圆锥曲线解题十招全归纳
《圆锥曲线解题十招全归纳》
招式一：弦的垂直平分线问题 (2)
招式二：动弦过定点的问题 (4)
招式四：共线向量问题 (6)
招式五：面积问题 (12)
招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (15)
招式七：直线问题 (18)
招式八：轨迹问题 (22)
招式九：对称问题 (29)
招式十、存在性问题 (32)
招式一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE
?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+??
=?消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2
2
4
2
(21)4410k k k ?=--=-+> 即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211
(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为：
221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则2
11
(,0)22
E k -
ABE ?为正三角形，∴211
(
,0)
22
E k -到直线AB 的距离d 。
AB =2
2
1k k =
+d =
2
1k +=k =05
3
x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123
301y x x x b x x y x b
?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB
的中点
11
(,)
22
M b
--+，又由
11
(,)
22
M b
--+在直线0
x y
+=上可求出1
b=，∴220
x x
+-=，由弦
长公式可求出AB==．
招式二：动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，
且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为
2
214
x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由
122
(2)44
y k x x y =+??+=?消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，
21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211
22
11284(,)1414k k k k -++，
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122
k k k k t -∴
=-+，直线MN 的方程为：121121
y y y y x x x x --=--，
∴令y=0，得211212x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=
又
2t >，∴402t
<
<椭圆的焦点为(3,0)4
3t
∴
=，即43t = 故当43
3
t =
时，MN 过椭圆的焦点。 招式三：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶
点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =
对称，求直线PQ 的斜率。
解：(I)
2BC AC =，且BC 过椭圆的中心O
OC AC
∴=0AC BC =2
ACO π
∴∠=
又
A (23,0)∴点C 的坐标为(3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：
22
2
112x y b += 将点C (3,3)代入方程，得2
4b =，∴椭圆E 的方程为
22
1124
x y += (II)
直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，
∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：
3(3)y k x -=-，即3(1)y kx k =+-，由223(1)3120
y kx k x y ?=+-??
+-=??消y ，整理得： 222(13)63(1)91830
k x k k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，
229183
313P
k k x k --∴=+即2
23(13)P x k =+同理可得：2
23(13)
Q
x k =+ 3(1)3(1)P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+＝()23P Q k x x k +-＝
2
3(13)
k +
22223(13)3(13)
P Q x x k k -=-++＝23(13)k +13P Q PQ
P Q y y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值
1
3
。
招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E. （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围. 解：（1）.0,2=?=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点 C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a
焦距2c=2. .1,1,22
===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,22
2=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2
3
0.
034)2
1
(22
2
>>?=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G
)2(216
2
13),1(2182142
2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=+则)2,()2,(,
2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又,,
2
1
21x x x x =
∴=∴λλ，)21
(332
)
21(33221)2()1(222
2+=+=++?k
k k λλ
.33
1
.31621
4.316
)21(3324,2
3
22<<<
++
<∴<+<∴>
λλ
λ解得k
k .13
1
,
10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,3
1
[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
14
y x =的焦点，离心率
为
25
5
.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于
M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.
解：设椭圆C 的方程为22221x y a b
+= （a ＞b ＞0）抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为(0,1)，
则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b =
由5
c e a ===，∴2
5a =，椭圆C 的方程为 2
215
x y +=（2）证明：右焦点(2,0)F ，设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2
215
x y += 并整理，得2
2
2
2
(15)202050k x k x k +-+-=∴21222015k x x k +=+，2122
205
15k x x k
-=+ 又110(,)MA x y y =-，220(,)MB x y y =-，11(2,)AF x y =--，22(2,)BF x y =--，
而 1MA AF λ=， 2MB BF λ=，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=-，2222x x λ=-，所以 121212
12121212
2()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=
+==----++
类型1——求待定字母的值
例1设双曲线C ：)0(12
22>=-a y a
x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交
于点P ，且PA=
PB 12
5
，求a 的值 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(0,1)
∵PA=
),1,(125)1,(,1252211-=-∴y x y x PB ∴x 1=212
5x .
联立，???
