上海中考与圆有关的综合题
2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)
圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。
（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。
（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。
5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。
7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。
2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测
重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。
考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。
2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题11 圆的概念与计算(逐题详解版)
2020年上海市16区中考数学二模汇编专题11 圆的概念与计算1. （2020闵行二模）2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020闵行二模）下列命题中正确的个数是（ ）①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.（2020金山二模） 如图，∠MON ＝30°，OP 是∠MON 的角平分线，PQ ∥ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆与ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与⊙P 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4＜r ＜12B ．2＜r ＜12C ．4＜r ＜8D ．r ＞43.（2020长宁二模）如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．外离C ．相交D ．外切4.（2020浦东二模） 矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，如果分别以A 、C 为圆心的两圆外切，且点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是（ ）A. 512r <<B. 1825r <<C. 18r <<D. 58r <<5.（2020杨浦二模）已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是（ ）A ．0＜d ＜3B ．0＜d ＜7C ．3＜d ＜7D ．0≤d ＜36.（2020杨浦二模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．7.（2020黄浦二模）已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切8.（2020普陀二模）如图2，已知A、B、C、D四点都在⨀O上，OB⊥AC，BC=CD，在下列四个说法中，̂=2CD̂；②AC=2CD;③OC⊥BD；④∠AOD=3∠BOC，正确的个数是（）①ACA．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题1.（2020松江二模）已知⊙O1和⊙O2相交，圆心距d＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r的取值范围是．2.（2020松江二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D 的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为．3.（2020静安二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝．4.已知矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是．5.（2020嘉定二模）如图3.点A、B、C在圆O上，其中点C是劣弧AB的中点，请添加一个条件，使得四边形AOBC是菱形，所添加的这个条件可以是_(使用数学符号语言表达）。
2024年上海市中考数学试题+答案详解
2024年上海市中考数学试题+答案详解（试题部分）1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．井将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、选择题（每题4分，共24分）1. 如果x y >，那么下列正确的是（ ）A. 55x y +<+B. 55x y −<−C. 55x y >D. 55x y −>−2. 函数2()3xf x x −=−的定义域是（ ） A. 2x =B. 2x ≠C. 3x =D. 3x ≠3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. 260x x −= B.290x -=C. 2660x x −+=D. 2690x x −+=4. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类5. 四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形6. 在ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A B P 、、为圆心画，圆A 半径为1，圆B 半径为2，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离二、填空题（每题4分，共48分）7. 计算：()324x =___________．8. 计算()()a b b a +−=______．9.1=，则x =___________．10. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示） 11. 若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)−，则y 的值随x 的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）12. 在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，则BAC ∠=___________．13. 某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元．14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有___________个绿球． 15. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC a =，BE b =uur r，若2AE EC =，则DC =___________（结果用含a ，b 的式子表示）．16. 博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有__________人．17. 在平行四边形ABCD 中，ABC ∠是锐角，将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，对应点分别为C '，D ¢，若::1:3:7AC AB BC '=，则cos ABC ∠=__________．18. 