几何综合题(与圆相关)
人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)
人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离： (3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长． 【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =3）33133122or 【解析】【分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.【详解】(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α(2)如图2：连接OB、OC、OD.由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OB=2，∴OD=OB∙cos30︒=3∵B为AC的中点，∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOD=90°根据勾股定理得：AD=227AO OD+=（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作OF⊥AE∵BC是直径，D是BC的中点∴以BC为直径的圆的圆心为D点由（2）可得：3D的半径为1∴31设AF=x 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-+- 解得：331x 4+= ∴AE=3312AF +=②如图4.圆O 与圆D 相外切时：连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE∵BC 是直径，D 是BC 的中点∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点由（2）可得：3D 的半径为1∴31在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-解得：331x 4-= ∴AE=3312AF -=【点睛】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.2．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE＝1【解析】【分析】（1）由AB为直径知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可证得∠MAC+∠CAB＝90°，则结论得证；（2）①证明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD＝∠CBD．则问题得证；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根据AB＝BH可求出答案．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC ＝∠ABD ，∴∠FDG ＝∠CGB ＝∠FGD ，∴FD ＝FG ；②解：连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DH ，在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，DH DE BD BD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ），∴BE ＝BH ，∵D 是弧AC 的中点，∴AD ＝DC ，在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，DE DH AD CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDH （HL ）．∴AE ＝CH ．∴BE ＝AB ﹣AE ＝BC+CH ＝BH ，即5﹣AE ＝3+AE ，∴AE ＝1．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在y 轴的正半轴上，点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC 沿直线AB 折叠，点C 落在x 轴的负半轴D （−4，0）处．（1）求直线AB 的解析式；（2）点P 从点A 出发以每秒5AB 方向运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交x 轴于点Q ，PR ∥AC 交x 轴于点R ，设点P 运动时间为t （秒），线段QR 长为d ，求d 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N 是射线AB 上一点，以点N 为圆心，同时经过R 、Q 两点作⊙N ，⊙N 交y 轴于点E ，F ．是否存在t ，使得EF =RQ ？若存在，求出t 的值，并求出圆心N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x =-+（2）d =5t （3）故当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）．【解析】 试题分析：（1）由C （0，8），D （-4，0），可求得OC ，OD 的长，然后设OB=a ，则BC=8-a ，在Rt △BOD 中，由勾股定理可得方程：（8-a ）2=a 2+42,解此方程即可求得B 的坐标，然后由三角函数的求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式；（2）在Rt △AOB 中，由勾股定理可求得AB 的长，继而求得∠BAO 的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ，则可求得d 与t 的函数关系式；（3）首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，易证得四边形NTOS 是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解;试题解析：（1）∵C （0，8），D （-4，0），∴OC=8，OD=4，设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ，在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2，则（8-a ）2=a 2+42， 解得：a=3，则OB=3，则B （0，3），tan ∠ODB=34OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ， 则OA=6，则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k bb+==，解得：1{23kb=-=，故直线AB的解析式为：y=-12x+3；（2）如图所示：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan2OBOB OA BAOOA+=∠==，255OAcos BAOAB∠==，在Rt△PQA中，905APQ AP t∠=︒=，则AQ=10cosAPtBAO=∠,∵PR∥AC，∴∠APR=∠CAB，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB，∴∠BAO=∠APR，∴PR=AR，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，∴∠PQA=∠QPR，∴RP=RQ，∴RQ=AR，∴QR=12AQ=5t,即d=5t;（3）过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，∵EF=QR，∴NS=NT，∴四边形NTOS是正方形，则TQ=TR=1522QR t=，∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t==-=-=（）（），分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ， 解得：85t = ; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），可得：132n n =-+ , 解得：n=2，故N （2，2），NT=2， 即1524t =, 解得：t=815∴当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。
中考数学几何综合圆的综合大题压轴题
