圆锥曲线大题题型归纳演示教学
圆锥曲线专题题型小结ppt课件
2、两条直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 垂直：则 k1k2 1
3、一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两
个根 x1, x2 ，
则
x1
x2
b a
, x1x2
c a
。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
★ 变式1：过点P（8,1）的直线与双曲线 x2 y2 1
4
相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线 AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方 程，若不存在，请说明理由。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设
E(xE ,
yE ), F (xF ,
yF ) ,则
xE
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yE
k xE
3 2
k
以 - k代k得：xF
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yF
-k xF
3 2
k
KEF
yF xF
yE xE
k(xF xE ) 2k xF xE
1 2
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2
直线与圆锥曲线的位置关系
1.有关位置关系的问题：
例 1:已知直线 l : y kx 1与椭圆 C : x2 y2 1 4m
始终有交点，求 m 的取值范围
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
圆锥曲线解题方法与题型(含解析)
代入 y2=4x 得 x= 1 ，∴Q( 1 ,1 )
4
4
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例 2、F 是椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆 43
一动点。
（1） PA + PF 的最小值为 （2） PA + 2 PF 的最小值为
+9 4 x02
= (4x02
+ 1) + 9 −1 4x02 + 1
≥ 2 9 −1 = 5,
y0
≥
5 4
当 4x02+1=3
即
x0 = ±
2 2
时， ( y0 ) min
=
5 4
此时 M (±
2 , 5) 24
法二：如图， 2 MM 2 = AA2 + BB2 = AF + BF ≥ AB = 3
即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为( 1 ,− 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点， 2
舍去）
3
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
（2）（ 1 ,1 ） 4
过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， BQ + QF = BQ + QR 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，
y AP
F0 F ′
上
H x
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF ′ 或准线作出来考虑问题。
解：（1）4- 5 设另一焦点为 F ′ ，则 F ′ (-1,0)连 A F ′ ,P F ′ PA + PF = PA + 2a − PF ′ = 2a − ( PF ′ − PA ) ≥ 2a − AF ′ = 4 − 5
圆锥曲线题型归纳总结精品PPT课件
双曲线的定义:
平面内到两定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于
常数（小于
F
1
F
）的点的轨迹叫做双曲线，两个定
2
点 F 1 ，F 2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫
做双曲线的焦距.
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有 MF1MF2 2a （0<2a< F 1 F 2 的常数） 思考：
直线L的距离）
说明：
1、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 2、我们可利用上面的三条关系式来判断动 点M的轨迹是什么！
例1 已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0），
且AB，BC，AC成等差数列。
（1）求证：点A在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。 证:(1)根据条件有AB+AC=2BC,
离相等的点的轨迹是以__F__(0__,1_)_为__焦__点__，______ __直__线__y_=_-_1_为__准__线__的__抛__物__线__.
1、已知∆ABC中，BC长为6，周长为16，那么 顶点A在怎样的曲线上运动？
2、kb P26 3
1.三种圆锥曲线的形成过程 2.椭圆的定义 3.双曲线的定义 4.抛物线的定义
在双曲线的定义中，如果这个常数大于或 等于F 1 F 2，动点M的轨迹又如何呢？
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到
的点的轨迹叫做双曲线，
两个定点F1，F2叫做双
二轮复习Ⅴ3大题考法——直线与圆锥曲线的简单应用及最值范围问题课件(33张)
方法例解 [典例] (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直
线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直
2．已知椭圆E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为2 3的等边三角 形的三个顶点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝
2b2 3
相切且交椭圆E于M，N两点，求
|MN|的最大值．
解：(1)由题意得，椭圆上、下两顶点与左、右顶点中的一个是边长为2 3 的
所以当―M→Q ＝3―N→Q ，即y1＝3y2时，结合③得a2＝2＞43，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1； 当―M→Q ＝－3―N→Q ，即y1＝－3y2时，结合③得a2＝12＞43，所以椭圆C的方程为1x22＋y62＝1. 综上，椭圆C的方程为x22＋y2＝1或1x22 ＋y62＝1.
