平行四边形

对云教育数学老师教案学员姓名：年级：八年级课时数：辅导科目：数学学科教师：授课目标/重点平行四边形平行四边形的特征平行四边形的判定/难点授课日期时段教学内容1.概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD”．图中的四边形ABCD即为平行四边形.尝试：O是□ABCD对角线AC的中点.用透明纸覆盖在下图，描出□ABCD及其对角线AC，再用大头针钉在点O处，将透明纸上的□ABCD旋转1800.你有什么发现？平行四边形ABCD绕点O旋转180：因为O是AC的中点，所以点A与点C重合，点C与点A重合；因为AB ∥ CD，可知∠1= ∠2，所以AB落在射线CD上；因为AD ∥ BC，可知∠3= ∠4，所以CB落在射线AD上.因为两条直线相交只有一个交点，所以点B（AB和CB的交点）与点D（CD和AD的交点）重合.同理，点D与点B重合.连接BD，因为点B与点D关于点O对称，所以BD经过点O，且被点O平分（如图）.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．思考：从证实□ABCD是中心对称图形的过程中，你发现平行四边形还有哪些性质？平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.例已知：如图，点A、B、C分别在△EFD的各边上，且AB//DE，BC//EF，CA//FD．求证：A、B、C分别是△EFD各边的中点.思考：△ABC和△EFD的内角分别相等吗？为什么？你还能得到哪些结论？证明你的结论.练习（一）填空1．平行四边形的对边，对角，对角线。

2．在平行四边形ABCD中，如果∠A=60°，那么∠B= °，∠C= °，∠D= °3．如果平行四边形ABCD的周长为32cm，且AB=5cm，那么BC= cm，CD= cm，DA= cm 4．已知平行四边形相邻两角的度数比为2：3，则较大的角为（）A．72° B．90° C．108° D．126°ECDBA（二）选择：1．如图：□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，则图中共有全等三角形（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对2．如果 ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 的长是（ ）A ．5cmB ．15cmC ．6cmD ．16cm3．已知A 、B 、C 三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．平行四边形的两条对角线长分别为8 cm 和10 cm ，则其边长的范围是（ ） A ．2＜x ＜6 B ．3＜x ＜9 C ．1＜x ＜9 D ．2＜x ＜8 （三）解答：1．如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为15，AB=6，那么对角线AC 与BD 的和是多少？2．如图，□ABCD 中，BE 平分∠ABC 且交边AD 于点E ，如果AB=6cm ，BC=10cm ， 试求：（1）□ABCD 的周长；（2）求DE 的长.O DBACABOCD2.判定方法(1).在方格纸上画两条互相平行并且相等的线段AD、BC，连接AB、DC．你能证明所画四边形ABCD是平行四边形吗？已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．几何语言：∵AD//BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(2).在四边形A BCD中，AB＝CD，AD＝BC．四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论．定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 几何语言：∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．练习1.已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CF ． 求证：四边形BFDE 是平行四边形．2.如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F ，求证：四边形AECF 是平行四边形．3.画两条相交直线a 、b ，设交点为O ．在直线a 上截取OA ＝OC ，在直线b 上截取OB ＝OD ，连接AB 、BC 、CD 、DA ．你能证明所画的四边形ABCD 是平行四边形吗？(3).如图，直线AC 、BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．ABCDOEF BADC定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．几何语言：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．练习1.已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 在AC 上，且AE ＝CF ． 求证：四边形EBFD 是平行四边形．证明：连接BD ，BD 交AC 于点O. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD （平行四边形的对角线互相平分）. ∵AE=CF ，∴OA -AE=OC -CF ， 即OE=OF.∴四边形EBFD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 思考：你还有其他方法证明吗？证明：∵OA=OC ，AE=CF ， ∴OA -AE=OC -CF ，ABCDEFAB CDEFAB CDOFEDCBA即OE=OF.在ΔBOE 和ΔDOF 中， OE=OF ， ∠BOE=∠DOF ， OB=OD ，∴ΔBOE ≌ΔDOF （SAS ）， ∴BE=DF. 同理BF=DE.∴四边形EBFD 是平行四边形.2.如图，如果OA ＝OC ，OB ≠OD ，那么四边形ABCD 不是平行四边形．试证明这个结论．我们在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因为命题的结论成立.这样证明的方法称为反证法. 3.课堂练习例1 (l)平行四边形ABCD 的周长为80cm ，相邻两边之比为1:3，则长边长 是_________cm ，短边长是___________cm ．(2)在□ABCD 中，∠A ：∠B=1：2，则∠C=________，∠D=________． （注意字母标写）例2．如图，AB ∥DE ，BC ∥EF ，DF ∥AC ．(1)图中有几个平行四边形？并表示出来，并说明理由． (2)D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点吗？(3)图中有哪些全等的三角形？将它们表示出来并说明理由．变式：学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树D应该栽在哪里呢？例3．如图，在□ABCD中，∠C的平分线交AB于点E，交DA延长线于点F，且AE=5cm，EB=5cm，求□ABCD的周长．变式：如图，在□ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G．试说明AE=DG．例4．如图，ABCD中，AC和BD相交于O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF．例5.