圆的综合大题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；（2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）与是否相等？请你说明理由；（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考）4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．（1）求证：∠ACD＝∠F；（2）若tan∠F＝①求证：四边形ABCD是平行四边形；②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．7．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA＝1，AB＝，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若cos∠BAD＝，BE＝，求OE的长．9．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，P A是⊙O 的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：P A∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．10．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O 的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．11．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．12．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE＝CE；（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC 的面积；（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．14．已知：如图，P A、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP＝60°，求∠OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，①若∠COP＝∠DOP，求证：AC＝BD；②连接CD，设△PCD的周长为l，若l＝2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．15．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF •OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．16．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O 直径BD＝6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD＝11，求AB的长．17．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．（1）求证：DA＝DC；（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值；（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF 与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O 的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA ＝DC是否仍然成立？并证明你的结论．18．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧的中点，连AD 并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．19．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于C，AD⊥PD，CM⊥AB，垂足分别为D，M．（1）求证：CB平分∠PCM；（2）若∠CBA＝60°，求证：△ADM为等边三角形；（3）若PO＝5，PC＝a，⊙O的半径为r，且a，r是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+4m＝0的两根，求m的值．20．已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；②若＝n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．21．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP 的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC 的延长线于点G．ⅰ）试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；ⅱ）若CD＝4，tan∠BCE＝，求线段FG的长．23．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝，CG＝4，求OP的长．24．如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）25．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．（1）求证：BC•CE＝AC•MC；（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD＝，MD•BD＝10，求⊙O的半径．（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求﹣的值．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OM∥BC，交AC于点M．（1）求∠AMO；（2）延长OM交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交BC延长线于点F，连接FM，并延长FM交AB于点G．①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；②若AG＝2，CM＝3，求四边形CFEM的面积．28．如图1，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作DP∥BA交CA的延长线于点P；（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图2，若AC＝6，tan∠CAB＝，求线段PC的长．29．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．30．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B 重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B 作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S＝，求DE的长；△AOC（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．33．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．34．如图1，点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上，以点O为圆心，以24为半径作半圆，分别交直线l于A，B两点．已知：CD＝18，CF＝24，矩形自右向左在直线l上平移，当点D到达点A时，矩形停止运动．在平移过程中，设矩形对角线DF与半圆的交点为P（点P为半圆上远离点B的交点）．（1）如图2，若FD与半圆相切，求OD的值；（2）如图3，当DF与半圆有两个交点时，求线段PD的取值范围；（3）若线段PD的长为20，直接写出此时OD的值．35．图1和图2中，优弧纸片所在⊙O的半径为2，AB＝2，点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．发现：（1）点O到弦AB的距离是，当BP经过点O时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M，N重合）为半圆上一点，将圆形沿NP折叠，分别得到点M，O的对称点A′，O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图3，判断A′C与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图4，当α＝°时，NA′与半圆O相切，当α＝°时，点O′落在上．