质点系动量守恒定律
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3-7质点系的动量定理
t2 v v I 外 = ∫ F外力dt t1
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的 时 动量的增量为零， 动量的增量为零，即系统的总动量保持不变
v 若: F外 = 0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量 :是矢量式 应用时写成分量式 是矢量式,应用时写成 是矢量式 应用时写成分量式
三种 情况 （1）不受外力 ）不受外力; （2）受外力 外力矢量和为零 ）受外力,外力矢量和为零 （3）内力远远大于外力 ） (打击,碰撞,爆炸等) 打击,碰撞,爆炸等)
分动量守恒: 分动量守恒
动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 但若沿某一方向合外力为零, 但若沿某一方向合外力为零,则该方向的动量守恒
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
分析：这是由于外力 车厢的反作用力和重力共同作用的 分析：这是由于外力---车厢的反作用力和重力共同作用的 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 车厢反作用力为一冲力， 车厢反作用力为一冲力，与它相比重力可以忽略不计
一、关于质点系
几个相互作用的质点组成质点系 系统所受的力分为外力和内力 系统所受的力分为外力和内力
外力: 外力
系统外的物体作用于 系统内各质点的力
内力: 内力:
系统内各质点之间的 相互作用力
注:
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力 系统内的所有内力总是由一对对的 作用力和反作用力组成 对于系统: 对于系统
v v0
物理-动量守恒定律 火箭推进原理
2、守恒条件：合外力为零，或外力<<内力；
3、合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒；
Fix, y,z 0 pix, y,z 常量
4、适用范围： 惯性系中普遍适用。
一、动量守恒定律
例：炮车以 角发射一炮弹，炮 车质量为M，炮弹质量 为m，炮弹出口速度为u（对炮车），如图。
求：炮车反冲速度（炮车与地面磨擦力忽略不计）
•多级末速度： υf ui ln Ni
若 u1 u2 un u
υ f ui ln( N1 N 2 N n )
例 u＝2.8km / s N1 N2 N3 15
υ f 22.75km / s
•重力场中： υt u ln M0 gt
M
•自由场中： υt u ln M0
M
火箭质量比：
N M0 Mf
末速度： υ f u ln N
(1) 提高 u（现可达 u = 4.2 km/s）
(2) 增大 N（受一定限制）
Mg
二、火箭推进原理
单级末速度： υ f u ln N
为提高N，采用多级火箭
分析： 炮车+炮弹系统在水平 方向 动量 守恒
设炮弹对地速度为 υ
υ uV υ
u
ห้องสมุดไป่ตู้
V
υx
x
V
υx u x V ucosθ V
二、火箭推进原理 1、动力学方程
F外
M
dυ dt
u
dm dt
υ dυ
F外：火箭系统所受外力；
沿火箭飞行方向为正 u dm：喷气对火箭的反推力
dt
二、火箭推进原理
2、箭体飞行的理想速度
一、动量守恒定律
质点系动量定理
质点系角动量守恒定律
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
质点系动量守恒定律
6. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律，它在宏 观和微观领域、低速和高速范围均适用。
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
大学物理之3-2 动量守恒定律
3-2 动量守恒定律 -
pe(电子) pe = 1.2 ×10 kg m s 电子) 23 1 pν = 6.4 ×10 kg m s pN α θ 解 pe + pν + pN = 0 pν(中微子) 中微子) pe ⊥ pν 2 2 12 ∴ p N = ( pe + pν ) 22 1 = 1 .36 × 10 kg m s pe o = 61.9 图中 α = arctan pν 或 θ = 180o 61.9o = 118.1o
(3) 若 F )
ex
= ∑ Fi ≠ 0 ,但满足 F
ex
ex x
=0
有 px =
∑m v
i i
i
ix
= Cx
i
F
F
F
ex x
ex y
= 0,
= 0,
= 0,
p x = ∑ mi vix = C x
p y = ∑ mi viy = C y
p z = ∑ mi viz = C z
i
i
ex z
动量守恒定律是物理学最普遍 最普遍, (4) 动量守恒定律是物理学最普遍,最基 本的定律之一. 本的定律之一.