??=-=+112
22y a
x y x 消去y 并整理得，(1－a 2)x 2+2a 2x －2a 2=0 (*)
∵A 、B 是不同的两点，∴?????>-+≠-，
，
0)1(84012
242
a a a a
∴0 2 12a a --， 即222222212125,121217a a x a a x --=--=且，消去x 2得，2212a a --=60 289 ， ∴a=1317± ，∵0 17 。 类型2——求动点的轨迹 例2如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32 -=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。 思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。 解：由?? ?-=+=3 12 x y kx y 得，k 2x 2+(2k －1)x+4=0. 由?? ?>?≠0 0k ?.061 21≠<<-k k 且 设P(x’,y’)，B(x 1，y 1)，C(x 2,y 2)， （图2 则x 1+x 2= 221k k -, x 1.x 2 =2 4k . 由PC BP λ=?),(11y y x x -'-'=),(22y y x x '-'-λ ? 1x x -'=λ)(2x x '- 由)1,()1,(2211-=-?=y x y x λλ?1x =λ2x 。 .218 2021212211k x x x x x x x x x x x -=+='?'-=-'∴ ≠λ ?.211 612181k k k k x k y -+=+-= +'=' 消去k 得， x’－2 y’－6=0 (*) 设重心Q(x,y)，则???-='='???? ? ?? ?+'=' =1333 13 y y x x y y x x ，代入(*)式得，3x －6y －4=0。 因为3 8 434812406121≠< x x x x k k 且且且 故点Q 的轨迹方程是3x －6y －4=0（3 8 434≠< )3 2 ,38(),34,4(),0,34(C B A 的线段AB 。 类型3——证明定值问题 例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=共线。设M 为椭圆上任意一点，且μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：2 2 μλ+为定值。 思路：设A 、B 、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。 解：设椭圆方程为).0,(),0(122 22c F b a b y a x >>=+ 则直线AB 的方程为 .c x y -=代入椭圆方程中，化简得，.02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则.,22 22 2222122 221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由 OB OA +与)1,3(-=共线，),(2121y y x x ++=+得， 0)()(32121=+++x x y y 。又,,2211c x y c x y -=-= .3,232,23,0)()2(32 22 22212121b a c b a c a c x x x x c x x =∴=+=+∴=++-+∴即 而,2 2 2 b a c -=于是2 222 2 1,23c b c a == 。 因此椭圆方程为.33,132 222222b y x b y b x =+=+即 设M(x, y), 由OB OA OM μλ+=得，),(),(),(2211y x y x y x μλ+=， .2121y y y x x x μλμλ+=+=∴且 因M 为椭圆上一点，所以.3)(3)(2 2 212 21b y y x x =+++μλμλ 即2 21212 22 22 2 12 12 3)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 又2 222212 1,23,23c b c a c x x === +，.83222222221c b a b a c a x x =+-= 则 2 2121212121213)(34))((33c c x x x x c x c x x x y y x x ++-=--+=+ .032 923222=+-=c c c 而,3322121b y x =+,332 2222b y x =+ 代入①得，2 2 μλ+=1，2 2 μλ+为定值。 类型4——探索点、线的存在性 例4在△ABC 中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD ⊥BC 于D ，△ABC 的垂心H 分有向线段AD 。所成的比为3 1 设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H | |||||HQ PQ HP 思路：先将AC ⊥BH 转化为代数关系，由此获得动点H 的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。 解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知)34, (y x A ∵H 为垂心 ∴AC ⊥BH ，∴0),2)(3 4,2(=+-y x y x ， 整理得，动点H 的轨迹方程为 13 42 2=+y x )0(≠y 。 22)1(||y x ++= ， 2||=， 22)1(|y x HQ +-=。 | |||||HQ PQ HP | || || |HQ HP PQ + = 即 1)1(1)1(12 2 2 2 =+-+ ++y x y x ① ∵H 在椭圆上 a=2, b=3, c=1，P 、Q 是焦点， ∴42==+a HQ HP ，即∴4)1()1(2 2 2 2 =+-+++y x y x ② 由①得，= +-?++2 2 2 2 )1()1(y x y x 4)1()1(2222=+-+++y x y x ③ 联立②、③可得，2)1()1(222 2 =+-= ++y x y x ， ∴,3,0±==y x 显然满足H 点的轨迹方程13 42 2=+y x ， 故存在点H （0，±3）| |||||HQ PQ HP 类型5——求相关量的取值范围 例5给定抛物线C ：x y 42 =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且 []9,4∈=λλAF ，求l 在y 轴上截距的变化范围。 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l 在y 轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由λ=得，),1(),1(1122y x y x --=-λ，即 ?? ?-=-=-② ①1 212)1(1y y x x λλ 由②得，.2 1222y y λ= ,4121x y =12222 2 ,4x x x y λ=∴=③ 。 联立①、③得，λ=2x 。 而).2,(),2,(,0λλλλλ-∴>B B 或当直线l 垂直于x 轴时，,1=λ不符合题意。 因此直线l 的方程为)1(2)1(-=-x y λλ或).1(2)1(--=-x y λλ 直线l 在y 轴上的截距为 12-λλ或.12--λλ由1 2 1212-+ +=-λλλλ知，12-λλ在[]9,4∈λ上递减的，所以 ,341243≤-≤λλ.4 3 1234-≤--≤-λλ 于是直线l 在y 轴上截距的变化范围是.34,4343,34?? ? ?????????-- 取值范围：例6、双曲线()()0,20,01:22 2 2a Q x A b a b y a x C 轴上存在一点，的右顶点为>>=-，若C 上 存在一点，求离心率的取值范围使PQ AP P ⊥。 解：点的轨迹P PQ PA ∴⊥ 方程为42322 2 a y a x =+?? ? ??-， 即2 2 2 23a ax x y -+-=)2(a x a x ≠≠且。由???-+-==-2 222 2222223a ax x y b a y a x b ，消去y 得()() 02302322432222222222=-+-+=--+--b a a x a x b a b a a ax x a x b 即 ()()( )[] ()() ?? ? ??-=-=+-=∴≠=--+-∴1332,,022 22222222 2 2 2 e a c c a a b a b a a x a x b a a x b a a x 的右支上在双曲线12222=-b y a x P ，解得,13,2a e a a x >?? ? ??-∴>∴261< 定值问题例7：,A B 是抛物线2 2(0)y px p =>上的两点，满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），求证：（1） ,A B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB 经过一定点。 