（3）当线段NO′与半圆O只有一个公共点N时，直接写出α的取值范围．36．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C 作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE＝EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．37．如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．38．（1）特例探究．如图（1），在等边三角形ABC中，BD是∠ABC的平分线，AE是BC边上的高线，BD和AE相交于点F．请你探究＝是否成立，请说明理由；请你探究＝是否成立，并说明理由．（2）归纳证明．如图（2），若△ABC为任意三角形，BD是三角形的一条内角平分线，请问＝一定成立吗？并证明你的判断．（3）拓展应用．如图（3），BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BD是∠ABC的平分线，交⊙O 于点E，过点E作AB的垂线，交BA的延长线于点F，连接OF，交BD于点G，连接CG，其中cos∠ACB＝，请直接写出的值；若△BGF的面积为S，请求出△COG的面积（用含S的代数式表示）．39．已知：AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，连接BC交⊙O于点D，BD＝CD，连接AD、AC．（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点E，延长CF交⊙O于点G．过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K，求证AK＝2OF；（3）如图3，在（2）的条件下，EH交AD于点L，若OK＝1，AC＝CG，求线段AL的长．40．如图，以△ABC的AB边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O切线交AC于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：DE⊥AC；（2）如图2，设CA的延长线交⊙O于点F，点G在上，＝，连接BG，求证：AF＝BG；（3）在（2）的条件下，如图3，点M为BG中点，MD的延长线交CE于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，求DE长．41．已知AB，CD都是⊙O的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E．（1）如图1，求证：∠AOD+2∠E＝180°；（2）如图2，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，求证：DG＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，当＝时，在⊙O外取一点H，连接CH、DH分别交⊙O于点M、N，且∠HDE＝∠HCE，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q，若PD＝11，DN＝14，MQ＝OB，求线段HM的长．42．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE＝AF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF＝2EG，AC＝2，求OE的长．43．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM 的长．44．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，连接AD，BD，AD的延长线交BC的延长线于点E，点F在BD上，连接EF，∠ACB＝2∠DEF．（1）如图1，求证：∠DEF＝∠DFE；（2）如图2，延长EF交AB于点G，若AE＝BF，求证：AG＝BG；＝60，（3）如图3，在（2）的条件下，连接OG，若cos∠AGE＝，S△BEF AD＝BD，求线段OG的长．45．已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD∥AB，过点B的切线与射线AD交于点M，连接AC、BD．（1）如图l，求证：AC＝BD；（2）如图2，延长AC、BD交于点F，作直径DE，连接AE、CE，CE与AB 交于点N，求证：∠AFB＝2∠AEN；（3）如图3，在（2）的条件下，过点M作MQ⊥AF于点Q，若MQ：QC＝3：2，NE＝2，求QF的长．46．如图1，△ABC内接于圆O，点D为弧BC上一点，连接AD交BC于点E，∠ACD﹣∠B＝2∠BAD．（1）求证：AE＝AC；（2）如图2，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，∠DAF＝2∠BCD，求证：AF＝AE；（3）如图3，在（2）条件下，过点F作FH∥BC交AB于点H，连接CH，过点A作AK∥BF交CH于点K，当AK＝EC，AB＝3时，求线段AD的长度．47．如图1，⊙O中，AB为直径，弧BC＝弧AC，点P在⊙O上，连接PC交AB于点E，过C作PC的垂线交⊙O于点Q（1）求证：弧AP＝弧BQ；（2）如图2，点F在弧AC上，∠FEA＝∠QEB＝30°，连接PF，求证：PF＝AO；（3）在（2）的条件下，如图3，过E作EG⊥FP于点G，若EG＝6，求OE 的长．48．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC 相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．（1）求证：D是弧EC的中点；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK+DO；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO ＝，KG＝2，求QH．49．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O 切AC于点E，交BC于点F，连接DF，OP⊥AB交⊙O于点P，连接ED、EP，过点A作DQ⊥PE于点Q，（1）求证：DF＝2CE；（2）求证：∠A＝2∠P；（3）在（2）的条件下：若BC＝6，sin B＝，连接OQ，求线段OQ的长．50．已知：AD、DE是⊙O的弦，DB平分∠ADE交⊙O于B，（1）求证：＝；（2）连接AB、AE、DB，若DE是⊙O的直径，AE、BD交于C，CD＝2AB，求∠E的度数；（3）在（2）的条件下，K是弧AE上一点，连接OK，交AE于点G，F是AD上一点，连接AK、KE，FG，若∠AFG＝4∠KAE，FG＝5，DE＝6，求KG长．。
圆的综合练习题
圆的综合练习题圆的综合练习题圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有许多特性和性质。
在数学学科中，我们经常会遇到各种与圆相关的问题和练习题。
本文将通过一些综合练习题来探讨圆的性质和运用。
1. 已知圆的半径为r，求其周长和面积。
解析：圆的周长是指圆形的边界长度，可以通过公式C=2πr来计算，其中π是一个常数，约等于3.14。
所以，圆的周长为C=2πr。
圆的面积可以通过公式A=πr²来计算，其中π也是一个常数。
所以，圆的面积为A=πr²。
2. 已知圆的直径为d，求其周长和面积。
解析：圆的直径是指通过圆心的两个点之间的距离，它是圆的最长的线段。
圆的半径等于直径的一半，所以半径r=d/2。
根据上面的解析，圆的周长为C=2πr=πd，圆的面积为A=πr²=π(d/2)²=πd²/4。
3. 已知圆的周长为C，求其半径和面积。
解析：根据第一个问题的解析，我们知道圆的周长C=2πr，所以半径r=C/(2π)。
根据第一个问题的解析，我们知道圆的面积A=πr²，所以面积A=π(C/(2π))²=C²/(4π)。
4. 已知圆的面积为A，求其半径和周长。
解析：根据第一个问题的解析，我们知道圆的周长C=2πr。
根据第一个问题的解析，我们知道圆的面积A=πr²，所以半径r=√(A/π)。
将半径带入周长公式，我们可以得到周长C=2π√(A/π)=2√(πA)。
5. 在一个圆形花坛中，有一根高度为h的柱形雕塑，它的底部刚好与花坛的边界相切。
求这个花坛的面积。
解析：假设圆形花坛的半径为r。
由题意可知，柱形雕塑的底部与花坛的边界相切，所以柱形雕塑的高度等于圆形花坛的半径，即h=r。
根据第一个问题的解析，我们知道圆的面积A=πr²，所以花坛的面积为A=πh²=πr²=πr²=π(r²)=π(r²)=π(r²)=πr²。
与圆有关综合问题-高考数学一题多解
