印 有意义水印是指水印本身也是某个数字图像（如商标图像）或数字音 频片段的编码；
有意义水印的优势在于，如果由于受到攻击或其他原因致使解码后的 水印破损，人们仍然可以通过视觉观察确认是否有水印。 › 无意义水印 无意义水印只对应于一个序列号。
常用水印算法
空域数字水印 › 最低有效位算法(LSB)：通过修改表示数字图像的颜色或颜色分 量的位平面,调整数字图像中感知不重要的像素来表达水印的信息， 以达到嵌入水印的目的。 频域数字水印
› 扩展频谱算法：通过时频分析，根据扩展频谱特性，在数字图像
的频率域上选择那些对视觉最敏感的部分，使修改后的系数隐含
击等手段。
图像水印 音频水印
视频水印
文本水印 用于三维网格模型的网格水印等。 随着数字技术的发展，会有更多种类的数字媒体出现，同时 也会产生相应的水印技术。
数字水印的分类
按检测过程划分
› 明文水印 明文水印在检测过程中需要原始数据。明文水印的鲁棒性比 较强，但其应用受到存储成本的限制。 › 盲水印 盲水印的检测只需要密钥，不需要原始数据。
余金蓉
数字水印（Digital Watermarking）技术
将一些标识信息（即数字水印）直接嵌入数字载体（包括 多媒体、文档、软件等）当中，但不影响原载体的使用价 值，也不容易被人的知觉系统（如视觉或听觉系统）觉察 或注意到。 通过这些隐藏在载体中的信息，可以达到确认内容创建者、 购买者、传送隐秘信息或者判断载体是否被篡改等目的。 数字水印是信息隐藏技术的一个重要研究方向。 属于信息隐藏（Information Hiding）技术的一种。
一般来说，目前学术界研究的数字水印大多数是盲水印。
数字水印的分类
按内容划分 › 有意义水印 有意义水印是指水印本身也是某个数字图像（如商标图像）或数字音 频片段的编码；
有意义水印的优势在于，如果由于受到攻击或其他原因致使解码后的 水印破损，人们仍然可以通过视觉观察确认是否有水印。 › 无意义水印 无意义水印只对应于一个序列号。
常用水印算法
空域数字水印 › 最低有效位算法(LSB)：通过修改表示数字图像的颜色或颜色分 量的位平面,调整数字图像中感知不重要的像素来表达水印的信息， 以达到嵌入水印的目的。 频域数字水印
› 扩展频谱算法：通过时频分析，根据扩展频谱特性，在数字图像
的频率域上选择那些对视觉最敏感的部分，使修改后的系数隐含
击等手段。
图像水印 音频水印
视频水印
文本水印 用于三维网格模型的网格水印等。 随着数字技术的发展，会有更多种类的数字媒体出现，同时 也会产生相应的水印技术。
数字水印的分类
按检测过程划分
› 明文水印 明文水印在检测过程中需要原始数据。明文水印的鲁棒性比 较强，但其应用受到存储成本的限制。 › 盲水印 盲水印的检测只需要密钥，不需要原始数据。
数字水印技术-变换域算法
02
数字水印与原始媒体数据紧密结 合，不易被察觉，同时可以在需 要时提取出来。
数字水印技术的应用场景
版权保护
通过数字水印技术，可以在数字 媒体中嵌入版权信息，以防止未 经授权的复制和传播。
内容认证
数字水印可以用于验证数字媒体 的完整性和真实性，以防止篡改 和伪造。
多媒体内容隐藏信
息
在数字媒体中隐藏一些不易察觉 的信息，如时间戳、标识等，以 实现一些特殊的应用需求。
VS
DWT将图像分解成不同尺度的小波 系数，每个尺度上的系数都对应于不 同的频率范围。基于DWT的数字水 印算法可以在不同尺度上嵌入水印信 息，以实现多分辨率的水印。提取和 检测水印时，需要利用小波逆变换将 图像重构到原始尺度。
基于FFT的提取与检测算法
基于快速傅里叶变换（FFT）的数字水印算法利用傅里叶变换的频域分析能力，能够实现高效的图像处理和信号处理。
优点
鲁棒性
变换域算法在数字水印技术中具有较好的鲁棒性，可以在经过多种 信号处理操作后仍能检测和提取出水印信息。
隐蔽性
通过在变换域内嵌入水印信息，可以有效地隐藏水印，使其不易被 察觉。
安全性
变换域算法可以利用加密技术对水印信息进行保护，提高水印的安 全性。
缺点
01
02
03
计算复杂度
变换域算法通常需要较大 的计算量和存储空间，这 可能会影响水印的实时处 理和嵌入速度。
傅里叶变换（FFT）
要点一
总结词
傅里叶变换是一种经典的信号处理技术，用于将信号从时 间域转换到频率域。
