测量平差基础知识及矩阵基础知识
测量平差期末总结
测量平差期末总结一、引言测量平差是地理信息系统(GIS)和工程测量领域非常重要的一部分，它涉及到对测量数据进行处理、分析和计算。
测量平差能够提高测量数据的准确性和精确度，使得测量结果更加可靠和可信。
本文将对测量平差的一些基本概念、方法和步骤进行总结和分析，以期加深对测量平差的理解和应用。
二、测量平差的基本概念1. 测量平差的定义测量平差是指通过一系列的数学模型和计算方法，对原始的测量数据进行处理和分析，以获取更加准确和精确的测量结果的过程。
测量平差的目的是消除测量误差，提高测量数据的可靠性和精度。
2. 测量平差的分类根据测量数据的性质和采集方式的不同，测量平差可以分为直接平差和间接平差。
直接平差是指对直接测量数据进行处理和分析，如经纬度测量、高程测量等；间接平差是指对间接测量数据进行处理和分析，如距离测量、角度测量等。
3. 测量平差的基本原理测量平差的基本原理是基于观测量的合理模型和模型的参数估计。
通过观测量的数学模型，利用最小二乘法或加权最小二乘法等方法，求解模型的未知参数，从而得到测量结果的最优估计。
三、测量平差的方法和步骤1. 校正平差校正平差是指对原始的测量数据进行检验和修正的过程。
校正平差的目的是通过剔除异常观测值和消除系统误差，得到更加准确和可靠的测量数据。
2. 数学模型的建立数学模型是测量平差的基础，它是通过观测量的几何关系和误差模型建立的。
数学模型可以根据测量任务的不同而定，常见的数学模型有三角形测量模型、高程测量模型等。
3. 参数估计参数估计是指根据观测量和数学模型，利用最小二乘法或其他的数学方法，求解模型的未知参数。
参数估计的目的是最小化观测量和模型的差异，得到最优估计。
4. 平差计算平差计算是指根据参数估计的结果，利用平差公式和计算方法，对测量数据进行处理和分析。
平差计算的目的是消除观测量和模型之间的差异，得到平差结果。
四、测量平差的应用1. 地理信息系统(GIS)测量平差在GIS中有广泛的应用。
测量平差误差理论基本知识
z 15 2 36 2 74 2 10 10 10
测量平差误差理论基本知识
一般函数
函数形式：
Zf(x1,x2 xn)
中误差关系式：
m z2 x f1 2m 1 2 x f2 2m 2 2 x fn 2m n 2
测量平差误差理论基本知识
例题： 设有某函数：zS•si n
数n的平方根成正比
测量平差误差理论基本知识
当水准路线通过平坦地区时，各测站 的视线长度大致相等，每公里的测站数也 接近相等，因而每公里的水准测量高差中 误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两 点间的水准路线为S公里时，A、B两点间 高差中误差为： mhAB Smkm
水准测量高差的中误差，与距离S 的平方根成正比
真误差 lXl18 0
误差区间 （3″）
0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24以上 ∑
观测值与理论值之差
负误差
个数 （k）
相对个数 （k/n）
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
0
对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误 差，另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不 同程度的影响。 2．仪器的原因
测量工作是需要用测量仪器进行的，而每一种测量仪 器具有一定的精密度，使测量结果受到一定的影响。 3．外界环境的影响
测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、 湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时 刻在变化，使测量结果产生误差。
测量平差基本概念
一 测量平差内容 1. 求待估量的最或然值（最佳估值） 2. 评定精度
二 平差方法 数学方法：最小二乘法 1. 间接平差法： 2. 条件平差法
• 自由网平差、拟稳网平差、加权自由网平差
三. 间接平差原理
1. 间接平差数学模型
观测向量：L , 权阵：P ，未知数向量：X
nx1
nxn
tx1
BT PBX BT Pl 0
N BT PB,U BT Pl
NX U 0 X N 1U
2 精度评定
（1）单位权中误差
m0
V T PV nt
（2）未知数协因数阵： Qxx N 1
（3）未知数协方差阵： Dxx m02Qxx
Qx1x1 Qx1x2 ...... Qx1xn
1/ 2 0
0 2 1/ 3 9
0 4
3/2 1/ 2
1/ 2x1 5 / 6 x2
0 4
0
（4）解方程得：
x1 2,x2 6
x1 x10 x1 11.000 0.002 11.002m
1 0 0 1 0
N BT PB 10
1 1
0100
1/ 2 0
0 1 1/ 3 0
1
1
3/2 1/ 2
1/ 2
5/
6
1 0 0 1
U
BT Pl
1 0
1 1
0100
mx1 m0 Qx1x1 2.45 5 / 6 2.4mm mx2 m0 Qx2x2 2.45 3 / 2 3.0mm
测量平差的基础理论与实用运算技巧介绍
测量平差的基础理论与实用运算技巧介绍引言：测量平差是测绘学中一项重要的技术，它通过一系列的测量观测与计算，使得测量结果更加准确和可靠。
本文将介绍测量平差的基础理论和实用运算技巧，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、测量平差的基础理论1.1 测量误差与精度测量平差的基础理论包括测量误差与精度。
测量误差是测量结果与真实值之间的差异，而精度则是描述测量结果的可靠程度。
了解并控制测量误差是进行测量平差的基础。
1.2 测量观测与定位测量观测是对待测对象进行测量的过程，它是测量平差的基础数据。
而定位则是将观测结果转化为坐标或位置信息的过程，常用的方法包括全站仪测量和GPS 定位等。