分析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222 112212122,2()4y px y px y y p x x ==?= 又由 121200OA OB OA OB x x y y ⊥??=?+= 22 12124,4x x p y y p ?==- （2）22 1212121212 22()AB y y p y y p x x K x x y y --=-?= =-+ 直线AB 的方程为1111121212 222()px p p y y x x y x y y y y y y y -= -?=-++++ 21112121212 222(2)y px y y p p x x p y y y y y y -+=+=-+++，故直线过定点(2,0)p 。 招式五：面积问题 例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36 短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 2 3 ，求△AOB 面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意c a a ?=???? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为 2 213 x y +=。 （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥ 轴时，AB 。（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+ 2 23 (1)4 m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2 2 2 (31)6330k x kmx m +++-=， 122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。22221(1)()AB k x x ∴=+-222222 23612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2 4222121212 33(0)341961 23696k k k k k k =+=+ ≠+=++?+++≤。 当且仅当2 2 1 9k k = ，即k =时等号成立。当0k = 时，AB =， 综上所述max 2AB =。 ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 1222 S AB = ??=。 2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36 ,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的 方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 2 3 ，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ?=???=? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为22 13x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥ 轴时，AB ．（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+ 2 = ，得223(1)4m k =+． 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2 2 2 (31)6330k x kmx m +++-=， 122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．222 21(1)()AB k x x ∴=+-22 22222 3612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 2222222 22 12(1)(31)3(1)(91) (31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422 2121212 33(0)34196123696 k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤． 当且仅当22 1 9k k = ，即3k =±时等号成立．当0k = 时，AB =max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 12S AB = ?=． 3、已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交 椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ． （Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200 132 x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ） 椭圆的半焦距1c = =，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22 001x y +=， 所以，2222 00021132222 y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+， 代入椭圆方程22 132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2 122632 k x x k +=-+， 21223632 k x x k -= +22 12221(1)()4BD x x k x x x x ?=-=++-=?； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，2211132k AC k ? +? ??==?+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25 (32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++???? ≥． （这里应用了柯西不等式）当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为 96 25 ． 招式六：弦或弦长为定值、最值问题 1、已知△OFQ 的面积为6，OF FQ m ?= （1646m ≤≤，求OFQ ∠正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26 ||,1)OF c m c == 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。 解析：（1）设OFQ θ∠= ||||cos()1 ||||sin 26 2 OF FQ m OF FQ πθθ??-=? ???=??6tan m θ?=- 646m ≤≤ 4tan 1θ-≤≤- （2）设所求的双曲线方程为22 1111221( 0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b -= >> =-则 ∴11 ||||262 OFQ S OF y ?= ?=146y c =± 又∵OF FQ m ?=，∴21116 (,0)(,)()( 1OF FQ c x c y x c c c ?=?-=-?= ) 222 11126963,||12.48 c x c OQ x y c ∴= ∴=+=+≥ 当且仅当4c =时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是 或 2 222 226614 1216 a a b b a b ??-==??∴ ???=???+=? ，所求方程为22 1.412x y -= 2、已知椭圆1422 2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=?PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=， )2,(001y x PF ---=，∴1)2(20 2 21=--=?y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则14 22 20=+y x ， ∴2 42 02 y x -=，从而1)2(242 020=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. （Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，则BP 的直线方程为： )1(2--x k y .