角动量定理 角动量守恒定律 功能原理 动能定理 机械能守恒定律
c
P Mv =v r c
F Ma =r r 外
o p
1
2
1
2v r r v =
Ł£7»=p
“开普勒定律”，也叫“行星运动定律”，是行星
在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律。
开普勒在1609年发表了关于行星运动的两条定律：
开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律（面积定律）：对于任何一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
1619年，开普勒又发现了第三条定律：
开普勒第三定律（周期定律）：所有的行星的轨道的
半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
??o p B a
∫∫=⋅=tdx
r d F A 12v
v
m
v 0
m。
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xl dm m dx
x
ml
M阻 dM阻 0l gxdx 1 gl2
2
1 mgl
2
7
描述转动状态的物理量
合是力P点矩 1相在.对质t0于到点固t时定间对点内O点的的冲位的量矢矩角L 。 。动 量r P r m v
一、力矩 角动量
平在行通转 过轴O点的大的力任不小一产轴：生线转LO动D＝效上果的rm，投该影v力s称i对n为转质轴点的对力轴矩OD为的零角。动量。
两方边向同 ：时右乘手以螺旋dt，定得则a：判) 定必（须沿转指轴的明正是或负对方向谁）的角动量；
单位：kg•m2/s
量纲：ML2T-1
注意： b)作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
c)角动量是描述转动状态的物理量；
d)质点的角动量又称为动量矩。
8Байду номын сангаас
L
p
o
rm
θ P
LP or
y
2.质点对轴的角动量
二、角动量定理 角动量守恒定律
可以把力平分行解为转平行轴于的转轴力的分不量和产垂生直于转转轴动的效分量果。，该力对转轴
z F 的力矩为零。 如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
例2：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与∥远日点的速度谁大？
b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
Lrp 合第力矩 3 在章方t0到向t时：间内右的冲手量螺矩。旋定则判定
动量守恒定律和
能a)质量点守对恒轴定单的律位角（动1：）量的k方g向•m沿转2/轴s 的正或负方量向纲； ：ML2T-1
单位：N•m（不能写成功的单位J） 量纲：ML2T–2
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
1.6 动量 动能 角动量
v 2 x = 2v x = 100m / s v 2 y = v1 y = 14.7m / s
设爆炸后第二块飞行t 落地距原点距离为s, 设爆炸后第二块飞行 2秒,落地距原点距离为 , 则:
Mgx 而已落到桌面上的柔绳的重量为: 而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg =
所以: 所以 F总 = F + mg = 2 Mgx
L
L
Mgx +
L
= 3mg
3,动量守恒定律 , (1) 质点动量守恒定律 t 由质点动量定理, 由质点动量定理,有: I = ∫t F dt = p2 p1
2 1
若质点所受合外力为零, 则有: 若质点所受合外力为零,即 F = 0则有
dt
dt
根据动量定理,桌面对柔绳的冲力为 根据动量定理,桌面对柔绳的冲力为: dx ρ dx dP dt =- ρ v 2 ′= = F dt dt 柔绳对桌面的冲力F=- =-F′ 柔绳对桌面的冲力 =- 即: M 2 2 2 F = ρv = v ,v = 2 gx ,F = 2 Mgx / L L
s1 = v x t 0 v2 y h = 2g 0 = v y gt
t = 2 s v x = 50m / s
v2
v1
θ
19.6m
s1
设爆炸后第二块速度为v 设爆炸后第二块速度为 2与水平方向夹角为θ,则 由动量守恒得: 由动量守恒得 1 mv cosθ = 1 mv = mv
t ′ = 1s,h = 19.6m 1 2 由题意得: 由题意得 h = v1t ′ gt ' 2
描述动量守恒、机械能守恒和角动量守恒定律。
描述动量守恒、机械能守恒和角动量守恒定律。
动量守恒定律是研究物体运动规律的重要基础，它可以完全描述质量和平衡性，解释并预测系统总动量的变化。
这个定律称为动量守恒，也叫受力定理，是物理学中最基本的定律之一，是物理学的核心。
动量守恒定律指的是在不受外力作用的情况下，物体的总动量保持不变，无外
力作用的条件下，物体运动的变化应满足总动量不变，用数学表示为: Momentum= Mass X Velocity
也就是说，如果物体整体的体积和质量是固定的，它的动量就将保持不变。
机械能守恒定律指的是物体在施加外力的情况下，机械能是保持定值不变，也
就是说，机械能会在系统内转化，但总数量不会改变。
机械能守恒定律是从动量定律和能量守恒定律中推导出来的，用公式表示为：
∆K = F·s,其中∆K为机械能变化量，F为作用在物体上的外力，s为外力作用
点在物体位移向量所取得的积分值。
角动量守恒定律指的是在外力作用的情况下，物体的角动量也是保持定值不变的，角动量守恒定律是一个要求物体在外力作用下保持恒定角速度的定律，它体现了物体围绕其轴心进行自旋旋转时，它能保持恒定角速度的能力，用公式表示为：
∆L = τ，其中∆L为角动量变化量，τ为作用于物体的外力矩。
总之，动量守恒定律、机械能守恒定律、角动量守恒定律都是研究物体运动规
律的重要定律，它们根据实际情况有所不同，但它们都是物理学中的基本定律。
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
1.5 角动量变化定理和动量守恒
作圆周运动质点对O点的 作圆周运动质点对 点的 角动量的方向垂直于圆周平 面，大小为
l = mrv = mr ω
2
把过O点并垂直于圆周平面的直线当成转轴， 把过 点并垂直于圆周平面的直线当成转轴， 点并垂直于圆周平面的直线当成转轴 上式表示质点绕该轴转动的角动量。 上式表示质点绕该轴转动的角动量。
13
光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球， 【 例 】 光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球 ， 开始弹簧处于自然长度， 两小球静止。 开始弹簧处于自然长度 ， 两小球静止 。 今同时 打击两个小球， 打击两个小球 ， 让它们沿垂直于弹簧轴线方向 获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过 获得等值反向的初速度 程中弹簧的最大长度为2l 求初速度v 程中弹簧的最大长度为 0，求初速度 0。 解 系统：弹簧和小球 系统： 质心C点固定不动 点固定不动， 质心 点固定不动，相对 C点系统的角动量守恒。 点系统的角动量守恒。 点系统的角动量守恒 初始时刻角动量： 初始时刻角动量：
3
一 质点的角动量 质点对O点的角动量： 质点对 点的角动量： 点的角动量
l = r × p = r × mv
角动量的大小： 角动量的大小：l = rp sinθ = mrvsinθ 右手螺旋定则： 右手四指由r经小于 经小于180° 角 右手螺旋定则 ： 右手四指由 经小于 ° 转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 转向 ，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 必须指明是对哪个点而言的
因 v × p = 0 ，则有
dp dp dr r× f = r× +v× p = r× + × p dt dt dt d(r × p) dl = = dt dt
即
dl M= dt
机械能 角动量守恒
探路者无人飞船俯视火星
探路者飞船在火星着陆点地貌
海盗号和凤凰号
碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 .
