大学 高等数学 竞赛训练 极限
大学生数学竞赛极限练习题
xn lim xn n lim ln xn n
由（ 1）可证 即lim ln n x1 x2 n
lim n
ln x1 +lnx2 + n xn lim ln xn n
+lnxn
◎基础数学协会◎3
西南交通大学数学学院
（3）设 lim n
xn xn n 存在(xn >0)，则 lim x lim n n n xn -1 xn -1 xn xn -1 xn -2 xn -1 xn -2 xn -3 x1 xn lim n 1 xn -1
1 x2 t 2 n 1dt 2 (2n 1)! 2 3 3 x x ( 1 x e )
n n
50.已知曲线 y= f ( x) 在 x=1 处的切线方程为 y x 1 ， 求 lim
x 0
x2 2 1 et f 1 e x et dt 2 x ln cos x 0
0
t n1 f x n t n dt ，求 lim
1 1 cos 2t dt 1 2 n 0 n n 4t
n 1 n
F x 。 x 0 x 2 n
1 n! n n
1 n
43. 求 lim
44. （1）设 f ( x) 对于 x 1 为一非负的增函数，证明 f (k ) f ( x)dx f (k ) ；
lim
k 1
n
en 。
n 1 k
k
1 2 n ln 1 ln 1 ln 1 n n n 36. 求极限 lim ... n 1 1 n1 n n 1 2 n
大学生数学竞赛经典题库
10月16日1:求极限30sin arctan lim x xx x -→.2:已知,0)0(,1)0(=='f f 求)2(lim nnf n ∞→. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<<+n x x x n n π求:(1)证明n n x ∞→lim 存在, (2)计算11)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1)(lim ,0)0(0=-=→xx f f x 则在点0=x 处)(x f(A) 不可导 (B) 可导,且,0)0(≠'f(C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 .6：求对数螺线θρe =在点)2,(2ππe 处得切线的直角方程.7：计算dx e e x x )(0cos cos ⎰--π.8：计算dx x x ⎰++42)2()1ln(. 9: 计算dx x x ⎰-π53sin sin .10: 化三重积分⎰⎰⎰Ω),,(z y x f 为累次积分,其中Ω为六个平面2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域..11：求222a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>==b b y m my x x截下部分面积. 12计算,)(22dxdydz y x I⎰⎰⎰Ω+=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体.级数部分 13:设1,32,1,11221≥+===++n a a a a a n n n ，求n n n x a ∑∞=1的收敛半径、收敛域及和函数。
解：把1,3212≥+=++n a a a n n n 化为),3(3112n n n n a a a a --=-+++则123++-n n a a 是以 －2为首项，－1为公比的等比数列，所以n n n a a )1(2312--=-++此式又可以化为])1(21[3])1(21[1122++++-+=-+n n n n a a 则1)1(21n n a -+是以 21为首项，3为公比的等比数列，所以1321)1(21-⨯+--=n nn a 由于,3lim =∞→n n n a所以nn nx a ∑∞=1的收敛半径是31，收敛域是)31,31[-，和函数是 )31)(1()1(31361121)3(61)(21111x x x x x x x x x x x a nn nn nn n-+-=-⨯++-⨯-=+--=∑∑∑∞=∞=∞= 14已知)(x f n 满足xn n n e xx f x f 1)()(-+='（n 为正整数），且nef n =)1(，求函数项级数)(1x fn n∑∞=之和（2001，3）.解：由已知条件可见x n n n e x x f x f 1)()(-=-'其通解为)()(1c n x e c dx e e x e x f nx dx x n dx n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-- 由条件n e f n =)1(，得0=c ，故ne x xf xn n =)(。
高等数学竞赛(极限)
4.设
lim
x→0
ln(1 +
x) − (ax + x2 et2 dt
bx2 )
=
+ e
dx x(ln x)2
，求常数
a, b.
0
5. lim x 1 (e−t2 −1)dt = x x→0 0 3 6. lim tan(tan x) − tan(tan(tan x))
x→0 tan x tan(tan x) tan(tan(tan x))
x→ bx − x
2
n
2． lim
1 = _____________.
( ) k n→ k=1 k + 3
3. 求 lim n3( 3 − 3 1 )
n→ n2 i=1 (n + i)2
4.
1 lim( n→ 2
+
3 22
+
5 23
++
2n −1 2n )
5. lim x2 + 2x + 3 x→ x −1
2
3. 已知 f (−x) = x[ f (x) −1] ，求函数 f (x) .