由??? ??=+ -=-14 2) 1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则 2222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，同理可得222)222k k k x A +-+=，则2 224k k x x B A +=-，228)1()1(k k x k x k y y B A B A +=----=-.所以：AB 的斜率2=--=B A B A AB x x y y k 为定值. （Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.由??? ??=+ +=14 2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ， 由0)4(16)22(22>--=?m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3 | |m d =， 则3 ||3)214(21||212m m d AB S PAB ??-=?=?2)28(81)8(812222 2=+-≤+-=m m m m 。 当且仅当() 22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。 4、已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 2 - ．（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、F 之间） ，试求ODE ?与ODF ?面积之比的取值范围（O 为坐标原点）． 解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM k k ?=-， 整理， 0x ≠）， （2）如图，由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠±将①代入12 22 =+y x ， 整理，得2 2 (2)420s y sy +++=，由0?>，解得2 2s >． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,2 2.2s y y s y y s ?+=-??+??=?+? 令1122 1212OBE OBF OB y S y S y OB y λ???===?，且01λ<<． =+21221)(y y y y ()2 22 182 s s λλ+=+．∵22s >且2 4s ≠，316)8,4(2822≠∈+=u s s u 且， 解得33λ-<<+1 3λ≠ ． 01λ<<，1223<<-∴λ且1 3λ≠． 故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是113,133???? - ? ?? ??? ． 5、已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆 1 C 的方程； （II ）设点P 在抛物线2C ：2()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N ．当线 段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解析：（I ）由题意得21 2,,1 21b a b b a =?=??∴??=?=???所求的椭圆方程为2 214y x +=， （II ）不妨设 21122(,),(,),(,), M x y N x y P t t h +则抛物线 2 C 在点P 处的切线斜率为 2x t y t =' =，直线 MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，得 222 4(2)40x tx t h +-+-=，即()22222414()()40 t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆 1 C 有两个不同的交点，所以有 422 1162(2)40 t h t h ???=-++-+>??， 设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则 21232 () 22(1)x x t t h x t +-==+， 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则41 2t x += ，由题意得34x x =，即有2 (1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-； 当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ???=-++-+>??不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2 (1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式 422 1162(2)40 t h t h ???=-++-+>??成立，因此h 的最小值为1． 招式七：直线问题 例题1、设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>> 过点M ，且着焦点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上 解 (1)由题意： 2222222211c a b c a b ?=? ?+=???=-? ，解得22 4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一 设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PB QB λ= = ,则0λ>且1λ≠ 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-= 于是 12 41x x λλ-=-， 12 11y y λλ-=- 12 1x x x λλ +=+， 12 1y y y λλ += + 从而 222 12 2 41x x x λλ-=-，（1） 222 12 2 1y y y λλ-=-，（2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即 22 1124, (3)x y += 22 2224, (4)x y += （1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二 设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。 且 PA PB AQ QB = 又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是 1141,11x y x y λλλλ--= = -- （1） 2241,11x y x y λλλλ ++== ++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2 2 24,x y +=整理得 222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4) (4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴ 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 2、已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()1F 和) 2 F 的距离之和为4．（1）求曲线Γ的方程； （2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ?=（O 为坐标原点），求直线l 的方程． 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆， 其中2a = ，c = 1b ==． 所以动点M 的轨迹方程为2214 x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设 11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ?=，∴12120x x y y +=．∵112y kx =-，222y kx =-， ∴21212122()4y y k x x k x x =?-++①∴ 2 1212(1)2()40k x x k x x +-++=．由方程组2 21,4 2.x y y kx ?