3-2 动量守恒定律 -
已知 v = 2.5 ×10 m s
3
1
v'= 1.0 × 10 m s
3
1
m1 = 100 kg
求
m2 = 200 kg
v1 , v 2
y
s
v
o
y'
s'
m2
v'
m1
z
o'
z'
x x'
质点系动量矩守恒定律
质点系动量矩守恒定律介绍物体的运动是一个复杂的过程，涉及到质点的动量和力矩等概念。
质点系动量矩守恒定律是描述多个质点在相互作用下的动量守恒规律。
本文将深入探讨质点系动量矩守恒定律的原理和应用。
质点系动量矩守恒定律的原理质点系动量矩守恒定律是基于质点的动量和力矩守恒的推导而来的。
在一个封闭系统中，如果没有外力和外力矩的作用，质点系的总动量和总动量矩将保持不变。
质点系动量守恒定律的表达式质点系动量守恒定律可以用以下表达式表示：∑m i⋅v i⃗⃗⃗ =∑m i⋅v i⃗⃗ ′其中，m i表示第i个质点的质量，v i⃗⃗⃗ 表示第i个质点的速度，v i⃗⃗ ′表示第i个质点的速度在相互作用后的值。
质点系动量守恒定律的应用质点系动量守恒定律的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1. 弹性碰撞在弹性碰撞中，两个物体之间发生碰撞后会互相作用。
根据质点系动量守恒定律，碰撞前后质点系的总动量保持不变。
这种定律在撞球、弹簧振子等场景中得到了广泛的应用。
2. 力矩平衡在一个力矩平衡的系统中，物体对轴产生的力矩之和为零。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量矩也将保持不变。
这个应用场景常见于杠杆平衡、旋转机械等领域。
3. 爆炸反应在爆炸反应中，物体间发生的爆炸会导致质点系的动量发生变化。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量依然保持不变。
这个原理被应用于爆炸物理学和火箭动力学等领域。
4. 流体力学在流体力学中，质点系动量守恒定律被广泛应用于描述流体的运动。
根据定律，流体中各个质点的总动量保持不变，从而可以推导出流体动力学的一些基本方程。
质点系动量守恒定律的证明质点系动量守恒定律可以通过牛顿定律的推导来证明。
假设在一个封闭系统中，只有内力存在，没有外力作用。
根据牛顿第三定律，内力满足作用力与反作用力相等且方向相反。
因此，内力互相抵消，系统的总动量保持不变。
质点系动量守恒定律的局限性质点系动量守恒定律在某些特殊情况下可能不适用，比如包含外力或外力矩的系统。
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解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v2 m2v1
解得
v1
Ft1 m1 m2
v2
Ft1 m1 m2
Ft2 m2
西安交通大学理学院 王瑞敏
§4.3 质点系动量守恒定律
dm = dl
dl Rd dm M Rd
πR
x Rcos y Rsin
yc
ydm
M
π 0
Rsin M
πR
Rd
2R
M
π
说明
y
d
dm
O
x
xc 0
几何对称性
(1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上 质心与重心的区别 (2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与
t2 t1
Fxdt
mv2y mv1y
t2 t1
Fydt
mv2z mv1z
t2 t1
Fz
dt
§4.2 质点系动量定理
P 表示质点系在时刻 t 的动量
P
mivi
以两个质点组成的系统为例：
i
d(m1v1)
(F1
f12 )dt
d(m2v2 )
(F2
例： 在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于 静止状态，另一球速度 v 。
求证：碰撞后两球速度总互相垂直。
解： 设碰撞后两球速度 v1,v2 由动量守恒 v v1 v2
两边平方
v2
v12
2v1 v2
v
2 2
由机械能守恒（势能无变化）
v2
v12
v
2 2
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分量形式： 讨论
Macx
FiX
Macy
i
Fiy
i
Macz i Fiz
（1）质心的运动状态完全决定于质点系所受的外力，内
力不能 改变质心的运动。
（2）合外力 F 0
，则 ac 0 ， vc =常数
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说明
Fz 0 miviz Pz 常量
(1) 动量守恒定律适用于惯性系
(2) 动量守恒定律也适用于高速，微观领域
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（3）守恒条件 Fi 0 i 当内力远大于外力时，如碰撞，爆炸，重力等外力可忽略。
（4）动量守恒是对一个确定系统而言的。
例：运煤车往下漏煤，t 时间内漏煤 m，求车速的变化。
f21)dt
d(m1v1)
d(m2v2
)
F1dt
f12 f21
F2dt
f12
0
对任意质点系：
d( mivi )
Fidt （质点系动量定理）
i
i
一对内力
F1
m1
F2
m2
f 21
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d( mivix ) Fixdt
说明
(1) 只有外力可改变系统的总动量
(2) 内力可改变系统内单个质点的动量
