圆锥曲线存在性问题(教师版)

合集下载

圆锥曲线的轨迹方程问题(教师版)

圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且OA ⋅OB =-4，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时，P p 2,p ，故S △OFP =12×p 2×p =1，故p =2，故抛物线的方程为：y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB :x =ty +m ，因为OA ⋅OB =-4，故y 21y 2216+y 1y 2=-4，整理得到：y 21y 22+16y 1y 2+64=0，故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0，故-4m =-8即m =2，故直线AB :x =ty +2，此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ，故G 的轨迹为以OM 为直径的圆，其方程为：x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合，故G 不为原点，故G 的轨迹方程为：x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233，且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 在C 上，PA ⊥PB ，过P 点向AB 引垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233，∴c 2=43a 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2，将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1，即93b 2-1b2=1，解得b 2=2，a 2=6，故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1；(2)当直线AB 斜率不存在时，不满足PA ⊥PB ，故不满足题意；当直线AB 斜率存在时，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB :y =kx +m ，代入双曲线方程整理得：3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0，则x 1+x 2=-6km 3k 2-1，x 1x 2=3m 2+63k 2-1，∵PA ⊥PB ，∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0，即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0，整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0，即3k +m -1 6k +m +2 =0，当3k +m -1=0时，AB 过P 点，不符合题意，故6k +m +2=0，直线AB 化为y +2=k x -6 ，AB 恒过定点Q 6,-2 ，∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点，即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2，过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点，以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32，求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0；(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在，故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2，可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3，解得k =1，故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0)，对于抛物线y =x 2，y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1)，点P 在该切线上，故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1)，即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根，所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2，于是x 0=k2，y 0=k -2，消k 得y 0=2x 0-2，于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0，点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内，圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程；(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4，端点N 在(1)中的圆C 上运动，线段MN 与y 轴垂直，求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意，设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2，则有d 2+14 2=r 2，即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切，所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上，所以a -2b =0.③联立①②③，解得a =4,b =2,r =4，故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ，点N 的坐标为x 0,y 0 ，点M 的坐标为-4,y ，因为H 是线段MN 的中点，所以x =x 0-42，y =y 0，于是有x 0=2x +4，y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动，所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②，得2x +4-4 2+y -2 2=16，整理，得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴ x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45，∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14，∴k1=4k2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：x=my-6 5,，由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0，其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则S(-x2,-y2)，则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4，∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4，∴k1=4k2.6.已知点E(2,0)，F22,0，点A满足|AE|=2|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1交于M，N两点，且∠MON=π2(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1；(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y)，因为|AE|=2|AF|，所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2，平方化简，得x2+y2=1；(2)直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1的方程联立，得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32，所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9，因为∠MON =π2，所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简，得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，把x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入，得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0，化简，得m 2=36(k 2+1)5，因为m 2+9>4k 2且k ≠±32，所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32，解得k ≠±32，圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1，所以点A 到直线距离的最大值为655+1，最小值为655-1，所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ，7.在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m 使得OA +3OB =4OM，求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ，则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ，由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ，x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0，即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0，且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1，又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1，则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1，∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0，∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0，14<m 2<1，解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图，设点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ，由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ，化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明：由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①，设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2，所以2t 2-63t 2-6m2=-23，得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2，所以S △MON =26t t 24t 2=62，即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．10.已知圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(2，3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0；(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1，∴圆心为C (1，1)，半径r =1.当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =2，C 到l 的距离d =1=r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -2)，即kx -y +3-2k =0，则k -1+3-2k1+k 2=1，解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2)，即3x -4y +6=0.综上，满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1，|PO |2=x 2+y 2，∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2，整理，得2x +2y -1=0，∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ，设l 1：y =a ，l 2：y =b 且ab ≠0，A a 22,a ，B b 22,b ，P -12,a ，Q -12,b ，R -12,a +b 2 ，直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0，∵点F 在线段AB 上，∴ab +1=0，记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，∴k 1=a -b 1+a 2，k 2=b-12-12=-b ，又∵ab +1=0，∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2，∴AR ∥FQ ；(2)设l 1：y =a ，l 2：y =b ，A a 22,a ，B b 22,b ，设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ，∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12，又S△PQF=a-b2，∴由题意可得S△PQF=2S△ABF，即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12，解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则x=a2+b24y=a+b2，当AB与x轴不垂直时，由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1，即2a+b=yx-1(x≠1)，∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为5，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(不同于A，B两点)，且直线BM ⊥BN时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)x24+y2=1，离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得：2a=4，a2+b2=5，a2=b2+c2，可得a=2，c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e=ca=32．(2)当直线斜率存在时，可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1，得：4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1．因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为-1，所以k BM ⋅k BN =-1，所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1．将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入，整理化简得：m -1 5m +3 =0，所以m =1或m =-35．由直线l :y =kx +m ，当m =1时，直线l 经过0,1 ，与B 点重合，舍去，当m =-35时，直线l 经过定点E 0,-35，当直线斜率不存在时，可设l :x =t ，则M t ,1-t 24 ，N t ,-1-t 24，因为k BM ⋅k BN =-1，所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1，解得t =0，舍去．综上所述，直线l 经过定点E 0,-35，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，其E 0,-35 ，F 3,0 ，所以圆心32,-310 ，半径r =215，所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125，即为点H 的轨迹方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，C 是满足∠ACB =π3的一个动点．(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程；(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2x 2+y 2=1交于P ，Q 两点，且|DE |=2|PQ |，求证：|k |>2．【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2)；(2)证明见解析．【解析】设△ABC 的外心为O 1，半径为R ，则有R =AB 2sin ∠ACB=2，又∠OO 1B =∠OO 1C =π3，所以OO 1=R cos π3=1，即O 1(0,1)，或O 1(0,-1)，当O 1坐标为(0,1)时．设C (x ,y )，H x 0,y 0 ，有O 1C =R ，即有x 2+(y -1)2=4(y >0)，由CH ⊥AB ，则有x 0=x ，由AH ⊥BC ，则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0，所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2，y >0，则y 0=y -2>-2，则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2)，所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时．H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2)．(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2)，记点(0,-1)到直线l 的距离为d ，则有d =|m +1|1+k 2，所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +m 2x 2+y 2=1，有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0，所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0，|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2，由|DE |=2|PQ |，可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22，所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1，即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2，所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2，即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0，可得m 2<1+k 22，所以1+2k2<1+k 22，解得k 2>2，故|k |>2．同理，若取x 2+(y -1)2=4(y <2)，由对称性，同理可得|k |> 2.综上，可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为-1,0 ，1,0 ，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交点；②M 是△ABC 的外心；③GM ⎳AB ．(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ，F 三点共线，求PE ⋅PF 的取值范围．【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0)；(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ，G x 0,y 0 ，M x M ,y M ，圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心，所以MA =MB ，所以M 在线段AB 的中垂线上，所以x M =-1+12=0．因为GM ⎳AB ，所以y M =y 0．又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，所以x 0=-1+1+x 3=x 3，y 0=0+0+y 3=y 3，所以y M =y 0=y 3．又MA =MC ，所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2，化简得x 2+y 23=1(y ≠0)，所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为y =k x -2 ，联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0．由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0，得k 2<1．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3．又0<k 2<1，所以3<k 2+3<4，所以3<PE ⋅PF <92．故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 ．15.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 21+y 22=32，求AB 的值；(2)已知点P -2,2 ，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =-1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⋅AB =0，求点D 的轨迹方程．【答案】(1)AB =10；(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知：F 1,0 ，准线方程为：x =-1．圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1，BF =x 2+1=y 224+1，∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ，由y 2=4x x =ty +m得：y 2-4ty -4m =0，则Δ=16t 2+16m >0，∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1，∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得：8t -4m +m 2-4=0，则有m +2-4t m -2 =0，解得：m =2或m =4t -2．当m =4t -2时，Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0，解得：t >-2+6或t <-2-6，此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ，不符合题意；当m =2时，Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立，直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ，∴m =2.∵PD ⋅AB =0，∴PD ⊥AB ，且A ,B ,D ,E 四点共线，∴PD ⊥DE ，则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆．设D x ,y ，PE 的中点坐标为0,1 ，PE =25，则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5．当D 的坐标为-2,0 时，AB 的方程为y =0，不符合题意，∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 )．圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。

圆锥曲线中的探究(存在)性问题-(通用版)(解析版)

