10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积
旋转曲面的面积
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。
微 step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间
元 法
n
[ xi1 , xi ] (i 1 ~ n),则A Ai
i 1
step2. 近似： i [ xi1 , xi ], 计算 i f (i )xi
微 元 法
求出 A f ( x)dx (局部量) 并记 dA f ( x)dx 称为面积元素
step3: 计算 A
b
f ( x)dx
a
这种方法称为定积分的元素法或微元法。
一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:
1。Q是与某一变量x的变化区间[a,b]有关的量；
2。Q对于[a,b]区间具有可加性；
记ds 1 y2 dx
弧长微元
M2 M1
3。S= a 1 y2 dx b
o
A
M
a
0
x
x x
bx
一般地，如果旋转曲面是由平面光滑曲线
二 段 y f ( x) ， x a,b ( f x 0) 绕 x轴旋
旋 转
转一周而成的，旋转曲面的面积为多少？
取积分变量为x ，
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间 [a,b] 上满足两个条件：
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就
等于各个小区间上的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法
1 求微元
写出典型小区间 [ x, x dx] [a, b]
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面图形的面积
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线y =f (x )(≥0),以及直线x =a ,x =b (a <b )和x 轴所围曲边梯形的面积为()b ba a A f x dx ydx ==⎰⎰，如果f (x )在[a ,b ]上不都是非负的，则所围图形的面积为|()|||b ba a A f x dx y dx ==⎰⎰，一般地，由上下两条连续曲线y =f 2(x )和y =f 1(x )以及两条直线x =a , x =b （a <b ）所围的平面图形，它的面积计算公式为21[()()]b a A f x f x dx =-⎰ 例1 求由抛物线y ²=x 与直线x -2y -3=0所围平面图形的面积。
解 该平面图形如图所示。
先求出抛物线与直线的交点坐标(1,-1)、(9,3)，用x =1把图形分成左右两部分，应用公式得11004(23A dx ===⎰⎰，921328]23x A dx -==⎰，所以A=A 1+A 2=32/3.本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x =y ²，x =2y +3,y ∈[1,3],改取积分变量为y ，便得32132[23]3A y y dy -=--=⎰。
设曲线C 由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，在[α,β]上y(t)连续，x=x(t)连续可微且x'(t)≠0（对x(t)连续，y=y(t)连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论），记a=x(α),b=x(β)(a<b 或a>b)，则由曲线C 及直线x =a 、x =b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为|()()|A y t x t dt βα'=⎰ 例2 求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解 摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，所求面积为2222200(1cos )[(sin )](1cos )3A a t a t t dt a t dt a πππ'=--=-=⎰⎰ 如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]是封闭的，既有x(α)=x(β),y(α)=y(β),且在(α，β)上曲线自身不再相交，那么由曲线自身所围成的图形面积为|()()|A y t x t dt βα'=⎰（或|()()|A x t y t d t βα'=⎰），此公式可由前面推出，绝对值内的积分，其正负由曲线x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]的旋转方向所确定。
第十章数学分析课件10.1
二、参数方程表示的 平面图形的面积
x x( t ) 设曲线C 由参数方程 , t [ , ] 表示, y y( t ) 其中 y( t ) 连续, x( t ) 连续可微.
1、 若 x( ) a , x( ) b , x( t ) 在 [ , ] 上单调增,则
S ( A) | y |dxx x(t ) | y(t ) | x(t )dt
a
b
| y(t ) | ( x(t ))dt
y( t ) x( t )dt .
因此,不论 x(t)递增或递减, 注1、在某一区间上 x(t ) 不是同一符号时，需利用 积分区域的可加性，分开区间去求；
y
由图形的对称性,
1 S ( A) 4 a 2 cos 2 d 2
a 2 sin 2
π 4 0
π 4 0
O
a/2
a x
a2 .
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作
业
P246 1,
2,
3,
4,
5,
6.
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例4 求心脏线 r a(1 cos ) 所围平面图形的面积. 解
注 也可利用对称性.
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y 型区域: B ( x , y ) | g1 ( y ) x g2 ( y ), y [c , d ] ,
其中 g1 ( y ), g2 ( y ) 是定义在[c, d ] 上的连续函数.
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x 型区域 A
y
y f2 ( x )
通过上移
y
y f2 ( x ) M
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰－图10-1二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．图10-2 图10-3对[a，b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）于是由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为2．旋转体的体积a b上的连续函数，Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．（2）定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ （10-2）（3）性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．2．曲率 （1）定义如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．图10-4（2）计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程（10-1）给出，则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2．如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1．梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．解：该平面图形如图10-1所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为图10-12．求由曲线与直线所围图形的面积．解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。
华东师范大学数学分析第10章
(5)r a sin3 3 (a 0,0
3 );
(6)r a ( a 0),0
2.
解
(1)s
b 1
y '2 ( x)dx
a
s
4 1
0
9 4
xdx
8 27
(10
10
1)
(2) x cos4 (t ), y sin4 t
s 2 x 't2 y '2t dt 0
2 4sin t cost cos4 t sin4 tdt 0
a 64
2
3
(3)
'( y)
[a
1
] y2
b2
a b
(1
) y2
1 2
b2
y,
[ '( y)]2
[
b a
(1
) y 2
b2
y]2
(1 a2
b2
y2 b2 )
1
y2
a2 b2
b2 y2 ( b ,
b
S2
( y) 1
b
'2 ( y)dy 2
b
y2
a1 b
b2
a2 y2 1 b2 y2 dx
5 10
x
1 2
x
从而它的面积为
1 2
x
1 2
x
xOz平面上椭圆方程为
1 4
x2
x2 10
z2 42
1
则 PQR 面积为 25 1
Z2 42
于是所求体积
V
4 2 25 1
0
dz z2
42
2 | 25z 100 z2 4
16
30
华师版七年级数学下册精品课件(HS) 第10章 轴对称、平移与旋转 专题课堂(十) 图形变换的应用
6．(原创题)如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点 A与CB延长线上的点E重合.