与圆有关综合问题-高考数学一题多解一、攻关方略1.求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．2.点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．3.判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．4.应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：5.求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点(,)P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【典例】【2022·高考数学甲卷文科第14题】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．【针对训练】2．已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的一般方程为________________.3．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=C 的方程为__________.【2022年全国乙卷（文数）第15题】4．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．（2022年新高考全国I 卷）5．写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．6．由圆229x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B ，两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.7．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．8．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________9．在平面内，定点,,,A B C D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是（）A ．434B ．494C D 10．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于________.11．设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是．A ．[1+B ．(),11⎡-∞+∞⎣C ．[22-+D ．(),22⎡-∞-++∞⎣参考答案：1．22(1)(1)5x y -++=【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=[方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=2．x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB 的垂直平分线方程，联立x －2y －3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得:()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩,解得：21,2,10,a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.方法二：线段AB 的中点坐标为2235,22---⎛⎫⎪⎝⎭，即()0,4-，直线AB 的斜率为531222-+=--，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB 的垂直平分线方程为42y x +=-，即2x ＋y ＋4＝0，由几何性质可知：线段AB 的垂直平分线与230x y --=的交点为圆心，联立240,230,x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得交点坐标()1,2O --，又点O 到点A 的距离d =，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.故答案为：x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.3．22(2)9.x y -+=【详解】试题分析：设(,0)(0)C a a >2,3a r ===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．4．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒=22(2)(3)13x y -+-=；（2）若圆过A B D 、、三点，设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒=，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =，线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=．故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．5．3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=4.=故221c b =+①，|34||4|.b c c ++=于是344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.x y +-=(填一条即可)[方法二]：设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =，则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250.(x y --=填一条即可)[方法三]：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为=1x -，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -.6．225120x y x y +--=，其中33x -<<．【分析】方法一：根据题设条件列出几何等式OM AB ⊥，再根据勾股定理或者数量积转化成代数等式，化简即可求出曲线方程.【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法设弦AB 的中点M 的坐标为(,)M x y ,连接OP 、OM ,则OM AB ⊥．在OMP 中,由勾股定理有2222(5)(12)169x y x y ++-+-=，而(,)M x y 在圆内，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程为225120(33)x y x y x +--=-<<.［方法2］：定义法因为M 是AB 的中点,所以OM AB ⊥,所以点M 的轨迹是以OP 为直径的圆,圆心为5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为||1322OP =，所以该圆的方程为:222513(6)22x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得225120(33)x y x y x +--=-<<［方法3］：交轨法易知过P 点的割线的斜率必然存在，设过P 点的割线的斜率为k ,则过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-.∵OM AB ⊥且过原点,∴OM 的方程为1=-y x k这两条直线的交点就是M 点的轨迹.两方程相乘消去k ,化简,得:225120x y x y +--=，其中33x -<<.［方法4］：参数法设过P 点的割线方程为:12(5)y k x -=-,它与圆229x y +=的两个交点为A 、,B AB 的中点为M ，设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y .由22(5)129y k x x y =-+⎧⎨+=⎩可得，()()()2221212512590k x k k x k ++-+--=，所以，()12221251k k x x k -+=-+，即有()21251k k x k -=-+，21251ky k -=+，消去k ，可求得M 点的轨迹方程为：225120x y x y +--=，33x -<<．［方法5］：点差法设()()1122(,),,,,M x y A x y B x y ,则12122,2x x x y y y +=+=.∵222211229,9x y x y +=+=.两式相减,整理,得()()()()212121120x x x x y y y y -+--+=.