4. 已知 f (x) = lim n 1+ xn + ( x2 )n , x 0 ,求 f (x) .
n→
2
二、求极限
(一). 利用极限的四则运算法则求极限.
1．若 lim ax + 2 x arctan x = − ，则 a = _____；b = _____.
x 求 k 的取值范围. 3. 已知 f (x) 在[a,b] 上连续且 f (a) = f (b) ，求证
(a,b) ，使 f ( ) = f ( + b − a ) .
数学竞赛中的极限问题
（3）主要内容
1.高等数学竞赛中极限问题的归类整理
高学竞赛中的极限问题占总成绩较大的比重。因此，我们先整理出近年省及全国的竞赛题目，按其所属类别进行分类。
2.按类分析解答总结，得出各不同类别的极限求解方法
通过文献查阅，教授咨询，分析归纳，掌握极限求解的各种种类和题型，在经过大量访问和查阅文献的基础下，得出各类题型的解题思维对策。
2.学校有丰富的馆藏资源，国内外的对极限问题研究成果可为我们的课题研究提供资料和学习有用的方法。
4.有导师的专业指导，并已与导师探讨了本课题的实时性和实际价值。
5.所在的学院科研氛围浓厚，并且有强有力的师资力量，学校也很鼓励学生的科研活动，在这样良好的科研氛围中，我们可以做到全身心的投入到该课题之中
2．研究手段
1.文献法。通过文献研究活动，对前人的研究成果加以整理、吸收、归纳，作为我们研究的借鉴。查找的主要内容包括国内外对于极限问题以及相应的思维对策研究，以及在研究过程中出现的问题进行文献查找。
2.个案法。对个别的开放题进行深入的简答，从中找到极限问题的一般通用解题模式。
3.经验总结法。根据以往的极限问题思维模式，对得出结论进行修，丰富其的使用价值。并更好的进行拓展应用。
苏峰
10900126
通信工程101班
635369
材料总结、撰写论文
吴慧娴
10900113
通信工程101班
614687
材料收集、撰写论文
二、课题设计思路
1.课题研究的背景、目的、内容和步骤
（1）背景
高等数学是理、工科院校一门重要的基础学科。近年来，高等数学的重要性日愈突出，各省市、各高校纷纷举办各种形式的高等数学竞赛，为的就是培养高数方面的人才，高数的重要性可见一斑。而作为高数中重要的一部分，极限问题已经成为了历年高数竞赛的热门，成为必考的一部分。极限问题贯穿整个高数的始末，灵活多变，出题方向多样，常常是出题者的最爱，却是考生头疼的对象。但不可否认，极限思想是解决高数问题的一种有效途径，不可摒弃，只能攻克。
十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答
y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时， ， 由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解 设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、 （每小题
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。
高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、填空题 若 lim sin x (cosx -b) =5，则 a = i 0e X -a 设 f(X)= lim (n 2 "x,贝U f (x)的间断点为 x= ______ . nx +1 曲线y=lnx 上与直线X+y=1垂直的切线方程为 ________________________________ . 已知 f (e X ) =xe 」，且 f(1)= 0,贝u f (X)= ___________ . l x =t 3+3t +1设函数y(x)由参数方程彳 3确定，则曲线y = y(x)向上凸的x 取值[y =t -3t +11. 2.3. 4.5.范围为6.i 2x 设y =arctane X - InV e 2x17.若 X T 0时，(1 -ax2)4 -1xe x 2设 f (x) - {-1与xsinx 是等价无穷小，则a=1 < —2，则2B f(x —1)dx =29. 由定积分的定义知，和式极限lim ^n n 2+k 210. '1 8 dx X J X 2-1 二、单项选 择题 X x -— X T 0 时的无穷小量 a = Lcost 2dt,P = T tan 寸tdt,Y = 11 .把是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【】(A)a ,P ,Y . (B) a ,Y , P . (C) P^J . 12•设函数f(x)连续，且f(0) :>0,则存在6 >0，使得 【 (A) f(x)在(0, 6)内单调增加. (C )对任意的 X 忘(0, 5)有 f(x)>f(0).13 .设 f(X)=|x(1-X)| ,贝U 【<x3 [si nt dt ,使排在后面的】(B ) f(x)在(-■& ,0)内单调减少.(D)对任 意的 X 亡(一6,0)有f(x)>f(0). (A ) (B) (C) (D ) =0是f (X)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f (X)的拐点. =0不是f (X)的极值点，但(0, 0)是曲线y = f(x)的拐点. =0是f (X)的极值点，且(0, 0)是曲 =0不是f (X)的极值点，(0, 0)也不 线y = 是曲线 f ( x)的拐点. y = f (x)的拐点. 14 . lim In 『(1+丄)2(1+2)2|II (1+卫)2等于 ¥ n n n 血X2 n2 (B) Zjxdx . [(c)2J In(1+x)dx .2 2(D)J In2(1 + x)dx15 .