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例 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块, 已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间 各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动
其它因素无关
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二. 质心运动定理
• 质心的速度
vc
drc dt
mi
dri dt
m
mivi m
Pi m
P
mvc
——
质点系的总动量
• 质心的加速度和动力学规律
ac
dvc dt
F
dP dt
m dvc dt
mac
质点系的质量与其质心加速度乘积等于作用在质点系上所有 外力的矢量和。这称为质心运动定理。
1 2
m1v12
1 2
m2v
2 2
G m1m2 r
0
m1 v1
• O
m2 v2
x
解得
v1 m2
2G (m1 m2 )r
v2 m1
2G (m1 m2 )r
相对速率 v12 v1 v2 m2
(m1
2G m2 )r
m1
2G (m1 m2 )r
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t
Mg
Mdv dt
vr
dM dt
t
gdt
0
v
0 dv vr
M dM M0 M
v
vrln
M0 M
gt
（火箭的速度方程）
讨论
(1) 若不考虑重力 (2) 多级火箭问题
v
vrln
M0 M
M 0 火箭的质量比 N M
v1 vrlnN1 v2 v1 vrlnN2 v vrln(N1N2 ...)
求 时刻 t ，A 的瞬时加速度
解 选A车M和t时间内抽至A
A
v
B
u
车的水m为研究系统，
A
水平方向上动量守恒
Mv mu (M m)v
v Mv mu M m
v v v mu v
M m
v m u v
M
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例 如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾
求 人和船各移动的距离
解 在水平方向上，外力为零，则
acx
dvcx dt
0
xc xc
x1' x1
开始时，系统质心位置
xc
mx1 m
Mx2 M
O
x2'
x
终了时，系统质心位置
x2
xc
mx1 m
Mx2 M
解得 S ml mM
dt
dt dt
分析： 如果 dm与 m合并前的速度为 u＝0
vr u v -v
上式代入变质量动力学方程，得
F v dm m dv dt dt
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• 变质量动力学的应用 —— 火箭的运动方程 v
t 时刻，火箭质量为 M，速度为 v
M
当不计空气阻力，只计重力，则
i
i
直角坐标系： d( miviy ) Fiydt
i
i
d( miviz ) Fizdt
i
i
在有限时间内： mivi mivi0
i
i
i
t t0 Fidt
某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所
有外力在同一时间内的冲量的矢量和 ——质点系动量定理
当 Fi 0
dmivi 0
i
质点系动量守恒定律 mivi 常矢量
如果作用在质点系上所有外力的矢量和为零，则该质点系的
动量保持不变。这称为质点系动量守恒定律。
Fx 0 mivix Px 常量
动量守恒的分量表述 Fy 0 miviy Py 常量
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略去二阶无穷小量
Fdt mdv (v u)dm vr u v
Fdt mdv vrdm
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
F
vr
dm dt
m dv dt
（密歇尔斯基方程）
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讨论
变质量动力学方程
F
vr
dm dt
m
dv dt
与牛顿第二定律
F d(mv) v dm m dv 的区别？
rc
lim
N
N rimi
i1
m
rdm m
m1, m2 ,......mi, ......mn r1, r2 ,......ri,......rn
z
mi
ri
m2
rC
r1
m1
O
y
x
西安交通大学理学院 王瑞敏
例 已知一半圆环半径为 R，质量为M
求 它的质心位置
解 建坐标系如图 取 dl
a lim v dm u v 6 u v
t0 t dt M M
例 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为 静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，
到相距为 r 时。 求 它们之间的相对速率为多少？
解 由动量守恒，机械能守恒
m1v1 m2v2 0
理学院 王瑞敏
1. 动量 2. 冲量
复习
P
mv
t
I 0 Fdt
平均冲力
I
t2 t1
Fdt
F
(t2
t1)
3. 质点动量定理
d(mv)
dP
Fdt
dI
mv2 mv1
t2
Fdt
t1
西安交通大学理学院 王瑞敏
mv2x mv1x