圆锥曲线中的探究（存在）性问题圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.圆锥曲线中探索问题的求解策略1).此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2)．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．题型1 探究点线关系问题1．（2020·上海市七宝中学高三期末）已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，；（3）是，定点，证明见解析【分析】（1）根据直线过定点，可求出椭圆的右焦点坐标，从而可求出椭圆中的值，再结合椭圆中，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，并结合及，可得到:1l x my =+C 22213x y a +=F lC ,A B ,,A F B :4l x '=,,D KE C l y M 12,MA AF MB BF λλ==m 12λλ+12λλ+,AE BD m AE BD 22143x y +=1283λλ+=-5(,0)2l ()1,0c 23b =a l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩y 1MA AF λ=2MB BF λ=的表达式，进而可证明；（3）令，可知直线与相交于，进而讨论时，直线与也相交于即可. 【详解】（1）直线过定点，所以椭圆的右焦点为，即，又椭圆中，所以，∴椭圆：.（2）易知，且直线与轴的交点为，直线交椭圆于，联立，得，所以，所以，，又，可得，所以，又，同理可得，所以，因为，所以，故的值是定值，且. （3）若，则直线为，此时四边形为矩形，根据对称性可知直线与相交于的中点，易知；若，由（2）知，可知，所以直线的方程为，12λλ+1283λλ+=-0m =AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭:1l x my =+()1,0C ()1,0F 1c =C 23b =222314a b c =+=+=C 22143x y+=0m ≠l y 10,M m ⎛⎫-⎪⎝⎭l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=()()22236363414410m m m ∆=++=+>122634m y y m +=-+122934y y m =-+1MA AF λ=111111(,)(1,)x y x y mλ+=--1111my λ=--2MB BF λ=2211my λ=--12121112()m y y λλ+=--+212212121163423493y y m m my y y y m ⎛⎫+++==-⋅-=⎪+⎝⎭12121111282()233m m y y m λλ+=--+=--⋅=-12λλ+1283λλ+=-0m =l 1x =ABED AE BD ,F K N 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠()()1122,,,A x y B x y ()()124,,4,D y E y AE 2121(4)4y y y y x x --=--当时，，所以点在直线上，同理可知，点也在直线上. 所以时，直线与也相交于定点. 综上所述，变化时，直线与相交于定点. 【点睛】求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2．（2021·江苏高三）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.【分析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得52x =211221122121112(4)3()2(41)3()3()422(4)2(4)y y x y y y my y y y y y x x x --------=+-==---211213()22(4)y y my y x +-=-2221169321818343402(4)2(4)(34)m m m m m m x x m --⨯-⨯-+++===--+5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭AE 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭BD 0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭m AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭xOy A B 22221(0)x y a b a b+=>>AB =2e =F F l M N AM BN P 2212x y +=AM BN P 2x =,a b MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y到，，表示出直线和为定值，即可得出结果.【详解】（1），设焦距为，离心率，，，因此所求的椭圆方程为（2）设直线方程为，设，，由得，，，直线方程是，直线方程是，由，解得：此直线与直线的交点落在定直线上.【点睛】求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立12y y +12y y AMBN 2AB =2a ∴=a =2c 2e =2c a ∴=1c ∴=2221b a c ∴=-=2212x y +=MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y 22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222210m y my ++-=12222m y y m ∴+=-+12212y y m =-+AM y x =+BN y x =y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-++--⎡⎤ ⎪ ⎪-+--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭21312m m y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-++⎣⎦=⎡⎤-++⎣⎦()213121m m y ⎡⎤-+-++=()221121m m y ⎡⎤-+-++=(213=+=+3=+2x =AM BN P 2x =P MN，确定点横坐标为定值，即可求解.3．（2020·重庆八中高三月考）在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为，，P 是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线，的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线. 【分析】（1）设点P 的坐标为，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立，整理可得，利用韦达定理可得，，直线的方程与直线的方程，直线，的交点的坐标满足：，整理可得，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为，由，得，即. 故轨迹C 的方程为：（2）根据题意，可设直线的方程为：，由，消去x 并整理得其中，. 设，，则，. 因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），P ()2,0-()2,0PA PB 14-()1,0l AM BN ()22104x y y +=≠4x =(),x y MN 1x my =+()224230m y my ++-=12224m y y m +=-+12234y y m =-+AM BN AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--04x =(),x y 1224y y x x ⋅=-+-2244y x =-()22104x y y +=≠()22104x y y +=≠MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()222412416480m m m ∆=++=+>()11,M x y ()22,N x y 12224m y y m +=-+12234y y m =-+l 1x 2x 2±1y 2y从而可设直线的方程为∴，直线的方程为∴，所以，直线，的交点的坐标满足：而，因此，，即点Q 在直线上. 所以，探究发现的结论是正确的.【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.4．（2020·江苏南通市·海安高级中学高三期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在x 轴上，椭圆的面积为，且短轴长为．椭圆与椭圆有相同的离心率．（1）求m 的值与椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左顶点A 作直线l ，交椭圆于另一点B ，交椭圆于P ，Q 两点（点P 在A ，Q 之间）．∴求面积的最大值（O 为坐标原点）；∴设PQ 的中点为M ，椭圆的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为N ，试探究点N 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．AM ()1122y y x x =++BN ()2222yy x x =--AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+04x =4x =1C 1F 2F 1C222:1(03)3x y C m m +=<<1C 1C 1C 1C 2C OPQ △1C【答案】（1）；；（2）∴；∴点N 在定直线运动．【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求椭圆的标准方程，再根据两个椭圆有相同的离心率，求；（2）∴设直线AB 的方程为：且，与椭圆联立方程，利用韦达定理表示，转化为关于的函数求最值；∴首先求点的坐标，并求直线的方程，并利用直线与椭圆方程联立，求点的坐标，联立直线OM 和BC 的方程，求交点的坐标.【详解】（1）由题意可得解得，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以的标准方程为椭圆的离心率为，椭圆得焦点在y 轴上，则则（2）∴当直线AB 与x 轴重合时，O ，P ，Q 三点共线，不符合题意故设直线AB 的方程为：且设，由（1）知椭圆的方程为：联立方程消去x 得：由韦达定理得：；又令此时 ∴94m =22143x y +=4187x =-,a b 1C m 2x ty =-0t ≠2C OPQSt M OM PQ B 2ab b π⎧=⎪⎨⎪=⎩2a =b =1C 1C 22143x y +=1C 122C 12=94m =2x ty =-0t ≠()11,P x y ()22,Q x y 2C 224193x y +=2241932x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22431670t y ty +-+=1221643t y y t +=+122743y y t =+12121||2POQ AOQ AOPS S S AO y y y y =-=⋅-=-△△△==243(3)t s s +=>==≤3233s =>OPQ △∴由∴知：，则∴ ∴直线OM 的斜率：则直线OM 的方程为：联立方程消去x 得：，解得： ∴ ∴则直线BC 的方程为：联立直线OM 和BC 的方程解得：∴点N 在定值直线运动. 【点睛】定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；（2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.题型2 探究平面图形存在问题1.（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．1221643t y y t +=+1221243x x t -+=+2268,4343t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭43OM t k =-43ty x =-222143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234120t y ty +-=21234B t y t =+222126823443B t t x t t t -=⋅-=++222121233468164234BC tt t t kt t +==-=---+3(2)4t y x =--433(2)4t y x t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩1824,77t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭187x =-2t >xOy ()20F ，l x t =Γ()2800y x x t y =≤≤≥，l x A ΓB P Q ΓAB t B F 3t =2FQ =OQ FP AQP△8t =FP FQ FPEQ E ΓP【答案】（1）；（2）；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，∴；（2），，，则， ∴，设的中点，，，则直线方程：，联立，整理得：，解得：，（舍去）， ∴的面积（3）存在，设，，则，，直线方程为，∴，，根据，则，∴，解得：， 2BF t =+1723S ==()B t 2BF t ==+2BF t =+()B t 22pBF t t =+=+2BF t =+()20F ，2FQ =3t =1FA =AQ =(3Q OQ D 322D ⎛ ⎝⎭，02322QFk ==-PF )2y x =-)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=23x =6x =AQP 1723S ==28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2281628PF y y k y y ==--2168FQ y k y -=QF ()21628y y x y -=-()22164838284Q y y y y y --=-=248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭FP FQ FE +=2248684y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2165y =∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且． 2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；24x y =；（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由见解析. 【分析】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，可得抛物线方程为24x y =，其焦点为()0,1F ，可知1b =，再利用椭圆的离心率即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，由已知得120k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用两点求斜率公式求得直线l ：y x m =-+且1m >-，联立直线与椭圆方程得2258440x mx m -+-=，求得1m -<<OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++，推出矛盾即可得结论.【详解】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，得42p =，2p ∴=，故抛物线方程为24x y =．抛物线2C ：24x y =的焦点为()0,1F ，1b ∴=．又椭圆1C的离心率c e a ====解得：2a =所以椭圆1C 的标准方程为2214xy +=．（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由如下：将y kx m =+代入24x y =，消去y 并整理得：2440x kx m --=由题意知，216160k m ∆=+>，即2m k >-设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k因为直线PF 平分APB ∠，所以120k k += 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121211022y y x x --+=-- FP FQ FPEQ EΓ25P ⎛ ⎝⎭又2114x y =，2224x y =，则22121212114440224x x x x x x --+++==--，124x x ∴+=- 2212121212124414ABx x y y x x k x x x x --+∴====---，所以直线l ：y x m =-+且1m >- 由2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 并整理得：2258440x mx m -+-= 由题意知()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->解得：m <<1m -<<设()33,C x y ，()44,D x y ，则3485m x x +=，()3434225my y x x m +=-++=若四边形OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++825215mm ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，显然方程组无解，所以四边形OCPD 不是平行四边形．【点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．3．（2021·湖南长沙市高三月考）如图，椭圆2222x y C :1(a b 0)a b +=>>的离心率e=2，且椭圆C 的短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P M N ，，椭圆C 上的三个动点.（i ）若直线MN 过点D 10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，且P 点是椭圆C 的上顶点，求PMN ∆面积的最大值；（ii ）试探究：是否存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()()i 2PMN ∆()()ii 2不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.【分析】(1) 利用离心率以及短轴长,求出椭圆中a b c 、、.即可求椭圆C 的方程;()()i 2由已知,直线MN 的斜率存在,设直线MN 方程，联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式,推出面积的表达式,通过换元,利用导数求出面积的最大值.()()ii 2假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()2当P 在x 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()3当P 不在坐标轴时，推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.故得解.【详解】（1）由已知得22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ，所以椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()2i （）由已知可知直线MN 的斜率定存在，设直线MN 的方程为12y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，由221.412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=，所以122122414314k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 所以()()22212121224163414k x x x x x x k+-=+-=+，又32PD =，所以()12212214PMN S PD x x k ∆=⋅-=+，令22316m m k -=≥=，所以2361321416PMN m S m m m ∆==⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭，令())1,g m m m m =+∈+∞，则()2'221110m g m m m-=-=> 所以()g m在)+∞上单调递增，所以当m 时，此时0k =，()g m此时PMN S ∆有最大值2.故得解. ()2ii （）不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.理由如下：假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,P 的坐标为()0,1,则,M N 关于y 轴对称,MN 的中点Q 在y 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知1110,,,222Q M N ⎛⎫⎛⎫⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,从而2MN PM ==即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()2当P 在x 轴上时,P 的坐标为()2,0,则,M N 关于x 轴对称,MN 的中点Q 在x 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知()1,0,1,,1,22Q M N ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而MN PM ==,即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()3当P 不在坐标轴时,设()00,P x y ,MN 的中点为Q ,则0OP y k x =, 又O 为PMN ∆的中心,则2PO OQ =,可知00,22x y Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,M x y N x y ,则12012022Q Q x x x x y y y y +==-⎧⎨+==-⎩, 又222112244,44x y x y +=+=,两式相减得01212121201144MN xy y x x k x x y y y -+==-⋅=-⋅-+,从而MN k =0014x y -⋅，所以000011144PO MN y x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-⋅=-≠- ⎪⎝⎭, 所以OP 与MN 不垂直,与等边PMN ∆矛盾. 综上所述,不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形. 【点睛】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想,属于难度题.4．（2021·四川绵阳市·（文））已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 22:12x C y +=:l y x m =+C ,A B O l C F AOB (0)OM tOB t =>C P OAPM t 23(0,2)【分析】（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解；（2）联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，且.又，，求出点的坐标为，代入椭圆方程，结合韦达定理计算求解.【详解】（1）设.直线过椭圆的右焦点，则，直线的方程为.联立得，解得或.的面积为. （2）联立得，，解得.由韦达定理得，. . 四边形为平行四边形，，且. 又，，点的坐标为.又点在椭圆上，即，整理得.又，，即，，即. ，，综上所述，的取值范围是.113y =21y =-121||2S OF y y =-OAPM OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty =+=++P ()1212,x tx y ty ++()()1122,,,A x y B x y l C F 1m =l 1x y =+2222,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩23210y y +-=113y =21y =-AOB ∴121112||1(1)2233S OF y y =-=⨯⨯--=2222,,x y y x m ⎧+=⎨=+⎩2234220x mx m ++-=()22(4)12220m m ∴∆=-->203m <1243m x x +=-212223m x x -=()()()221212121223m y y x m x m x x m x x m -∴=++=+++=OAPM 0m ∴≠OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty ∴=+=++∴P ()1212,x tx y ty ++P ()()22121222x tx y ty +++=()()222221122121222242x y txy tx x ty y +++++=221122x y +=222222x y +=12122x x y y t +=-22222233m m t --∴+⨯=-2643m t -=20,03t m ><<02t ∴<<t (0,2)【点睛】此题考查根据直线与椭圆关系求三角形面积，将几何关系转化为代数关系，利用点的坐标结合韦达定理求解，综合性强.题型3 探究长度、面积（周长）相关问题1．（2020·山西高三月考（理））已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += ；（2）ABF 的周长为定值4 . 【分析】（1）由椭圆的定义可知'42MF MF a +==，可得2a =，因为c =222b a c =-，所以1b =可得答案；（2）因为直线l 与圆相切，可得m 与k 的关系，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得弦长公式AB ，再利用两点间的距离公式可得AF 12x =-，22BF x =，所以AF BF AB ++可得答案.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知'42MF MF a +===，所以2a =，因为c =222b ac =-，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是定值，理由如下：因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440kx kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以AB ====，又221m k =+，所以241AB k -=+.由于0,0k m <>，所以1202,02x x <<<<，因为AF =122x ==-，同理22BF x =，所以()1242AF BF x x +=-+2284424141km k k =+⨯=+++，所以44AF BF AB ++=+=，故ABF 的周长为定值4. 【点睛】本题考查了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，第二问的关键点是利用韦达定理可得AB 和AF BF +，考查了分析问题、解决问题的能力.2．（2021·山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）MNP △ 【分析】（1）分别写出点,,A B C 三点的坐标，求出AC 、BC 的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率不存在时计算MNP △的面积，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214xy +=联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，12x x ，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPS MN d =⋅即可求解. 【详解】（1）(,0),(,0),(0,1)A a B a C -，则(,1),(,1)AC a BC a ==-，因为3AC BC ⋅=-，所以213a -+=-，得24a =．所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x x =，设()11,M x y ，则()11,N x y -，因为O 为MNP △的重心，所以()12,0P x -．由M ，N ，P 在椭圆上，所以221114x y +=且21414x =，解得221131,4x y ==．易知1232MNPS =⨯=，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， ()121222241m y y k x x m k +=++=+．因为O 为MNP △的重心，所心2282,4141kmm P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，故2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+．||MN =点P 到直线MN 的距离d 等于O 到直线MN距离的3倍，所以d =，所以11||22MNPSMN d =⋅=26|42m m ==，综上，MNP △的面积为定值2．【点睛】本题解题的关键点是设直线MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPSMN d =⋅，注意计算直线MN 的斜率不存在时，MNP △的面积. 3．（2021·河北保定市·高三二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、22:13y C x -=1F 2F P C 128PF PF +=P C PA与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）是，且定值为.【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，，，因为，所以，，轴，点的横坐标为，所以，，，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，PB A B OAPB ()2222:10,0x y C a b ab'-=>>P 'C 'P 'C 'P A ''P B ''A 'B 'OA P B '''a b 12ab P B B OP OAPB ()00,P x y 'B 'B 'OP 'd 22:13y C x -=122PF PF -=128PF PF +=15PF ∴=23PF =124F F ==2222121PF F F PF +=2PF x ∴⊥∴P 2P x =22213P y -=0P y >3P y =()2,3P P y =)32y x -=-联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为，且，因此，四边形的面积为；（2）四边形的面积为定值，理由如下：设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，即，点到直线的距离为，且因此，（定值）. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．（2020·安徽淮南市·高三二模）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩132x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩312B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭OP 320x y -=B OP d ==OP =OAPB 22OAPBOBP S S OP d ==⋅=△OA P B '''12ab ()00,P x y '22221x ya b-=b y x a =±P B ''()00by y x x a-=--()00b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00002222x a x y b y b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩0000,2222x y a b B y x ba ⎛⎫++ ⎪⎝⎭'OP '0y y x x =000y x x y -=B 'OP 'd ==22==OP '=22OA P B OB P abSS OP d ''''''==⋅=△xOy P 4x =(1,0)F 2P E F E A B AB垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）；存在；【分析】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，列出方程求解即可；（2）设，联立，消去，得，利用韦达定理，结合弦长公式，求出，，然后求解即可. 【详解】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，化简整理得.动点的轨迹的方程为. （2）设，联立，消去x ，得，根据韦达定理可得：，，，又，于是，令，解得存在，使. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决，属于难题.题型4 探究角度相关问题1．（2020·江苏省苏州高三月考）已知双曲线的方程22:21C x y -=．（1）求点(0,1)P 到双曲线C 上的点的AB C 4x =-D AB 1x my =+m AB CDm 35ABCD =m 22143x y +=AB CD =0m =(,)P x y P 4x =(1,0)F 2()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()2234690m y my ++-=AB CD (,)P x y P 4x =(1,0)F 2∴2=22143x y +=∴P E 22143x y +=()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+∴()212212134m AB y y m +=-==+2243,3434m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()(22435434m CD m +=-=+∴ABCD =35AB CD ==0m =∴0m =35AB CD =距离的最小值；（2）已知直线:l y kx t =+与圆22:1M x y +=相切，①求k 和t 的关系②若l 与双曲线C 交于A 、B 两点，那么AOB ∠是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）6；（2）（i ）221t k =+；（ii ）AOB ∠为定值90︒．【分析】（1）设(,)Q a b 为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由直线和圆相切可得221t k =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立双曲线的方程，消去y 可得x 的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得AOB ∠为定值．【详解】解：（1）设()00,Q x y 为双曲线上的点，则220021-=x y ，则||===PQ 当023y =时||PQ 最小，且为6，所以点(0,1)P 到从曲线C 上点的距离的最小值为6；（2）①设直线线l 的方程为y kx t =+，由直线l与圆相切，可得1==d ，即221t k =+，②设()()1122,,,A x y B x y ，联立得()22222221021y kx t k x ktx t x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩，则222121222221220,,222++-≠+==-=----kt t k k x x x x k k k，所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t 222222222222222222222--++--+===---k t k k t t k t t k k k k k，所以2212122222022++⋅=+=-+=--k k OA OB x x y y k k，所以AOB ∠为定值90︒．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．2．（2021·湖南高三三模）已知椭圆的右焦点为，离心率．（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；定值；（2）存在；．【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点，则．因为，点到直线的距离，所以，即到的距离与到直线的距离之比为定值．（2）因为，，所以，的方程为．假设存在这样的一点，设，直线，联立方程组，消去得，．设，，则，．因为轴平分，所以直线与的斜率互为相反数，即，2222:1(0)x y C a b a b+=>>(c,0)F 12e =P C P F P 2a x c=1c =(0,)c k l C M N y Q y MQN ∠Q 12(0,3)Q 1c =()00,P x y 2200221x y a b+=||PF ===0c a x a=-P 2a x c =20a d x c =-020||12c a x PF c a e a d a x c-====-P F P 2a x c=121c =12e =2a =b =C 22143x y +=Q (0,)Q t :1l y kx =+221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()2234880k x kx ++-=()296210k ∆=+>()11,M x y ()22,N x y 122834k x x k -+=+122834x x k-=+y MQN ∠QM QN 121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==所以，因为与无关，所以．故在轴上存在一点，使得轴始终平分．【点睛】由轴平分，得到直线与的斜率互为相反数，这是解题的关键. 3．（2021·天津高三二模）已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（∴）求与的方程；（∴）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（∴），；（∴）不存在点. 【分析】（∴）由抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，代入准线方程可求出值，从而求出抛物线方程；代入抛物线方程可求出点坐标，代入椭圆方程，结合离心率联立可解出，从而求出椭圆方程；（∴）直线与轴交于点，因为，且有，可得出，，即为线段中点，则有，设直线的方程为：，求出直线的方程，分别与椭圆和抛物线联立，求出点坐标，代入求解即可.【详解】解：（∴）因为抛物线方程为，则准线方程为：，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以有，解得：，抛物线方程为：. 则或，且点在椭圆上，有，又椭圆离心率为，即，即，联立求解：，所以椭圆方程为. （∴）由题意，直线斜率存在且大于0，设直线的方程为：，因为，则有22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k----===++8(3)0k t -=k 3t =y (0,3)Q y MQN ∠y MQN ∠QM QN 1C ()220y px p =>22C ()222211x y a b a b+=>>()1,P t Р1C 1C 2C O 2C A O OA 1C B AB y E OAE EOB ∠=∠A 21:4C y x =222:1992x y C +=A p P ,a b AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠D AB A B y y =-OA ()0y kx k =>OB ()220y px p =>2px =-()1,P t 122p+=2p =24y x =()1,2P ()1,2P -P 22141a b +=22212c a =2212b a =22992a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221992x y +=OA OA ()0y kx k =>OA OB ⊥直线的方程为：，由得：，即；由得：，即. 设直线与轴交于点，因为在第一象限内，满足，又，所以有，，所以，即为线段中点，所以，无解，所以不存在点的坐标使得.【点睛】（1）抛物线经常利用定义转化，将到焦点的距离转化为到准线的距离，减少变量求解；（2）直线与圆锥曲线的问题，经常将所求问题转化为与根有关的问题，此题中将转化为，联立解出点坐标，代入等式可判断是否存在.4．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，（1）求的坐标和椭圆的焦距；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），焦距为；（2），此时直线的方程为；（3）存在定点，使得恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．（2）设直线，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得，，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线的斜率不存在时，直线也过定点，即可．【详解】（1）椭圆，可得，，所以，焦距为；OB xy k=-221992x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A ⎛⎫241y xy xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩244x k y k ⎧=⎨=-⎩()24,4B k k -AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠AD OD BD ==D AB A B y y =-4k =314=<A OAE EOB ∠=∠OAE EOB ∠=∠A B y y =-22:1126y x Γ+=F Γ()0,6R l ΓM N F ΓMNF l y S RSM RSN π∠+∠=S (0,F 2c =MNF l 6y =+()0,2S RSM RSN π∠+∠=a b c :6l y kx =+122122kx x k -+=+122242x x k =+l l (0,2)S 22:1126y x Γ+=a =b =c =(0,F 2c =（2）由题意得直线的斜率存在，设直线，由得，所以，故，设，，则，，所以(或用）点到直线的距离所以，令，则，所以，当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程为；（3）当直线的斜率存在时，由（2）得，，因为，所以，即，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，当直线的斜率不存在时，直线也过定点，故轴上存在定点，使得恒成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将l :6l y kx =+2211266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()22212240k x kx +++=()()2221449624840k k k ∆=-+=->240k ->()11,M x y ()22,N x y 122122kx x k -+=+122242x x k =+12MN x =-=====MN =F l d =)21622MNFS MN d k =⋅==+△0t =>))216666MNF tS t t t==++△6MNF S ≤=△k =MNF l 6y =+l 122122kx x k -+=+122242x x k =+RSM RSN π∠+∠=0MS NS k k +=12120y t y tx x --+=()()21120x y t x y t -+-=()()2112660x kx t x kx t +-++-=()()1212260kx x t x x +-+=()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++0k ≠2t =()0,2S l l ()0,2S y ()0,2S RSM RSN π∠+∠=。

圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题

圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到 “是否存在这样的点” 的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。

一、是否存在这样的常数例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x2y 21有2两个不同的交点 P 和Q ．（I ）求 k 的取值范围；（ II ）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数 k ，使得向量 OPOQ与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 l 的方程为 y kx 2 ，代入椭圆方程得 x 2( kx2) 21．整理得 1 k 2x 22 2kx 1 0①22直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于8k 2 4 1 k 2 4k 22 0 ， 2 解得 k 2或 k2 ．即 k 的取值范围为 ∞ ， 2 2，∞ ．22 22（Ⅱ）设 P(x 1，y 1 )，Q(x 2，y 2 ) ，则 OP OQ ( x 1x 2，y 1 y 2 ) ，由方程①， x 1 x 2 4 2k ．②1 2k 2又y 1y 2 k ( x 1 x 2 ) 2 2 ．③而 A( 2，0)， B(01，)，AB ( 21)，．所以 OPOQ 与 AB 共线等价于 x 1 x 22( y 1 y 2 ) ，将②③代入上式，解得k2．2圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品22，故没有符合题意的常数 k ．由（Ⅰ）知 k 或 k2 2练习 1：（ 08 陕西卷 20）．（本小题满分12 分）已知抛物线 C ： y 2x 2，直线 ykx2交C 于 A ，B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．解法一：（ Ⅰ ）如图，设 A( x 1，2x 1 2 ) ， B(x 2，2x 2 2) ，把y k x 2 代入 y 2x 2得2x 2kx 2 0 ，由韦达定理得 x 1 x 2 k ， x x 1 ， 2 1 2 x N x M x 1 x 2 k ， k k 2N 点的坐标为，． yM2B1A2 4 4 8设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 yk 2 m x k， 8 4 将 y 2x 2 代入上式得 2x 2 mx mk k 2 0 ， 4 8 直线 l 与抛物线 C 相切， m 2 8 mk k 2 m 2 2mk k 2 (m k) 20 ， 4 8 即 l ∥ AB ．（Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB 0，则 NA NB ，又 |MN | 1|AB|． 2 1 ( y 1 y 2 )1(kx 1 1[ k( x 1 由（Ⅰ）知 y M 2 kx 2 2) 2 2 2N x O 1m k ．M 是 AB 的中点，x 2 ) 4]1 k2 k 2． 2 4 2 2 4MN x 轴， | MN | |y My N | k 2 2 k 2 k 216 ．4 8 81 k2 |x1x2 | 1 k 2( x1x2 )24x1x2又|AB|圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品k 211 k 24(1) k2 1 k 2 16 ．22k216 1k2 1 k 216 ，解得k 2 ．8 4即存在 k 2，使 NA NB 0 ．解法二：（Ⅰ）如图，设A( x1，2x12 )， B( x2，2x22 ) ，把 y kx 2 代入 y 2x2得2x2kx 2 0 ．由韦达定理得x1x2k， x1 x2 1 ．2x N x M x1x2kN 点的坐标为k k 2．y 2x2y4x ，2，4，，4 8kk ，l ∥ AB ．抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 44 （Ⅱ）假设存在实数k ，使 NA NB 0 ．由（Ⅰ）知NA x1k ，2k2，x2k ， 2 k2，则2x18NB42x284NA NB x1kx2k 2 k2 2 k2 4 42x182x28x1kx2k42 k2 2 k 2 4 4x116x216x1kx2k1 4 x1kx2k 4 4 4 4x x k x x k 2 1 4x x k( x x ) k 2 1 2 4 1 216 1 2 1 2 41 k k k2 1 4 ( 1) k k k24 2 16 2 41 k233k2 16 40，1 k 20 ， 3 3 k2 0 ，解得 k2 ．16 4圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在 k2，使 NANB0 ．练习 2.直线 ax-y = 1 与曲线 x 2 - 2y 2= 1相交于 P 、 Q 两点。

圆锥曲线存在性问题的探究(五大题型)(教师版)