函数 (A)(一、| x |sin(x -2)亠 f(X)= --- --- 一在下列哪个区X (X -1)(X -2)21 , 0). (B ) (0 , 1).间内有界.【(C) (1 ,2). (D) (2,3).16.设 f(X)在(+ )内有定义，且lim f(x)=a ，ggJGw 0，则【】高等数学竞赛试卷Y ［ 0 ,x=0 (B) X = 0必是g(x)的第二类间断点. (D) g(x)在点X = 0处的连续性与a 的取值有关. 】 (A) X = 0必是 (C) X = 0必是 17 .设f '(X)在［a , b ］上连续，且f "(a) >0, f'(b) v0，则下列结论中错误的是【 X 0 € (a, b)，X 0 (a,b)， X 0 丘(a,b)， X 0 亡(a,b)，g(x)的第一类间断点. g(x)的连续点. (A ) (B ) (C )(D ) 18 .设 (A) (B) (C) (D) 至少存在一点 至少存在一点 至少存在一点至少存在一点 使得 使得 使得 使得 f (X 0) > f (a). f (X 0)> f (b). f'(X 0)=O . f (X 0)=0. ,1, X >0 f(x) =40,x =0，F(x) ［-1, x <0 点不连续.)内连续，但在X = 0点不可导.)内可导，且满足 F(x) = f(x).)内可导，但不一定满足F'(X)= f (x). F(x)在 X = 0 F(x)在( F(x)在(F(x)在( 三、解答题 1 r< 2 19.求极限ljm —(一 20 •设函数f (X)在(—壬 +再上有定义，在区间［0, 2］上,f(X)= x(x — 4),若对任意的X 都满足 f(X)=kf(X +2),其中k 为常数.(I )写出f (X)在［—2, 0］上的表达式;(n )问k 为何值时，f(x)在x = 0处可导.21 .设f ( X )，g (X )均在［a, b :上连续，证明柯西不等式 2 + COSX f 「b (x)dx h a 2 2 2 4 22 .设 ecacbce ,证明 ln b-ln a 》一f(b-a). e f (x)g(x)dx i 兰 if f 2 g 2(x)dx j X 丄 — e 中e 23曲线y =— ---- --- 与直线x=0, x = t(t> 0)及 y = 0围成一曲 边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其 体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t 处的底面积为F(t).( I )求 V(t) X X24 .设 f (X) , g(x)在［a , b ］上连续，且满足 J f (t)dt > Jg(t)dt ，x a a 的值;(n ) lim -S(^). t -就 F(t) bb［a ,b)，J a f(t)dt = J a g(t)dt .证明：［b xf(x)dx < f bxg(x)dx . •a 'a25. 速并停下.现有一质量为9000kg 飞机的速度成正比(比例系数为 表示千米/小时.尾部张开 减速伞，以增大阻 力，使飞机迅速减 经测试，减速伞打开后， 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的 瞬间，飞机的飞机，着陆时的水平 速度为 700km/h. k=6.0x106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？飞机所受的总阻力与 注 kg 表示 千克，km/h 一、单项选择题 2 X -ax — b 尸 0 1、若 ％+1 (A ) a =1, b =1(B) a=T, b =1 (C) a =1, b =—1 (D)a = —1, b=—1F（x ）2、设 F （x ）詔 x ，［f（0）,（A ） 连续点 （B ）3、设常数k A O ，函数 X 工0 c，其中f （x ）在X =0处可导且f '（0） H 0X ：= 0 第一类间断点（C ） 第二类间断点 （D ）以上都不X f （X ）= In X —一 +k 在（0, xc ）内零点的个数为e f (0) =0，贝U X = 0 是 F(X)的 (C) 4、若在［0,1］上有 f ( 0 > g (0=) 0, 4 g) = ab)且 f''X 另，0 g”(x)c0 ,I1 =f （X ）dx ，I 2 5、 1 = J o g(x)dx ，I 3 I 1 > l 2> 图形0<a<x<b, 0<y<f(x 绕y 轴旋转所成 的旋转体 bb(A) 由平面 (A) 6、 7、1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、1=f ax dx 的大小关系为 j 0 ------------------I 3 ( B ) I 2 > I 3 二 I 1 ( C )V =2兀 J xf(Mdx( B ) V =2和 f ( x) d X C )VP(1,3,4)关于平面 3x + y —2z =0的对称点是_( A ) (5, —1,0) 设D 为 X 2 + y 2<R 2，D 1 是 D 位于第一象限的部分，f (X)连续， 2(A)8JJf(X 2)dcrD 1(B ) 0( C )a 为常数，则级数二、填空题3 l ：m tan 2x （1 hm —4—（1X —30 X y r sin(na) 1 1n 2"T n J13 — 12 — 11 的体积为 ___________ b2=兀 Ja f (x)dX (B ) (5,1,0) 则 JJ f (x 2D R R 2Jdxjj(x+ y 2)dy(D)bV " Ja f (x)dx (C ) (-5,-1,0) ( D ) (-5,1,0) + y 2)dcr = _______ (D ) (D )4JJf(x 2 D 1+ y 2)db绝对收敛（B ）发散C ）条件收敛（D ）收敛性与a 的取值有关个。