对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为__________．三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19.计算：102|124(1+−．20. 解方程组：2234026x xy y x y ⎧−−=⎨+=⎩①②．21. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）上有一点()3,A m −，且与直线24y x =−+交于另一点(),6B n ．（1）求k 与m 的值；（2）过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ，求sin OCA ∠的值．22. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为h ．（1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h 表示）； ②小平行四边形的底、高和面积（结果用h 表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．23. 如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．（1）求证：2AD DE DC =⋅；（2）F 为线段AE 延长线上一点，且满足12EF CF BD ==，求证：CE AD =． 24. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭和(5,0)B ．（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ． ①如果PQ 小于3，求m 的取值范围；②记点P 在原抛物线上的对应点为P '，如果四边形P BPQ '有一组对边平行，求点P 的坐标． 25. 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．（1）如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；（2）已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．2024年上海市中考数学试题+答案详解（答案详解）1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．井将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、选择题（每题4分，共24分）1. 如果x y >，那么下列正确的是（ ）A. 55x y +<+B. 55x y −<−C. 55x y >D. 55x y −>−【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B ．两边都加上5−，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C ．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D ．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C ． 2. 函数2()3xf x x −=−的定义域是（ ） A. 2x = B. 2x ≠C. 3x =D. 3x ≠【答案】D 【解析】【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数2()3xf x x −=−的定义域是30x −≠，解得3x ≠， 故选：D ．3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. 260x x −= B.290x -=C. 2660x x −+=D. 2690x x −+=【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=−>时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=−=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=−时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=−−⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意； B ．()2Δ0419360=−⨯⨯−=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=−−⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意； D ．()2Δ64190=−−⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意； 故选：D ．4. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B ．5. 四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形【答案】A 【解析】【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到OBCOADSS=，OC OB OA OD ===，进而由等面积法确定CH BF AE DG ===，再由菱形的判定即可得到答案．【详解】解：如图所示：四边形ABCD 为矩形，OBCOAD SS∴=，OC OB OA OD ===，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，11112222OBCOADSSOC BF OB CH OD AE OA DG ∴==⋅=⋅=⋅=⋅ ∴CH BF AE DG ===，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A ．6. 在ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A B P 、、为圆心画，圆A 半径为1，圆B 半径为2，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．【详解】解：圆A 半径为1，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，∴圆A 含在圆P 内，即312PA =−=，P ∴在以A 为圆心、2为半径的圆与ABC 边相交形成的弧上运动，如图所示：∴当到P '位置时，圆P 与圆B 圆心距离PB =325<+=，∴圆P 与圆B 相交，故选：B ．二、填空题（每题4分，共48分）7. 计算：()324x =___________．【答案】664x 【解析】【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：()326464xx =，故答案为：664x ．8. 计算()()a b b a +−=______． 【答案】22b a − 【解析】【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：()()a b b a +−()()b a b a =+−22b a =−，故答案为：22b a −．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．9.1=，则x =___________． 【答案】1 【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知210x −>，则可得出211x −=，求出x 即可． 【详解】解：根据题意可知：210x −>， ∴211x −=， 解得：1x =， 故答案为：1．10. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示）【答案】3810⨯ 【解析】【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，按要求表示即可得到答案，确定a 与n 的值是解决问题的关键．【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的53210800081025⨯==⨯倍，故答案为：3810⨯．11. 若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)−，则y 的值随x 的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出137k =−，结合正比例函数的性质，即可得出y 的值随x 的增大而减小． 【详解】解：正比例函数y kx =的图象经过点(7,13)−， 137k ∴−=，解得：137k =−，又1307k =−<， y ∴的值随x 的增大而减小．故答案为：减小．12. 在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，则BAC ∠=___________．【答案】57︒##57度【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出AB BC =，利用等边对等角得出BAC ACB ∠=∠，然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB BC =，∴()()11180180665722BAC ACB ABC ∠=∠=︒−∠=︒−︒=︒， 故答案为：57︒．13. 某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元．【答案】4500【解析】【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设y kx b =+，根据题意找出点代入求出解析式，然后把80x =代入求解即可．【详解】解：设y kx b =+，把()10,1000，()90,5000代入，得101000905000k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得50500k b =⎧⎨=⎩， ∴50500y x =+，当80x =时，50805004500y =⨯+=，即投入80万元时，销售量为4500万元，故答案为：4500．14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有___________个绿球．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有3x 个，则根据概率计算公式得到球的总数为5x 个，则白球的数量为2x 个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．【详解】解：设袋子中绿球有3x 个， ∵摸到绿球的概率是35， ∴球的总数为3355x x ÷=个， ∴白球的数量为532x x x −=个，∵每种球的个数为正整数，∴20x >，且x 为正整数，∴0x >，且x 为正整数，∴x 的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC a =，BE b =uur r ，若2AE EC =，则DC =___________（结果用含a ，b 的式子表示）．【答案】23a b − 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出23AE AC =，从而可得AB AE EB =+． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，DC AB =．E 是AC 上一点，2AE EC =，23AE AC ∴=， 23AB AE EB AE BE a b =+=−=−， ∴23DC a b =−， 故答案为：23a b −． 16. 博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有__________人．【答案】2000【解析】【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要AR 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计图求出需要AR 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比，进而可得答案．【详解】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解， ∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为300100%30%1000⨯=， 由条形统计图可知：需要AR 增强讲解的人数为100人，∴需要AR 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为10013003=， ∴在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有12000030%20003⨯⨯=（人）， 故答案为：200017. 在平行四边形ABCD 中，ABC ∠是锐角，将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，对应点分别为C '，D ¢，若::1:3:7AC AB BC '=，则cos ABC ∠=__________．【答案】27或47##47或27【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．【详解】解：当C '在AB 之间时，作下图，根据::1:3:7AC AB BC '=，不妨设1,3,7AC AB BC '===，由翻折的性质知：FCD FC D ''∠=∠， CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，BC F FC D FCD FBA '''∴∠+∠=∠+∠，BC F FBA '∴∠=∠。
2024年上海中考数学临考押题卷01(解析版)
2024年中考数学临考押题卷01考生注意：1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页。
2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号。
将核对后的条形码贴在答题纸指定位置。
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。
在试卷上的作答⼀律不得分。
4.选择题和作图题用2B 铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】1．下列运算正确的是（）A ．22(3)6m m -=-B ．222(3)9m n m m -=-C ．426325m m m +=D ．523()()m m m -÷-=-【答案】D【分析】本题主要考查了积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法逐项判断即可．【详解】解：A.22(3)9m m -=，故选项A 错误，不符合题意；B.222(36)9m m n m m n --=+，故选项B 错误，不符合题意；C.4m 和2m 不是同类项，不能合并，故选项C 错误，不符合题意；D.335252()()()()m m m m m --÷---=-==，故选项D 正确，符合题意．故选：D ．2．用换元法解方程()22611711x x x x +++=++时，下列换元方法中最合适的换元方法是（）A ．设21y x =+B ．设1y x =+C ．211x y x +=+D ．211y x =+【答案】C【分析】设211x y x +=+，则原方程化为2760y y -+=，从而可得答案.