圆锥曲线存在性问题的探究目录题型一：存在点使向量数量积为定值题型二：存在点使斜率之和或之积为定值题型三：存在点使两角度相等题型四：存在点使等式恒成立题型五：存在点使线段关系式为定值方法技巧总结解决存在性问题的技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．(2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．必考题型归纳题型一：存在点使向量数量积为定值1(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为-2,0 ，离心率为e =22．1 求椭圆E 的方程；2 过点1,0 作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP ⋅MQ为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】1 设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知得a -c =2-1c a =22，解得：a =2c =1 ，所以b 2=a 2-c 2=1．所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1．2 假设存在符合条件的点M m ,0 ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则MP =x 1-m ,y 1 ，MQ =x 2-m ,y 2 ，MP ⋅MQ=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2，①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k x -1 ，由y =k x -1x 22+y 2=1，得：2k 2+1 x 2-4k 2x +2k 2-2 =0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2-22k 2+1，∴y 1y 2=k 2-x 1+x 2 +x 1x 2+1 =-k 22k 2+1，∴MP ⋅MQ =2m 2-4m +1 k 2+m 2-22k 2+1，对于任意的k 值，上式为定值，故2m 2-4m +1=2m 2-2 ，解得：m =54，此时，MP ⋅MQ =-716为定值；②当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =1，x 1x 2=1，x 1+x 2=2，y 1y 2=-12，由m =54，得MP ⋅MQ =1-2×54+2516-12=-716为定值，综合①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为54,0 ．2(2023·山西大同·高二统考期末)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ,0)，使PE ⋅QE 恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意知抛物线的焦点为F (3,0)，所以c =a 2-b 2=3，因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b =3×33=1，可求得a =2.故椭圆的方程为x 24+y 2=1.(2)假设存在满足条件的点E (m ,0)，当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y =k (x -1)，由x 24+y 2=1y =k (x -1) 得4k 2+1 x 2-8k 2x +4k 2-4=0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，所以Δ>0,x 1+x 2=8k 24k 2+1,x 1x 2=4k 2-44k 2+1，则PE ⋅QE=m -x 1 m -x 2 +y 1y 2=m 2-m x 1+x 2 +x 1x 2+y 1y 2=m 2-8k 2m 4k 2+1+4k 2-44k 2+1+k 24k 2-44k 2+1-8k 24k 2+1+1=4m 2-8m +1 k 2+m 2-4 4k 2+1=4m 2-8m +1 k 2+14 +m 2-4 -144m 2-8m +1 4k 2+1=144m 2-8m +1 +2m -1744k 2+1，要使PE ⋅QE 为定值，令2m -174=0，即m =178，此时PE ⋅QE =3364.当直线的斜率不存在时，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32，由E 178,0 ，可得PE =98,-32 ,QE =98,32 ，所以PE ⋅QE =8164-34=3364.综上所述，存在点E 178,0 ，使PE ⋅QE 为定值3364.3(2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为2 3.点P 在椭圆C 上，且满足ΔPF 1F 2的周长为6.(I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(-1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得MA ⋅MB恒为定值？若存在，求出该点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(Ⅰ)∵{2b =232a +2c =6a 2=b 2+c 2∴{a 2=4b 2=3所以椭圆的方程为x 24+y 23=1(Ⅱ)假设存在这样的定点M x 0,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，AB 直线方程为x =my -1则MA ⋅MB=x 1-x 0,y 1 ⋅x 2-x 0,y 2 =my 1-1-x 0,y 1 ⋅my 2-1-x 0,y 2 =m 2+1 y 1y 2-m 1+x 0 y 1+y 2 +1+x 0 2联立{x =my -13x 2+4y 2=12消去x 得3m 2+4 y 2-6my -9=0y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4MA ⋅MB =-5+2x 0 3m 2+4 +11+8x 03m 2+4=x 02-4+11+8x 03m 2+4令11+8x 0=0即x 0=-118，MA ⋅MB =-13564当AB ⊥y 轴时，令A -2,0 ,B 2,0 ,M -118,0 ,仍有MA ⋅MB =-13564所以存在这样的定点M -118,0 ，使得MA ⋅MB =-135641(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆经过点A -1,22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交C 于M ,N 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点P ，使PM ⋅PN为定值？若存在，求出这个定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意c a =22，a 2=b 2+c 2，1a 2+12b2=1，得a 2=2,b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)当l 的斜率存在时，设l :y =k x -1 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，P t ,0 ，则联立方程组y =kx -k x 2+2y 2=2消去y 得，2k 2+1 x 2-4k 2x +2k 2-2=0.∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2-22k 2+1.∵PM ⋅PN=x 1-t ,y 1 ⋅x 2-t ,y 2 =x 1-t x 2-t +y 1y 2=x 1-t x 2-t +k 2x 1-1 x 2-1 =k 2+1 x 1x 2-k 2+t x 1+x 2 +k 2+t 2=k 2+1 2k 2-22k 2+1-k 2+t 4k 22k 2+1+k 2+t 2=k 22t 2-4t +1 +t 2-2 2k 2+1为定值.∴2t 2-4t +1t 2-2=21，解得t =54.此时PM ⋅PN 的值为-716.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1，解得M 1,22，N 1,-22 .又t =54，则P 54,0 .∴PM ⋅PN =-14,22 ⋅-14,-22 =-716，此时也满足条件.综上所述，在x 轴上存在定点P 54,0 ，使PM ⋅PN 为定值.2(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F 1､F 2为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，E 的离心率为5,M 为E 上一点，且MF 2 -MF 1 =2.(1)求E 的方程；(2)设点M 在坐标轴上，直线l 与E 交于异于M 的A ､B 两点，且点M 在以线段AB 为直径的圆上，过M 作MC ⊥AB ，垂足为C ，是否存在点D ，使得CD 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为双曲线的离心率为5，所以e =ca=5，即c =5a ，又MF 2 -MF 1 =2，所以2a =2，则a =1，所以c =5，因为b 2=c 2-a 2，所以b =c 2-a 2=(5)2-12=2，故双曲线E 的方程为x 2-y 24=1.(2)因为M 点满足MF 2 -MF 1 =2>0，所以点M 在双曲线x 2-y 24=1的左支上，又因为点M 在坐标轴上，则M (-1,0)，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，当AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m ，联立方程x 2-y 24=1y =kx +m ，整理得(4-k 2)x 2-2kmx -(m 2+4)=0,则4-k 2≠0，Δ=(-2km )2-4(4-k 2)[-(m 2+4)]>0,即m 2+4-k 2>0,x 1+x 2=2km 4-k 2,x 1+x 2=-m 2+44-k 2，因为M 在以线段AB 为直径的圆上，所以MA ⊥MB ，则MA ⋅MB =0，又MA =(x 1+1,y 1)，MB =(x 2+1,y 2)，则MA ⋅MB=(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，所以(k 2+1)x 1x 2+(km +1)(x 1+x 2)+m 2+1=0，即(k 2+1)-m 2+44-k 2+(km +1)⋅2km4-k2+m 2+1=0，整理得3m 2+2km -5k 2=0，即(m -k )(3m +5k )=0，解得m =k 或m =-5k3，经检验均满足m 2+4-k 2>0，当m =k 时，直线AB 的方程为y =k (x +1)，则直线AB 过点M ，不合题意，舍去；当m =-5k 3时，直线AB 的方程为y =k x -53 ，则直线AB 恒过定点Q 53,0 ，符合题意.当AB 的斜率不存在时，A (x 1,y 1),B (x 1,-y 1)，MA =(x 1+1,y 1)，MB=(x 1+1,-y 1)，MA ⋅MB =(x 1+1)2-y 12=0，又x 21-y 214=1，解得x 1=-1(舍去)或x 1=53，所以直线AB 方程为x =53，则直线AB 恒过定点Q 53,0 .综上，直线AB 恒过定点Q 53,0 .因为MC ⊥AB ，所以△MCQ 是以MQ 为斜边的直角三角形，即点C 在以MQ 为直径的圆上，则点D 为该圆的圆心即斜边MQ 的中点，又M (-1,0)，Q 53,0 ，所以D 13,0 ，CD 为该圆的半径，即|CD |=12|MQ |=43，故存在点D 13,0 ，使得|CD |为定值43.3(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，且直线y =x +b 是抛物线C 2:y 2=4x 的一条切线．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点S 0,-13的动直线L 交椭圆C 1于A ,B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由y =x +by 2=4x 得x 2+2b -4 x +b 2=0直线y =x +b 是抛物线C 2:y 2=4x 的一条切线．所以Δ=0⇒b =1e =c a =22⇒a =2，所以椭圆C 1:x 22+y 2=1(2)当直线L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆方程为x 2+y +132=432当直线L 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆方程为x 2+y 2=1所以两圆的交点为点0,1 猜想：所求的点T 为点0,1 ．证明如下．当直线L 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点0,1当直线L 与x 轴不垂直时，可设直线L 为：y =kx -13由y =kx -13x 22+y 2=1得18k 2+9 x 2-12kx -16=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2则x 1+x 2=12k 18k 2+9x 1x 2=-1618k 2+9则TA ⋅TB =x 1,y 1-1 ⋅x 2,y 2-1 =x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =x 1x 2+kx 1-13-1 kx 2-13-1=x 1x 2-43x 1+x 2 +169=1+k 2 -1618k 2+9-43×12k 18k 2+9+169=0所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆过点0,1 所以存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ．4(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意题型二：存在点使斜率之和或之积为定值4(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为O 坐标原点，A 2,0 ,B 0,1 ,C 0,-1 ,D 2,1 ，OE =λOA ,DF=λDA,0<λ≤1，CE 和BF 交点为P .(1)求点P 的轨迹G ；(2)直线y =x +m (m ≠0)和曲线G 交与M ，N 两点，试判断是否存在定点Q 使k MQ k NQ =14如果存在，求出Q 点坐标，不存在请说明理由.【解析】(1)设点P (x ,y )，E x E ,y E ,F x F ,y F ，∵OE =λOA ，即x E ,y E =λ2,0 ，∴E 点坐标为2λ,0 ，∵DF =λDA ，即x F -2,y F -1 =λ0,-1 ，∴F 点坐标为2,1-λ ，∴根据两点坐标可得，直线CE 方程为：y =12λx -1，直线BF 方程为：y =-λ2x +1，两式移项相乘得：y 2-1=-14x 2，整理得x24+y 2=1，∴P 点的轨迹为以(3,0),(-3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，即其方程为G :x 24+y 2=1.(2)假设存在定点G ，设点G 坐标为x 0,y 0 ，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立方程组y =x +mx24+y 2=1 消y 得5x 2+8mx +4m 2-4=0，直线与椭圆交于两点，∴Δ=64m 2-80m 2-1 >0即-5<m <5，x 1+x 2=-8m 5x 1x 2=4m 2-45 ，∵k MQ k NQ =14，∴y 0-y 1x 0-x 1⋅y 0-y 2x 0-x 2=14，∴4y 0-y 1 y 0-y 2 -x 0-x 1 x 0-x 2 =0，∴4y 0-x 1-m y 0-x 2-m -x 0-x 1 x 0-x 2 =0，整理得：4y 20-4x 1+x 2+2m y 0+4x 1x 2+4m x 1+x 2 +4m 2-x 20+x 1+x 2 x 0-x 1x 2=0，4y 20-x 20-125-85m x 0+y 0 =0，对m ≠0恒成立，∴x 0+y 0=0，得4y 20-x 20-125=0，∴x 0=-y 0=±255，所以存在定点Q ,坐标为255,-255 或-255,255.5(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A -2,0 ，B 2,0 ，P x ,y 是异于A ，B 的动点，k AP ，k BP 分别是直线AP ，BP 的斜率，且满足k AP ⋅k BP =-34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)在线段AB 上是否存在定点E ，使得过点E 的直线交P 的轨迹于M ，N 两点，且对直线x =4上任意一点Q ，都有直线QM ，QE ，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点E ，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意k AP ∙k BP =y x -2∙y x +2=-34，即x 24+y 23=1，又直线AP ，BP 的斜率存在，所以点P 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0)．(2)若存在这样的定点，不妨设为E (t ，0)，令Q (4，n )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x =my +t ，x =my +t ，3x 2+4y 2=12，(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2-12=0，由韦达定理得：y 1+y 2=-6mt 3m 2+4，y 1y 2=3t 2-123m 2+4，Δ=36m 2t 2-4(3m 2+4)(3t 2-12)>0，k QM +k QN =2k QE ，n -y 14-x 1+n -y 24-x 2=2n 4-t ⇒14-x 1+14-x 2-24-t ·n +-y 14-x 1+-y 24-x 2=0，对任意n 成立，所以14-x 1+14-x 2=24-t，-y 14-x 1+-y24-x 2=0，由-y 14-x 1+-y 24-x 2=0得，-4(y 1+y 2)+y 1(my 2+t )+y 2(my 1+t )=(t -4)(y 1+y 2)+2my 1y 2=0，所以(t -4)(-6tm )+2m (3t 2-12)=0，24mt -24m =0对任意m 成立，t =1，经检验，符合题意，所以，存在E (1，0)满足题意.6(2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 为圆心作圆，与C 的一条渐近线相切于点Q 43,253(1)求C 的方程.(2)在x 轴上是否存在定点M ，过点M 任意作一条不与坐标轴垂直的直线l ，当l 与C 交于A ,B 两点时，直线AF ,BF 的斜率之和为定值？若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【解析】(1)双曲线C 的渐近线方程为y =±bax ，圆F 与直线y =b a x 切于点Q 43,253 ，所以代入得b a =52，①设F c ,0 (c >0)，直线FQ 有斜率k FQ ，则k FQ ⋅ba=-1，即25343-c ×ba=-1，②又c 2=a 2+b 2③由①②③解得c =3,a =2,b =5，所以双曲线C 的方程为x 24-y 25=1.(2)假设存在满足条件的定点M t ,0 ，因为直线l 不与坐标轴垂直，故设l 的方程为x =my +t m ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .由x=my+t,x24-y25=1,消去x整理得5m2-4y2+10mty+5t2-20=0，则5m2-4≠0,Δ>0,即m≠±255,5m2+t2-4>0,*且y1+y2=-10mt5m2-4,y1y2=5t2-205m2-4.因为F3,0，所以直线AF,BF的斜率为k AF=y1x1-3,k BF=y2x2-3.设k AF+k BF=λ(λ为定值)，即y1x1-3+y2x2-3=λ，即y1x2-3+y2x1-3=λx1-3x2-3，即y1my2+t-3+y2my1+t-3=λmy1+t-3my2+t-3，整理得2m-λm2y1y2+1-λmt-3y1+y2-λ(t-3)2=0，所以2m-λm2×5t2-205m2-4-1-λmt-3×10mt5m2-4-λ(t-3)2=0，所以λ5t2-30t+20m2+103t-4m=5λ(t-3)2m2-4λ(t-3)2.因为t,λ为定值，且上式对任意m恒成立，所以λ5t2-30t+20=5λ(t-3)2, 103t-4=0,-4λ(t-3)2=0,解得t=43,λ=0.将t=43代入* 式解得m<-23或m>23且m≠±255.综上，存在满足条件的定点M43,0 .5(2023·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1 =0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)圆C的方程可化为：x2+y2-2y+1-m(8x+6y-6)=0，由x2+y2-2y+1=08x+6y-6=0，解得x=0y=1，所以圆C过定点M(0,1).(2)圆C的方程可化为：(x-4m)2+[y-(3m+1)]2=25m2，圆心到直线l的距离为d=|4⋅4m+3⋅(3m+1)-3|42+32=25|m|5=5|m|=r，所以直线与圆C相切.(3)当m=2时，圆C方程为x-82+y-72=100，圆心为8,7，半径为10，与直线x=8-10，即x=-2相切，所以椭圆的左准线为x=-2，又椭圆过点M (0,1)，则b =1，所以a 2c =2b =1，解得a =2b =1 ，所以椭圆方程为x 22+y 2=1.在椭圆上任取一点Q x ,y (y ≠0)，设定点A s ,0 ，B t ,0 ，则k QA ⋅k QB =y x -s ⋅yx -t =1-x22(x -s )(x -t )=k 对x ∈(-2,2)恒成立，所以-12x 2+1=kx 2-k (s +t )x +kst 对x ∈(-2,2)恒成立，所以k =-12k (s +t )=0kst =1 ，故k =-12s =2t =-2 或k =-12s =-2t =2 ，所以A -2,0 ，B 2,0 或者A 2,0 ，B -2,0 .6(2023·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，实轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c =2，2a =4，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知F 1(-1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ,0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x =ny -1，联立x =ny -1x 24+y 23=1，得(3n 2+4)y 2-6ny -9=0，所以Δ=(-6n )2+36(3n 2+4)>0，所以y 1+y 2=6n 3n 2+4，y 1y 2=-93n 2+4，又x 1x 2=(ny 1-1)(ny 2-1)=n 2y 1y 2-n (y 1+y 2)+1=-9n 23n 2+4-6n 23n 2+4+1=-12n 2-43n 2+4，x 1+x 2=n (y 1+y 2)-2=6n 23n 2+4-2=-83n 2+4直线ME ，MD 的斜率分别为k ME =y 1x 1-m ，k MD =y 2x 2-m，所以k ME ⋅k MD =y 1x 1-m ⋅y 2x 2-m =y 1y 2(x 1-m )(x 2-m )=y 1y 2y 1y 2-m (x 1+x 2)+m 2=-93n 2+4-12n 2-43n 2+4-m -83n 2+4+m 2=-9-12n 2+4+8m +3m 2n 2+4m 2=-9(3m 2-12)n 2+4(m +1)2，要使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，直线3m 2-12=0，解得m =±2，当m =2时，存在点M (2,0)，使得k ME ⋅k MD =-9(3m 2-12)n 2+4(m +1)2=-936=-14，当m =-2时，存在点M (-2,0)，使得k ME ⋅k MD =-9(3m 2-12)n 2+4(m +1)2=-94，综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值-14，当点M 的坐标为(-2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值-94．7(2023·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长是6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由椭圆的定义知△PF 1F 2的周长为2a +2c ，所以2a +2c =6，又因为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =c a =12，所以a =2c ，联立解得a =2，c =1，所以b =a 2-c 2=3，所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)若存在满足条件的点Q t ,0 .当直线l 的斜率k 存在时，设y =k x -1 ，联立x 24+y 23=1，消y 得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0.设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2x ，∵k QM +k QN =y 1x 1-t +y 2x 2-t =k x 1-1 x 2-t +k x 2-1 x 1-t x 1-t x 2-t =2kx 1x 2-k 1+t x 1+x 2 +2ktx 1x 2-t x 1+x 2 +t 2=k ⋅8k 2-243+4k 2-8k 21+t 3+4k 2+2t4k 2-123+4k 2-8k 23+4k2t +t 2=k ⋅8k 2-24-8k 21+t +2t 3+4k 24k 2-12-8k 2t +t 23+4k 2=6k t -44t -1 2k 2+3t 2-4，∴要使对任意实数k ，k QM +k QN 为定值，则只有t =4，此时，k QM +k QN =0.当直线l 与x 轴垂直时，若t =4，也有k QM +k QN =0.故在x 轴上存在点Q 4,0 ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.8(2023·全国·高三专题练习)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P 0,1 的动直线L 于椭圆相交于A ,B 两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为22．