1函数、极限、连续全程版-高等数学竞赛知识汇总.
函数、极限、连续一、考试内容函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
（一）函数1、函数(Function)的定义设D是一个非空实数集合，若∃对应关系f，对于∀x∈D，按照f，对应唯一确定的y∈R，称f是定义在D上的函数, 习惯上也称y是x的函数，记为y=f(x).notes：1. 两个常用的数学符号： 0∀: “任意”或“任意一个”，它是英文单词Arbitrary“表示任意的”打头字母A的倒写；∃: “存在，它是英文单词Existence“表示存在” 打头字母E 的倒写.2、基本初等函数为以下五类函数μy=x(1) 幂函数，μ是常数．图Ⅰ—1xy=a(2) 指数函数 (a是常数且a>0，a≠1)，x∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—2(3) 对数函数 y=logax(a是常数且a>0，a≠1)，x∈(0,+∞)．对数（Logarithm）是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.图Ⅰ—3(4) 三角函数1.何谓正？何谓余？正就是正角。
余就是余角，就是90度减去正角.2.何谓弦？何谓切？何谓割？弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线". 其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.正弦函数 y=sinx，x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,1]．图Ⅰ—4余弦函数 y=cosx，x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,1]．图Ⅰ—5正切函数 y=tanx，x≠kπ+π2，k∈Z，y∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—6余切函数 y=cotx，x≠kπ，k∈Z，y∈(-∞,+∞)．图Ⅰ—7(5) 反三角函数y=arcsinx反正弦函数， x∈[-1,1]，y∈[-ππ,]22．图Ⅰ—8反余弦函数 y=arccosx，x∈[-1,1]，y∈[0,π]．反正切函数反余切函数y=arctanx，y=arccotx，图Ⅰ—9 x∈(-∞,+∞)，y∈(-ππ2,2)．图Ⅰ—10 x∈(-∞,+∞)，y∈(0,π)．图Ⅰ—113、由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为．高等数学的主要讨论对象是初等函数．（1）幂指函数：y=u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)．4、分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数. 即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．⎧1,x>0⎪（1）符号函数：y=sgnx=⎨0,x=0,xsgnx=x,xsgnx=x．⎪-1,x<0⎩（2）高斯函数：函数y=[x]，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数x,[x]是不超过x的最大整数，称[x]为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数y={x},{x}=x-[x]. x图I －12x-1<[x]≤x<[x]+1，y=[x]是不减函数，即若x1≤x2则[x1]≤[x2]，其图像如图I －13；y={x}是以1为周期的周期函数，如图I －14.图I －13 图 I －14（图I －13中，空心点与实心点应反调）（3）极值函数：max{f(x),g(x)}=⎨⎧⎪f(x),x∈{xg(x)≤f(x)}1=[f(x)+g(x)+f(x)-g(x)]，⎪⎩g(x),x∈{xg(x)>f(x)}2⎧f(x),x∈{xf(x)≤g(x)}1⎪min{f(x),g(x)}=⎨=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x)]． g(x),x∈{xf(x)>g(x)}2⎪⎩对数一、三而言，在概率论中有极值分布max{X,Y},min{X,Y}．5、隐函数：若方程f(x,y)=0能确定y与x的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数y=y(x)，但其未必能显化．函数都是方程，但方程却不一定是函数．⎧x=ϕ(t)6、若参数方程⎨能确定y与x的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数y=ψ(t)⎩y=y(x)，但其未必能显化．有时消参后，原参数方程仅能转化为f(x,y)=0．