(初级篇1)基本不等式及其应用
基本不等式及实际应用
最小值 2 P .
（2）如果和x+y是定值S，那么当 x=y时积xy有最 大值
1 2 S 4
. 即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
思维活动：
4 1函数y x 4 x 0的值域 ______
（2）已知 x 0, y 0,且 x 5 y 20, 求 2
情境二：运输
兴 趣 是 最 好 的 老 师
进货结束后装车运回。所购大米需装6辆 卡车，途径一座长为100米的大桥，假设 卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出 于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小 v 于 5 m（卡车长忽略不计），则全部卡车 安全过桥最快需多少时间？
2
解：设卡车全部安全过桥共需t 秒,
该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每
天支付的总费用最少？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原
价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设矩形的长、宽各为 x , ym，由题意可得
2 x y 36且 x 0, y 0 。矩形的面积为 xym
答：当底面的长与宽均 为4米时，用纸最少
例4、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用
基本不等式是初中数学中重要的不等式之一，它的实际应用非常广泛。
在生活中，我们经常会遇到需要比较大小的情况，比如购物打折、交通工具的选择等等。
而基本不等式就是帮助我们进行大小比较的数学工具。
在物品打折中，我们会看到“打X折”或“打X%折”，这时我们就需要通过基本不等式来比较打折前和打折后的价格大小。
比如说，某物原价为100元，打7折后价格为70元，打8折后价格为80元，我们可以使用基本不等式7/10<8/10来说明第二种打折方式更优惠。
在选择交通工具时，我们也需要比较不同交通工具的速度和费用大小。
比如说，某旅游景点离我们住处10公里，我们可以选择步行、自行车、公交车和出租车四种交通方式。
我们需要通过基本不等式来比较它们的速度和费用大小，从而选择最优的交通方式。
除此之外，基本不等式还可以应用于代数式的简化、三角函数的证明等数学领域。
在学习数学时，我们应该充分理解和掌握基本不等式的定义和运用，以便更好地应用于实际问题中。
- 1 -。
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或,当且仅当a=b时等号成即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:若a、b∈R,则2. 基本不等式证明方法,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析案例1：(1)（xx天津·理）设的最小值为A 8B 4C 1D (2) （xx海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，若成等比数列，则Ａ．Ｂ．的最小值是（）Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。
用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。
根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。
也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。
∴，当且仅当即时，“=”成立。
故选择C。
成等差数列，成等比数列，（2）（直接法）∵∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。
故选D。
成等差数列，成等比数列分别都为另解：（特殊值法）令，则，故选D。
案例2：(1) （xx重庆·文）已知A．2B．，则C．4的最小值是（） D．5(2)（xx山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
《基本不等式的应用》课件
01
02
03
确定要最化的函数
在使用基本不等式求最值 时，需要先确定要优化的 函数，通常为f(x) = x + 4/x。
找到极值点
通过导数的方法，可以找 到函数的极值点，即x = 2 。
计算最值
在x = 2处，函数取得极小 值2√4=4，无极大值。
利用基本不等式证明不等式
确定要证明的不等式
01
在利用基本不等式证明不等式时，需要先确定要证明的不等式
在生产计划中的应用
Байду номын сангаас总结词
基本不等式可以帮助我们在生产计划中做出最优决策 ，使得生产成本最低、产量最高。
详细描述
在生产计划中，我们通常需要考虑多个因素，如原材 料成本、劳动力成本、设备成本等。利用基本不等式 ，我们可以建立数学模型，分析这些因素之间的关系 ，从而制定出最优的生产计划。例如，在安排工作时 间时，我们可以利用基本不等式来确定工作时间的最 优分配，使得总生产成本最低。此外，在考虑生产设 备的更新和维修时，我们也可以利用基本不等式来分 析设备的经济效益和维修成本之间的关系，从而做出 最优决策。
收敛，则 $\left(\sum{i=1}^{\infty} a_i bi\right)^2 \leq \left(\sum{i=1}^{\infty} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{\infty} b_i^2\right)$。
基本不等式的推广形式
• 排序不等式：若 $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$，且 $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq bn$，则有 $\sum{i=1}^{n} a_i bi \leq \sum{i=1}^{n} ai \sum{i=1}^{n} b_i$，当且仅当 $a_1=a_2=\ldots=a_n$ 或 $b_1=b_2=\ldots=b_n$ 时取 等号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式及应用
一、基本不等式及应用
1、（2018苏锡常一模9题）已知0a >，0b >，且
23a b +=，则ab 的最小值是．
解析：∵ 0a >，0b > ∴ 23a b
+=≥ab > 2、已知实数x ，y 满足122=-+xy y x ，则y x +的最大值为________．
解析：因为122=-+xy y x ，所以xy y x +=+122. 所以22)2
(3131)(y x xy y x ++≤+=+， 即4)(2≤+y x ，解得22≤+≤-y x . 当且仅当1==y x 时等号成立．所以y x +的最大值为2.