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)在y 上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)由已知可得，椭圆经过点±2，1 ，因此，2a 2+1b 2=1c a =22a 2=b 2+c 2,解得a =2，b =2，所以椭圆E 方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)设Q 点的坐标为0，y 0 ，当直线L 与x 轴垂直时，直线QA 与QB 的倾斜角均为90°，满足题意，此时y 0∈R ，且y 0≠1；当直线L 的斜率存在时，可设直线L 的方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +1x 24+y 22=1，得1+2k 2 x 2+4kx -2=0，其判别式△>0，∴x 1+x 2=-4k 21+2k 2，x 1x 2=-21+2k 2，∵直线QA ，QB 的倾斜角互补，∴k QA +k QB =0，∴y 1-y 0x 1+y 2-y 0x 2=0，即kx 1+1-y 0x 1+kx 2-y 0x 2=0，整理得2kx 1x 2+1-y 0 x 1+x 2 =0，把x 1+x 2=-4k 21+2k 2，x 1x 2=-21+2k 2代入得k y 0-2 =0，所以y 0=2，即Q 0，2 ，综上所述存在与点P 不同的定点Q 0，2 满足题意．题型三：存在点使两角度相等7(2023·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)的左右焦点分别为F 1、F 2，A ,B 分别为椭圆C 1的上，下顶点，F 2到直线AF 1的距离为3．(1)求椭圆C 1的方程；(2)直线x =x 0与椭圆C 1交于不同的两点C ,D ，直线AC ,AD 分别交x 轴于P ,Q 两点．问：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)△AF 1F 2中由面积公式得a ⋅3=b ⋅2c ，即3a =2a 2-1，得a 2=4，椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)如图，假设存在点R 使得∠ORP +∠ORQ =π2，设R 0,m ，∵∠ORP +∠ORQ =π2,∴∠ORQ =∠OPR ，即tan ∠ORQ =tan ∠OPR ，∴OQ OR=OR OP，即|OR |2=OP OQ ，直线x =x 0与椭圆C 1交于不同的两点C ,D ，易知C ,D 关于x 对称，设C x 0,y 0 ，则D x 0,-y 0 y 0≠±1,y 0≠0 ，由(1)知A 0,1 ，直线AC 的方程是y =y 0-1x 0x +1，令y =0得x P =-x0y 0-1，直线AD 方程是y =y 0+1-x 0x +1，令y =0得x Q =x 0y 0+1，由|OR |2=OP OQ ，得m 2=x 20y 20-1 ，又C x 0,y 0 在椭圆上，所以x 204+y 20=1，即x 204=1-y 20，∴m 2=4，即m =±2.所以存在点R 0,±2 ，使得∠ORP +∠ORQ =π2成立．8(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点A -2,0 且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设P ，Q 为椭圆C 上不同的两个点，直线AP 与y 轴交于点E ，直线AQ 与y 轴交于点F ，且P 、O 、Q 三点共线.其中O 为坐标原点.问：x 轴上是否存在点M ，使得∠AME =∠EFM ？若存在，求点M 的坐标，若不存在，说明理由.【解析】(1)依题意可得a =2，12×2c ×2b =4，又c 2=a 2-b 2，解得b =c =2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，则离心率e =c a =22(2)因为P 、O 、Q 三点共线，根据椭圆的对称性可知P 、Q 关于O 点对称，设点P x 1,y 1 ，则Q -x 1,-y 1 x 1≠±2 ，所以直线PA 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线AQ 的方程为y =-y 1-x 1+2x +2 ，所以点E 0,2y 1x 1+2 ，F 0,-2y 1-x 1+2．假设存在M 使∠AME =∠EFM ，∠MOE =∠FOM =90°，所以∠OMF =∠OEM ，又∠OEM +∠OME =90°，所以∠OME +∠OMF =90°，即ME ⊥MF ，所以ME ⋅MF=0，设M m ,0 ，则ME =-m ,2y 1x 1+2 ，MF =-m ,-2y 1-x 1+2，所以ME ⋅MF =m 2+-2y 1-x 1+2 ⋅2y 1x 1+2=0，即m 2+-4y 214-x 21=0，又x 214+y 212=1，所以x 21+2y 21=4，所以m 2-2=0，解得m =±2，所以M ±2,0 .9(2023·四川绵阳·模拟预测)已知点A 是圆C :x -1 2+y 2=16上的任意一点，点F -1,0 ，线段AF 的垂直平分线交AC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若过点G 3,0 且斜率不为O 的直线l 交(1)中轨迹E 于M 、N 两点，O 为坐标原点，点B 2,0 ．问：x 轴上是否存在定点T ，使得∠MTO =∠NTB 恒成立．若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)由圆C :x -1 2+y 2=16，可得圆心坐标为C (1,0)，半径r =4，如图所示，线段AF 的垂直平分线交AC 于点P ，所以PF +PC =PA +PC =4>FC =2，根据椭圆的定义可知点P 的轨迹是以F ,C 为焦点的椭圆，且2a =4,2c =1，可得a =2,c =1，则b =a 2-c 2=3，所以动点P 的轨迹方程为x 24+y 23=1.(2)由题意，设直线l 的方程为y =k (x -3)，且k ≠0，联立方程组y =k (x -3)x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2-24k 2x +36k 2-12=0，则Δ=576k 4-48(3+4k 2)(3k 2-1)>0，解得-155<k <155且k ≠0，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，所以x 1+x 2=24k 23+4k 2,x 1x 2=12(3k 2-1)3+4k 2根据椭圆的对称性，不妨令M ,N 在x 轴上方，且x 2>x 1，显然x 1<t <x 2，假设存在T (t ,0)使得∠MTO =∠NTB 恒成立，即tan ∠MTO =tan ∠NTB 恒成立，可得k MT =-k NT ，即k MT +k NT =0恒成立，即y 1t -x 1+y 2t -x 2=0恒成立，又由y 1t -x 1+y 2t -x 2=t (y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1t -x 1 t -x 2 =0，所以t (y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0，所以t=x1y2+x2y1y1+y2=x1(x2-3)+x2(x1-3)x1+x2-6=2x1x2-3(x1+x2)x1+x2-6=24(3k2-1)3+4k2-72k23+4k224k23+4k2-6=72k2-24-72k224k2-18-24k2=43，所以存在点T43,0，使得∠MTO=∠NTB恒成立，9(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>0)经过点-1,32，过点T3,0的直线交该椭圆于P，Q两点.(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)将-1,3 2代入椭圆方程，得到1a2+94×3=1，故a2=4，故椭圆方程为x24+y23=1.当直线PQ的斜率为0时，此时O,P,Q三点共线，不合要求，舍去；当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x=ty+3，与椭圆方程x24+y23=1联立，得3t2+4y2+63ty-3=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-63t3t2+4,y1y2=-33t2+4，则S△OPQ=12OP⋅y1-y2=12×3⋅y1+y22-4y1y2=32-63t3t2+42+123t2+4=32108t23t2+42+123t2+4=63t2+13t2+1+32=63t2+13t2+12+63t2+1+9=613t2+1+93t2+1+6≤6123t2+1⋅93t2+1+6=3，当且仅当3t2+1=93t2+1，即t=±63时，等号成立，故△OPQ面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为3x+2y-3=0或3x-2y-3=0.(2)在x轴上存在点S433,0使得∠PST=∠QST恒成立，理由如下：因为∠PST =∠QST ，所以k PS +k QS =0，即y 1x 1-s +y 2x 2-s=0，整理得x 2-s y 1+x 1-s y 2=0，即ty 2+3 y 1+ty 1+3 y 2-s y 1+y 2 =0，所以2ty 1y 2+3-s y 1+y 2 =0，则2t -33t 2+4 +3-s-63t 3t 2+4=0，解得s =433，故在x 轴上存在点S 433,0 ，使得∠PST =∠QST 恒成立.10(2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0过点1,22，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点P 3,0 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，x 轴上是否存在点Q 使得∠PQA +∠PQB =π，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵椭圆C 上顶点与右顶点的距离为3，∴a 2+b 2=3；又椭圆C 过点1,22 ，∴1a 2+12b 2=1；两式联立可解得：a 2=2，b 2=1，∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)当直线l 与x 轴不重合时，设其方程为x =ty +3，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由x =ty +3x 22+y 2=1得：t 2+2 y 2+6ty +7=0，则Δ=8t 2-7 >0，解得：t >7或t <-7，∴y 1+y 2=-6t t 2+2，y 1y 2=7t 2+2，假设存在点Q 使得∠PQA +∠PQB =π，即存在点Q 使得k QA +k QB =0，设点Q m ,0 ，则k QA +k QB =y 1x 1-m +y 2x 2-m=0，∴y 1x 2-m +y 2x 1-m =y 1ty 2+3-m +y 2ty 1+3-m =2ty 1y 2+3-m y 1+y 2=14tt 2+2-6t 3-m t 2+2=0，∴6t 3-m =14t ，又t ∈-∞,-7 ∪7,+∞ ，∴63-m =14，解得：m =23，∴Q 23,0 ；当直线l 与x 轴重合时，A ,B 分别为椭圆C 左右顶点，若Q 23,0 ，此时∠PQA +∠PQB =π显然成立；综上所述：x 轴上存在点Q 23,0 满足题意．11(2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点D 2,0 的距离等于点M 到直线x =1距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线l ：y =12x +t t ≥2 与曲线C 交于A ,B 两点，问曲线C 上是否存在两点P ,Q 满足∠APB =∠AQB =90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.【解析】(1)设M x ,y ，动点M 到点D 2,0 的距离等于点M 到直线x =1距离的2倍，所以x -22+y 2=2x -1 ，化简得x 22-y 22=1.所以曲线C 的方程为x 22-y 22=1.(2)存在两点P 263,-63 和Q -263,63 满足∠APB =∠AQB =90°.设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0联立直线与双曲线方程，有3x 2-4tx -4t 2-8=0，Δ=16t 2+124t 2+8 >0由韦达定理，有x 1+x 2=43t x 1x 2=-43t 2+2 ，PA =x 1-x 0,y 1-y 0 ，PB =x 2-x 0,y 2-y 0 ，PA ⋅PB =x 1-x 0 x 2-x 0 +12x 1+t -y 0 12x 2+t -y 0 =x 1x 2-x 1+x 2 x 0+x 20+12x 1+t 12x 2+t -12x 1+x 2 +2t y 0+y 20=x 20-43tx 0-103-83ty 0+y 20=x 20+y 20-103 -43x 0+83y 0t =0所以上式当x 20+y 20=1034x 0+8y 0=0时，上式恒成立，即过定点263,-63 和-263,63，经检验两点恰在双曲线C 上，且不与A ,B 重合，故存在双曲线上两点P ,Q 满足∠APB =∠AQB =90°.题型四：存在点使等式恒成立10(2023·福建漳州·统考模拟预测)已知R 是圆M ：x +3 2+y 2=8上的动点，点N 3,0 ，直线NR 与圆M 的另一个交点为S ，点L 在直线MR 上，MS ∥NL ，动点L 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若过点P -2,0 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且A ，B 都在x 轴上方，问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得△QAB 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.【解析】(1)圆M 的圆心为M -3,0 ，半径r =22，因为MS ∥NL ，所以△MSR ∽△LNR ，又因为MR =MS ，所以LR =LN ，所以LM -LN =LM -LR =MR =r =22<23=MN ，所以点L 在以M ，N 为焦点，22为实轴长的双曲线上，设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0,c =a 2+b 2 ，则2a =22，2c =23.所以a =2，c =3，b =1又L 不可能在x 轴上，所以曲线C 的方程为x 22-y 2=1y ≠0 .(2)在x 轴上存在定点Q -1,0 ，使得△QAB 的内心在一条定直线上.证明如下：由条件可设l ：x =my -2.代入x 22-y 2=1，得m 2-2 y 2-4my +2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则m 2-2≠0Δ=16m 2-8(m 2-2)>0，得m 2≠2，所以y 1+y 2=4m m 2-2>0,y 1y 2=2m 2-2>0所以y 1+y 2=2my 1y 2，取Q -1,0 ，则k AQ +k BQ =y 1x 1+1+y 2x 2+1=y 1my 1-2+1+y 2my 2-2+1=2my 1y 2-y 1+y 2 my 1-1 my 2-1 =0又A ，B 都在x 轴上方，所以∠AQB 的平分线为定直线x =-1，所以在x 轴上存在定点Q -1,0 ，使得△QAB 的内心在定直线x =-1上.11(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点B 0,b 且与直线BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且2F 1F 2 +F 2D =0．(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过B 、D 、F 2三点的圆恰好与直线l :x -3y -6=0相切，求椭圆Γ的方程；(3)设a =2．过椭圆Γ右焦点F 2且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)由题意知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，由2F 1F 2 +F 2D =0 得F 1是线段F 2D 的中点，故D -3c ,0 .又因为直线BD 与BF 2垂直，所以BF 1 =12DF 2 ，即b 2+c 2=a =12×4c =2c ，所以椭圆Γ的离心率为e =c a =12.(2)由(1)得过B 、D 、F 2三点的圆的圆心为F 1(-c ,0)，半径为r =2c .因为过B 、D 、F 2三点的圆恰好与直线l :x -3y -6=0相切，所以2c =-c -61+3，解得c =2.又a =2c ，所以a =4，从而b 2=12.故椭圆Γ的方程为x 216+y 212=1.(3)由(1)及a =2得c =1,b =3，F 2(1,0)，椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1.设直线l 方程为x =ty +1，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则M (x 1,-y 1)，联立x 24+y 23=1x =ty +1得(4+3t 2)y 2+6ty -9=0，Δ=36t 2+36(4+3t 2)>0，y 1+y 2=-6t 4+3t 2,y 1y 2=-94+3t 2.直线MQ 的方程为x -x 1=x 2-x1y 1+y 2(y +y 1)，令y =0得x =(x 2-x 1)y 1y 1+y 2+x 1=x 2y 1-x 1y 1+x 1y 1+x 1y 2y 1+y 2=x 2y 1+x 1y 2y 1+y 2=(ty 2+1)y 1+(ty 1+1)y 2y 1+y 2=2ty 1y 2+y 1+y 2y 1+y 2=2ty 1y 2y 1+y 2+1=2t ×(-9)-6t +1=4.故在x 轴上存在一个定点N (4,0)，使得M 、Q 、N 三点共线.12(2023·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得x P =4x T (其中x P ，x T 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知可设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1，椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则双曲线的一条渐近线方程为y =bax ，即bx -ay =0，故bc a 2+b 2=3，即b =3，又a 2-b 2a =12，解得a =2，所以双曲线方程：x 24-y 23=1，椭圆方程为：x 24+y 23=1；(2)设P x 0,y 0 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，A -2,0 ，B 2,0 ，P 、A 、N 三点共线，y 2x 2+2=tx 0+2，P 、B 、M 三点共线，y 1x 1-2=tx 0-2，相除：y 2x 1-2 x 2+2 y 1=x 0-2x 0+2，令x T =n -2<n <2 ，则设l MN ：x =my +n ，联立椭圆方程：x =my +n3x 2+4y 2-12=0⇒3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0，由T 在椭圆内，故Δ>0，所以y 1+y 2=-6mn 3m 2+4,y 1y 2=3n 2-123m 2+4，∴y 1y 2y 1+y 2=4-n 22mn ，y 2x 1-2 x 2+2 y 1=y 2my 1+n -2 y 1my 2+n +2 =my 1y 2+n -2 y 2my 1y 2+n +2 y 1=2mny 1y 2+2n n -2 y 22mny 1y 2+2n n +2 y 1=4-n 2y 1+y 2 +2n n -2 y 24-n 2 y 1+y 2 +2n n +2 y 1=2-n 2+n y 1+2-n y 2 2+n 2+n y 1+2-n y 2 =2-n 2+n ，若存在x P =4x T ，即x 0=4n ，2-n 2+n =x 0-2x 0+2=4n -24n +2，得n 2=1，又P 在第一象限，所以n =1，P 4,3 ；法二：P x 0,y 0 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，A -2,0 ，B 2,0 ，直线AP ：y =y 0x 0+2x +2 ，y =y0x 0+2x +2 3x 2+4y 2=12⇒3+4y 20x 0+2 2 x 2+16y 20x 0+2 2x +16y 20x 0+2 2-12=0，显然Δ>0，由-2x N =16y 20-12x 0+2 23x 0+2 2+4y 20，又因为P 在双曲线上，满足x 204-y 203=1，即4y 20=3x 20-12，所以-x N =8y 20-6x 0+2 23x 0+2 2+4y 20=6x 20-24-6x 0+2 23x 0+2 2+3x 20-12=-24x 0+2 6x 0x 0+2 =-4x 0，即x N =4x 0，同理BP ：y =y 0x 0-2x -2 ，可得x M =4x 0，所以x T =4x 0，若存在x P =4x T ，即x 0=4×4x 0，而P 在第一象限，所以x 0=4，即P 4,3 .12(2023·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点和右焦点分别为A ,F ，动点P 满足|PA |2+12|PF |2=92，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设点Q 在E 上，过Q 作C 的两条切线，分别与y 轴相交于M ,N 两点.是否存在点Q ，使得MN 等于E 的短轴长？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)依题意知，A -2,0 ,F 1,0 ，设P x ,y ，则由PA 2+12 PF |2=92，得(x +2)2+y 2+12(x -1)2+y 2 =92，即(x +1)2+y 2=1，∴曲线C 的方程为(x +1)2+y 2=1.(2)(方法一)设点Q x 0,y 0 ，则4y 20=12-3x 20，由题意知，QM ,QN 的斜率存在，不妨依次设为k 1,k 2，则直线QM 的方程为y -y 0=k 1x -x 0 ，即k 1x -y +y 0-k 1x 0=0，∵直线QM 与圆C 相切，∴-k 1+y 0-k 1x 0k 21+1=1,⋅即x 20+2x 0 k 21-2x 0+1 y 0k 1+y 20-1=0，同理，可得x 20+2x 0 k 22-2x 0+1 y 0k 2+y 20-1=0，显然k 1,k 2是方程x 20+2x 0 k 2-2x 0+1 y 0k +y 20-1=0的两根，∴Δ=4x 0+1 2y 20-4y 20-1 x 20+2x 0 =4x 20+4y 20+8x 0>0，即x 0≠-2,k 1+k 2=2x 0+1 y 0x 0x 0+2 ，k 1k 2=y 20-1x 0x 0+2 .设M 0,y 1 ,N 0,y 2 ，则y 1=y 0-k 1x 0,y 2=y 0-k 2x 0，∴MN =y 1-y 2 =k 2-k 1 x 0 =k 2+k 12-4k 1k 2x 0 =2x 0+1 y 0x 0x 0+2 2-4⋅y 20-1x 0x 0+2 x 0 =4x 20+4y 20+8x 0x 0+22=x 20+8x 0+12x 0+22=x 0+6x 0+2=1+4x 0+2,⋅由MN =1+4x 0+2=23，得x 0=-1811，由4y 20=12-3x 20，得y 0=±23011，∴存在点Q -1811,23011，或Q -1811,-23011 满足题意.(方法二)设点Q x 0,y 0 ,M 0,m ,N 0,n ,Q 在E 上，∴4y 20=12-3x 20，由题意知，QM ,QN 的斜率存在，分别为y 0-m x 0,y 0-nx 0，则直线QM 的方程为x 0y -y 0-m x -mx 0=0，∵直线QM 与圆C 相切，∴m x 0+1 -y 0x 20+y 0-m2=1，即x 20+2x 0 m 2-2y 0x 0m -x 20=0，同理，可得x 20+2x 0 n 2-2y 0x 0n -x 20=0，显然m ,n 是方程x 20+2x 0 t 2-2y 0x 0t -x 20=0的两根，∴m +n =2y 0x 0x 20+2x 0,mn =-x 20x 20+2x 0，∴MN =m -n =(m +n )2-4mn =4y 20x 20x 20x 0+22-4⋅-x 20x 0x 0+2 =6-3x 0x 0+2 +4x 0x 0+2 =x 0+6x 0+2=1+4x 0+2,由MN =1+4x 0+2=23，得x 0=-1811，.由4y 20=12-3x 20，得y 0=±23011，∴存在点Q -1811,23011 或Q -1811,-23011满足题意.13(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M 到点F 0,32 的距离比它到直线l ：y =-2的距离小12，记动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若过点F 的直线交E 于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，则在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得PA ，PB 分别交E 于另外两点C ，D ，且AB =3CD？若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为点M 到点F 0,32 的距离比它到直线l ：y =-2的距离小12，所以点M 到点F 0,32 的距离等于它到直线l ：y =-32的距离，则点M 的轨迹为以F 0,32 为焦点，以y =-32为准线的抛物线，则曲线E 的方程为x 2=6y .(2)设C x3,y 3 ,P x 0,0 x 0>0 ，由AB =3CD 得：AB ⎳CD ，且AB =3CD ，得PA =3PC ，即x 1-x 0,y 1 =3x 3-x 0,y 3 ，所以x 3=x 1+2x 03,y 3=y 13，代入抛物线方程x 2=6y ，得x 1+2x 03 2=6y 3=2y 1=x 213，整理得x 21-2x 0x 1-2x 20=0，同理可得x 22-2x 0x 2-2x 20=0故x 1,x 2是方程x 2-2x 0x -2x 20=0的两根，Δ=12x 20>0，由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=-2x 20①，由题意，直线AB 的斜率一定存在，故设直线AB 的方程为y =kx +32，与抛物线方程x 2=6y 联立可得x 2-6kx -9=0，易得Δ>0，由韦达定理可得x 1+x 2=6k ,x 1x 2=-9②，由①②可得x 0=322,k =22，故在x 轴的正半轴上存在一点P 322,0 满足条件.14(2023·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)过点M -3,0 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，点B 关于x 轴的对称点为B .问：平面内是否存在定点P ，使得B 恒在直线PC 上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.。