题型(二) 圆锥曲线中的最值问题
－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0，
故k＞1或k＜－1.
由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－5－k23＋0k4＝5k320＋k 4，x1x2＝5k22＋5 4， 进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－5k22＋4 4， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝356k－2＋204k2. 直线AB的方程为y＋2＝y1x＋1 2x，令y＝－3， 则x＝－y1x＋1 2，故点M－y1x＋1 2，－3.
2022届数学圆锥曲线题型归纳讲义 (3)
高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题例1 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=√32，直线x+√3y-1=0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑：（1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式（3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围（5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。
变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.（1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率（2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围.题型二最值问题例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）.（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值.例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）.经过点（1，√22（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值.思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解.变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .变式3 椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.（1）求椭圆C的方程（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√32，求△AOB面积的最大值.题型三定点问题例4 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（−√3，0），F2（√3，0），且经过点A（√3，12）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点B（4，0）的一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.思维总结：求圆锥曲线综合问题的一般步骤（1）求出圆锥曲线方程（一般根据待定系数法或定义法）；（2）设直线方程并于曲线方程联立，得到关于x或y的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系（或求出交点坐标）；（4）将第三步得出的关系式代入，解决范围、最值或定点、定值等问题；（5）反思回顾，考虑方程有解条件和图形的完备性.变式4 已知椭圆C：x 22+y2=1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D.（1）求四边形QAHB（O为坐标原点）的面积的取值范围；（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.题型四定值问题例5 设F1，F2为椭圆x 24+y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足M F1⊥M F2，已知△M F1F2的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设C的上顶点为H，过点（2，-1）的直线与椭圆交于R，S两点（异于H），求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.思维总结：圆锥曲线定值问题的常见类型及解题思路（1）求代数式为定值：根据题意设出条件，得到与代数式中参数相关的等式，代入代数式中，从而化简得出定值.（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得到相关的解析式，利用题设条件化简、变形得出定值.（3）求线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再根据题目中的条件对解析式进行化简、变形得出定值.变式5 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，且过点A（2，1）.（1）求C的方程；（2）点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.题型五证明问题例6 设椭圆E：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为√22，△AB F2的周长为4√6. （1）求椭圆E的方程；（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.思维总结：圆锥曲线中证明问题常见的有以下两种：（1）位置关系：如证明直线与曲线相切，直线间的平行，垂直，直线过定点等；（2）数量关系：如存在定值，恒成立，相等等。
圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型(解析版)
第27讲 圆锥曲线压轴大题十类【题型一】 五个方程题型框架【典例分析】已知圆C 经过两点A (2，2)，B (3，3)，且圆心C 在直线x －y +1=0上. （1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若645OM ON ⋅=，求|MN |的值. 【答案】（1）22(2)(3)1x y -+-=（225【分析】（1）设圆C 的方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由已知列出关于a ，b ，r 的方程组求解即可得答案；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，利用根与系数的关系结合向量数量积的坐标运算求出k 值，再利用弦长公式即可求解．（1）解：设所求圆C 的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意，有222222(2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得231a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=；（2）解：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1)1y kx =+。
方程（ 代入22)(22)(3)1x y -+-=。
方程（， 整理得22)(1)4(1)703k x k x +-++=。
方程（， 所以1224(1)4)1k x x k ++=+。
方程（，1225)71x x k =+。
方程（ 0∆>，所以2121212122(1)()14(1)648156)OM ON x x y y k x x k x x k k k ⋅=+=+++++=+=+。