所以21122112y y x x xx x y y y-+=-=--+,即为AB 的斜率，而AB 的斜率又可表示为1212,55y y xx x y--∴=---,化简并整理,得225120x y x y +--=.其中33x -<<.【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．7．4【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案.【详解】因为AB =且圆的半径为r =所以圆心()0,0到直线30mx y m ++=33=，解得m =l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30ABCD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．8．4π【详解】因为圆心坐标与半径分别为(0,),=C a rd =则2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．9．B【分析】根据题意得到ABC 为正三角形，且D 为ABC 的中心，结合题设条件求得2=DA，得到ABC 为边长为A 为原点建立直角坐标系，设(cos ,sin )P θθ，根据PM MC = ，得到3cos (2M θ+，进而求得23712sin()64BM πθ+-= ，即可求解.【详解】由题意知||||||DA DB DC == ，即点D 到,,A B C 三点的距离相等，可得D 为ABC 的外心，又由2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以DB AC ⊥，同理可得,DA BC DC AB ⊥⊥，所以D 为ABC 的垂心，所以ABC 的外心与垂心重合，所以ABC 为正三角形，且D 为ABC 的中心，因为21cos ()22DA DB DA DB ADB DA ⋅=∠=⨯-=- ，解得2=DA ，所以ABC 为边长为如图所示，以A 为原点建立直角坐标系，则(3,(2,0)B C D ，因为1AP =，可得设(cos ,sin )P θθ，其中[0,2]θπ∈，又因为PM MC = ，即M 为PC 的中点，可得3cos sin ()22M θθ+，所以2223712sin()3cos sin 3712496(3)(22444BM πθθθ+-++=-++=≤= .即2BM 的最大值为494.故选：B.10．43．【详解】试题分析：显然两切线1l ，2l 斜率都存在．设圆222x y +=过()1,3的切线方程为()31y k x -=-，则圆心()0,0到直线30kx y k -+-=的距离等于半径，=得127, 1.k k =-=由夹角公式得1l 与2l 的夹角的正切值：12124tan 13k k k k θ-==+．考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．11．D【详解】试题分析：因为直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,所以，即=++1mn m n ，所以()2+=++14m n mn m n ≤，所以+m n 的取值范围是(,2)-∞-⋃∞．考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式．点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等．。
初三圆形几何试题及答案
初三圆形几何试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是圆的性质？A. 圆周角等于它所对的弧的一半B. 圆内任意两点的距离都相等C. 圆的直径是最长的弦D. 圆心到圆上任意一点的距离相等2. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是？A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定3. 圆的切线与半径垂直，切点到圆心的距离等于？A. 半径的长度B. 直径的长度C. 切线的长度D. 不能确定4. 圆的内接四边形的对角线之间的关系是什么？A. 互相垂直B. 互相平分C. 相等D. 互为补角5. 已知圆的半径为r，圆心角为α，弧长为l，它们之间的关系是？A. l = rαB. l = r * sin(α)C. l = r * αD. l = r / α二、填空题（每题2分，共10分）1. 圆的面积公式为：________。
2. 圆的周长公式为：________。
3. 圆内接正六边形的边长等于半径的________倍。
4. 圆的外切正三角形的边长等于半径的________倍。
5. 圆的内切圆的半径等于外圆半径的________。
三、解答题（每题10分，共30分）1. 如图所示，圆O的半径为10，点A、B在圆上，且AB为圆的直径，点C在圆上，且∠AOC=30°，求弧AC的长度。
2. 已知圆的半径为r，圆心角为α，求扇形的面积和弧长。
3. 圆内接矩形的对角线长为20，求矩形的面积。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：圆内接四边形的对角线互相平分。
五、综合题（每题25分，共25分）1. 已知圆O的半径为r，圆外一点P到圆心O的距离为d，PA、PB为点P到圆上的两条切线，PA、PB的长度相等，求PA的长度。
答案：一、选择题1. B2. C3. A4. B5. C二、填空题1. 圆的面积公式为：πr²。
2. 圆的周长公式为：2πr。
3. 圆内接正六边形的边长等于半径的√3倍。
有关圆的综合题
有关圆的综合题有关圆的综合题在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。
它由一组等距离于一个固定点（圆心）的点组成。
圆的性质和特征让它成为解决各种数学问题的有力工具。
以下是一些关于圆的综合题，帮助我们更好地理解和应用圆的概念。
问题1：已知一个圆的半径为5厘米，求圆的周长和面积。
解答：圆的周长等于圆周的长度，即2πr，其中r为半径。
将半径代入公式，周长为2 × 3.14 × 5 = 31.4厘米。
圆的面积等于πr，将半径代入公式，面积为3.14 × 5 = 78.5平方厘米。
问题2：一个圆的直径为10厘米，求圆的周长和面积。
解答：圆的直径是两倍于半径的长度，所以半径为直径的一半，即10 ÷ 2 = 5厘米。
使用相同的公式，周长为2 × 3.14 × 5 = 31.4厘米，面积为3.14 × 5 = 78.5平方厘米。
问题3：一个圆的周长为18.84厘米，求圆的半径和面积。
解答：由于周长等于2πr，我们可以将周长除以2π得到半径。
在这个问题中，半径等于 18.84 ÷ (2 × 3.14) ≈ 3厘米。
将半径代入圆的面积公式，面积为3.14 × 3 ≈ 28.26平方厘米。
问题4：已知两个圆的半径分别为6厘米和8厘米，求它们的面积之比。
解答：圆的面积等于πr，其中r为半径。
第一个圆的面积为3.14 ×6 = 113.04平方厘米，第二个圆的面积为3.14 × 8 = 200.96平方厘米。
两个圆的面积之比为113.04 ÷ 200.96 ≈ 0.56。
通过解答上述问题，我们可以看到圆的周长和面积与其半径之间的关系。
这些概念和计算方法在几何学、物理学和工程学中有广泛的应用。
对圆的深入理解有助于我们解决各种与圆相关的问题。
2.几何综合提高专题(相似、圆) 优录选拔综合训练(二)
ED CBANMEDCBAEDCBAE DCBAl3l2l1C/B/A/CBAl3l2l1C/B/A/CBA基础知识归纳1、相似三角形中几个的基本图形2、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.如图，若DE∥BC,则AD AE DEAB AC BC==,或AD BDAE CE=.定理2 平行切割定理如图，,D E分别是ABCD的边,AB AC上的点，过点A的直线交,DE BC于,M N,若DE∥MN,则DM BNME NC=定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.如图，若1l∥2l∥3l，则AB BC ACA B B C A C==ⅱⅱⅱ,定理4（角平分线性质定理）如图，,AD AE分别是ABCD的内角平分线与外角平分线，则DB EB ABDC EC AC==.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅基础能力检测1. 如图，点D 为△ABC 的外心，DE 平分ADB ∠，DE=DA ，CE 交DB 于点F ，∠ADB=120°，∠DBC=50°，则∠DFC 的度数为（ ） A ．50° B ．70° C ．80° D ．100°考点：本题考查了三角形的外心；等腰三角形的性质；构造辅助圆；圆的垂径定理；圆周角定理。
中考数学几何综合圆的综合大题压轴题