圆锥曲线中的存在性问题

第11讲圆锥曲线中的存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。

要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。

它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。

1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。

在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。

此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。

一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。

应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。

圆锥曲线中的证明与存在性问题

1 + 2 ｜ k －2 x 0｜.
1
1
2
同理，联立直线 BC 与抛物线 W 的方程，并消去 y 得 x ＋ x － x 0－ 02

＝0，且｜ BC ｜＝ 1 +
＝ 1+
1 1
2
+ 20 ，
1 2
−
·｜ x 2－ x 0｜＝

1+

1 2
1
−
·−

− 20
∴｜ AB ｜＋｜ BC ｜＝ 1 +
−4
−
3+2−6
−2
＝
9−6+18 −2 +4 3+2−6
，
−62 +4−8+24
−62 +4−8+24
＝ 2
＝ 2
2
9 +8 +6−12−36
9 +72−182 +6−12−36
2 −32 +2−4+12
−62 +4−8+24
｜，｜｜，｜｜成等差数列，并求该数列的公差.
(2)由题意得 F (1，0).设 P ( x 3， y 3)，
则( x 3－1， y 3)＋( x 1－1， y 1)＋( x 2－1， y 2)＝(0，0).
由(1)及题设得 x 3＝3－( x 1＋ x 2)＝1，
y 3＝－( y 1＋ y 2)＝－2 m ＜0.
圆锥曲线中的证明与存在性问题
考点一
例1
圆锥曲线中的证明问题
(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P

专题16 圆锥曲线中的存在性问题(解析版)