方程（，解得2k =或3k =，检验3k =时，∆<0不合题意，所以2k =，所以12125x x +=，1275x x =，所以2212725||12()455MN =+-⨯【变式演练】1.椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点.（1）当P 为椭圆C 的上顶点时，求12F PF ∠；（2）若12F P F P ⊥，求满足条件的点P 的个数；（直接写答案） （3）直线()1y k x =-与椭圆C 交于A ，B ，若165AB =，求k . 【答案】（1）1260F PF ∠=︒（2）0（3）3k =【分析】（1）由椭圆的方程可得122PF PF ==，1223F F =（2）结合（1）的答案可得点P 的个数；（3）联立直线与椭圆的方程消元，利用弦长公式求解即可.解（1）因为椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 的上顶点所以()11,0F -，()21,0F ，(3P所以122PF PF ==，122F F =，所以1260F PF ∠=︒ （2）若12F P F P ⊥，满足条件的点P 的个数为0（3）设()()1122,,,A x y B x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()22224384120k x k x k +-+-= 所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++所以()()()()2222222121222212181648161414343435k k k AB k x x x x k k k k ⎡⎤+⎛⎫-⎡⎤=++-+-==⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得3k =2.已知动点P 到点（0，1）的距离与到直线y ＝22，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线y ＝kx +1与曲线C 交于A ，B 两点，点M （0，2），证明：直线MA ，MB 的斜率之和为0．【答案】（1）2212y x +=（2）证明见解析【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）直线y ＝kx +1与曲线C 方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可.解（1）设点P 的坐标为P （x ，y ）22(1)2x y +-，整理可得曲线C 的轨迹方程为2212y x +=； （2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与直线方程联立可得：（k 2+2）x 2+2kx ﹣1＝0，则：12122221,22k x x x x k k --+==++， 121212122211MA MBy y kx kx k k x x x x ----+=+=+＝22121212121222()220kk kx x x x k k x x x x --⋅--+++==， 从而直线MA ，MB 的斜率之和为0．3.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设A 为椭圆的下顶点，B 为椭圆的上顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）2k = 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据平面向量数量积坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】：（1）由题意可得，(c,0)F ，当x c =时，2222222221(1)c y c b y b y a b a a +=⇒=-⇒=±，所以得：22221223c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）由（1）可知，()1,0F -，(0,3A ，(3B ，过点F 且斜率为k 的直线方程为()1y k x =+，联立方程()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，故()()()222121212122911143k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+，又(11,3AC x y =，()223DB x y =-，(22,3AD x y =，()113CB x y =-， 所以AC DB AD CB ⋅+⋅ ()()()121212213333x x y y x x y y =-+-+1212622x x y y =--22224129622104343k k k k ⎛⎫-=-⨯-⨯-= ⎪++⎝⎭，整理可得22512243k k +=+，解得2k =± 【题型二】 直线设法【典例分析】已知抛物线2:2C y x =，过点()2,0P 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点. （1）求抛物线的焦点坐标及准线方程； （2）证明：以线段AB 为直径的圆过原点O .【答案】（1）焦点坐标1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程12x =-；（2）证明见解析.【分析】（1）由抛物线的标准方程即可求解.（2）方法一：讨论直线l 斜率存在或不存在，将直线与抛物线联立，证出12120OA OB x x y y ⋅=+=即可证明；方法二：当直线斜率为0或者设:2l x my =+，将直线与抛物线联立，证明0OA OB ⋅=即可证明. 【详解】（1）由抛物线的标准方程：22y x =焦点坐标1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程12x =-.（2）法一：①当直线l 斜率不存在时，:2l x =，()2,2A ，()2,2B -，0OA OB ⋅=. ①当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()222y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()22224240k x k x k -++=，200k ⎧≠⎨∆>⎩得0k ≠，①212242k x x k ++=，124x x =， ①()()()()222212121212121222124OA OB x x y y x x k x x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++()222224241240k k k k k+=+-+=.综上所述0OA OB ⋅=，①OA OB ⊥，故以线段AB 为直径的圆过原点O . 法二：当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.设:2l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，24160m ∆=+>，122y y m +=，124y y =-.①()()()()212121212121222124OA OB x x y y my my y y m y y m y y ⋅=+=+++=++++()()2412240m m m =-+++=.①OA OB ⊥，故以线段AB 为直径的圆过原点O .【变式演练】1.已知椭圆E ：过点，且离心率为．22221(a 0)x y b ab 2）22(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设过点（0，-1)直线交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．试题解析：解法一：(Ⅰ)由已知得解得所以椭圆E 的方程为．.(Ⅱ)设点，则 由所以 从而2.已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，点()2,3P 在E 上，F 为E 的右焦点.（1）求双曲线E 的方程；（2）设Q 为E 的左顶点，过点F 作直线l 交E 于,A B （,A B 不与Q 重合）两点，点M 是AB 的中点，求证：2AB MQ =.