1.3 测量平差方法测量平差的方法有很多种，如最小二乘法、参数平差法等。
最小二乘法是一种常用的平差方法，它通过将观测误差最小化，来确定最优的平差结果。
二、实用运算技巧2.1 观测数据处理观测数据处理是进行测量平差的关键步骤，它包括读数转换、数据检查和数据平差等。
在进行数据处理时，需要注意数据的完整性和准确性。
2.2 参数平差法运算参数平差法是一种广泛应用的平差方法，它通过建立参数模型和观测方程，来求解未知量的值。
在进行参数平差法运算时，需要掌握矩阵运算和方程组求解的技巧。
2.3 网平差运算网平差是一种多个点同时进行平差的方法，它适用于有大量观测数据和未知量的情况。
在进行网平差运算时，需要注意观测数据的合理性和平差结果的可靠性。
三、实例分析本节将通过一个实例来展示测量平差的应用。
假设有一个工程项目，需要对地面标志点进行定位测量和平差。
首先进行全站仪观测，并记录观测数据。
然后，将观测数据进行处理和平差计算，得到标志点的实际位置坐标。
最后，根据平差结果进行误差分析和可靠性评估。
四、应用展望随着测绘技术的不断发展，测量平差在各个领域的应用越来越广泛。
未来，随着传感器和数据处理技术的进步，测量平差的精度和效率将进一步提高。
同时，测量平差也将深入到更多新兴领域，如智能交通和环境监测等。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
测量平差概要
测量平差概要一、基本概念01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。
02、在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。
03、协方差与权互为倒数。
04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。
06、协因数阵与权阵互为逆阵。
07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。
08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。
09、偶然误差服从正态分布。
10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。
11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的个数等于必要观测数。
12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函数法。
13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。
14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。
15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中误差的3倍作为极限误差。
16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。
17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。
18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。
19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。
20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。
21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。
22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。
23、测角精度与角度的大小无关。
24、观测值的权通常是没有量纲的。
25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。
26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。
27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件28、独立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。
29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。
1、测量平差基础知识复习
2、按照平差准则求解 最小二乘准则； 极大验后、极大似然等准则； 广义最小二乘准则。
测量平差
由含有误差的观测值按一定准则 求未知参数X的估值 求未知参数 的估值 参数分为： 参数分为： 非随机参数 最小二乘估计、 最小二乘估计、极大似然估计 这类平差即经典平差 随机参数 极大验后估计、 极大验后估计、最小方差估计等 这类平差称“滤波、推估“ 这类平差称“滤波、推估“ 随机参数和非随机参数 广义最小二乘原理 这类平差称”配置“ 这类平差称”配置“
θ = lim
[ ∆] n
n→ ∞
极限误差：二倍或三倍中误差。 极限误差：二倍或三倍中误差。
相对误差：相对中误差，是中误差与观测值比， 相对误差：相对中误差，是中误差与观测值比， 例:衡量距离测量误差，土石方测量误差等。表示 为1/N，1/10000。 1/N，1/10000。 方差：中误差的平方，统计学用语，中误差的统 方差：中误差的平方，统计学用语，中误差的统 计学用语为标准差。 或然误差ρ 或然误差ρ 误差出现在区间（ρ 误差出现在区间（ρ，-ρ）的概率为0.5。 ）的概率为0.5。 各精度指标的关系： 各精度指标的关系：
