中级微观经济学-范里安版本

范里安：《微观经济学》
本章内容
一、生产技术的数学刻画 二、单调性 三、凸技术 四、技术替代率与替代弹性 五、规模报酬 六、齐次与位似生产函数 七、CES生产函数
一、生产技术的数学刻画
1、几个相关概念 投入和产出的度量，注意投入和产出都是流 量的概念。 与生产技术相关的几个概念 1）净产出：y y y 生产计划：各种物品的净产出写成一个向量 生产可能性集：所有技术上可行的生产计划 的集合 受限制的或短期生产可能性集：由 来表 示；这由所有与约束水平 相一致的可行的净产 出束组成
• 违反规模报酬不变的情形： 1．向下调整，即细分生产技术不总是可行的 2．非整数数量向上调整也不可行 3．产出加倍后，会有更有效的生产方式—— 对应规模报酬递增的概念。 f (tx) tf(x) ，一 规模报酬递增。如果对所有t>1， 项技术就表现出规模报酬递增。 4．存在不能复制的投入品，此时对应规模报 酬递减的情形
• 正则技术： 对所有y≥0而言，V（y）是一 个非空的闭集 V（y）是非空的假定要求，总存在某种可 想到的方法来生产出任意给定水平的产出。
• 技术替代率（TRS） 思想：假定正在某一个点上进行生产， 如果要增加一种要素而减少另一种要素的 用量，并且保持产出不变。如何决定两种 要素间的替代率？
• 隐函数法推导
V (1) 1, 2 , 2,1
若要生产两单位产出，应使用多少投 入要素？
• 生产方法： 重复两次技术Ａ，或重复两次技术Ｂ， 或使用ＡＢ各生产一次。 则投入要求集为 V (2) 2, 4 , 3,3 , 4, 2
如果更大的产出ｙ，要素组合的选择性更多
T ( y, x1 , x2 ) y min(ax1 , bx2 ) f ( x1 , x2 ) min(ax1 , bx2 )
• 生产技术的组合 技术A：一个单位的要素1和两个单位 的要素2，可以生产一个单位的产出。 技术B：两个单位的要素1和一个单位 的要素2，可以生产一个单位的产出。 写成投入集的形式
如果允许自由处置，则称生产技术具有单 调性： 单调性：如果x 在 V（y）中，并且 x' x 则 x ' 也在 V（y）中。 思考自由处置的现实背景：处置或储藏 不需要成本，至少不能影响到原有技术的 施行。
• 凸技术 思想：我们想要生产“大”量的产出， 并且可以复制“小”的生产过程
定义：凸性 如果x 和 x ' 都在V（y）中，那么，对 ' tx (1 t) x 所有0≤t≤1的t 而言， 在V（y） 中。那就是，V（y）是一个凸集。
x2 1 a ln ln ln | TRS | x1 a
d ln x2 / x1 1 d ln | TRS |
• 规模报酬 前面“复制”生产过程的例子实际上是“按 比例增加”投入，那么规模报酬不变意味着： 下列任何一个条件被满足，即称为规模报酬 不变 1．对所有非负t；y在Y 中意味着ty 在Y 中 2．x在V（y）中意味着tx在V（y）中，对所 有t≥0 ？ 3． f (tx) tf(x) ，对于所有t≥0。即生产函 数f(x)是一次齐次的。 那么，何时规模报酬不变会被违反？
T ( y, x1 , x2 ) y x x
a f ( x1 , x2 ) x1a x1 2
a 1 a 1 2
例子：里昂惕夫技术的特点
Y {( y, x1 , x2 )在R 3中 : y min(ax1 , bx2 )}
2 V ( y ) {( x1 , x2 )在R 中 : y min(ax1 , bx2 )} 2 Q( y ) {( x1 , x2 )在R 中 : y min(ax1 , bx2 )}
j o j i j
• 内固定 k=k 则短期可能性集写为