(1)三角尺旋转了多少度？ (2)连结CD，试判断△CBD的形状； (3)在等腰三角形中存在“两个底角相等”的事实，请用这个结论，求∠BDC的度 数． 解：(1)因为∠ABC＝30°，所以∠ABE＝180°－∠ABC＝180°－30°＝150°， 即三角尺旋转了150° (2)因为由旋转的特征可知BC＝BD，所以△CBD是等腰三角形 (3)因为△BCD是等腰三角形，所以∠BCD＝∠BDC.∴∠DBE＝∠BCD＋∠BDC＝ 2∠BDC.又因为由平移的特征知∠DBE＝∠CBA＝30°，所以2∠BDC＝30°，所以 ∠BDC＝15°
(3)略
(3)选择图③，④中的一种说明理由．
解：(2)画图如下：
(3)略
分析：(1)由平移的特征可知∠C＝∠BED＝45°，根据三角形的内角和求出∠A； (2)由平移的特征可得 DE＝AF，DE＝FC，则 AF＝CF＝DE＝12 AC，可求出 DE； (3)由(2)即可得出结论．
解：(1)∠A＝65°，∠C＝45° (2)DE＝6 cm (3)成立，理由：由平移可得 DE＝AF，DE＝FC，所以 DE＝AF＝FC，所以 2DE＝AF＋FC，所以 2DE＝AC， 所以 DE＝12 AC
点E处，若∠A＝25°，则∠CDE的度数为( C ) A．50° B．65° C．70° D．75°
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，
定积分的应用(体积、旋转体的侧面积) ppt课件
因为2 y dx 不是薄片侧面积△S 的
的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程
y y f (x)
oa x b x ds dx
给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为
S 2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a (1 cost) a (1 cost) d t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
y
4a2 2 sin4 t d t
0
2
8a2 sin4 u d u 0
16 a2 2 sin4 u d u 0
解：解方程组
x2 y x
y
2
2
2
y
y x2
得交点(1, 1) ，(1, 1) 。
1 o 1 x
Vx 1 (2 x2 )dx 1 x4dx
x2 y22
1
2
1
(2
x
2
1
x4 )dx
2(2 x
x3
x5
)
1
0
3 50
2(2 1 1) 44. 3 5 15
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
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§4 旋转曲面的面积
定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理.
一 微元法
在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ=
⎰,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b
a b f x dx Φ=⎰,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者
说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。
在任意小区间[x,x+∆x]⊂[a,b]上恰当选取Φ的微小量∆Φ的近似可求量∆'Φ（指用来近似代替∆Φ的有确定意义而且可以计算的量。
例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）∆'Φ是以f(x)为长，∆x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，∆'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，∆x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。
若能把∆'Φ近似表示为∆x 的线性形式∆'Φ≈f(x)∆x,其中f(x)为某一连续函数，而且当∆x→0时∆'Φ-f(x)∆x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b
a f x dx ⎰计算出来，就是该问题所
求的结果。
上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点：
1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的
2)微元法的关键是正确给出∆Φ的近似可求量∆'Φ。
严格来说，∆Φ的近似可求量∆'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+∆t]⊂[α,β]上微小增量∆s 的近似可求为对应的线段的长度∆'s=（[x(t+∆t)-x(t)]²+[y(t+∆t)-y(t)]²）^0.5,一般说来∆Φ的近似可求量∆'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。
例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果∆S 的近似可求量∆'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b
a S f x dx π=⎰。
所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。
3)当我们将∆'Φ用线性形式f(x)∆x 代替时要严格检查∆'Φ-f(x)∆x 是否为∆x 的高阶无穷小，以
保证其对应的积分和的极限是相等的。
在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证
i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。
对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为∆A≈|y|∆x,并有dA=|y|dx, ∆V≈A(x) ∆x,并有dV=A(x)dx, ∆s≈(1+y'²)^0.5∆x,并有ds=(1+y'²)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'²)^0.5∆x 近似表示为(1+y'²)^0.5∆x≈∆x,将导致b
a s dx
b a ==-⎰的明显错误，事实上，此
时0lim 10x ∆→=≠，除非y=f(x)为常数。
二 旋转曲面的面积
设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。
通过x 轴上的点x 和x+∆x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当∆x 很小时，此狭带的面积∆S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积∆'S ，
即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'∆=++∆=+∆，其中∆y=f(x+∆x)-f(x)，
由于0lim 0,lim x x y ∆→∆→∆==f'(x)得连续性可以保证
[2()2(()f x y x f x x o x ππ+∆-=∆，所以得到
2(S f x x π'∆≈
，2(dS f x π=
，2(b
a S f x π=⎰
如果光滑曲线C 由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，且y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x
轴旋转一周所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰
例1 计算圆x²+y²=R²在[x 1,x 2]⊂[-R,R]上的弧绕x 轴旋转所得球带的面积。
解
应用公式2(b
a S f x π=⎰得到
2
21121222()x x x x S R dx R x x πππ===-⎰⎰，特别当x 1=-R,x 2=R 时得到球的表面积S=4πR²。
例2 计算由内摆线x=acos ³t,y=asin ³t 绕x 轴所得旋转曲面的面积。
解
322422
200124sin 12sin cos 5S a a t tdt a ππ
πππ===⎰⎰。