如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E、F，G、H分别为OB，OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形．FBC DAO GE HACB练习11．在□ABCD中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则□ABCD的周长为_______．2．在□ABCD中，如果∠B＝100°，那么∠A、∠D的度数分别是( )A．∠A＝80°、∠D＝100°B．∠A＝100°、∠D＝80°C．∠B＝80°、∠D＝80°D．∠A＝100°、∠D＝100°3．如图，在□ABCD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，则四个内角的度数分别为_______°、_______°、_______°、_______°．4．平行四边形的周长等于56 cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长边的长为_______．5．如图，在□ABCD中，AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE的长为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm6．如图，在□ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )A．3 B．6 C．12 D．247．如果□ABCD的周长为40 cm，△ABC的周长为25 cm，则对角线AC的长是( )A．5 cm B．15 cm C．6 cm D．16 cm8．在□ABCD中，AC、BD相交于点O，则图中共有全等三角形( )A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是( ) A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF10．在□ABCD中，对角线AC与BD相交于O，若AC＝6，BD＝10则AD长度x的取值范围是A．2<x<6 B．3<x<9 C．1<x<9D．2<x<8 ( )11．如图，E、F是□ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AF＝CE．12．如图，□ABCD的边BC上有一点E，且AE＝AD，AE、DC的延长线相交于点F，∠ADE＝55°，那么∠CEF的度数是多少？13．如图，在□ABCD中，EF过对角线的交点O，若AD=8cm，AB=6cm，OE=4cm，求四边形ABFE的周长．14．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40，则□ABCD的面积为多少?15．如图，在□ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，求EF的长．16．用三种不同的方法把□ABCD的面积四等分，并简要说明分法．练习21．如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是( )A ．AD ＝CFB ．BF ＝CFC ．AF ＝CD D ．DE ＝EF2．如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB ＝3，则、ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．153．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB ＝4，则OE 的长是( )A ．2B ．C ．1D ．4．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 和BC 的中点，已知DE ＝2，则AB 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．过□ABCD 对角线交点O 作直线m ，分别交直线AB 于点E ，交直线CD 于点F ，若AB ＝4，AE ＝6，则DF 的长是_______． 6．如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，DF ＝2，则EF 的长为_______．7．如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点，若∠ABE ＝∠EBC ，AB ＝2，则□ABCD 的周长_______． 8．如图，在□ABCD 中，∠A ＝130°，在AD 上取DE ＝DC ，则∠ECB 的度数是_______． 9．如图，已知，在ABCD 中，AE ＝CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点， 求证：四边形MFNE 是平行四边形．10．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ．(1)试说明：AC ＝EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形．1211．如图所示，已知AO 是△ABC 中∠A 的角平分线，BD ⊥AO 的延长线于D ，E 是BC 的中点，求证：DE ＝(AB －AC)12．如图，□AOBC 对角线交点为E ，双曲线y ＝4x，经过A 、E 两点，求平行四边形AOBC 的面积．13．如图所示，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．14．在例题4的启发下，请完成如下两个问题．(1)如图(1)在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论．(2)如图(2)，在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于G ，若∠EFC ＝60°，连结GD ，判断△AGD 的形状并证明．1215．如图，在□ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝( )．A．54°B．60°C．66°D．72°16．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1、S2的大小关系( )A．S1＝S2B．S1>S2C．S1<S2D．无法确定17．平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为( ) A．24 B．28 C．30 D．3218．如图所示，ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE ＝2AB，则∠AED的大小是( ) A．60°B．65°C．70°D．75°19．如图，已知□ABCD中，M、N分别是边BC、DC的中点，AN＝1，AM＝2，且∠MAN＝60°，则AB的长是_______．20．如图，在□ABCD中，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于E，求证：∠DME＝3∠MEA．21．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正三角形ABE和正三角形ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD．22．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E、交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．。