ex in F F pi C
i
完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之 和不变 .
Ek Ek1 Ek 2 C
非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞
例 2 设有两个质量分别为 m1 和 m2 , 速度分别 为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方 向相同. 若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度 v1 和 v2 . 解 取速度方向为正向，由动 量守恒定律得 碰前
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 )
土星五号火箭
美国的土星 5 号是人类历
史上使用过的最高、最重、
推力最强的运载火箭，高 达110.6米，起飞重量 3038吨，总推力达3400吨 左右，可将 127 吨的有效
载重送上近地轨道。
中国神州飞船
空间实验室（Space Laboratory）是一种可重复 使用和多用途的载人航天科学实验空间站。前苏 联、美国和欧洲航天局已于20世纪七八十年代率 先研制成功出空间实验室。中国首个空间实验室 的主体“天宫一号”已于2011年9月29日21时16 分在酒泉发射升空。
v1
1 1 1 2 2 2 m mv1 m mv2 K l l0 2 2 2
一、质点系角动量定理
质点系统所受外力矩之和等于系统总 角动量的变化率。
t M 外dt dL 或： t M 外dt L L0
0
注：内力矩不改变系统总角动量，但使得角 动量系统内部重新分配。
力 第七讲 动量定理、动量守恒定律、角动量守恒定律
解: varrrr矩Maaacos2si0cntoirs,t该irtb质irsib点nb对cto2原rjssi点nt的rj t角rj 动量 L
mabk
.
LMrrrrrr2mrrFrvr
0r
mabk
例4. 如图所示, 在光滑水平面上有一个以速率 v向右运动的物
个质点的运动, 与质点系的内力无关.
§3.5 碰撞
一. 定义 “相遇”—碰撞
碰撞的时间极短, 碰撞前后物体运动
状态的改变显著, 过程始末状态清楚.
二. 特征: 动量守恒!
r
碰撞过程, 相互作用内力—冲击力>>常力, 可认为 F合外 0！
三. 类型
特征
完全弹性碰撞: 碰撞 非弹性碰撞:
动量守恒, 动能守恒! 动量守恒, 动能不守恒!
求: (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小; (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量.
4. 一长为 l 、质量均匀的链条, 放在光滑的水平桌
面上, 若使其长度的一半悬于桌边下, 然后由静
l
v0
v
M
止释放, 任其滑动. 求它全部离开桌面时的速率.
5. 如图所示, 一质量为m的物体, 位于质量可以忽略的 直立弹簧的正上方高度为h 处, 该物体从静止开始落 h
2. 质Fr点的d角pr 动量定rr 理Fr rr d pr d (rr pr )
dt
dt
dt
质点的角动量定理:
drr
r p
r r
d
pr
dt 0
rr
d
pr
dt
dt
r M
r dL
（高考系列）高中物理竞赛教程（超详细）_第九讲_动量_角动量..
第四讲动量角动量和能量§4.1动虽与冲量动童定理4. 1. 1.动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv来星度物体的“运动量”，称之为动量。
4. 1. 2.冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间也的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F△，叫做冲量。
4. 1. 3.质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：FAi=ma^t=/nAv=mv x-mv Q FZ=Np即冲量等于动量的增量，这就是质点动定理.在应用动量:定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一宣线上时，可将矢景投影到某方向上，分量式为：F4=mv tt-mv Qs气&=-mv Qy F=Z=mv c-mv0:对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个，外+L内=扪十1，一川+|。
第2个匕外+4内='"2四一华玲0第n个/“外+/”内=""”一〃"”0由牛顿第三定律：，内+匕内+....+A»内=0因此得到：L外+】2外+……+.外=(WiV l/+zn2v2/+......+m n v n,)_(w,v,0+/n2v20+......m…v nQ)即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
§4,2角动虽角动虽守值定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。
它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为J=rxP(尸=OB)以下介绍两个定理：O（1）.角动量定理：质点对某点或某轴线的动景矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即dJ u出（M为力矩）。
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。