+=???=-? 得 ()2 2 1416120k x kx +-+=．则1221614k x x k += +，122 12 14x x k ?=+，代入①，得()222 121612401414k k k k k +? -?+=++．即24k =，解得，2k =或2k =-． 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--． 3、设1F 、2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左、右焦点。 （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。 解： （Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c === 所以( )) 12 ,F F ，设(),P x y ，则 ( )) 2212,, ,3PF PF x y x y x y ?=---=+-()22 21 133844 x x x =+--=- 因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ?有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ? 有最大值1 解法二：易知2,1,a b c === ()) 12 ,F F ，设(),P x y ，则 圆锥曲线方法归纳 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422 2 12221 =-+-y y x x ?()() ()() 3421212121y y y y x x x x +--=+-?AB k =b a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时，常用“点差法”“设而不求”整体来求，借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验． (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤： 设点——设出弦的两端点坐标 ↓ 代入——代入圆锥曲线方程 ↓ 作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 1. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程？ 2. 如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点A (4, 2)平分，求这条弦所在的直线方程 3. 已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点，且线段AB 的中 点在直线l ：x －2y ＝0上，则此椭圆的离心率为 ． 4. 过点M (1, 1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点， 若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 5. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点，若 线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ． 6. 已知双曲线E 的中心为原点，F (3, 0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020 圆锥曲线知识点全归纳（精华版） 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 圆锥曲线考点及方法总结（江苏）1 化斜为直：利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比，然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化，然后联立直线与曲线的方程，利用韦达定理，涉及最值或范围问题时注意带塔>0； 4圆锥曲线中的最值问题：通常构造函数转化为求函数最值（导数求解），也可以保留两个变量运用基本不等式求解，当然在设点时用圆锥曲线的参数方程，这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质：角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程（与焦半径有关的题目才能用） 9参数方程（涉及最值与定值问题时可尝试） 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负（在涉及线段长度的题目中有效） 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多 设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论：k1*k2为定值（与椭圆对称点）点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧：如两直线过同一点只有K不一样，则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据（不只斜率K可以代换，点也可以代换）减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时，考虑能否整体代换，将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一；求出AB直线方程再求定点 方法二：取两个特殊位置的直线，解出交点C,验证交点C是否在直线AB上，只需算k1=k2即可 方法三，若能观察出定点在x轴上，解出AB方程令y=0，解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍：大胆设点，利用以下结论 一：点在曲线上 二：点满足一定条件（题目所给） 三：韦达定理 运用好这三点，就可以做到舍而不求 圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴 上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 2321=+x x ，得30=x ，由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入，得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292 2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494 -=-?+ x y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线 过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 百度文库- 让每个人平等地提升自我 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1.直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k tan , [0, ) k y2 y1 x2 x1 ②点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离 Ax0 By0 C d B2 A2 l1 : y k1x b1 夹角为，k2 k1 ③夹角公式：直线则 tan l2 : y k2 x b2 1 k2 k1 （ 3）弦长公式 直线 y kx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 ① AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ② AB 1 k2 x x (1 k 2 )[( x x ) 2 4x x ] 1 2 1 2 1 2 ③ AB 1 1 y1 y2 k 2 （ 4）两条直线的位置关系 （Ⅰ） l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2 ① l1 l2 k1k2=-1 ② l1 // l2k1 k2且 b1 b2 l1 : A1 x B1 y C1 0 （Ⅱ） l2 : A2 x B2 y C2 ① l1 l2A1 A2 B1B2 0 ② l1 / /l 2 A1B2 - A2 B1 =0且 AC1 2 - A2C1 0或 A1 B1 C1 者（ A2 B2C2 0 ） 两平行线距离公式 l 1 : y kx b 1 | b 1 b 2 | l 2 : y kx b 2 距离 d k 2 1 l 1 : Ax By C 1 0 |C 1 C 2 | l 2 : Ax By C 2 距离 d B 2 A 2 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义 ： 第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的 和等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于 F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ， 当常数小于 F 1F 2 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常 数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a ＜ |F 1 F 2 | 不可忽视 。 