7、函数的奇偶性sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln(x+，f(x)-f(-x)x,cosx,f(x)+f(-x)为偶；奇±奇=奇，奇±偶（非零常数）=非奇非偶，奇⨯（÷）奇=偶，奇⨯（÷）偶=奇．（二）极限1、函数自变量变化过程的方式n→∞:自变量取正整数且无限增大的过程；x→+∞:自变量取正数且无限增大的过程x→-∞:自变量取负数且其绝对值无限增大的过程x→∞:自变量绝对值无限增大的过程x→x0+:自变量从x0的右侧向x0无限趋近的过程x→x0-:自变量从x0的左侧向x0无限趋近的过程x→x0:自变量向x0无限趋近的过程，也指x∈(x0,δ)，δ为正小数．2、无穷小量与无穷大量：若limf(x)=0，则称f(x)为某自变量变化过程时的无穷小量，零为无穷小量；若limf(x)=∞，则称f(x)为某自变量变化过程时的无穷大量．在同一自变量变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量．无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量，无穷大量为无界变量的充分不必要条件．3、基本函数的极限11αααlim=,lim=;limx=(α<0),limx=(α=0),limx=(α>0); x→+∞x→+∞x→+∞x→0-xx→0+xlimex=limex=0,limex=,limex=/; limax=，limax=/(a>0,a≠1) x→0x→-∞x→+∞x→∞x→0x→∞x→-∞limax=,limax=(0<a<1);limax=limax=(a>1); x→+∞x→-∞x→+∞x→0+limlnx=-∞，limln(1+x)=0，limlnx=+∞; x→0x→+∞x→∞limsinx=cosx=limtanx=,limcotx=; x→∞x→πx→02limarctanx=limarctanx=-,limarctanx=,limarctanx=; x→0x→-∞x→+∞x→∞ππlimarccotx=x→0,limarccotx=π,limarccotx=0,limarccotx=/．x→+∞x→∞2x→-∞4、记忆以下几个关于极限的充要条件①limxn=a⇔limx2k-1=limx2k=a；n→∞k→∞k→∞π②limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A；x→∞x→-∞x→+∞③limf(x)=A⇔f(x0)=f(x0)=A；x→x0-+④limf(x)=A⇔f(x)=A+α,且limα=0．5、无穷小的比较：在同一极限过程中，设α=α(x)，β=β(x)均为无穷小，则β ①如果lim=0，称β是比α高阶的无穷小；记作β=o(α)；或称α是比β低阶的无穷小；αβ②如果lim=c(c≠0)，称β与α为同阶无穷小；αβ特别当c=1时，即lim=1称β与α为等价无穷小，记作β~α；αβ③如果limk=c(c≠0,k>0)，称β是α的k阶无穷小．α6、无穷小的等价代换定理：设α，α'，β，β'是同一极限过程中的无穷小，且满足α~α'，β~β'，及α'αα'lim存在或为无穷大，则：lim=lim. β'ββ'记住当x→0时，下列的等价关系： arcsinx~arctanx~sinx~tanx~ex-1~ln(1+x)~x,ax-1~xlna,loga(1+x)~a，xx2x21-cosx~,lncosx~-1~,(1+x)α-1~αx(α≠0)． n227、极限存在准则（1）夹逼准则：在同一极限过程中，函数f(x)，g(x)，h(x)满足① g(x)≤f(x)≤h(x) ② limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)存在，且limf(x)=A．（2）单调有界准则：单调增（减）、上（下）有界的数列必有极限（收敛）．收敛数列必有界．8、极限逆问题中两个常用的结论：（1）limf(x)存在，limg(x)=0⇒limf(x)=0; g(x)（2）limf(x)=A≠0,limf(x)=0⇒limg(x)=0． g(x)（三）连续1、连续的定义: 若limf(x)=f(x0)，称f(x)在x0处连续，否则，x0为f(x)的间断点．x→x0-+若f(x0)=f(x0)，称f(x)在x0左连续，若f(x0)=f(x0)称f(x)在x0右连续．若对∀x∈(a,b)，使得f(x)连续，称f(x)在(a,b)内连续，即对∀x∈(a,b)，求证lim[f(x+h)-f(x)]=0.h→0进一步，若f(a+)=f(a),f(b-)=f(b)，称f(x)在[a,b]上连续．2、间断点及其类型1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点．可去间断点:左极限=右极限的间断点．跳跃间断点:左极限≠右极限的间断点．2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点．3、连续函数的性质1）连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续；2）初等函数在其定义区间内处处连续，初等函数在其定义点处的极限为其定义点处的函数值；3）闭区间上连续函数的性质（1）最值（有界）、介值性：若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上上必有最大值和最小值（当然有界），且f(x)在[a,b]上也可取到介于它在[a,b] 上最小值与最大值之间的一切值.(2）零点定理:若f(x)在[a,b]连续,且f(a)⋅f(b)<0,则必∃ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0．