中考数学几何综合圆的综合大题压轴题(总34页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的综合大题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；（2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）与是否相等？请你说明理由；（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考）4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．（1）求证：∠ACD＝∠F；（2）若tan∠F＝①求证：四边形ABCD是平行四边形；②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．7．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA＝1，AB＝，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若cos∠BAD＝，BE＝，求OE的长．9．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．10．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．11．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．12．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D 作⊙O的切线交BC边于点E．（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE＝CE；（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC 的面积；（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．14．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP＝60°，求∠OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，①若∠COP＝∠DOP，求证：AC＝BD；②连接CD，设△PCD的周长为l，若l＝2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．15．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD 上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF •OF如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．16．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD＝6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD＝11，求AB的长．17．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．（1）求证：DA＝DC；（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值；（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF 与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA＝DC 是否仍然成立？并证明你的结论．18．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧的中点，连AD 并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．19．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于C，AD⊥PD，CM⊥AB，垂足分别为D，M．（1）求证：CB平分∠PCM；（2）若∠CBA＝60°，求证：△ADM为等边三角形；（3）若PO＝5，PC＝a，⊙O的半径为r，且a，r是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+4m＝0的两根，求m的值．20．已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；②若＝n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．21．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC 的延长线于点G．ⅰ）试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；ⅱ）若CD＝4，tan∠BCE＝，求线段FG的长．23．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝，CG＝4，求OP的长．24．如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）25．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．（1）求证：BC•CE＝AC•MC；（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD＝，MD•BD＝10，求⊙O的半径．（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求﹣的值．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OM∥BC，交AC于点M．（1）求∠AMO；（2）延长OM交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交BC延长线于点F，连接FM，并延长FM交AB于点G．①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；②若AG＝2，CM＝3，求四边形CFEM的面积．28．如图1，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DP∥BA交CA的延长线于点P；（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图2，若AC＝6，tan∠CAB＝，求线段PC的长．29．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO 的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．30．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC＝，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．33．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC 于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．34．如图1，点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上，以点O为圆心，以24为半径作半圆，分别交直线l于A，B两点．已知：CD＝18，CF＝24，矩形自右向左在直线l上平移，当点D到达点A时，矩形停止运动．在平移过程中，设矩形对角线DF与半圆的交点为P（点P为半圆上远离点B的交点）．（1）如图2，若FD与半圆相切，求OD的值；（2）如图3，当DF与半圆有两个交点时，求线段PD的取值范围；（3）若线段PD的长为20，直接写出此时OD的值．35．图1和图2中，优弧纸片所在⊙O的半径为2，AB＝2，点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．发现：（1）点O到弦AB的距离是，当BP经过点O时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M，N重合）为半圆上一点，将圆形沿NP折叠，分别得到点M，O的对称点A′，O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图3，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）如图4，当α＝°时，NA′与半圆O相切，当α＝°时，点O′落在上．（3）当线段NO′与半圆O只有一个公共点N时，直接写出α的取值范围．36．