若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若 2a ﹥ |F 1 F 2 | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x 6)2 y 2 ( x 6)2 y 2 8 表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支） 2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （ 1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x 2 y 2 y 轴上时 y 2 x 2 2 2 1 （ a b 0 ），焦点在 2 2 ＝ 1 a b a b （ a b 0 ）。方程 2 2 表示椭圆的充要条件是什么？（ ≠ ，且 A ， B ，C Ax By C ABC 0 同号， A ≠B ）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： x 2 y 2 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程： (x c)2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a 参数方程： x a cos , y bsin 若 x, y R ，且 3x 2 2 y 2 6 ，则 x y 的最大值是 ____，x 2 y 2 的最小值是 ___（答： 5,2 ） （ ）双曲线：焦点在 x 轴上： x 2 y 2 y 2 x 2 ＝1（ a 0, b 0 ）。 2 a 2 b 2 =1 ，焦点在 y 轴上： 2 b 2 方程 Ax 2 By 2 a C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC ≠0，且 A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点 O ，焦点 1 、 F 2 在坐标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点 F 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、已知F1，F2为椭圆 2 100 x + 2 64 y =1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1-1 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。 （本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好） 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点， ∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2 =2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。 高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳 1基础知识： 1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 3基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点 ⑴用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题． ⑵解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位 本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题． 本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右． ⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活． ⑵直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题． ⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点． ⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势． ⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- =或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记 为“左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 圆锥曲线解题方法技巧归纳 一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离002 2 Ax By C d A B ++= + ③夹角公式：21 21 tan 1k k k k α-=+ ④两直线距离公式 （3）弦长公式 直线y kx b =+与圆锥曲线两交点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或122 1 1AB y y k =+ - (若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。) （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程：2 2 2 2 ()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 22 1(0)x y m n m n +=?< 参数方程： 距离式方程：2 2 2 2 |()()|2x c y x c y a ++--+= (3)、三种圆锥曲线的通径 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义 (5)、焦点三角形面积公式：122 tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为， 可简记为“左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形 二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 ()11,y x A 、()22,y x B ， 的弦AB 中点则有 两式相减得 ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k = 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果 有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判 别式0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 221=+PF PF （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应 准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参 数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___ （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如（1）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______ （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______ （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值围是__ （2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦 点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__ （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__ （2）双曲线（以22 221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中 圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的 轨迹方程。 