（介值定理与零点定理将结合微积分中值定理进行应用）二、典型例题题型一复合函数⎧2-x2,|x|<1⎧0,x<0例1、设f(x)=⎨, g(x)=⎨，试求f[g(x)],g[f(x)]. 1,x≥0|x|-2,|x|≥1⎩⎩2⎧⎪2-f(x),解：g[f(x)]=⎨⎪⎩f(x)-2,f(x)<1⎧2,f(x)=0⎧2,=⎨=⎨f(x)≥1⎩-1,f(x)=1⎩-1,x<0 x≥0⎧0,g(x)<0⎧⎪0,1≤x<2. f[g(x)]=⎨=⎨1,g(x)≥0⎩⎪⎩1,x<1或x≥2⎧3x-2x2，3x-2x2≤x3⎧3x-2x2，x∈[-1,0]⋃[3,+∞]例2、min{3x-2x,x}=⎨3.=⎨3233x-2x>x⎩x，⎩x，x∈(-∞,-1)⋃(0,3)23例3、已知f(x+1)的定义域为[0,1],，求f(2x+3)的定义域.1解：x∈[0,1], 则x+1∈[1,2]，于是2x+3∈[1,2]，故x∈[-1,-]. 21例4、设f(x)和g(x)互为反函数，则f[g(3x)]的反函数为(B) 211x1(A) g[f(3x)] (B) f[2g(x)] (C) g[2f()] (D) 2g[f(x)] 2333111解：y=f[g(3x)]，则g(3x)=g(y)，即g(3x)=2g(y)，于是3x=f(2g(y))，即x=f(2g(y)) 22311故y=f[g(3x)]的反函数为y=f[g(3x)]. 22题型二函数性态例1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)ex-e-xx2011tanx2+1 (C) lnx(A) [x] (B) (+x+1) (D) cosx+20112例2、当x→∞时，变量xcosx是(D)（注意函数的局部性质）(A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界量 (D) 无界量例3、设limf(x)=A，下列结论成立的是(C) x→x0(A)存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>A (B) 存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)<A(C) 若A>0,则存在δ,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>0(D) 若当x∈U(x0,δ)时,f(x)>0,那么A>0.注1：若limf(x)=A，则对∀ε>0，存在δ,当x∈U(x0,δ)时，总有A-ε<f(x)<A+ε（局部有界）. x→x0注2：若limf(x)=A，当x∈U(x0,δ)时,f(x)>0,那么A≥0（局部保号）. x→x0例4、y=x+1在下列区间中有界的是(A) x2-1(A) (-∞,-1) (B) (-∞,1 ) (C) (-1,+∞ ) (D) (1,+∞)注：若f(x)在(a,b)内连续，且f(a+)=A,f(b-)=B,则f(x)在(a,b)内有界.题型三未定式计算（限于例1、求极限：∞0∞，，0⋅∞，1，另三种∞-∞，∞0,00以后讲）∞0(2x+1)4(x-1)6-5x(x8+x)（1）lim；（2）；（3）；10x→0x→x→∞(x+2)（4）limx→0(x+1)-132x-23x∞∞2231x；（5）limx→2cot3x；（6）limx2(x+8-x+1)；（7）lim(cosx)cscxx→0x→∞cot5x1151(2+)4(1-)6-(1+7)=16. 解（1）：原式=limx→∞(1+)10x解（2）：原式=lim00x⋅xxln3⋅(-)x2x→∞=-2. ln3sinxtanx-1-1解（3）：原式==0. x→1ln3-2001xln3+(-)x20注：等价无穷小代换可在,0⋅∞中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证0x→∞原式=lim00x-x=0(⨯)（sinx-tanxx-x是错的）整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开ln(x3+1)e-111=lim2x2lim=解（4）：原式=lim2x2(2ln3-3ln2)x2. x→0x→0x→0(2ln3-3ln2)x22ln3-3ln23[e-1]]3ln(x3+1)xa注：当x→0时，ax-bx~xln,(1+x)α-(1+x)β~(α-β)x(α≠β),(1+x)x-1~x2. b解（5）：原式=limt→0x=-t2πtan3t3=. tan5t5007解（6）：原式===. x→∞x→∞30⋅∞1∞limlncosxsinx2解（7）：原式=e注：limu(x)v(x)1∞x→0=ex→0limcosx-1x2=e. -12=elimv(x)lnu(x)lnu(x)u(x)-1limv(x)[u(x)-1]=e=a. 题型四极限存在题型例1、判断下列极限存在吗？arctanxx-1(a>1)lime；；（3）（4）limx→∞ax-1x→1x-1x→∞x→0tan3x⎛1⎫1+x22n2⎪;（7）lim（5）（6）lim ++⋅⋅⋅+6662⎪n→∞1+x2nx→0n→∞ n+2nn+n⎭⎝n+n1n(n+1)(2n+1)122n2n(n+1)(2n+1)提示：（6）因，则原式= ≤+++≤36n6+n2n6+nn6+2nn6+n26n6+n（1）x)；（2）lim21x-1sinx2+x4sin1⎧1+x,x<11+x⎪（7）lim=⎨1,x=1 n→∞1+x2n⎪0,x>1⎩注1：x→∞时，x-x，ax，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究x→+∞,x→-∞x→∞时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则注5：极限函数f(x)=limF(x,n)的求法，要注意对x取值范围的讨论，如xn,anx,arctannx等. n→∞nn+ +am,其中ai>0(i=1,2, ,m)。