【详解】解：()22611711x x x x +++=++，设211x y x +=+，∴67y y+=，整理得：2760y y -+=，故选C【点睛】本题考查的是利用换元法解分式方程，熟练的换元是解本题的关键.3．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A ．5xy =B ．5x y =-C ．5y x=D ．5y x=-【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键．【详解】A ：5x y =为一次函数，x 取所有实数，∵105>，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确；B ：5x y =-为一次函数，x 取所有实数，∵105-<，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；C ：5y x=为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；D ：5y x=-为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误；故选：A ．4．如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（）A ．甲的平均成绩较低且稳定B ．乙的平均成绩较低且稳定C ．甲的平均成绩较高且稳定D ．乙的平均成绩较高且稳定【答案】A【分析】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况，解题关键是准确根据折线统计图判断两人的平均成绩大小和波动情况．【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但是甲的成绩波动比乙的成绩波动小，计乙的成绩比甲的成绩稳定；故选：A ．5．在ABCD Y 中，AC 、BD 是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD 为菱形，这个条件可以是（）A ．AC BD =B ．AC BD ⊥C ．AB AC =D ．90ABC ∠=︒【答案】B【分析】本题考查了菱形的判定．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断．【详解】解：添加一个条件为AC BD ⊥，理由如下：四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴平行四边形ABCD 是菱形．故选：B ．6．如图，将矩形甲，乙，丙，丁拼成一个大的正方形EFGH ，其中中间阴影部分是小正方形．嘉嘉：若甲，乙，丙，丁是四个完全相同的矩形，知道AB 的长，就可求出EF 的长；琪琪：若甲，乙，丙，丁不完全相同，知道四边形ABCD 和中间阴影部分的面积，就可求出甲，乙，丙，丁周长的和．对于他俩的说法，正确的是（）A ．嘉嘉正确，琪琪错误B ．嘉嘉错误，琪琪正确C ．他俩都正确D ．他俩都错误【答案】B【分析】本题考查矩形及正方形的面积与周长、勾股定理．根据嘉嘉的说法，只知道AB 的长，如果没有其他的数据，无法求出EF 的长，琪琪的说法是正确的，具体见详解．【详解】根据嘉嘉的说法，如果只知道AB 的长，那是求不出EF 的长，若再增加EB 或EA 的长，就看用勾股定理解出，故嘉嘉错误；琪琪的说法中，知道四边形ABCD 和中间阴影部分的面积，就可以求出大的正方形EFGH 的面积，进而求出大的正方形EFGH 的边长，而甲，乙，丙，丁周长的和恰好是大的正方形EFGH 的2倍，故能求出甲，乙，丙，丁周长的和．故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．分解因式46xy xz -=．【答案】()223x y z -【分析】本题考查了用提取公因式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式．提取公因式2x ，即可解答．【详解】解：根据题意得：()46223xy xz x y z -=-，故答案为：()223x y z -．8．化简：3311x x x+--的结果为．【答案】3【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算．【详解】解：3311x x x +--原式3311x x x =---331x x -=-()311x x -=-3=故答案为：3．9．函数y =的定义域是．【答案】3x <【分析】本题考查函数的自变量取值范围，结合二次根式与分式有意义的条件解答．【详解】解：∵30x -≥0，∴3x <，故答案为：3x <．10．已知关于x 2=，则x =．【答案】3-【分析】本题考查了解无理方程．方程两边平方得出14x -=，求出方程的解，再进行检验即可．2=，方程两边平方，得14x -=，3x -=，3x =-，经检验：3x =-是方程的解．故答案为：3-．11．若关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为．【答案】0k ≥且2k ≠【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根；根据方程有实数根，则0∆≥且0a ≠求解即可；【详解】 关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，()()2Δ2420k k k ∴=---≥且20k -≠，∴0k ≥且2k ≠；故答案为：0k ≥且2k ≠．12．不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球m 个，经过若干次试验，发现若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为34，则这个袋中白球大约有个．【答案】4【分析】本题考查了概率公式的应用，用红球的个数除以球的总个数等于34列出关于m 的方程，解之即可．【详解】解：根据题意知123124m =+，解得4m =，经检验4m =是分式方程的解，∴这个袋中白球大约有4个．故答案为：4．13．正多边形一个内角的度数是150︒，则该正多边形的边数是．【答案】12【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据题意，求出一个外角的度数，再利用外角和定理【详解】解：∵正多边形的一个内角是150︒，∴它的一个外角是：18015030︒-︒=︒，∵多边形的外角和为360︒，∴这个正多边形的边数是：3603012︒÷︒=．故答案为：12．14．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为()12-，的二次函数解析式．【答案】()212y x =--（答案不唯一）【分析】设抛物线的解析式为()212y a x =--，由条件可以得出0a >，从而即可得到答案．【详解】解：设抛物线的解析式为()212y a x =--，且抛物线的图象开口向上，0a ∴>，()212y x ∴=--，故答案为：()212y x =--（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．如图，D 、E 分别是ABC 边AB 、AC 上点，满足2AD BD =，ADE ABC =∠∠．记BA a = ，BC b =，那么向量BE =（用向量a 、b 表示）．【答案】1233a b+【分析】本题主要考查了平行线的判定，相似三角形的判定以及性质，向量的知识．由ADE ABC =∠∠判定出DE BC ∥，由平行线的得出23AE AC =，再根据向量得知识即可得出BE．【详解】解：∵ADE ABC =∠∠，∴DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽,∵2AD BD =，∴2AE EC =，∴23AE AC =，∴()22123333BE BA AE BA AC BA AB BC BA BC =+=+=++=+，∵BA a = ，BC b= ∴1233BE a b =+ ，故答案为：1233a b +．