3、已知0>x ，0>y ，且082=-+xy y x ，求：
(1)xy 的最小值；(2)y x +的最小值．
解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得xy y x y x xy 882282=⋅≥+=，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.
（2）由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝))(28(y x y
x ++＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋21882=x
y y x .当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋y 的最小值为18. 4、设1->x ，则函数1
)2)(5(+++=x x x y 的最小值为____________． 解析：因为1->x ，所以01>+x ，设01>=+z x ，则1-=z x ，所以
95425445)1)(4(2=+⋅≥++=++=++=z
z z z z z z z z z y ，当且仅当2=z ，即x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，函数y 有最小值9.
5、设a ，b ，c 均为正数，满足032=+-c b a ，则ac
b 2的最小值是________． 解析：∵a －2b ＋3
c ＝0，∴b ＝a ＋3c 2，∴ac
b 2＝a 2＋9
c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac ＝3， 当且仅当a ＝3c 时取“＝”．
6、 已知0>x ，0>y ，若
m m y
x x y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为0>x ，0>y ，所以816282=≥+y x x y .要使原不等式恒成立，只需822<+m m ，解得24<<-m .所以实数m 的取值范围是)2,4(-.
7、已知对满足42x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有01222≥+--++ay ax y xy x ，则实数a 的取值范围为. 解析：y x y x a ay ax y xy x ++
+≤⇒≥+--++1)(01222， 而)(4)(2242负舍≥+⇒+≤=++y x y x xy y x ，因此),417[1+∞∈+++y x y x ， 即实数a 的取值范围为17(,
]4-∞. 二、“1”的灵活应用
1、已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则b
a 11+的最小值为________． 解析：∵0>a ，0>
b ，1=+b a ，∴4222))(11(11=⋅+≥++=++=+b
a a
b b a a b b a b a b a 当且仅当21==b a 时等号成立，即b
a 11+的最小值为4. 2、已知0>a ，0>
b ，32=+b a ，则b
a 12+的最小值为________． 解析：由32=+
b a 得121=+b a ， ∴3
834323434334)3231)(12(12=+≥++=++=+a b b a a b b a b a b a b a . 当且仅当2
32==b a 时取等号． 3、若正数a ，b 满足2=+b a ，则1
411+++b a 的最小值是________． 解析：)1
)1(4115(41411)1411(1411++++++=+++⋅+++=+++b a a b b a b a b a 49)1)1(41125(41=++⋅+++≥b a a b ，当且仅当1
)1(411++=++b a a b ，即31=a ，35=b 时取等号． 所以1411+++b a 的最小值是4
9. 4、已知0>a ，0>b ，411=+，则b a +的最小值为________． 解析：由411=+b a ，得14141=+b
a . ∴))(4141(
b a b a b a ++=+1442214421=⋅+≥++=b a a b b a a b ，当且仅当21==b a 时取等号．
5、若正数a ，b 满足111=+b a ，则1
1614-+-b a 的最小值为________． 解析：因为0>a ，0>b ，111=+b
a ，所以a
b b a =+， 则20164)1(16)1(4164-+=-+-=+a b a b . 又)11)(4(4164b a a b a b ++=+＝20＋364420)4(4=⋅+≥+b
a a
b x b a a b ，当且仅当b a a b 4=且111=+b a ，即23=a ，3=b 时取等号，所以1620361
1614=-≥-+-b a ． 6、设x 、y 均为正实数，且
133=+，则xy 的最小值为________． 解析：由11
323=+++y x ，可得y x xy ++=8.∵ x 、y 均为正实数， ∴ xy y x xy 288+≥++=(当且仅当y x =时等号成立)，即082≥--xy xy ， 解得4≥xy ，即16≥xy ，故xy 的最小值为16.