专题16 圆锥曲线中的存在性问题1．（2022·上海黄浦·二模）已知双曲线Γ：221412x y -=，F 为左焦点，P 为直线1x =上一动点，Q 为线段PF与Γ的交点．定义：||()||FP d P FQ =． (1)若点Q()d P 的值；(2)设()d P λ=，点P 的纵坐标为t ，试将2t 表示成λ的函数并求其定义域； (3)证明：存在常数m 、n ，使得()||md P PF n =+．【答案】(1)5(2)223612075t λλ=-+，5,+2λ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭(3)证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出Q 点的坐标，即可得到直线PF 的方程，从而求出P 点坐标，即可得解；（2）设点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，由FP FQ λ=，即可得到Q x 、Q y ，代入椭圆方程整理可得；（3）当点P 不在x 轴上时，过Q 作x 轴的垂线，垂足为Q '，设直线1x =与x 轴的交点为P '，点Q 的坐标为(,)Q Q x y ．依题意可得()(||)n d P m QF =-又5()4Q d P x =+，再由距离公式求出QF ，即可得到5(6)104Q m n x -=++，从而求出m 、n 的值，再计算点P 在x 轴上时的情形，即可得证； (1)解：由题意，点F 的坐标为(4,0)-，将y =221412x y-=中，可得221412x -=，所以3x =±，不妨取Q的坐标为(-，于是直线PF的方程为4)y x =+．将1x =代入直线PF 的方程，得点P的坐标为．因此||()5||FP d P FQ ==． (2)解：由题意，点F 的坐标为(4,0)-，点P 的坐标为(1,)t ．设点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，由FP FQ λ=，0λ>，又()5,FP t =、()4,Q Q x F y Q +=，即()()5,4,Q Q x t y λ+=，所以54Q Q x ty λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入双曲线方程221412x y -=，得2253412t λλ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得223612075t λλ=-+．由20t ≥，即236120750λλ-+≥，结合0λ>，解得506λ<≤或52λ≥．又2Q x ≤-，即542λ-≤-，结合0λ>，解得52λ≥．因此223612075t λλ=-+，5,+2λ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭．(3)证明：点F 的坐标为(4,0)-．当点P 不在x 轴上时，过Q 作x 轴的垂线，垂足为Q '．设直线1x =与x 轴的交点为P '，点Q 的坐标为(,)Q Q x y ．()||md P PF n =+，即()||()(||)n md P PF d P m QF =-=-．||||5()||||4Q FP FP d P FQ FQ x '==='+．由Q 为线段PF 与Γ的交点，得点Q 的坐标(,)Q Q x y 满足方程221412x y -=，即221412Q Q x y -=．于是||QF 2|1|Q x +，又2Q x <-，故||2(1)Q QF x =-+．于是55(6)()(||)2(1)1044Q Q Q m n d P m QF m x x x -⎡⎤=-=++=+⎣⎦++．故存在常数6m =、10n =，使得()||md P PF n =+．当点P 在x 轴上时，()1,0P ，()2,0Q -，()4,0F -，所以5FP =，2FQ =，即||5()||2FP d P FQ ==，所以6()10d P PF ⨯=+，即上述结论亦成立．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b +=（a >b >0AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k +=时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y +=(2)存在，()2,4-- 【解析】【分析】（1）由题意求出,,a b c ，即可求出椭圆M 的方程.（2）设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线l 的方程与椭圆方程()()222242x y x -+=--，得()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，则12114114n k k m +=-=+，化简得14m n +=-，即可求出直线l 恒过的定点. (1)因为22221x y a b +=（a >b >0222b a =，所以a ＝2，c =b M 的方程为22142x y +=.(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，由椭圆的方程2224x y +=，得()()222242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程，得()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+，即()()()221424220m x n x y y +-+-+=，()22214420x x m ny y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，所以12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+，化简得14m n +=-，代入直线l 的方程得()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，即()1214m x y y ---=，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点()2,4--. 3．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程．【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或:1l x y =+ 【解析】【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解. (1)因为(1,0)F ，令1x =，得21143y+=，所以32y =±，所以||3AB =(2)设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，21y y -==211122AOBSOF y y =⋅-=t =，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到，即AOB 面积的最大值为32；(3)①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=，所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234Mm y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+，因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．① 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =．综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析【解析】【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. (1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =，即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+，取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭，可得直线1A P的方程为y x =+，直线2A Q的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ，若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y y x =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-，因为00y y '=，即0S 与0S '重合，所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.5．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F Γ+=：，，是左、右焦点．设M 是直线()2l x t t =>：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆Γ于()0N N y ≥．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58⎫⎪⎪⎝⎭，，求四边形2PMNF 的面积； (2)若PN 与椭圆Γ相切于N 且1214NF NF ⋅=，求2tan PNF ∠的值；(3)作N 关于原点的对称点N '，是否存在直线2F N ，使得1F N '上的任一点到2F N 求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(3)存在；y x =；126N ⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点斜式方程可得1:MF l y x =，再联立椭圆方程得到12N ⎫⎪⎭，再根据2112PMNF PF M NF F S S S =-△△求解即可；（2）设:()PN l y k x t =-，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到2214k t =-，再根据1214NF NF ⋅=，化简可得t =12N ⎫⎪⎭，再根据直角三角形中的关系求解2tan PNF ∠的值即可；（3）设()00,N x y ，表达出2NF l，再根据22O NF d -=列式化简可得2148k =，结合k =程即可求得N 和直线2F N 的方程 (1)由题意，()1F，故15MF k ==，所以1:MF l y x =与椭圆方程联立2214x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得：213450x +-=，即(130x x +=，又由题意N x >，故解得x =12N ⎫⎪⎭，故121122NF F S =⋅=△且11528PF M S ==△则2112PMNF PF M NF F S S S =-=△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得：()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，()22216140k k t∆=+-=，则2214kt =- 同时有韦达定理21228214N k t x x x k +==+，代入2214k t =-有2244414Ntt x t -=+-，化简得4N x t =，故2222414N Nx t y t-=-=而222122122134N Nt NF NF x y t -⋅=+-==，解得2t =>则12N ⎫⎪⎭，所以2NF x ⊥轴，故在直角三角形2PNF中，2223tan 12PF PNF NF ∠===(3)由于N 与N '，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知四边形12F NF N '是平行四边形，则2NF 与1N F '是平行的，故1F N '上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离d ．设()00,N x y，其中0(x ∈，易验证，当0x 时，2NF 与1N F '之间的距离为k =2(:NF y l k x =，即0kx y -=，发现当0x22O NF d d -==221914k k =+，整理得2148k =代入k =(220048y x =，代入220014x y =-整理得20013450x --=，即(00130x x -=由于0(x ∈，所以0x =126N ⎫⎪⎪⎝⎭，故1k =，则2F N l的直线方程为y x =6．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在①ABC 中，()2,0B -，()2,0C ，动点A满足AB =90ABC ∠>︒，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ． (1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线(x m m =>交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线3x m=交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， ①求证：123k k k +是定值． ①若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使1236k k k ++=若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2213x y x -=>(2)①证明见解析；①存在；m =【解析】【分析】（1）利用几何知识可得PB PC BC -=<，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求1k ，2k ，3k ，利用韦达定理证明；①根据①结合题意求Q 的坐标，代入双曲线方程运算求解． (1)①90BAC ∠>︒，①AC 的垂直平分线交BA 的延长线于点P ．连接PC ，则PC PA =，①PB PC PB PA AB BC -=-==，由双曲线的定义知，点P 的轨迹E 是以()2,0B -，()2,0C为焦点，实轴长为除外），2c =，a =1b =，①E的方程是(2213x y x -=>．(2)①证明：由已知得(),0D m ，()0,Q m y ，满足22013m y -=，设直线l 方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213x ty m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2223230t y mty m -++-=， 12223mt y y t +=--，212233m y y t -=-，1010011111y y y y y k x m ty t ty --===--，同理0221y k t ty =-，①000012122212122112221233y y y my y y mt k k t t y y t t y y t t m t m ⎛⎫+-⎛⎫+=-+=-⋅=-⋅=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对x ty m =+，令3x m =，得23k m y tm-=， ①233,m K m tm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，200323133m y my tm k m t m m -+==+--， ①1232k k k +=， ①1232k k k+=是定值．①假设存在m 的值，使1236k k k ++= 由①知，1232k k k +=，则123336k k k k ++==， ①32k =，直线QK 的方程为()02y y x m -=-，令3x m=，得032K y m y m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；直线l 的斜率为1，直线l 的方程为x y m =+，令3x m =，得3K y m m=-； ①0332m y m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，①03y m m=-，代入22013m y -=，得22313m m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得，42215270m m -+=，解得292m =，或23m =（①m >①m =，存在m ，使1236k k k ++=．7．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知①ABC 的顶点()4,0A -，()4,0B ，满足：9tan tan 16A B =． (1)记点C 的轨迹为曲线Γ，求Γ的轨迹方程；(2)过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与Γ相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()2214169x y x +=≠±(2)90,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),C x y ，用坐标表示 9tan tan 16A B =，即可整理出Γ的轨迹方程；（2）设直线l 为2y kx =+，先讨论0k =，结合条件，由对称性易得点N 在y 轴上；再讨论0k ≠，此时结合条件以及角平分线定理可得y 轴为PNQ 的平分线，即0NP NQ k k +=，最后联立方程组()22214169y kx x y x =+⎧⎪⎨+=≠±⎪⎩，整理出1212,x x x x +，即可联立解出N 的纵坐标，即可得结果 (1)设(),C x y ，则9tan tan 4416y y A B x x =⋅=+-，整理得221169x y +=，故Γ的轨迹方程为()2214169x y x +=≠±； (2)设直线l 为2y kx =+，当0k =时，可得点P ，Q 关于y 轴对称，可得MQ MP =，要使NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立，即1NP MPNQ MQ==成立，即点N 在y 轴上，可设为()0,,2N a a ≠.当0k ≠时，联立方程组()22214169y kx x y x =+⎧⎪⎨+=≠±⎪⎩，整理得()2291664800k x kx ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212226480,916916k x x x x k k --+==++，要使NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立，即NP MP NQMQ=成立，由角平分线定理则只需使得y 轴为PNQ 的平分线，即只需0NP NQ k k +=，即()()()()1221122112120220y a y ax y a x y a x kx a x kx a x x --+=⇒-+-=+-++-=，即()()()()121222806422220288640916916kkx x a x x k a a k k k--+-+=⋅+-⋅=⇒-+=++，解得92a =，综上可得，存在与M 不同的定点90,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，使得NP MQ NQ MP ⋅=⋅恒成立8．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =，离心率为12，过点()3,0M 的直线l 与椭圆C 顺次交于点Q ，P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定直线:l x t '=与直线2A P 交于点G ，使1A ，G ，Q 共线．【答案】(1)22143x y += (2)存在4:3l x '=满足条件，分析见解析. 【解析】【分析】(1)由条件列关于,,a b c 的方程，解方程可得椭圆C 的方程；(2)联立方程组，利用设而不求结论求直线2A P ，1A Q 的交点，由此确定l '的方程.(1)①124A A =，所以24a =，故2a =， ①12c e a == ①1c =，又222a b c =+，所以23b = ①椭圆C 的方程为①22143x y +=(2)由已知可得直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为3x my =+2233412x my x y =+⎧⎨+=⎩得：()223418150m y my +++=， ()()()2221841534169150m m m ∆=-⨯+=->．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221834m y y m +=-+，1221534y y m =+ ①()121256my y y y =-+ ()22,0A ，()11,P x y ，()121:22y A P y x x =-- ()12,0A -，()22,Q x y ，()212:22y AQ y x x =++ 令()()12122222y yx x x x -=+-+ ①()()()()21121212121211222152525526651522166y y y x y my my y y x x y x y my my y y y y -+++++=====---++-， ①43x =①存在直线4:3l x '=满足题意 9．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知1(2,0)F -，2(2,0)F 为椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，且A 5(2,)3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线2y x t =-+与抛物线22(0)y px p =>相交于,P Q 两点，射线1F P ，1F Q 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p D ∈时，总存在实数t ，使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22195x y +=(2)存在，(5,)D =+∞，证明见解析【解析】【分析】（1）求出点A 5(2,)3到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得3a =，结合222=b a c -可得2b ，从而可得椭圆的方程；（2）直线l 与抛物线联立，结合判别式有40p t +>，要使得点1F 在以线段MN 为直径的圆内，根据题意，有110F P F Q ⋅<，结合韦达定理可得5p >，从而可证明问题. (1)由题意知2c =，5(2,)3A 为椭圆上的一点，且2AF 垂直于x 轴，则253AF =，1133AF ==，所以122135336a AF AF =+==+，即3a =，所以222=32=5b -，故椭圆的方程为22195x y +=；(2)l 方程为2y x t =-+，联立抛物线方程，得222y pxy x t⎧=⎨=-+⎩，整理得20y py pt +-=，则240p tp ∆=+>，则40p t +>①，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则12y y p +=-，12y y pt =-，则212122212(,4)24y y px t t x x x p +=+== ，由1F 的坐标为(2,0)-，则11(2F P x =+，1)y ，12(2F Q x =+，2)y ，由1F M 与1F P 同向，1F N 与1FQ 同向，则点1F 在以线段MN 为直径的圆内，则110F M F N ⋅<，则110F P F Q ⋅<，则1212(2)(2)0x x y y +++<，即1212112()40x x x x y y ++++<，则22()4042t p t pt +++-<，即2(2)404t p t p +-++<①，当且仅当21(2)4(4)04p p ∆=--⨯+>，即5p >，总存在t 4p>-使得①成立，且当5p >时，由韦达定理可知2(2)404t p t p +-++=的两个根为正数，故使①成立的0t >，从而满足①，故存在数集(5,)D =+∞，对任意p D ∈时，总存在t ，使点1F 在线段MN 为直径的圆内．10．（2022·江西师大附中三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，O 为坐标原点，若OMF 的面积为12．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 点恰为PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)2212x y +=(2)存在；43y x =-【解析】【分析】(1)根据题意和椭圆离心率的定义可得c b =，由三角形的面积公式可得1122bc =，即可求出2212b a ==，；(2)设直线()()1122:,,l y x m P x y Q x y =+、、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212+、x x x x 和12y y ，结合垂心的定义可得0QF MP ⋅=，根据平面向量数量积的坐标表示列出关于m 的方程，解之即可. (1)依题意得，222112b e a =-=，即a ，则c b =，又1122OMFSbc ==，则2212b a ==，，所以所求椭圆的方程为2212x y +=．(2)由（1）知(0,1)(1,0)M F ，，故直线MF 的斜率为1MF k =-．若符合题意的直线l 存在，可设直线()()1122:,,l y x m P x y Q x y =+，，，由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得2234220x mx m ++-=，则()22(4)12220m m =-->，即m <又2121242233m m x x x x -+=-=，，则()2212121223m y y x x m x x m -=+++=，由F 点恰为PQM 的垂心等价于QF MP ⊥，即0QF MP ⋅=．由于()()22111,,1QF x y MP x y =--=-，，故 ()()22121121212411033m QF MP x x y y x x m x x y y m ⋅=---=++--=--+=，所以43m =-或1m =．当1m =时，直线PQ 经过点M ，此时不构成三角形，故舍去．故直线l 的方程为43y x =-．11．（2022·江苏·()2222:10x y M a b a b +=>>的左右顶点分别为A ､B ，P 是椭圆M 上异于A ､B 的一点，直线AP ､BP 分别交直线:4l x =于C ､D 两点.直线l 与x 轴交于点H ，且36AH AC ⋅=.(1)求椭圆M 的方程；(2)若线段CD 的中点为E ，问在x 轴上是否存在定点N ，使得当直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出点N 的坐标及NP NE k k ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214x y +=(2)(1,0)N ，13NP NE k k =-⋅ 【解析】【分析】（1）先由36AH AC ⋅=求出AM 的方程；（2）设出,P N 坐标，表示出直线AP ､BP 的方程求得C ､D 两点坐标，进而求得E 坐标，表示出NP NE k k ⋅，由P 是椭圆M 上的一点化简得()()()0014NP NE x n n k x k =--⋅--，即可求解.(1)由题意知：2cos 36AH AC AH AC CAH AH ⋅=⋅∠==，则6AH =，又(4,0)H ，则(2,0)A -，故2a =-，又离心率为c a =c =2221b a c =-=，故椭圆M 的方程为2214x y +=；(2)易得(2,0),(2,0)A B -，设00(,)P x y ，(,0)N n ，由直线NP ､NE 的斜率NP k ､NE k 存在知0,4n x n ≠≠，又直线AP ､BP 斜率必存在，则直线00:(2)2y AP y x x =++，令4x =，得0062y y x =+，则006(4,)2y C x +，直线00:(2)2y BP y x x =--，令4x =，得0022y y x =-，则002(4,)2y D x -，又00000002062224424y y x x x y y x ++--=-，则00020444,4x y y E x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则()()()200000200002014444444NP NEk n n x y x y y x x k n x y x n -⋅--=⋅=---⋅--，又P 是椭圆M 上的一点，则220014x y +=，即220044y x =-，故()()()0014NP NE x n n k x k =--⋅--，故当1n =时，NP NE k k ⋅为定值13-，此时(1,0)N .12．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线y t =与第（1）问的曲线C 交于不同的两点E 、F ，以线段EF 为直径作圆D ，圆心为D ，设(),G G G x y 是圆D 上的动点，当t 变化时，求G y 的最大值；(3)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得PAB △与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)()22341,1x y x y +=≠±≠±(2)G y =(3)存在，53P ⎛ ⎝⎭或5,3P ⎛ ⎝⎭ 【解析】【分析】（1）设P 点坐标，根据所给的条件列方程即可求解；（2）由于椭圆的对称性，圆D 的圆心必定在y 轴上，G 点纵坐标的最大值必定在y 轴上，立方程解出G y 的解析式，求导即可；（3）作图，运用弦长公式和三角形面积公式即可求解. (1)设(),P x y ，依题意有()1,1B - ，13AP BP k k =- ，即111113y y x x -+=-+- ，整理得：221443x y += 或2234x y +=()1,1x y ≠±≠± ； (2)当y t =时，x =，即圆D，当G y 最大时，必有G yt =，'Gy =，当t =时，'0G y = ，当0t ＜时，'0G y ＞ t时，'0G y ＜，在t =时，G y 取最大值； (3)设(),P m n ，APB MPN ∠=∠ ，当APBMPNSS= 时，有AP BP MP NP = ,由弦长公式得221,13AP AP m MPk m =+=+- ，21,13BP BP m NP k m =-=+- ， ①2213m m -=- ，()22513,3m m m -=±-= ，此时n = ，点P的坐标为53⎛ ⎝⎭ 或5,3⎛ ⎝⎭; 综上，轨迹C 的方程为2234xy +=()1,1x y ≠±≠± ，G y 取最大值存在，P 53⎛ ⎝⎭ 或P 5,3⎛ ⎝⎭. 13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点⎛ ⎝⎭，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m =时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22142x y +=；(2)不存在；理由见解析. 【解析】【分析】（1）利用点差法，结合代入法进行求解即可；（2）利用假设法、点差法，根据点关于直线对称的性质、点与椭圆的位置关系进行求解即可. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，即121212OM y y k x x +==-+．因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-，又12121AB y y k x x -==-，所以221102a b-=，即222a b =．又因为椭圆C过点⎛ ⎝⎭，所以221123a b +=，解得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=； (2)由题意可知，直线l 的方程为1y x =+．假设椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，设()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 的中点为()00,N x y ，所以3402x x x +=，3402y y y +=，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-且点N 在直线l 上，即001y x =+．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以2233142x y +=，2244142x y +=，两式相减得()()()()34343434042x x x x y y y y +-+-+=，即()()()34343434042y y y y x x x x +-++=-，所以343442x x y y ++=，即002x y =．联立000021x y y x =⎧⎨=+⎩，解得0021x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,1N --．又因为()()2221142--+>，即点N 在椭圆C 外，这与N 是弦PQ 的中点矛盾，所以椭圆C 上不存在点P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，不过原点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两不同点，交x 轴的正半轴于点D ．(1)当ADF 为正三角形时，求点A 的横坐标； (2)若||||FA FD =，直线1//l l ，且1l 和C 相切于点E ； ①证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；①ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)证明见解析，定点为（1,0），最小值为16 【解析】【分析】（1）根据抛物线C 的方程，可以求得焦点坐标，由ADF 是正三角形，设点A 和D 的坐标，可以求解；（2）过点A ，作准线的垂线，得垂足P ，构造平行四边形，设A 点的坐标，以A 点的纵坐标为参变量，分别计算直线1l ，AE ，AB 的方程以及三角形AEB 的面积即可. (1)①24,24,12py x p === ，①抛物线焦点坐标F （1,0），准线方程为x =-1，设A (a ，t )，D (m ，0)，因为ADF 是正三角形，必有()1112a m m a ⎧--=-⎪⎨+=⎪⎩，解得3a = ，即A 点横坐标为3； (2)如图，设A 点在第一象限，过A 点作准线x =-1的垂线，得垂足P ，连接PF ，AF FD AP == ，//AP FD ， ①四边形APFD 是平行四边形，//PF AD ，设A (a ，t )()0,0a t ＞＞，则P (-1，t )，直线PF 的斜率为112t tk ==--- ，设1l 的方程为2t y x b =-+ ，联立方程242y xty x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得：2880y y b t t +-= ，因为1l 是抛物线C 的切线，28320bt t ⎛⎫∴∆=+= ⎪⎝⎭，2b t =- ，4y t =- ，24x t= ，即E 点的坐标为244,tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，直线AE 的方程为：224444t t y x t t a t ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+=- ⎪⎝⎭- ，其中24t a = ，化简得：()2414ty x t =--，故AE 过定点F （1，0）；直线l 的方程为：()2t y t x a -=-- ，化简得：328t t y x t =-++ ，联立方程32284t t y x t y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22880y y t t +--= ， 212128,8y y y y t t+=-=-- ，1242y y t t ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭，即A ，B 两点的纵坐标之差的绝对值为42t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，过E 点作x 轴的平行线交l 于H 点，则22842,4t H tt ⎛⎫++-⎪⎝⎭ ，22424t EH t =++ ，用铅垂高水平底的方法计算三角形AEB 的面积，2122114422224AEBt SEH y y t t t ⎛⎫⎛⎫=-=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322162t t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭ ，当且仅当t =2时等号成立，AEBS的最小值为16；综上，A 点的横坐标为3，直线AE 过定点F （1,0），三角形AEB 的面积最小值为16.15．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为等轴双曲线()2222:10,0x ya b a bΓ-=>>的左、右焦点，若点A 为双曲线右支上一点，且12||||AF AF -=2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线Γ交于P ，Q 两点．(1)若1122(,),(,)A x y B x y ，求证：()1221214x y x y y y -=-； (2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k ，试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理出．【答案】(1)证明见解析； (2)定值，7. 【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线AD 的方程为()1122y y x x =++，与双曲线联立得111138,33x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理得222238(,)33x y Q x x ---++，由斜率公式及（1）中的结论可得结论. (1)由等轴双曲线知离心率ce a==12||||2AF AF a -=，及222c a b =+，可得2228,8,16a b c ===，所以双曲线方程为22188x y -=，2(4,0)F . 当直线AB 的斜率不存在时，124x x ==，()12212121444x y x y y y y y -=-=-，直线AB 的斜率存在时，22AF BF k k =，121244y y x x =--，整理得()1221214x y x y y y -=-，综上所述，()1221214x y x y y y -=-成立； (2)依题意可知直线AD 的斜率存在且不为0，设直线AD 的方程为()1122y y x x =++，代入双曲线228x y -=并化简得：()()()2222211122820x x y x x +-+-+=，①由于22118x y -=，则22118y x =-代入①并化简得：2221111(412)4(8)12320x x x x x x +----=，设00(,)P x y ，则21110121101338,38x x x x x x x x x -=-+=-++，解得101383x x x --=+，代入()1122y y x x =++，得1013y y x -=+，即111138,33x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理可得222238(,)33x y Q x x ---++，所以()()21122121212211221333383833y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++()()()212121112124377y y y y y y k x x x x -----==-⋅=--，所以217k k =是定值. 16．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）如图，过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 的直线1l 交抛物线于第一象限的点()02,Q y ，且3QF =，过点()(,00)P a a >（不同于焦点F ）的直线2l 与抛物线E 交于A ，B ，过A 作抛物线的切线交y 轴于M ，过B 作MP 的平行线交y 轴于N ．(1)求抛物线方程及直线1l 的斜率；(2)记1S 为,AM BN 与y 轴围成三角形的面积，是否存在实数λ使1=OABS S λ，若存在，求出实数λ的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)24y x =；(2)存在；2λ= 【解析】【分析】（1）由焦半径列出方程，求出2p =，得到抛物线方程，从而得到Q 点的坐标，求出直线1l 的斜率；（2）设出()2,2A t t ，得到切线2:=+AM ty x t ，得到(0,)M t ，设过P 的直线为x ny a =+，与抛物线联立，利用韦达定理得到222,⎛⎫- ⎪⎝⎭a a B tt ，表达出直线BN 方程，得到0,⎛⎫- ⎪⎝⎭a N t ，表达出OABS与1S ，求出实数λ的值.(1)由焦半径公式得：3222pQF p ==+⇒=， ①24y x =①0y =， ①(1,0)F ，①直线1l =(2)存在；2λ=，理由如下：设()2,2A t t ，切线2:(2)-=-AM m y t x t与抛物线联立得224840-+-=y my mt t ，由相切得0∆=⇒=m t ，得2:=+AM ty x t ①，令0x =得：y t =，所以(0,)M t设过P 的直线为x ny a =+，与抛物线联立得2440y ny a --=，由韦达定理4=-A B y y a ，得222,⎛⎫- ⎪⎝⎭a a B tt ，又①=-MP tk a， ①222:⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭a t a BN y x t a t ①，令0x =得：a y t =-，故0,⎛⎫- ⎪⎝⎭a N t将①①联立，解得：x a =- 111||||22⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭a S MN a a t t ， 112||222⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭OABB A a SOP y y a t t 所以12=OABSS ，即存在实数2λ=使1=OABSS λ．17．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，()11,A x y ，()22,C x y 为Γ上不同的两点，且122x x +=，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)证明：AF ，BF ，CF 成等差数列；(2)试问：x 轴上是否存在一点D ，使得DA DC =？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)存在，1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)分别考虑直线AC 的斜率存在时和不存在时证明+=2AF CF BF 即可；(2)当直线AC 的斜率存在时，设存在点D ，使得DA DC =，记AC 的中点为M ，由此可得1MD k k ⋅=-，结合(1)解方程求出D 的坐标，再检验直线AC 的斜率不存在时点D 是否满足要求. (1)当直线AC 斜率不存在时，:1AC x =．不如令31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0F ．①32AF =，32BF =，32CF =，①AF ，BF ，CF 成等差数列；当直线AC 的斜率存在时，设:AC y kx m =+．由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，①1228234km x x k +=-=+． ①()()111442AF e x x =-=-，()()221442CF e x x =-=-， ①()1214322AF CF x x BF +=-+==，①AF ，BF ，CF 成等差数列． (2)当直线AC 的斜率存在时设(),0D n ，AC 的中点为00(,)M x y ． ①DA DC =，①DM AC ⊥．①0120121222,222,x x x y y y kx m kx m k m =+=⎧⎨=+=+++=+⎩①001,,x y k m =⎧⎨=+⎩ ①001MD y k m k x n n +==--，①1MD k k ⋅=-，即11k m k n+⋅=--，①21k km n +=-．由（1）知24430k km ++=，①234k km +=-，①314n -=-，①14n =，①存在点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DA DC =．当直线AC 的斜率不存在时，显然点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，满足DA DC =．故总是存在点1,04D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DA DC =．18．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =.(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AM AN BMBN=恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)24y x = (2)存在，()4,0M - 【解析】【分析】（1）由焦半径公式代入求解p ，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解. (1)Q 在曲线C 上，则202p px =，则02px =，而022pQF x p ==+=，故抛物线C 的方程为24y x =. (2)易知直线AB 的斜率不为0，故设()()()1122:,,,,,,0AB l x ty n A x y B x y M m =+联立：224404x ty ny ty n y x =+⎧⇒--=⎨=⎩，故12124,4y y t y y n +==-.222121244y y x x n =⋅=，因为OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-= 则4n =或0n =（舍），故()4,0N . 因为,M N 都在x 轴上，要使得AM AN BMBN=，则x 轴为AMB ∠的角平分线，若1mx ，则AM 垂直于x 轴，x 轴平分AMB ∠，则BM 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为4x =，此时4m n ==，而,M N 相异，故1m x ≠，同理2m x ≠ 故AM 与BM 的斜率互为相反数，即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+ ()()1221121212442324444ty y ty y ty y t m y y y y t +++-⇒==+=+=-++为定值. 故当()4,0M -时，有AM AN BMBN=恒成立.19．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 为线段1F O 的中点，过2F 的直线l 与C 的右支交于()()1122,,,M x y N x y 两点，延长,MD ND 分别与C 交于点,P Q 两点，若C(为C 上一点. (1)求证：()1221212x y x y y y -=-；(2)已知直线l 和直线PQ 的斜率都存在，分别记为121,,0k k k ≠，判断21k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)217k k =. 【解析】【分析】（1）根据题意求出22,a b ，即可求得双曲线的方程，分直线l 斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，有122x x ==，代入左边即可验证得到右边，斜率存在时结合22MF NF k k =化简整理即可得证；（2）设直线MD 的方程为()1111y y x x =++，与双曲线方程联立求得点P 的坐标，同理可求得点Q 的坐标，进而表示出2k ，结合（1）的结论即可得出结论. (1)证明：由题意得：22222971ca abc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得2222,4a b c ===，所以双曲线C 的方程为22122x y -=，则()()122,0,2,0F F -，当直线l 的斜率不存在时，则122x x ==，此时()12212121222x y x y y y y y -=-=-，当直线l 的斜率存在时，因为22MF NF k k =，即121222y y x x =--，整理得()1221212x y x y y y -=-，综上所述，()1221212x y x y y y -=-； (2)解：因为点D 为线段1F O 的中点，所以()1,0D -，显然直线MD 的斜率存在且不为0，可设直线MD 的方程为()1111y y x x =++，联立()112211122y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()22222211111112122420x x y x y x y x x ++------=，又2211122x y -=，所以22112y x =-，所以()()22211112322340x x x x x x +----=，设()00,P x y ，则2111013423x x x x x --=+，所以1013423x x x --=+，代入()1111y y x x =++，得10123y y x -=+，即111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理222234,2323x y Q x x ⎛⎫---⎪++⎝⎭，所以()()2112212121221122123232334342323y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++，又因()1221212x y x y y y -=-，所以()()()122121211212122377k x x y x y y y k x x y y x ------===--，即217k k =是定值.20．（2022·辽宁大连·二模）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，且32OP PF ==. (1)抛物线E 的标准方程；(2)如图所示，过点(,0)M t 和点(2,0)(26)N t t ≤≤分别做两条斜率为k 的平行弦分别和抛物线E 相交于点A ，B 和点C ，D ，得到一个梯形ABCD .记梯形两腰AD 和BC 的斜率分别为1k 和2k ，且12120k k k k +-=.（i ）试求实数k 的值；（ii ）若存在实数λ，使得OAB ABCD S S λ=梯形△，试求实数λ的取值范围. 【答案】(1)24y x =(2)（i ）2；（ii ）1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】(1)设点00(,)P x y ，根据题意和抛物线的定义求出p 的值即可；(2)设点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 、44(,)D x y ，根据两点求直线斜率公式可得12k k k 、、的表达式，结合题意列出关于k 的方程，求出k ，进而得出直线AB 的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出AB CD 、，由点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，求出梯形ABCD 的面积，得到λ与t 的关系式，结合t 的范围计算即可. (1)设点00(,)P x y ，①32OP PF ==，①04px =，①3422p p PF =+=，①2p =，所以抛物线E 的标准方程为24y x =.(2)(i)设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则212122212112444y y y y k y y x x y y --===-+-，同理：1144k y y =+，2234k y y =+，344k y y =+. 又因为12120k k k k +-=，所以12111k k +=，即2314144y y y y +++=，所以12344y y y y +++=，即444k k+=，①2k =.（ii ）由（i ）得：:2()AB y x t =-代入24y x =可得：2240y y t --=，所以12AB y =-==O 到直线AB的距离为d =.①1122OAB S AB d =⋅⋅==△同理可求得：CD = ①()1122ABCD S AB CD d t =+⋅==梯形，①λ=⋅11λ===①26t ≤≤，①1215λ≤≤. 综上，实数λ的取值范围为1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