要点二
详细描述
傅里叶变换将图像的像素值表示为一系列复数系数的和， 这些系数表示图像在不同频率下的强度和相位信息。通过 修改这些系数，可以在不显著改变图像质量的情况下，嵌 入和提取水印信息。然而，傅里叶变换在处理图像时存在 一些局限性，例如无法处理局部区域的信息，因此在实际 应用中不如离散余弦变换和小波变换常用。
数字水印与原始媒体数据紧密结 合，不易被察觉，同时可以在需 要时提取出来。
数字水印技术的应用场景
版权保护
通过数字水印技术，可以在数字 媒体中嵌入版权信息，以防止未 经授权的复制和传播。
内容认证
数字水印可以用于验证数字媒体 的完整性和真实性，以防止篡改 和伪造。
多媒体内容隐藏信
息
在数字媒体中隐藏一些不易察觉 的信息，如时间戳、标识等，以 实现一些特殊的应用需求。
VS
DWT将图像分解成不同尺度的小波 系数，每个尺度上的系数都对应于不 同的频率范围。基于DWT的数字水 印算法可以在不同尺度上嵌入水印信 息，以实现多分辨率的水印。提取和 检测水印时，需要利用小波逆变换将 图像重构到原始尺度。
基于FFT的提取与检测算法
基于快速傅里叶变换（FFT）的数字水印算法利用傅里叶变换的频域分析能力，能够实现高效的图像处理和信号处理。
优点
鲁棒性
变换域算法在数字水印技术中具有较好的鲁棒性，可以在经过多种 信号处理操作后仍能检测和提取出水印信息。
隐蔽性
通过在变换域内嵌入水印信息，可以有效地隐藏水印，使其不易被 察觉。
安全性
变换域算法可以利用加密技术对水印信息进行保护，提高水印的安 全性。
缺点
01
02
03
计算复杂度
变换域算法通常需要较大 的计算量和存储空间，这 可能会影响水印的实时处 理和嵌入速度。
傅里叶变换（FFT）
要点一
总结词
傅里叶变换是一种经典的信号处理技术，用于将信号从时 间域转换到频率域。
要点二
详细描述
傅里叶变换将图像的像素值表示为一系列复数系数的和， 这些系数表示图像在不同频率下的强度和相位信息。通过 修改这些系数，可以在不显著改变图像质量的情况下，嵌 入和提取水印信息。然而，傅里叶变换在处理图像时存在 一些局限性，例如无法处理局部区域的信息，因此在实际 应用中不如离散余弦变换和小波变换常用。
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例、求
1 1 A 1 2
2 1
的奇异值分解。
解：
AT
A
6 1
1 6
E AT A 6 1 5 7
1 6
1 7, 2 5 1 7 , 2 5, rank( A) 2
D＝ 7
7 0
, 5
0 0
5
0
1
7，7 E
AT
A
1 1
11
1 0
01, 1 11
2
或者假装自己是其中的一个囚犯，隐藏进伪造的消息， 传递给另一个囚犯
信息隐藏问题
0 1 1… 1 0 0… …… 0 1 1…
128 127 126 … 120 123 124 … …… 85 85 86 …
128 127 127 … 121 124 124 … …… 86 85 87 …
数字水印图像
1
V T ( AT A)V
r
0
D2 O
O O
0
其中V 是正交阵。令 V (V1,V2 )
VV12TT
AT
A
(V1
,
V2
)
D2 O
O O
由前式可知
VV12TT
AT AT
AV1 AV2
D2 O,
A AVV T A(V1,V2 )VV12TT AV1V1T AV2V2T
Ax x
n
max1 Leabharlann nj 1a ij
；(2)
A
1
max x0
Ax 1 x
1
n
max 1 jn
i 1
a ij
；
Ax
(3) A 2 mxa0x
2 x
max ( AT A) 。
2
3、矩阵范数的等价性 定理 设A R nn，则
(1)
1 n
||
A
||
||
A
||2
n || A || ，
(2)
3 1 2 0 2 1
V
1
1 1
1 1
2 0 0
0
0 VT 2
1
U1 AV1D1
1 2
1 2
1 2
0 0
1 0
1 10
1 5
21
扩充U1 ,
解
U1T
x
0
得
2 1
,
单位化
1 5
12
U
1 5
1 2
2 1
，A
UV
T
信息隐藏与数字水印技术