16．某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是．【答案】288【分析】本题考查的是条形统计图，用总人数乘样本中立定跳远成绩优秀的学生人数所占的百分比即可，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．【详解】解：根据题意得：241200288100⨯=（人)，即该校立定跳远成绩优秀的学生人数大约是288人．故答案为：288．17．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，将ABC 绕着点B 旋转α（0180α︒<<︒）至EBD △，旋转后的点C 落在AC 上的点D 处，BD 是ABC ∠的角平分线，则α=．【答案】40︒/40度【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，观察图形、分析角的关系是解题的关键，根据旋转的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、等边对等角，得出CBD α∠=，30C BDC α∠=∠=︒+，然后根据三角形的内角和定理，得出180C BDC CBD ∠+∠+∠=︒，则3030180ααα︒++︒++=︒，求解即可．【详解】解：∵将ABC 绕着点B 旋转α（0180α︒<<︒）至EBD △，∴BC BD =，CBD α∠=，∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴ABD CBD α∠=∠=，∵30BDC A ABD α∠=∠+∠=︒+，BC BD =，∴30C BDC α∠=∠=︒+，∵180C BDC CBD ∠+∠+∠=︒，∴3030180ααα︒++︒++=︒，解得：40α=︒，故答案为：40︒．18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53AB BC ==，，以点C 为圆心作半径为1的圆C ，P 是AB 上的一个点，以P 为圆心，PB 为半径作圆P ，如果圆C 和圆P 有公共点，那么BP 的取值范围是．【答案】1057BP ≤≤【分析】本题考查了圆和圆的位置关系，解直角三角形的应用．分圆P 与圆C 外切和圆P 与圆C 内切时，两种情况讨论，画出图形，解直角三角形即可求解．【详解】解：当圆P 与圆C 外切时，如图，作PD BC ⊥，垂足为D ，设BP x =，∵90C ∠=︒，53AB BC ==，，∴4AC =，∴4sin 5PD AC B BP AB ===，3cos 5BD BC B BP AB ===，∴45PD x =，35BD x =，335CD x =-，1CP x =+，由勾股定理得()222341355x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得107x =，即107BP =，当圆P 与圆C 内切时，如图，此时107BP =，∴圆C 和圆P 有公共点，那么BP 的取值范围是1057BP ≤≤．故答案为：1057BP ≤≤．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19．（本题满分10分）计算：()02024113π2⎛⎫---- ⎪⎝⎭．32【分析】首先计算乘方、零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．【详解】解：()02024113π2⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭11212=-++(11212=---++11212=--++32=-．20．（本题满分10分）解不等式组：()523112x xx⎧--≤⎪⎨->⎪⎩．【答案】113x≥【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．正确掌握一元一次不等式组解集确定方法是解题的关键．【详解】解：解()523x x--≤，得113x≥，解112x->，得3x>，∴该不等式组的解集是113x≥．21．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）如图，O经过平行四边形ABCD的顶点B,C,D，点O在边AD上，3AO=，5OD=．(1)求平行四边形ABCD的面积；(2)求D∠的正弦值．【答案】(1)24(2)sin D=【分析】（1）过点O作OE BC⊥于点E，连结OC，则12CE BC=，根据平行四边形的性质及勾股定理，即可求出OE 的长，进而得到答案；（2）过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明四边形OECF 是矩形，得到4OF =，3CF =，所以1DF =，再利用勾股定理求出CD =【详解】（1）过点O 作OE BC ⊥于点E ，连结OC ，则12CE BC =， 四边形ABCD 是平行四边形，8BC AD AO OD ∴==+=，142CE BC ∴==，在Rt OEC △中，5OC OD ==，3OE ∴===，平行四边形ABCD 的面积8324BC OE =⨯=⨯=；（2）过点C 作CF AD ⊥于点F ，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EC CF ∴⊥，∴四边形OECF 是矩形，4OF CE ∴==，3CF OE ==，1DF OD OF ∴=-=，CD ∴===，sin10CF D CD ∴==．【点睛】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数等知识，掌握垂径定理的辅助线添法是解题的关键．22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）某款轿车每行驶100千米的耗油量y 升与其行驶速度x 千米/小时之间的函数关系图像如图所示，其中线段AB 的表达式为()1132510025y x x =-+≤≤，点C 的坐标为（140，14），即行驶速度为140千米/小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．（1）求线段BC 的表达式；（2）如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少升？【答案】（1）()1710014082y x x =-≤≤；（2）24.6升．【分析】（1）根据线段AB 的表达式可得出点B 坐标，利用待定系数法即可得线段的解析式；（2）根据一次函数的性质可得在省道和高速公路上行驶时耗油量最小时的速度，根据解析式即可得出每行驶100千米的耗油量，进而可得答案．【详解】解：（1）∵线段AB 的表达式为()1132510025y x x =-+≤≤，∴当x ＝100时，110013925y =-⨯+=，即B （100，9）．令BC 的表达式为y kx b =+，∵点C 的坐标为（140，14），∴910014140k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1872k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴线段BC 的表达式为()1710014082y x x =-≤≤．（2）∵在()1132510025y x x =-+≤≤中，125-<0，∴y 随x 的增大而减小，∵省道限速50千米/小时，∴当x ＝50时，耗油量最低，即150131125y =-⨯+=，∵在()1710014082y x x =-≤≤中，18>0，∴y 随x 的增大而增大，∵高速公路限速120千米/小时，∴当x=100时，耗油量最低，即y=1710082⨯-=9，∵有60千米的省道和200千米的高速公路，∴从甲地行驶到乙地至少需要耗油6020011+9100100⨯⨯＝24.6（升）．答：至少耗油24.6升．