平差原理（准则）--平差原理（准则）---最小二乘估计 平差模型
条件平差：AV＝ 条件平差：AV＝W 间接平差：L 间接平差：L＋V＝BX 附有未知数的条件平差：AV＋BX＝ 附有未知数的条件平差：AV＋BX＝W 附有约制条件的间接平差： L＋V＝BX CX－W＝0 CX－
原理
按准则V PV＝ 按准则VTPV＝min 确定未知数（最小二乘估计）， 估计过程称参数估计。 估计过程称参数估计。
误差的概念或理论 误差的定义
观测值与理论值之间的差异（现象：重 复观测，理论关系的满足）
测量平差技术入门指南
测量平差技术入门指南一、引言测量平差技术是现代测量学中的一门重要技术，它通过利用数学模型和数据处理方法，对测量结果进行精确的分析和修正，以达到更为准确的测量成果。
本文将为初学者提供一份测量平差技术的入门指南，介绍测量平差的基本原理、方法和应用。
二、测量平差的基本原理1.1 精确性和可靠性测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，从而提高测量结果的精确性和可靠性。
精确性是指测量结果与真实值之间的接近程度，而可靠性则是指测量结果的稳定性和可信度。
通过测量平差技术，我们可以减小测量误差、消除随机误差和系统误差，提高测量精度和可靠性。
1.2 测量数据的模型化测量平差技术的另一个重要原理是将测量数据进行模型化。
对于不同类型的测量数据，我们可以通过建立相应的数学模型来描述它们的特征和关系。
基于这些模型，我们可以使用统计方法对测量数据进行分析和处理。
三、测量平差的基本方法2.1 最小二乘法最小二乘法是测量平差中最常用的方法之一。
其基本思想是最小化残差平方和，即寻找使得测量数据与模型之间的残差最小的解。
通过最小二乘法，我们可以消除一部分误差，并提高测量结果的精确性。
2.2 条件方程法条件方程法是另一种常用的测量平差方法。
它通过建立由观测数据和未知参数构成的条件方程组，使用数值方法求解该方程组，获得未知参数的估计值。
条件方程法适用于各种类型的测量问题，具有较好的通用性。
四、测量平差的应用领域3.1 地形测量测量平差技术在地形测量中具有广泛的应用。
通过对地形测量数据进行处理，我们可以绘制出精确的地形图和等高线图，为地质勘探、土地规划和交通规划等工作提供准确的基础数据。
3.2 工程测量在工程测量中，测量平差技术被广泛应用于土建工程、水利工程和交通工程等领域。
通过对测量数据进行精确处理，我们可以制定合理的工程设计方案，提高工程质量和效率。
3.3 大地测量大地测量是测量平差技术的重要应用领域之一。
通过对大地测量数据进行平差处理，可以获得准确的大地坐标和大地线网的形状、尺度和形变等信息，为地球物理研究、地震监测和测绘工作提供重要支持。
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T
零矩阵
所有元素为0的矩阵，记为O
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式
1 0 0 0 0 对角阵 0 0 2 diag( , , ) 1 2 n 0 0 0 0 0 0 n
1 0 E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
a1b2
a2b2 a3b2 a4b2
a1b3 a2b3 a3b3 a4b3
补充知识——线性代数
★线性变换的矩阵表示
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 y a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 34 4 3
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11 的余子式 M11 a11 的代数余子式
a22 a32
a23 a33
11
A11 (1) M 11
a22 a32
a23 a33
补充知识——线性代数
-1 11
1 0 1 3 0 1 3 4
AB
9 9
-2 9
补充知识——线性代数
★矩阵运算的几种结果
b1 b2 (a1 , a2 , a3 , a4 ) a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 b3 b 4
a1b1 a1 a b a2 2 1 a b1 , b2 , b3 a b 3 1 3 a 4 a4b1
a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 B b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33
2 2 2 (6 ) 2 （-1） 0 （ 1） （5） mB 3.5 5
mA mB
说明A组的观测精度比B组高
第二章 测量误差理论及其应用
2.允许误差:在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也称 为极限误差或限差。 以3倍中误差作为偶然误差的极限值 3m
第二章 测量误差理论及其应用
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
有限性
一定观测条件下有限次 观测值中，其绝对值不 超过一定界限
显小性
绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现的机会多
对称性
绝对值相等的正、负误差出 现的机会大致相等
偶然 误差
抵消性
观测次数无限增多时，偶然 误差的算术平均值趋近于零
限
要求较高时，也常采用2倍中误差作为极限误差
限 2m
第二章 测量误差理论及其应用
例题：分别丈量了1000m和200m两段的距离，中误差 均为 0.2m，试问哪个测量的精度高？
3.相对误差：观测值中误差的绝对值 m 与观测值之比。 1 1
K D D m M
0 .2 1 200 1000