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE＝EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．37．如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．38．（1）特例探究．如图（1），在等边三角形ABC中，BD是∠ABC的平分线，AE是BC边上的高线，BD和AE相交于点F．请你探究＝是否成立，请说明理由；请你探究＝是否成立，并说明理由．（2）归纳证明．如图（2），若△ABC为任意三角形，BD是三角形的一条内角平分线，请问＝一定成立吗？并证明你的判断．（3）拓展应用．如图（3），BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BD是∠ABC的平分线，交⊙O于点E，过点E作AB的垂线，交BA的延长线于点F，连接OF，交BD于点G，连接CG，其中cos∠ACB＝，请直接写出的值；若△BGF的面积为S，请求出△COG的面积（用含S的代数式表示）．39．已知：AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，连接BC交⊙O于点D，BD＝CD，连接AD、AC．（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点E，延长CF交⊙O于点G．过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K，求证AK＝2OF；（3）如图3，在（2）的条件下，EH交AD于点L，若OK＝1，AC＝CG，求线段AL的长．40．如图，以△ABC的AB边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O切线交AC 于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：DE⊥AC；（2）如图2，设CA的延长线交⊙O于点F，点G在上，＝，连接BG，求证：AF＝BG；（3）在（2）的条件下，如图3，点M为BG中点，MD的延长线交CE于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，求DE长．41．已知AB，CD都是⊙O的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E．（1）如图1，求证：∠AOD+2∠E＝180°；（2）如图2，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，求证：DG＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，当＝时，在⊙O外取一点H，连接CH、DH分别交⊙O于点M、N，且∠HDE＝∠HCE，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q，若PD＝11，DN＝14，MQ＝OB，求线段HM的长．42．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE ＝AF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF＝2EG，AC＝2，求OE的长．43．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM的长．44．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，连接AD，BD，AD的延长线交BC的延长线于点E，点F在BD上，连接EF，∠ACB＝2∠DEF．（1）如图1，求证：∠DEF＝∠DFE；（2）如图2，延长EF交AB于点G，若AE＝BF，求证：AG＝BG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OG，若cos∠AGE＝，S△BEF＝60，AD＝BD，求线段OG的长．45．已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD∥AB，过点B的切线与射线AD 交于点M，连接AC、BD．（1）如图l，求证：AC＝BD；（2）如图2，延长AC、BD交于点F，作直径DE，连接AE、CE，CE与AB交于点N，求证：∠AFB＝2∠AEN；（3）如图3，在（2）的条件下，过点M作MQ⊥AF于点Q，若MQ：QC＝3：2，NE＝2，求QF的长．46．如图1，△ABC内接于圆O，点D为弧BC上一点，连接AD交BC于点E，∠ACD﹣∠B＝2∠BAD．（1）求证：AE＝AC；（2）如图2，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，∠DAF＝2∠BCD，求证：AF＝AE；（3）如图3，在（2）条件下，过点F作FH∥BC交AB于点H，连接CH，过点A作AK∥BF交CH于点K，当AK＝EC，AB＝3时，求线段AD的长度．47．如图1，⊙O中，AB为直径，弧BC＝弧AC，点P在⊙O上，连接PC交AB 于点E，过C作PC的垂线交⊙O于点Q（1）求证：弧AP＝弧BQ；（2）如图2，点F在弧AC上，∠FEA＝∠QEB＝30°，连接PF，求证：PF＝AO；（3）在（2）的条件下，如图3，过E作EG⊥FP于点G，若EG＝6，求OE的长．48．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．（1）求证：D是弧EC的中点；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK+DO；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO＝，KG＝2，求QH．49．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF，OP⊥AB交⊙O于点P，连接ED、EP，过点A作DQ⊥PE于点Q，（1）求证：DF＝2CE；（2）求证：∠A＝2∠P；（3）在（2）的条件下：若BC＝6，sin B＝，连接OQ，求线段OQ的长．50．已知：AD、DE是⊙O的弦，DB平分∠ADE交⊙O于B，（1）求证：＝；（2）连接AB、AE、DB，若DE是⊙O的直径，AE、BD交于C，CD＝2AB，求∠E的度数；（3）在（2）的条件下，K是弧AE上一点，连接OK，交AE于点G，F是AD 上一点，连接AK、KE，FG，若∠AFG＝4∠KAE，FG＝5，DE＝6，求KG 长．。
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图3N MF EBC ABAC EFM N P图2图1A图3D A图2图1几何综合题：与圆相关1．已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一圆心角为45°半径长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，直线CE 、CF 分别与直线AB 交于M 、N 。
（1）如图1，当AM =BN 时，将△ACM 沿CM 折叠，点A 落在EF 的中点P 处，再将△BCN 沿CN 折叠，点B 也恰好落在点P 处，此时，PM =AM ，PN =BN ，△PMN 的形状是 ，线段AM 、BN 、MN 之间的数量关系是 。
（2）如图2，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 内部旋转时，线段AM 、MN 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。
（3）当扇形CEF 绕点C 旋转到图3的位置时，线段MN 、AM 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。
2．李明同学在学习正多边形和圆时，发现了以下一些有趣的结论：若P 是正多边形外接圆上一点，将P 与正多边形相邻三个顶点连结，这三条线段之间有一些特殊的数量关系。
（1）如图1，若P 是正△ABC 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PC ，则PB +PC 与PA 之间的数量关系是 ；（2）如图2，若P 是正方形ABCD 的外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PD ，则PB +PD 与PA 之间的数量关系是 ，试证明你的结论；（3）如图3，若点P 是正六边形ABCDEF 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PF ，则PB +PF 与PA 之间的数量关系是 。
3．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请你根据题目要求帮小明完成探图3C 图2图1图3图1究。