【点睛】本题考查一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，正确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题关键．23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图，在ABCD Y 中，E 、F 为对角线DB 的三等分点，延长CE ，CF 分别交DA ，AB 于点G ，H．(1)求证：DG GA =；(2)若8DA =，5DC =，4tan 3CDA ∠=，求四边形EFHG 的面积．【答案】(1)见解析(2)203【分析】（1）先证明DEG BEC ∽，可得DE DG BE BC=，再结合三等分点与平行四边形的性质可得结论；（2）过C 作CM DA ⊥，证明::3:4:5DM CM CD =，可得3DM =，4CM =，求解184162DBC S =⨯⨯=△，可得1161633CEF S =⨯=△，证明DCF BHF △∽△，再利用相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形DABC 是平行四边形，∴BC DA ∥，AD BC =，∴DEG BEC ∽，∴DE DG BE BC=，∵F ，E 分别是DB 的三等分点，∴12DE BE =，∴12DG BC =，∴12DG AD =，∴DG AG =；（2）过C 作CM DA ⊥，∵4tan 3CDA ∠=，∴::3:4:5DM CM CD =，∵5CD =，∴3DM =，4CM =，∴184162DBC S =⨯⨯=△，∵13EF DB =，∴1161633CEF S =⨯=△，∵DC AB ∥，∴DCF BHF △∽△，∴2CF DF FH BF==，同理可得：2CE EG =，∴23CE CF CG CH ==，∵ECF GCH ∠=∠，∴ECF GCH △∽△，∴22439CEF GCH S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴45CEF EFHG S S =△四边形，∴16520343EFHG S =⨯=四边形．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键．24．（本题满分12分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）抛物线212y x bx c =-++与x 轴的交点为(2,0),(6,0)A B -，顶点为E ，对称轴与x 轴的交点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AE ，点F 在线段DE 上，若AE 上存在点G ，使得90AFG ∠=︒，且AF FG =，求点F 的坐标；(3)点P 是抛物线上的一个动点（不与点,,A B E 重合），直线,AP BP 分别与抛物线的对称轴相交于点,M N ，求证：PEM △与PEN △的面积相等．【答案】(1)21262y x x =-++(2)4(2,)3F (3)见解析【分析】本题主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，（1）把(2,0),(6,0)A B -代入212y x bx c =-++得出2b =，6c =，即可得解；（2）过点G 作GH DE ⊥于H ，证出(AAS)ADF FGH ≌得出4,HF AD DF GH ===，设DF GH t ==，则844EH t t =--=-，由EGH EAD ∽得出448t t -=，求出t 值，即可得解；（3）如图，设点1,(2)(6)2P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，分别含m 的式子表示出EM ，EN 的长，证出EM EN =，进而即可得解；熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．【详解】（1）把(2,0),(6,0)A B -代入212y x bx c =-++得，221220216602b c b c ⎧-⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得：26b c =⎧⎨=⎩所求抛物线的解析式为21262y x x =-++；（2）如图，抛物线21262y x x =-++的对称轴2x =，顶点(2,8)E ，∴4,8AD DE ==，过点G 作GH DE ⊥于H ，∵90AFG ADF ∠=∠=︒，∴90AFD FAD ∠+∠=︒，90AFD GFH ∠+∠=︒，∴FAD GFH ∠=∠，∵AF FG =，∴()AAS ADF FHG ≌，4,HF AD DF GH ∴===，设DF GH t ==，则844EH t t =--=-，∵CH AD ∥，EGH EAD ∴ ∽，∴GH EH AD ED =，即448t t -=，解得：43t =，∴42,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）如图，设点1,(2)(6)2P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则2m ≠-且6m ≠，设直线AP 解析式y px q =+，依题意：201(2)(6)2p q mp q m m -+=⎧⎪⎨+=-+-⎪⎩，解得：1(6)2(6)p m q m ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，∴直线AP 解析式1(6)(6)2y m x m =----，当2x =时，1(6)(6)2122y m x m m =----=-+，∴点M 的坐标为(2,212)m -+，8(212)24EM m m =--+=-，同理可求直线BP 的解析式为1(2)3(2)2y m x m =-+++，当2x =时，1(2)3(2)242y m x m m =-+++=+，∴点N 的坐标为(2,24)m +，24824EN m m =+-=-，设点P 到直线MN 的距离为h ，则12PEM S EM h =⋅⋅ ，12PEN S EN h ∆=⋅⋅，∵24EM EN m ==-，∴PEM PEN S S = ，即PEM △与PEN △的面积相等．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 上（点C 不与A ，B 两点重合），点D 是弧AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ，连接OF ，过点D 作半圆O 的切线DP 交BA 的延长线于点P ．(1)求证：AC DP ∥；(2)求证：2AC DE =；(3)连接CE ，CP ，若:1:2AE EO =，求CE CP的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)23【分析】（1）连接OD ，由垂径定理得OD AC ⊥，由切线的性质得出OD DP ⊥，可推证结论；（2）求证ODE OAM ≅ ,由全等性质得出DE AM =，可推证结论；（3）连接OD ，OC ，CE ，CP ，可证DOE POD ，由相似性质得OD OE OP OD=；求证COE POC ，得CE OE CP OC =，可推证结论．【详解】（1）如图，连接OD∵D 是弧AC 的中点∴OD AC ⊥又∵DP 是O 的切线∴OD DP⊥∴AC DP∥（2）证明：∵DE AB⊥∴90DEO ∠=︒由（1）知，OD AC ⊥，设垂足为M ，∴90OMA ∠=︒∴DEO OMA ∠=∠，2AC AM=又∵DOE AOM ∠=∠，OD OA=∴ODE OAM≅ ∴DE AM=∴22AC AM DE==（3）解：连接OD ，OC ，CE ，CP∵90ODP OED ∠=∠=︒，DOE DOP∠=∠∴DOE POD∴OD OE OP OD=∴2OD OE OP=⋅∵OC OD=∴2OC OE OP=⋅∴OC OP OE OC=又∵COE POC ∠=∠∴COE POC∴CE OE CP OC=∵:1:2 AE EO=∴23 OE OA=∴23 OE OC=∴23 CE CP=【点睛】本题主要考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；灵活运用相似三角形的判定和性质确定线段间数量关系是解题的关键．。