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大学生数学竞赛训练一（极限）一、计算()()()23400sin ln 138lim sin 1xx x x x t t dt x x e →+-+--⎰解：因为()()3333311sin 666x x x x x x x x x οο⎛⎫-=--+=+ ⎪⎝⎭ 原式()()343200054sin ln 1sin ln 1382limlim 1566xx x x x x t t dt x x x x x →→+-++-+==⎰ 又因为()()()332332332sin ln 126232x x x x x x x x x x x x x οο⎛⎫⎛⎫+-+=-+-++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()4441166x x x ο=+ 所以()()()23400sin ln 1138lim 5sin 1xx x x x t t dt x x e →+-+=--⎰。
二、计算()ln lim xx x ex→+∞⎫+⎪⎪⎝⎭解：因为10limlimx t x tt +→+∞→== 0lim t +→=⎝⎭()()32432011134lim 12t t t t t tt t t t +→⎛⎫+++++ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭()ln lim 1x x x e x→+∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()lim ln x x x e x →+∞⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()()lim ln ln x x x x e e →+∞⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()lim ln 10x x xe -→+∞⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭所以()ln 1lim 12x x x e x →+∞⎫+⎪=-⎪⎝⎭。
三、计算()()221011221!2x nn n x x t dt n ∞+→--+∑⎰解：设()()()21011221!nn nn S t t n ∞+==-+∑，则 ()()()2101121!n nn S t n +∞==-+ ()()()()12211333x e x x x x x xx οοο=++-++=-+-，所以 ()()221004113x nn n x x x t dtx ∞+→→--+=-∑⎰2200031122lim 8323x x x x x x →→→-⋅====--。
四、计算2203022sin lim lim 2arctan 1arctan txx x t y dyx t t π+→+∞→⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰解：因为22ln arctan 22lim arctan 1lim 1x xx tx x x et ππ→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22224221112arctan ln arctan 12lim ln arctan lim lim 11x x x x x x t x t t t x t x xππ→+∞→+∞→+∞+==-42224222lim x t x t t t x ππ→+∞-==-+22220sin t t xy dy dy y dx y dy ==⎰⎰⎰，所以2222032300222sin lim lim lim 2arctan 1arctan 1arctan tx xt x t t y dyy dyx t e t t ππ++→+∞→→-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰2070022lim72t t y dy t t πππ++→→===---⎰ 五、设数列{}n x 定义如下()()110,1,11,2,n n n x x x x n +∈=-=证明：极限lim 1n n nx →∞=。
证明：方法一、 考虑函数()()[]10,1f x x x x =-∈，因为()12f x x '=-，当12x =时，()0f x '=。
由此可得12x =时，()f x 在[]0,1上的最大值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是递增的。