Y (k) (y, l, k)在Y中：k=k
产出只有一种时，定义生产函数
f（x） = y在R中：y是在Y中与-x相关联的最大产出
• 例子：净产出束为（y，-x），其中x是可 以生产y 单位产出的一个投入向量。 相关概念： 投入要求集：至少可以生产y 单位产出的 所有投入束的集合
V（y） = x在R n -x Y中 +中：（y，）在
等产量线：等产量线给出所有刚好生产y 单位产出的投入束。
， ， Q（y） = x在R n 中： x 在 V(y) 中并且 x 不在 V （ y ）中， y >y +
• 技术有效： Y 中的生产计划y 是（技术上）有效的：要 求没有用同样的投入生产出更多的产出或用更少 的投入生产出相同产出的方法，生产计划就是有 效的。 表述方式： 变换函数：描述技术上有效的生产计划的集 合 T : Rn R T (y) 0 当且仅当y 有效时，
f ( x1, x2 ( x1 )) y
f ( x*) f ( x*) x2 ( x1*) 0 x1 x2 x1 x2 ( x1*) f ( x*) / x1 x1 f ( x*) / x2
全微分法得出同样的结果
• 练习：柯布-道格拉斯技术的技术替代率 (TRS)使用隐函数法，求得
例子：柯布-道格拉斯技术的特点
a 1-a Y={(y,-x1,-x2 )在R3中:y≤x1 x2 } a 1-a V(y)={(x1,x2 )在R2 中 :y ≤ x + 1x2 } a 1-a Q(y)={(x1,x2 )在R2 中 :y=x + 1x2 } a 1-a Y(z)={(y,-x1,-x2 )在R3中:y≤x1 x2 ,x2 =z}
例子：探讨柯布-道格拉斯生产技术的规模报酬
• 齐次函数的概念： 如果对所有t>0，f (tx) t f(x)则称函数 是k 次齐次的。 • 规模报酬与生产函数的齐次性之间的对应 关系? • 齐次函数的图示如下
k
• 位似函数是一个一次齐次函数的单调变换。 即若函数f(x)是位似的，当且仅当它可以 写作 f (x) g(h(x)) ，其中h 是一次齐次函数， g 是单调函数。 • 位似函数的图示
1 1
0、 - 时，CES生产函数分别趋 • 性质2 当 1、 于线性生产函数、柯布道格拉斯生产函数、 以及里昂惕夫生产函数。
• 课后习题
• 取极限形式后，写成
TRS d x2 / x1 x2 / x1 dTRS
经济含义：可以通过厂商追求成本最小化的一阶 条件来重新审视替代弹性的含义。
• 使用对数微商，可以重新写为 d ln x2 / x1
d ln | TRS |
例：柯布道格拉斯生产函数的替代弹性
a x2 TRS 1 a x1 x2 1 a TRS x1 a
x2 ( x1 ) f / x1 a x2 x1 f / x2 1 a x1
技术替代率测量等产量线的斜率
• 替代弹性：测量等产量线的曲率。替代弹性度量 当产出保持不变时，要素比率的百分比变动除以 技术替代率的百分比变动。
x2 / x1 x2 / x1 TRS TRS
• 性质1 凸生产集意味着凸投入要求集。如果生产 集Y 是一个凸集，那么相联的投入要求集也是一 个凸集。 证明留作练习。 • 性质2 凸投入要求集等价于拟凹生产函数。 V（y）是凸集，当且仅当生产函数f（x）是一个 拟凹函数。 证明要点：拟凹函数等价定义：上等值集是凸集。 • V (y) x : f(x) y 是凸集正是构建这样一个上等值集。
• 性质：齐次函数和位似函数的替代率都独 立于规模。 CES生产函数：
y a1 x1 a2 x2
1
性质：替代弹性不变
x1 1 x2 TRS ( ) , | TRS | x2 x1 d ln x2 / x1 1 d ln | TRS | 1