7. 若实数a 、b 满足)1(014>=+--a b a ab ，则)2)(1(++b a 的最小值为________． 解析：∵ 014=+--b a ab ，∴ 1
14--=a a b .∴22)2)(1(+++=++b a ab b a 151
6)1(611]3)1(4[61211462+-+-=+-+-+=+⋅--+=a a a a a a a a ，∵ 1>a ∴ 01>-a ，原式=2715121516)1(621516)1(6=+=+-⋅-≥+-+-a a a a 当且仅当1)1(2=-a ，即2=a 时等号成立．∴ 最小值为27.
三、拆拼凑
1、若0>x ，0>y ，且2321=+++y
x y x ，则y x 56+的最小值为． 解析：设y n m x n m y x n y x m y x )()2()()2(56+++=+++=+，∴ ⎩
⎨⎧=+=+562n m n m . 解得⎩⎨⎧==4
1n m ，所以)321)]((4)2[(2156y x y x y x y x y x ++++++=+ 322
13))()2(32)(4213(21)12)()2(32)(41(21+=++⋅+++≥+++++++=y x y x y x y x y x y x y x y x ，当且仅当463+=
a ，2132+=
b 时等号成立，∴ y x 56+最小值为322
13+.
2、已知实数x ，y 满足322=+y x ，||||y x ≠，则2
2)2(4)2(1y x y x -++的最小值为______． 解析： ])2(4)2(1[15)2()2()2(4)2(1222222y x y x y x y x y x y x -++-++=-++
53159)
2()2(4)2()2(25[151])2()2()2()2(5[151********==-+⋅+-+≥-+++-+=y x y x y x y x y x y x y x y x 3、设0>>b a ，则)(112b a a ab a -+
+的最小值是________． 解析：+-++=++-+=++)(141)]([412b a a ab b a a ab a 642)(4)(212)(1=+=-⨯-+⨯≥-b a a b a a ab ab b a a ，当且仅当ab
ab 1=，)(4)(b a a b a a -=
-即3=a ，33=b 时等号成立，所以)
(112b a a ab a -++的最小值为6． 4、当40<<x 时，则)28(x x y -=的最大值是________．
解析：由40<<x 可知028>-x ，8)2
282(21)]28(2[21)28(2=-+≤-⋅=-=x x x x x x y ,当x x 282-=，即2=x 时等号成立，当2=x 时，)28(x x y -=的最大值为8.
5、已知45>x ，求函数5
4124-+-=x x y 的最小值是________． 解：535
41)54(235415454124=+-⨯-≥+-+-=-+-=x x x x x x y ，当且仅当54154-=-x x ，即23=x 时，等号成立，故2
3=x 时，5min =y . 6、已知x ，y 为正实数，且12
2
2=+y x ，则21y x +的最大值是________． 解析：=+⋅=+212122y x y x 4322122)21(22122222
2=++=++≤+y x y x y x ，即2432212122
≤+=+y x y x .。