所以()211110143x x x <=-≤< ()32211111011133344x x x ⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…… …… ()122111110111111n n n x x x n n n n n ---⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ()1111111011111n n n x x x n n n n n --⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ …… …… 由于011n nnx n <<<+，()()()()()1111110n n n n n n n n x nx n x x nx x n x ++-=+--=-+>，所以数列{}n nx 是单调有界的，由单调有界准则可得lim n n nx →∞存在。
显然，0lim 1n n nx →∞<≤。
现证明lim 1n n nx →∞=，用反证法证明，设lim n n nx A →∞=，且01A <<，取()114A ε=-，因为lim ,lim 0n n n n nx A x →∞→∞==，所以存在整数0N >，当n N >时有()()111,0144n n nx A A x A εε-<=--<=- 1311,4444n n nx A x A <+<-()()1112n n x A +<+()()()()()()()()111111111111n n n n n n n n n n n x n x x nx x n x nx x x n x +-->+=+-=+-+=-+-+()()()()1111111n n n n n n x x nx x n x ---=-+-+-+ ()()()()()()()1111111121111N N N n n n n n N x x N x n x x nx x n x +++---=++-+++-+-+-+()()()()()11111111112nnN k k N k k N k N N x x k x N x A x ++=+=+=++-+>++-∑∑由此可得正项级数1n n x ∞=∑收敛；另一方面，由111n n x nx x x n ≥⇒≥，级数11n x n ∞=∑发散，由比较判别法，正项级数1n n x ∞=∑发散，这是一个矛盾，所以lim 1n n nx →∞=。
方法二、考虑函数()()[]10,1f x x x x =-∈，因为()12f x x '=-，当12x =时，()0f x '=。
由此可得12x =时，()f x 在[]0,1上的最大值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是递增的。
所以()211110143x x x <=-≤< ()32211111011133344x x x ⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…… …… ()122111110111111n n n x x x n n n n n ---⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ()1111111011111n n n x x x n n n n n --⎛⎫⎛⎫<=-≤-<-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ …… …… 由夹逼准则可得，1lim 0limn n n nx x →∞→∞=⇒=∞，又因为()1111111110111n n n n n n n n x x x x x x x x ++==+⇒-=>--- 所以数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增的，利用斯托尔茨定理()()2121111lim lim lim lim lim lim 11111n n n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x n n nnx x x x x x x x +→∞→∞→∞→∞→∞→∞++-+-=====-=--。
六、设函数()f x 在区间[,)a +∞上有定义，且在每一个有限区间(),a b 上()f x 是有界的，如果()()()lim 1x f x f x A →+∞+-=，证明：()limx f x A x→+∞=证明：对于任取的0ε>，因为()()()lim 1x f x f x A →+∞+-=，所以存在0X >当1x X >时，有()()13f x f x A ε+--<取11x X >+，令[]11,n x X l x X n =-=--，则有01l ≤<()()()()111f x f X l n f X l f X l n A A xx n x++-++-=+- ()()()1111f X l n f X l f X l X l n A A x n x x ⎛++-+⎫++=-+-⎪⎝⎭因为 ()()11133A f X l f X l A εε-<++-+<+()()112133A f X l f X l A εε-<++-++<+…… ……()()11133A f X l n f X l n A εε-<++-++-<+所以()()113f X l n f X l A nε++-+-<由于在每一个有限区间(),a b 上()f x 是有界的，所以存在20X >，当2x X >时有()11,33f X l X l A xx εε++<< 取{}12max 1,X X X =+，当x X >时有()()()()1111f x f X l n f X l f X l X l n A A A xx n x x ⎛++-+⎫++-=-+- ⎪⎝⎭()()()1111f X l n f X l f X l X lA A n xxε++-+++<-++< 由此可得()limx f x A x→+∞=。