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
5
1
4
5 2 2 1 (1)(2) 4 3 0 4 2 (2) 1 3 2 5 (1) 0 32
3 2 1 2 0 2
2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：有两个测量组对某个已知值的角度同时都进行了5次 观测，各次观测的真误差如下： A组：-4″，-3″，0″，+2″，+4″； B组：-6″，-1″，0″，+1″，+5″。 解：
2 2 2 (4 ) 2 （- 3） 0 （2） （4） mA 3.0 5
m f h m n 2.8 n ( mm)
以3倍中误差为允许误差，则高差闭合差的允许误差为：
允 3 2.8 n 8 n (mm)
补充知识——线性代数
★二阶行列式 定义
a b c d
ad bc
a b c d
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6 (3) 2 (5) 5 3
cos sin sin cos
cos2 ( sin 2 )
补充知识——线性代数
★三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a33 a13
5
1
4
11 12 13 a ( 1 ) M a ( 1 ) M a ( 1 ) M13 1 11 11 12 12 13
3 2 2 0
2
补充知识——线性代数
习题
1 2 3
0 0 0
3 0 1 0 0 1
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★行列式的转置 把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩 阵称为A的转置矩阵，记作AT 。
余子式 元素aij 的余子式 M ij 就是在行列式中划掉元 素aij所在的行和列，余下的元素按原来的 相对位置而构成的行列式。
代数余子式
Aij (1)
i j
M ij
补充知识——线性代数
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 ຫໍສະໝຸດ 11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
a11b11 a12b21 a13b31 AB a21b11 a22b21 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
补充知识——线性代数
1 0 3 1 A 2 1 0 2
4 1 B 2 1
解： 普通水准测量每站测得高差
hi ai bi (i 1,2, n)
则每站观测高差的 m m读2 m读2 m读 2 2.8mm 观测n站所得高差 h h1 h2 ，高差闭合差 ， f h h h0 hn h0 为已知值（无误差）。则闭合差 f的中误差为： h
2 2 2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：已知矩形的宽x=30m，其中误差mx 0.010m， 矩形的长y=40m，其中误差 my 0.012m ，计算矩形 面积A及其中误差 m A 。
2 A xy 1200 m 解：已知计算矩形面积公式
对各观测值取偏导数 根据误差传播定律
f f x, y y x
单位阵
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 b12 B b21 b22 b31 b32 a12 b12 a22 b22 a32 a32 b13 b23 b33
K1
0.2 1 1000 5000
K2
第二章 测量误差理论及其应用
3.误差传播定律
1.观测值的和或差的函数中误差
z x y
2 2 m z mx my
z x1 x2 xn
2 2 2 m z mx m m x2 xn 1
第二章 测量误差理论及其应用
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 AT a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
补充知识——线性代数
1
5 1 4 3 2 1 2 0 2
0 0 0
3 0 1 0 0 1
2 3
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★矩阵的定义 称m行、n列的数表为矩阵，表示为：
例题：测定A、B间的高差 hAB ，共连续测了9站。设测量每站 2mm 高差的中误差 m ，求总高差 的中误差 hAB 。 mh
hAB h1 h2 h9
mh m n 2 9 6mm
第二章 测量误差理论及其应用
2.观测值倍数函数的中误差 设函数为： z kx
精确度：是精度和准确度的合成，指观测结果
与其真值的接近程度是全面衡量观测质量的标准。
第二章 测量误差理论及其应用
1.中误差：在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测值 真误差平方和的平均值开方，用m表示。
m
2
n
1 2 n n
2
2
2
方差
[] n
mz kmx
例题：在1:1000比例尺地图上，量的A，B两点间距离 Sab 26.，其中误差 5mm mab，求 0.A 2mm 、B间的实地 距离 S AB 及其中误差 m 。 AB
解： S AB 1000Sab 26.5m
mAB 1000 mab 1000 0.2mm 200mm 0.2m
a11 a 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式 n阶矩阵 行矩阵 列矩阵
A (a1 , a2 , a3 ,, an )
B (b1, b2 , b3 ,, bn )
2 2
f 2 f 2 mA y m y x mx 402 0.0102 302 0.0122 0.2896 0.54m 2