2021年上海市中考数学真题试卷解析版
2021年上海中考数学试卷解析版一、选择题本大题共6题.每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，有理数是（）【考点】有理数．【解答】解：整数与分数统称为有理数；无限不循环小数为无理数，常见的无理数有π和开方开不尽的数（A）无理数，故A错误；（B）无理数，故B错误；（C）原式＝12，故C对；（D）无理数，故D错误；故选：C．【点评】本题考查有理数的概念，解题的关键是抓住有理数和无理数的区别，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．本题属于基础题型．2.下列单项式中，23a b的同类项是（）32A.a b23B.3a b2C.a b3D.ab【考点】同类项．【解答】解：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
由题意，字母a的指数为2，字母b的指数为3，根据同类项的定义，只有B符合，故选：B．【点评】本题考查同类项的定义，解题时注意看清相同字母对应的指数，本题属于基础题型．3.将函数2y a bx c(a0)x=++¹的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变B.对称轴不变A.y随x的变化情况不变 D.与y轴的交点不变【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【解答】解：将二次函数图像向下平移，不改变开口方向，故A对；将二次函数图像向下平移，不改变对称轴，故B对；将二次函数图像向下平移，不改变增减性，故C对；抛物线与y轴交点坐标为（0,c），将二次函数图像向下平移,c变小了，交点坐标改变，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4.商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包【考点】频数（率）分布直方图．【解答】解：由频数分布直方图可知，选择1.5—2.5kg/包的人数最多，对比四个选项只有2kg/包在此范围，故选：A ．【点评】本题主要考查频数分布直方图．5.如图，已知AB a = ，AD b = ，E 为AB 中点，则1a b 2+ =（）A.ECB.CEC.EDD.DE【考点】平行四边形的性质，平面向量．【解答】解：AB a = ，故1a=EB 2，ABCD BC=AD b= ∵四边形是平行四边形，∴∴1a b 2+ =EB BC=EC +,故选：A ．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．6.如图长方形ABCD 中，AB=4,AD=3，圆B 半径为1，圆A 与圆B 内切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（）A.点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B.点C 在圆A 外，点D 在圆A 外C.点C 在圆A 上，点D 在圆A 内D.点C 在圆A 内，点D 在圆A 外【考点】点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理．【解答】解：两圆外切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A 的半径为R ，则：AB=R-1,解出R=5，即圆A 的半径等于5，∵AB=4,BC=AD=3，由勾股定理可知AC=5∴AC=5=R ，AD=3＜R ，∴点C 在圆上，点D 在圆内故选：C ．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7.计算：72x x¸=.【考点】单项式除单项式．【解答】解：72x x¸=(72)5xx -=，故答案为5x【点评】本题考查了单项式与单项式相除，熟练掌握运算法则是解题的关键。
中考数学直线与圆的位置关系专题含答案
【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。
上海中考数学18题等弦圆
上海中考数学18题等弦圆
定义:有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点,截得的三条弦相等,我们把这个圆叫作“等弦圆”,现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形,当等弦圆最大时,这个圆的半径为______。
答案：2-√2
解析：18题这个等弦圆，实际就是以三角形内切圆进行缩放，然后得到三角形2边相割的一个等弦圆，圆心就三角形内部一点到三边距离相等的点，然后就是随着半径的增大，圆也变大，由相切到相割，直到半径=圆心到三角形某个角的顶点重合（圆心到角最短距离），R如果再大，就无法和某条边相割产生2个交点了。
理解了这个，那回到18题，等腰直角三角形中，几乎就是10秒钟的答案。
就是2-根号2，最大等弦圆R=OC的一个圆。
简单不简单？理解大于计算。
想通了就很简单，其实核心就是三角形内切圆的一个缩放，和三角形三边的交点变化，由于圆心到三边距离是恒定的，且平分所割弦，所以弦长是一定相等的。
当同学们看懂了所谓等弦圆就是三角形内切圆的缩放这个事实，那答案会很快得出，也可以说是一道口算题。
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上海中考复习专题A与圆有关的综合题20．如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，∠BPO =∠DPO . 求证：P A =PC ．21. 已知，如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，且2BE =，求弦CD 的长.O PD CB AEO DCBA22．（本题满分10 分，每小题5分）如图，在⊙O 中，AB 为直径，点B 为CD 的中点，直径AB 交弦CD于E ，CD ，AE ＝5． （1）求⊙O 半径r 的值；（2）点F 在直径AB 上，联结CF ，当∠FCD ＝∠DOB 时，求 AF 的长．22．如图，AB 是圆O 的直径，作半径OA 的垂线，交圆O 于C 、D 两点，垂足为H ，联结BC 、BD .（1）求证：BC =BD ；（2）已知CD =16，AH =4，求圆O 的半径长.上海中考复习专题25. 如图，已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，AB = 4，AD = 3，4 sin5DCB∠=，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q．（1）如果BP⊥CD，求CP的长；（2）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．图1 备用图MNABC25. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB =5，BC =4，点M 是边BC 上的动点（与点B 、C不重合），以MB 长为半径的⊙M 与边AB 交于点N ，联结CN 、MN ，设MB =x ，AN =y . （1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （2）当∠NMB =∠ANC 时，求△CNM 与△CBN 的周长比； （3）当△CNM 是以MN 为腰的等腰三角形时，求x 的值.上海中考复习专题25．（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cos B=45，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．25.如图，线段AB =4，25．