—背景、算法及相关理论
信息隐藏问题描述
AV1V1T
AV1D1DV1T U1DV1T 其中 U1 AV1D1
AV2 0
把 U1 扩充成交阵 U (U1, U 2 )
即求解方程 U1T x 0 的基础解系，
再规范正交化即得
U2
UΣV T
D (U1, U2 ) O
O O
VV12TT
(U1D, O)VV12TT
U1DV1T A
GOOGLE的创办人
Page的父亲（Dr. Carl Victor Page）是美
国密西根州立大学(Michigan State University)的计算机博士，因此他在6岁就 开始迷上计算机。在学术研究上，Page追隨 父亲的脚步钻研计算机工程，并以优异的成 绩毕业于密西根大学，取得工程学士学位。
Google介绍
Google是一个搜索引擎，是由两个斯坦福大学博士生Larry Page与Sergey Brin于2019年9月发明的。 Google Inc. 于2019年创立。 2000年7月份，Google替代Inktomi成为Yahoo的搜索引擎 2019年9月份，Google成为中国网易公司的搜索引擎。 2019年至今，Google已经获30多项业界大奖。
15, 15E AT A 5 10 5 0 1 1 , 1 1
5 5 10 0 0 0
1
＝0，
AT
A
5 5
5 5
5 1 5 0
1 0
1
1
1
0, 2 1, 3 0
5 5 5 0 0 0
0
1
标准正交化：
1
11，
1
11 ，
1
1 0
5，5E
AT
A
1 1
11
1 0
1
1
0, 2 1
标准正交化:
1 2
11，
1 2
11
V＝
1 2
11
11 V T
1 U1 AV1D1 1
2
1
2 1
1 1 2 1
1 7
1
0
2 7
＝
1 2
1
3
7 7
0
3 5
1
5
5
5
解
U1T
x
0
得
1
,
单位化
- 3
1 35
1
- 3
0 1
1 n
||
A
||
||
A
||1
n
||
A
||
。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解
设 rank( Amn ) r， 则半正定阵 AT A 的特征值 i 0
称 i i 为 A 的奇异值。
定理：设
D 0 Σ 0 0mn
其中 D diag(1, 2 r ) , 1 2 r 0,
则存在正交阵 Umm ,Vnn 使得 A UΣV T
在密西根大学Ann Arbo校区求学期間， Page曾担任Eta Kappa Nu荣誉学会的会長， 并利用Lego™设计了可程式化的绘图机和喷 墨印表机。在史丹福大学攻读计算机博士学 位期間，Page結識了Sergey Brin，之后两 人即共同开发并经营Google，并于2019年正 式开始营运。
数字水印技术
➢矩阵范数 ➢矩阵的奇异值分解 ➢数字水印技术
矩阵范数
1、矩阵的算子范数 （诱导范数） N ( A)
A
v
m ax xxR0 n
Ax v x
v
满足相容条件：
(1) Ax
A
x
；
v
v
v
(2) AB A B (A, B R nn )。
v
v
v
2、矩阵范数公式
(1)
A
max x0
• 囚犯问题
– 两个囚犯A和B被关押在监狱的不同牢房，他们想通过 一种隐蔽的方式交换信息，但是交换信息必须要通过 看守的检查。因此，他们要想办法在不引起看守者怀 疑的情况下，在看似正常的信息中，传递他们之间的 秘密信息
• 看守者
– 被动看守者：只是检查传递的信息有没有可疑的地方 – 主动看守者：故意去修改一些可能隐藏有信息的地方，
5
例、求
A
1 2
1 2
1 2
的奇异值分解。
解：
1 AT A 1
1
2 2 2
1 2
1 2
12
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GOOGLE的创办人
布林（Sergy Brin）出生于莫斯 科，并以优异的成绩取得美国马 里兰大学 (University of at Maryland College Park)的数学与计 算机学士学位，以及史丹福大学 (Stanford University)的计算机硕士学 位，尚在攻读史丹福大学的计算机博 士，但目前暂时休学 。