例2、方程() () 2 2 22668x y x y -+- ++=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ， 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般 式。 (2) 与直线相关的重要内容 (3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x 1, y-i ), B(x 2, y 2)间的距离： AB y 1 k J (1 k 2)[(x~X 2)2 4x 1X 2] 或AB J i *|y i y 2 (4) 两条直线的位置关系 ①l 1 l 2 k 1k 2=-1 ② l 1//l 2 k 1 k 2且b 1 b 2 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式) 标准方程： 2 2 ——1(m 0,n 0 且 m n) m n 距离式方程: (x c)2 y 2 .(x c)2 y 2 2a 参数方程： x a cos , y bsin (2)、双曲线的方程的形式有两种 ①倾斜角与斜率k tan , [0,) ②点到直线的距离 Ax o By o C A 2 B 2 ③夹角公式: tan 1 k z k i x 1 x 2 2 2 标准方程：—y 1(m n 0) m n 距离式方程：| (x c)2 3 4 y 2、.. (x c)2 y 21 2a (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 2 2 如：已知F 1、F 2是椭圆- ? 1的两个焦点，平面内一个动点 M 满足 4 3 (6)、记住焦半径公式：(1) 椭圆焦点在x 轴上时为a ex 0；焦点在y 轴上时为a ey ° ，可简记为“左加右减，上加下减”。 (2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x °| a (3) 抛物线焦点在x 轴上时为lx,卫,焦点在y 轴上时为|%|卫 2 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 2 2 设A x 1, y 1、B X 2, y 2 ， M a, b 为椭圆—'1的弦AB 中点则有 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 h 1，卷 1 ;两式相减得出空 也匕 0 4 3 4 3 4 3 MF 1 MF 2 2则动点M 的轨迹是( A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F 1PF 2 (其中 F 1PF 2 ,cos b 2 tan — 2 uuun ujir uuuir ］西需护岸？苹2闻『阿込) 1 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 21 21 y y k x x -= - ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 002 2 Ax By C d A B ++= + ③夹角公式：直线 111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则21 21 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离 ①222121()()AB x x y y =-+-②2121AB k x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++- ③1221 1AB y k =+ - （4）两条直线的位置关系 2 （Ⅰ） 111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 （Ⅱ） 11112222:0:0 l A x B y C l A x B y C ++=++= ①1212120l l A A B B ⊥?+= ② 1212211221//0l l A B A B AC A C ?≠-=0且-或 111 222 A B C A B C =≠者（2220A B C ≠） 两平行线距离公式 1122 ::l y kx b l y kx b =+?? =+? 距离1221d k =+ 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=??++=? 距离1222d A B =+2、圆锥曲线方程及性质 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问 1.：（1 2. 3. 3 法 求 --------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附： “点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式” 而 一适用于：__________________________; 殊弦长以外，其余弦长求解都用【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】 3类型：【类1】___________;___________;_______________;适用于：__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于： 姓名学生姓名填写时间2013-12-29学科数学年级高二教材版本人教版阶段第（ 1 ）周观察期：□维护期：□ 课题名称圆锥曲线解题方法技巧总结课时计划 第（）课时 共（）课时 上课时间2014-1-3 教学目标大纲教学目标圆锥曲线知识点及题型回顾整理 个性化教学目标培养学生分析能力和逻辑思维能力． 教学 重点 圆锥曲线知识点的综合应用 教学 难点 掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法 教学过程名称椭圆双曲线 图象 定义 平面内到两定点的距离的和 为常数（大于）的动点的轨迹叫 椭圆即 当2﹥2时，轨迹是 当2＝2，轨迹是 当2﹤2时，轨迹 平面内到两定点的距离的差的绝 对值为常数（小于）的动点的轨 迹叫双曲线即 当2﹤2时，轨迹是 当2＝2时，轨迹是 当2﹥2时，轨迹 标准 方程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：根据判断焦 点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：根据来判断焦 点在哪一坐标轴上 常数 的关 系 ，， 最大， ， 最大，可以 第一部分：知识梳理 渐近线 焦点在轴上时： 焦点在 轴上时： 共焦点方程 抛物线 图形 方程 焦点 准线 1.圆锥曲线的两个定义： 定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数 2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于 21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常 数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是___ __（答：双曲线的左支） 第二部分：题型方法技巧总结圆锥曲线方法归纳
圆锥曲线知识点全归纳完整精华版
圆锥曲线方法总结
圆锥曲线解题方法技巧归纳
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圆锥曲线解题技巧和方法综合
高考专题-：圆锥曲线题型方法归纳
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)
高三圆锥曲线经典总结归纳
高考圆锥曲线题型归类总结
圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧
圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
圆锥曲线解题方法技巧总结(附答案)