如图，已知△ABC 中，AB =AC =5，BC =4，点O 在BC 边上运动，以O 为圆心，OA 为半径的圆与边AB 交于点D （点A 除外），设OB x =，AD y = ． （1）求ABC ∠sin 的值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点O 在BC 边上运动时，⊙O 是否可能与以C 为圆心，41BC 长为半径的⊙C 相切？如果可能，请求出两圆相切时x 的值；如果不可能，请说明理由．COD BA上海中考复习专题EDCBA25．如图，已知：在△ABC 中，AB =AC =5,BC =6,点D 为BC 边上一动点（不与B 点重合），过点D 作射线DE 交AB 边于点E ，使∠BDE =∠A ，以D 为圆心，DC 的长为半径为⊙D （1）设BD =x ，AE =y ,求y 关于x 的函数关系，并写出定义域 （2）当⊙D 与AB 边相切时，求BD 的长（3）如果⊙E 是以E 为圆心，AE 的长为半径的圆，那么当BD 为多少时，⊙D 与⊙E 相切？第25题备用图25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．（1）若ED ︵=BE ︵，求∠F 的度数；（2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长．上海中考复习专题BCDA O Q O F EA PDC B 25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ ＝OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合)，AB ＝20，cos ∠AOC ＝54．设OP ＝x ，△CPF 的面积为y ． (1) 求证：AP ＝OQ ；(2) 求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； (3) 当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．备用图25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分、第（3）小题6分）已知：如图，在边长为5的菱形ABCD 中，cos A =35，点P 为边AB 上一点，以A 为圆心、AP 为半径的⊙A 与边AD 交于点E ，射线CE 与⊙A 另一个交点为点F ．（1）当点E 与点D 重合时，求EF 的长；（2）设AP =x ，CE =y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P ，使得弧EF 的长是弧PE 的2倍，若存在，求AP 的长，若不存在，请说明理由．D CB A EFP DBA备用图上海中考复习专题24．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0),(3,0),(2,3)A B N -三点，，且与y 轴交于点C .（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M 及点C 的坐标；（2）若直线y kx b =+经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．25．如图，已知在△ABC 中，AB =15，AC =20，2cot A ，P 是边AB 上的一个动点，⊙P 的半径为定长．当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与边AC 相切；当点P 与点B 不重合，且⊙P 与边AC 相交于点M 和点N 时，设AP =x ，MN =y ． （1）求⊙P 的半径；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当AP =56时，试比较∠CPN 与∠A 的大小，并说明理由．上海中考复习专题25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC 于点Q，垂足为点M，联结QP（图10）．已知AD=13，AB=5，设AP=x ,BQ = y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．备用图beibeiyonAB C DP GDCB A FE25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．图1 备用图上海中考复习专题24．如图，已知⊙C 的圆心在x 轴上，且经过(1,0)A 、(3,0)B -两点，抛物线2y mx bx c =++ （m ＞0）经过A 、B 两点，顶点为P ．（1）求抛物线与y 轴的交点D 的坐标（用m 的代数式表示）； （2）当m 为何值时，直线PD 与圆C 相切？25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．上海中考复习专题第25题图2C第25题图1C25．如图1，在半径为5的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 、D 分别在半径OA 与弧AB 上，且2AC =，CD 平行OB ，点P 是CD 上一动点，过P 作PO 的垂线交弧AB 于点E 、F ，联结DE 、BF ．（1）求DEP DFPSS ∆∆的值；（2）如图2，联结EO 、FO ，若60EOF ∠=︒，求CP 的长；（3）设CP x =，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．25、（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知：⊙O 的半径为3，OC ⊥弦AB ，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC ∠=∠，射线CE CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x = CE y =． （1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域； （2）当OEF ∆为直角三角形时，求AB 的长； （3）如果1BF =，求EF 的长．（第25题图）C（备用图1）上海中考复习专题25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，）已知：如图，A 、B 是⊙O 上两点，OA = 5，AB = 8，C 是AB 上任意一点，OC 与弦AB 相交于点D ，过点C 作CE ⊥OB ，交射线BO 于点E ，CE 的延长线交⊙O 于点F ，联结BC 、BF 、OF ．（1）如图1，当点E 是线段BO 的中点时，求弦BF 的长； （2）当点E 在线段BO 上时，设AD = x ，BODBOCS y S ∆∆=，求y 关于x 的函数解析式，并写出这个函数的定义域；（3）当CD = 1时，求四边形OCBF 的面积．ABO CED F（第25题图）A BCO D EF（图1）ABO（备用图）25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分)如图，已知线段AB=10，点C在线段AB上，⊙A、⊙B的半径分别为AC、BC，D是⊙B上一点，AD交⊙A于E，EC的延长线交⊙B于F．（1）求证：BF//AD；（2）若BD⊥AD，AC=x，DF=y，求y与x的函数关系式，写出定义域．（3）在（2）的条件下，点C在线段AB上运动的过程中，DF是否有可能与AB垂直，如果有可能请求出AC的长，如果没有可能，请说明理由．(第25题)上海中考复习专题九年级数学 21 AB E P QCD 25．如图，已知在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，5=AB ，54sin =A ，点P 是边BC 上的一点，AB PE ⊥，垂足为E ，以点P 为圆心，PC 为半径的圆与射线PE 相交于点Q ，线段CQ 与边AB 交于点D 。