圆锥曲线存在性问题确定的1．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．340x y ±= B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=2. 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（+）•＝0（其中O 为坐标原点），且||＝||，则双曲线离心率为．3. 设F 是双曲线C ：﹣＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为．4. 已知F 1，F 2分别是椭圆+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA |＝|MO |，则椭圆的离心率为．5．设F 1，F 2分别是双曲线﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，O 为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P ，使•＝0，且||＝||，则双曲线的离心率为（） A ．1±B ．1+C ．2D ．6．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．27．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A．B．或2 C． 2 D．8．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，则曲线C的离心率等于．9．设F1，F2是双曲线的左右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）1A．B．C．D．3范围角问题1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．2．设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2＝120°，椭圆离心率e的取值范围为．3．设A、B是椭圆22:13x yCm+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足120AMB∠=︒，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞4．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线l 1，l 2交于点O 且相互垂直，l 1与C 交于点A 1，B 1，l 2与C 交于点A 2，B 2，若使得|A 1B 1|＝|A 2B 2|成立的直线l 1，l 2有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（） A ．（1，2] B ．（1，]C ．[]D ．（）5．已知双曲线C ：﹣＝1（b ＞a ＞0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使•＝0，则双曲线离心率的取值范围是．边问题1.设双曲线C ：（b ＞a ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（） A ．（1，2] B ．C ．D ．（1，2）2.椭圆的右焦点F ，直线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在一点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为．4．已知点F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．5．已知点F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交于另一条渐近线交于M 点，若12F MF 为锐角，则该双曲线离心率的取值范围是．6．长轴在x 轴上的椭圆C 上存在有四点能构成正方形，并使得椭圆的焦点均在正方形内，则椭圆C 的离心率的取值范围为．辅助圆1．已知直线y ＝a 交抛物线x 2＝4y 于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C 使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为．2．已知椭圆C 1：+＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2＝b 2，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（） A ．（0，）B ．（0，）C ．[，1）D ．[，1）3. 已知以抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为．判别式1．A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使，则椭圆离心率的范围是．交点个数1．已知恰有两条不同的直线与曲线2x y e -=和22x py =都相切，则实数p 的取值范围是．圆锥曲线存在性问题确定的1.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．340x y ±= B ．350x y ±=C ． 430x y ±=D ．540x y ±=【解答】显然选C 2.已知F 1、F 2分别是双曲线﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（+）•＝0（其中O 为坐标原点），且||＝||，则双曲线离心率为．【分析】根据向量关系求出F 1M ⊥MF 2，结合双曲线的定义以及直角三角形的边角关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设C 是MF 2的中点， ∵（+）•＝0∴2•＝0即OC ⊥MF 2，即OM ＝OF 2 ∵OC ∥F 1M ， ∴F 1M ⊥MF 2， ∵||＝||， ∴||﹣||＝||﹣||＝2a则||＝＝（+1）a ， ||＝||＝（+1）a ，∵||2+||2＝4c 2，∴4（+1）2a 2＝4c 2，即（+1）2a 2＝c 2，即（+1）a＝c，则离心率e＝＝+1，故答案为：+13.设F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m＝﹣c，n＝2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m＝﹣c，n＝2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣＝1，可得e2＝＝5，解得e＝．故答案为：．4.已知F1，F2分别是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|＝|MO|，则椭圆的离心率为．【分析】过M作MN⊥x轴，交x轴于N，不妨设M在第一象限，从而得到M（），由MF1⊥MF2，利用即可求出椭圆的离心率．【解答】解：如图，椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|＝|MO|，不妨设M在第一象限，过M作MN⊥x轴，交x轴于N，∴N是OA的中点，则M点横坐标为，M点纵坐标为，即M（），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝，∴4c2＝a2+3b2＝a2+3a2﹣3c2，即4a2＝7c2，得2a＝c，∴椭圆的离心率e＝＝．故答案为：．5．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，O为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P，使•＝0，且||＝||，则双曲线的离心率为（）A．1±B．1+C．2 D．【分析】由题意可得PF2⊥x轴，且|PF2|＝2c，令x＝c代入双曲线的方程，可得＝2c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：由题意可得PF2⊥x轴，且|PF2|＝2c，由x＝c代入双曲线的方程可得y＝±b＝±，即有＝2c，即c2﹣a2﹣2ac＝0，由e＝，可得e2﹣2e﹣1＝0，解得e＝1+（负的舍去）．故选：B．6．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2 【分析】设椭圆的左顶点为A，根据题意得Rt△APF1中，|PF1|＝2c，∠AF1P＝60°，利用三角函数定义得|AF1|＝|PF1|＝c，从而算出a＝2c，由此即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的左顶点为A（﹣a，0）∵直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，∴Rt△APF1中，|PF1|＝2c，∠AF1P＝60°由此可得|AF1|＝|PF1|＝c，∵|AF1|＝a﹣c，∴a﹣c＝c，得a＝2c，因此，可得离心率e＝＝故选：A．7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A．B．或2 C． 2 D．【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．【解答】解：依题意设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若曲线为椭圆则2a＝|PF1|+|PF2|＝6t，c＝t则e＝＝，若曲线为双曲线则，2a＝4t﹣2t＝2t，a＝t，c＝t∴e＝＝故选：A．8．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，则曲线C的离心率等于．【分析】依题意，|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，可得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，再对圆锥曲线C是椭圆还是双曲线分类讨论，利用定义即可求得其离心率．【解答】解：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，∴|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，①若圆锥曲线C是椭圆，则2a＝4c，∴e＝＝；②若圆锥曲线C是双曲线，则e＝＝＝＝．故答案为：或．9．设F1，F2是双曲线的左右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|＝1，|AF1|＝3，双曲线中2a＝|AF1|﹣|AF2|＝2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，设|AF2|＝t，|AF1|＝3t，（t＞0）双曲线中2a＝|AF1|﹣|AF2|＝2t，t，∴离心率，故选：B．10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）1A．B．C．D．3 【分析】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，结合条件可得a＝b，从而c＝＝b，即可求出双曲线的离心率．解法二：根据已知条件和定义，就可以求得|PF1|，|PF2|，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，即可得出．【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab∴b2﹣a2＝ab，即9b2﹣4a2﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0∴a＝b，∴c＝＝b，∴e＝＝．范围角问题1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设P为椭圆上一个动点，则当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可根据题意得：在Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，代入数据化简，可得a2≤4c2，即≥，最后结合椭圆离心率e＝∈（0，1），可得到该椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，即b c，其中c＝∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥∵椭圆离心率e＝，且a＞c＞0∴故选：C．2.设椭圆（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2．若椭圆上存在点Q，使∠F1QF2＝120°，椭圆离心率e的取值范围为．【分析】因为Q为椭圆的上下顶点时∠F1QF2最大，不妨让Q是椭圆的上顶点，则∠F1QF2≥120°，所以60°≤∠F1QO＜90°，所以根据正弦函数的单调性即有，所以便得到．【解答】解：如图，当Q是椭圆的上下顶点时∠F1QF2最大；∴120°≤∠F1QF2＜180°；∴60°≤∠F1QO＜90°；∴sin60°≤sin∠F1QF2＜sin90°；∵|F1Q|＝a，|F1O|＝c；∴；∴椭圆离心率e的取值范围为．故答案为：[，1）．3．设A 、B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞ 【解答】显然选A4．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线l 1，l 2交于点O 且相互垂直，l 1与C 交于点A 1，B 1，l 2与C 交于点A 2，B 2，若使得|A 1B 1|＝|A 2B 2|成立的直线l 1，l 2有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．（1，2]B ．（1，]C ．[]D ．（）【分析】先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．【解答】解：不妨设双曲线的方程是﹣＝1（a ＞0，b ＞0），由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A 1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图，又满足条件的直线只有一对，当直线与x 轴夹角为45°时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于45°，双曲线与直线才能有交点A 1，A 2，B 1，B 2，且满足条件的直线只有一对，可得＞tan45°＝1，即有e＝＝＞，则双曲线的离心率的范围是（，+∞）．故选：D．5．已知双曲线C：﹣＝1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l 过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使•＝0，则双曲线离心率的取值范围是．【分析】设焦点为F（c，0），设直线AB：y＝k（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k，即可得到离心率的范围．【解答】解：直线的斜率不存在时，A（c，），B（c，﹣），由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2＝0，可得e＝；焦点为F（c，0），直线AB：y＝k（x﹣c），设A（x1，y1），B（x2，y2），则联立直线方程和双曲线的方程，可得（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2＝0，则△＝4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，x1+x2＝，x1x2＝，则y1y2＝k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））＝k2•，由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2＝0，即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）＝0，即有k2＝，∴＞，∵b＞a，∴＞e＞，故答案为≤e＜．边问题1.设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2] B．C．D．（1，2）【分析】先利用双曲线的定义，得焦半径|PF2|＝a，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知b＞a求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围【解答】解：∵P在双曲线的右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2|PF2|＝2a，∴|PF2|＝a≥c﹣a∴e＝≤2又∵b＞a，∴c2﹣a2＞a2，∴e＝＞∴e∈故选：B．2.椭圆的右焦点F，直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|F A|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P 点与A点的距离相等而|F A|＝|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故e∈．故选：D．3．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|＝c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．4．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范2围是（）A．B．C．D．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1＝＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e的范围．【解答】解：在双曲线中，令x＝﹣c得，y＝±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1＝＜tan＝1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又e＞1，∴1＜e＜1+，故选：D．5.长轴在x 轴上的椭圆C 上存在有四点能构成正方形，并使得椭圆的焦点均在正方形内，则椭圆C 的离心率的取值范围为．【解答】辅助圆1.已知直线y ＝a 交抛物线x 2＝4y 于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C 使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为．【解答】显然为4a ≥2.已知椭圆C 1：+＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2＝b 2，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．[，1）D ．[，1）【解答】显然为C ．3. 已知以抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为．【解答】显然为22⎡⎣判别式1．A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使，则椭圆离心率的范围是．【分析】利用两个向量的数量积公式得到（﹣a cos t，﹣b sin t）•（a﹣a cos t，﹣b sin t）＝0，e2＝，得到＜e2＜1，从而求得离心率的范围．【解答】解：设椭圆的方程为，设A（a，0），点P（a cos t，b sin t）．由题意得，＝0，∴（﹣a cos t，﹣b sin t）•（a﹣a cos t，﹣b sin t）＝0，∴（﹣a cos t）•（a﹣a cos t）+b2sin2t＝0，化简可得c2cos2t﹣a2cos t+a2﹣c2＝0，∴e2cos2t﹣cos t+1﹣e2＝0，∴e2＝．又∵0＜e＜1，0＜1+cos t＜2，∴＜e2＜1，∴＜e＜1，故答案为＜＜1．。