【答案】（1）2213y x -=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点可构造方程组求得双曲线方程；（2）易知直线l 斜率不为0，设:2l x ty =+，与双曲线方程联立后可得韦达定理的形式，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可得0QA QB ⋅=，证得QA QB ⊥，由直角三角形的性质可得结论. 解（1）由已知可得2c e a ==，2222214c b e a a∴==+=，解得：223b a =…①，又点()2,3P 在E 上，22491a b ∴-=…①，由①①可得：21a =，23b =，∴双曲线E 的方程为2213y x -=； （2）当l 的斜率为0时，此时,A B 中有一点与Q 重合，不符合题意. 当l 斜率不为0时，设:2l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，9(4-,0)2222,2,2,bca abc 222a b c 22142x y 1122(y ),B(,y ),A x x 112299GA(,),GB (,).44x y x y 22221(m 2)y 230,142x my my x y得12122223y +y =,y y =m 2m 2m ，121212129955GA GB()()(my )(my )4444x x y y y y 22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y 22172016(m 2)m联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=，则22Δ36360310t t ⎧=+>⎨-≠⎩，解得：213t ≠. ∴1221231t y y t -+=-，122931y y t =- ∴()()()()()()1122121212121,1,1133QA QB x y x y x x y y ty ty y y ⋅=+⋅+=+++=+++()()()()2212122291312139903131t t t t y y t y y t t +-=++++=++=--，QA QB ∴⊥，则QAB 是直角三角形，AB 是斜边， 点M 是斜边AB 的中点，12MQ AB ∴=，即2AB MQ =. 3. 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。
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圆锥曲线大题题型归纳
基本方法：
1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；
2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；
3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；
4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；
5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；
基本思想：
1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；
4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；
5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题
例1、已知F1，F2为椭圆
2
100
x
+
2
64
y
=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？
点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1-1 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且
12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
例3、（2014秋•市中区校级月考）已知椭圆C ：
221x y a b +=（a ＞b ＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由
点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明
变式3-1 （2012秋•沙坪坝区校级月考）已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(a＞b＞0)的离心率为
焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．
例4、过抛物线24y ax =（a >0）的焦点F 作任意一条直线分别交抛物线于A 、B 两点，如果AOB ∆（O 为原点）
2
S AB 为定值。
的面积是S，求证：
的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=
且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两
2
点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．
题型三“是否存在”问题
例5、（2012秋•昔阳县校级月考）已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y2=2px（p
变式5-1（2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由
点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。
变式7-1 （2006秋•宁波期末）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点Q（0，-1）且以为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直线l斜率的取值范围．
变式7-2 （2014•苍南县校级模拟）已知抛物线C ：y 2
=4x 焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，l 1、l 2
分别过点A 、B 且与抛物线
C 相切，P 为l 1、l 2的交点．
（1）求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程；
小结
解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。
解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：
一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=mmy+n 的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB 为直径的圆过点0”⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=-（提醒：需讨论K 是否存在）⇔0OA OB •=u u u r u u u r ⇔ 12120x x y y +=
②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题”
⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔1212x x y y +>0；
③“等角、角平分、角互补问题”⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）；
④“共线问题”（如：AQ QB λ=u u u r u u u r ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”
⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；
七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.。