（1）更换定理的题设和结论，可以得到许多真命题，如图1在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，则AE =BE ，请你证明此结论；（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成折线，称为该圆的一条折弦，如图2中PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，C 为劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB ，证明此结论；（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论。
4．如图，平面直角坐标系中，M 是x 轴正半轴上一点，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，A 、M 两点的坐标分别为（－1，0）（1，0）。
（1）求C 点坐标；（2）如图2，∠OCM 的平分线交⊙M 于点E ，求直线BE 的解析式；（3）如图3，P 为弧AC 上一动点，Q 为弧PC 的中点，直线PB 、PQ 交于点F ，当点P 在弧上运动时（不含A 、C 点），BF 的长度是否改变，若不变，求出其值，若改变，求出变化范围。
5．已知AB 、CD 是⊙O 中两条互相垂直的直径。
图3DD图2图1（1）如图1，点F是弧BC的中点，连FO并延长交⊙O于E，连结FA、FD，求证：PE平分∠AFD；（2）如图2，点P是弧AD上任意一点（不含A、D）连PC，过A作AQ⊥CP于Q，连结OQ、AP，求∠OQC的度数；（3）如图3，点M是弧AC上一动点，连MA、MC、MB、BD，下面两个结论：①MA+MB+MC+MD为定值；②22MD MCMA MB-为定值；其中只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求出这个定值。
6．如图，已知在平面直角坐标系中，以第一象限点M为圆心作⊙M与x轴交于点A（3，0），交y轴于点C，且AC恰好平分∠MCO，直线MC交x轴于点B（－2，0）。
（1）求证：⊙M与x轴相切；（2）求直线BC的解析式；（3）若点P为x轴负半轴上一动点，连AP，以A为圆心，AP为半径作⊙A交CB 的延长线于E点，且∠APE=∠ACM，当点P在x轴上运动时，线段CP－CE的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求出变化范围。
7．如图，已知直线24y x=+与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE图1E图2图1在第一象限内的一点，以AD 为边，在第一象限内作正方形ABCD 。
（1）若AD =AE ，求B 点的坐标；（2）若点B 、D 恰好都在反比例函数ky x=上，求反比例函数解析式；（3）如图3，经过E 、C 、D 三点作⊙P ，过点C 作CQ ⊥AC ，交⊙P 于点Q ，当点D 在EA 的延长线上运动时，CQ 的长度是否改变？若不变，请求出其值，若改变，请求出其变化范围。
8．如图1，直线4y kx k =-（0k >）交x 轴于A ，交y 轴于B ，且∠OAB =45°。
（1）求k 的值；（2）直线4y mx =+分别交OA 、AB 于P 、Q 两点，交y 轴于S ，连AS ，若OBQP PAS S S ∆=四形，求m 的值；（3）如图2，以OA 为半径作⊙O 交x 轴负半轴于C ，D 为⊙O 上一点，连结BD 、AD ，AM 平分∠DAC 交BD 于M ，MN ⊥OA 于N ，下面两个结论：①OC MNBD+为定值；②BD MN OC-为定值；其中只有一个正确，请判断出正确的结论，并求出其值。
9．如图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上的一点，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，若A （—1，0），C （0）。
图3图1图2图1图2（2）如图，P 为弧BC 上的一个动点，CQ 平分∠PCD ，当P 点运动时，线段AQ 的长度是否改变？若不变，请求出其值，若改变，请求出其变化范围。
（3）如图，以A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，P 为⊙A 上不同于C 、D 的动点，直线PC 交⊙M 于Q ，K 为PQ 的中点，连OK ，当P点运动时，下面两个结论：①CK PQ的值不变；②OK 的长度不变，其中有且只有一个结论正确，选择正确的结论证明并求其值。
10．如图，⊙O ′经过点O ，交x 轴于A ，交y 轴于B ，OP ⊥AB 交⊙O ′于P ，连BP 。
（1）求证：OB =PB ；（2）若BP =O ′的半径为5，求P 点的坐标；（3）点O ′在运动过程中，⊙O ′过点C （1，－1），M 、N 分别为弧OA 、弧OB 的中点，ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ，（OA >OB ），当点O ′运动时，ME -NF 的值是否改变？若不变，求出其值；若改变，求出其变化范围。
11．如图，N 在x 轴上，⊙O 交x 轴于A 、B ，交y 轴于C ，A （1x ，0）、B （2x ，0），且1x 、2x （12x x <）是方程26160x x --=的两根。
图3图1图2（2）如图2，连CB ，P 为y 轴上一动点，连PB 交⊙N 于E ，设BE =t ，当P 在y 轴上运动时，是否存在实数t ，使得∠ABP =2∠ABC ，若存在，求出实数t ，若不存在，说明理由；（3）如图3，设M 点的坐标为（1，m ）（0m >），过点M 、O 、B 三点作⊙O 1，过O 作OQ ⊥OM 于O ，交⊙O 1于点Q ，QG ⊥x 轴于点G ，当m 的值变化时，现给出两个结论：①OMOQ的值不变；②G 为定点，其中有且只有一个正确，请判断正确结论并证明结论正确，若比定求出比值，若点定，求出点的坐标。
12．已知，在平面直角坐标系中，一个直角边为4的等腰直角三角板ABC 的直角顶点B 放至点O 的位置，点A 、C 分别在x 轴的负半轴的y 轴的正半轴上。
（1）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°至△AKL 的位置，求直线AL 的解析式；（2）如图，过O 、C 两点作⊙O 1，⊙O 1交x 轴于点E ，交AC 的延长线于点F ，过圆心O 1作x 轴的垂线（垂足为H ）与AF 的延长线相交于点D ，求DF 的长。
13．如图1，直线AB 的解析式为2(0)y kx k k =-<与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，∠ABO =60°，经过A 、O 两点的⊙O 1与x 轴的负半轴交于点C ，与直线AB 切于点A 。
（1）求C 点的坐标；图2图3图1图2图3（2）如图2，过O 1作直线EF ∥y 轴，在直线EF 上是否存在一点D ，使得△DAB 的周长最短，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，连接OO 1与⊙O 1交于点G ，点P 为劣弧GF 上一个动点，连接GP 与EF 的延长线交于H 点，连接EP 与OG 交于I 点，当P 在劣弧GF 上运动时（不与G 、F 两点重合），O 1H －O 1I 的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围。
14．如图，在平面直角坐标系中，以O 的长为半径作⊙O 交x 轴于P 、Q 两点，交y 轴于G ，H 两点，△ABC 内接于⊙O ，且BC ∥x 轴交y 轴于D ，∠BAC =45°（如图1）。
（1）求C 点坐标；（2）若点A 在x 轴上方的半圆上运动（不与G 重合），且CA 的延长线交y 轴于M ，AB 交y 轴于N （如图2），当A 点运动时，ON ·OM 的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出其值；（3）若点A 在⊙O 上运动（不与B 、C 重合），是否存在点A ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，请求出A 点的坐标；若不存在，请说明理由。
15．如图，直角坐标系中，A 、B 、C 为x 轴、y 轴上三点，△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠ACB 的对边分别为a 、b 、c 。
若关于x 的一元二次方程：22()()0x ax c b c b -++-=的一根为a 。
x （1）判定△ABC 的形状；（2）CE 平分∠ACO ，点I 为△COB 的内心，求CI ︰CE 的值； （3）若CO =2AO ，过AB 的中点D 任意作半径为5的⊙P 交线段DB 及CD 的延长线于M 、N 点，下列结论：①DM +DN 为定值；②线段MN 的长为定值，仅有一个正确，请选择正确的结论证明并求出定值。