北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题
1 . 如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为，，，则下列说法不正确的是
A．方程的两根为，
B．抛物线与直线无交点
C．当时，
D．当时，
2 . 已知点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（）A．B．C．D．
3 . 抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）
4 . 如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）
A．①②B．③④C．②③D．①③
5 . 把抛物线向右平移l个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．B．
C．D．
6 . 如图为二次函数的图象，、、为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（）
A．ac<0B．b<2a C．a+b=-1D．a-b=-1
7 . 下列各式中表示二次函数的是（）
B．y＝2﹣x2
A．y＝x2+
D．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝
8 . 二次函数的图象经过点(1，0)，则的值是（）
A．－3B．0C．4D．－4
9 . 当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）
A．-1B．2C．0或2D．-1或2
10 . 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的图象大致为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
11 . 若抛物线的对称轴是y轴，则______．
12 . 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，n），若经过点O、A的抛物
线y=﹣x2+bx+c的顶点C落在边OB上，则图中阴影部分图形的面积和为_____．
13 . 新定义：为一次函数(，、为常数)的“关联数”.若“关联数”的一次函数是正比例函数，则二次函数的顶点坐标是______.
14 . 已知二次函数y=(x-3m)²+m-1(m为常数)，当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，该抛物线系中所有抛物线的顶点都在一条直线上，那么这条直线的解析式是．
15 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为____．
16 . 一个一元二次方程的两个实数根分别是，，那么由此可知抛物线
与x轴的两个交点坐标分别是_______________.
17 . 已知抛物线经过点，，则______（填“>”，“=”，或“<”）.
18 . 一元二次方程的根是________．
三、解答题
19 . 某企业设计了一款工艺品，每件成本40元，出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元，但物价部门要求每件售价不得高于60元．据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每涨1元，每天就少售出2件，设单价上涨元．
（1）求当为多少时每天的利润是1350元？
（2）设每天的销售利润为，求销售单价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
20 . 如图,抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线经过A(−1,0),C(0,−5)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B. C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
(3)在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作Q，使得Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大Q?若存在，请直接写出最大Q的半径；若不存在，请说明理
由.
21 . 如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点
A．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．
①求MN的长．
②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为（直接写出答案即可）
22 . 二次函数的图象的顶点坐标是（－2，3），它与y轴交点的坐标是（0，－3），求这个二次函数的解析式．
23 . 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件，已知产销两种产品的有关信息如下：
产品每件售价/万元每件成本/万元年最大产销量/件
甲63200
乙201080
甲、乙两产品每年的其他费用与产销量的关系分别是： y1 =kx +b 和 y2 =ax2+m ，它们的函数图象分别如图（1）和图（2）所示.
（1）求： y1 、 y2 的函数解析式；
（2）分别求出产销两种产品的最大利润；（利润=销售额-成本-其它费用）
（3）若通过技术改进，甲产品的每件成本降到 a 万元，乙产品的年最大产销量可以达到 110 件，其它都不变，为获得最大利润，该公式应该选择产销哪种产品？请说明理由.
参考答案一、单选题
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
二、填空题
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
三、解答题
1、
2、
3、
4、
5、。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数 含答案
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（）A. ，B. ，C. ，D.，2、将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A.4B.6C.8D.103、抛物线的对称轴是 ( )A.直线x=4B.直线x=－4C.直线x=3D.直线x=－34、二次函数ｙ＝（2ｘ－1）2＋2的顶点的坐标是（）A.（1，2）B.（1，－2）C.（，2）D.（－，－2）5、若二次函数y=x2﹣6x+9的图象经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3+，y3）三点．则关于y1， y2， y3大小关系正确的是（）A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y2＞y1＞y3D.y3＞y1＞y26、跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A. B. C. D.7、二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.8、关于二次函数，下列说法正确的是（）A.图象与y轴的交点坐标为B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当时，y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-39、若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A.b＜1且b≠0B.b＞1C.0＜b＜1D.b＜110、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（）A.ac＞0B.b 2﹣4ac＜0C.对称轴是直线x=2.5D.b＞011、适合解析式y=-x2+1的一对值是（）A.(1，0)B.(0，0)C.(0，-1)D.(1，1)12、将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）.A.y=5（x+2）2+3B.y=5（x-2）2+3C.y=5（x+2）2-3 D.y=5（x-2）2-313、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＜0；④3a+c＜0；其中结论正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、已知抛物线y＝﹣x2+bx+2﹣b在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6，则b的值为（）A.﹣1或2B.2或6C.﹣1或4D.﹣2.5或815、如图，二次函数（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(﹣1，0)．下列结论：①ab＜0，②＞4a，③0＜b＜1，④当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________．17、农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的关系表示为________．18、将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________．19、抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为________．20、如图 1 是台湾某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图 2 所示，盒子上方是一段圆弧（弧 MN ）.D，E 为手提带的固定点， DE 与弧MN 所在的圆相切，DE=2.手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与弧MN 交于点 F，G.若△CDE 是等腰直角三角形，且点 C，F 到盒子底部 AB 的距离分别为 1，，则弧MN 所在的圆的半径为________.21、如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.①若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；②将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；③抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+3有且只有一个交点；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为.其中正确判断的序号是________.22、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则能建成的饲养室面积最大为________m2．23、如图，等边三角形OAB的边长为2，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过O、P两点的抛物线和过A，P两点的抛物线的顶点分别在OB，AB 上，则这两个二次函数的最大值之和等于________．24、二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④. 其中正确的有________.25、已知函数y1=x，y2=x2和y3=，有一个关于x的函数，不论x取何值，y的解析式总是取y1、y2、y3中的值的较小的一个，则y的最大值等于________三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为，其中自变量x的取值范围是（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．28、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．29、已知函数 y=（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．30、已知二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)，且经过点(0，3)，求该函数的解析式.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、B3、B4、C5、A6、B7、B8、D9、A10、D11、A12、D13、C14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)29、30、。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数含答案【及含答案】
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，x …-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …y …12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 …下列四个结论：①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.12、已知y关于x的函数图象如图所示，则当y<0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜0B.-1＜x＜1或x＞2C.x＞-1D.x＜-1或1＜x＜23、抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为（）A.-3B.-4C.-5D.-14、抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标是（）A.（1，-2）B.（-1，2）C.（1，2）D.（-1，-2）5、对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣x+ 与x轴交于An、B n 两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（）A. B. C. D.16、二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法正确的是（）A.抛物线G的开口向下B.抛物线G的对称轴是直线C.抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）D.当x＞﹣3时，y随x的增大而增大7、将抛物线y＝2x²向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的图象的表达式为( )A.y＝2(x－4)²－3B.y＝2(x＋4)²＋3C.y＝2(x－4)²＋3D.y ＝2(x＋4)²－38、若实数a使关于x的二次函数y=x2+（a-1）x-a+2，当x<-1时，y随x的增大而减小，且使关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a值的和为（）A.1B.4C.0D.39、抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是 x=1 ．下列结论中：① ；②；③ ；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个10、关于二次函数，下列说法正确的是 ( )A.当x=2时，有最大值-3；B.当x=-2时，有最大值-3；C.当x=2时，有最小值-3；D.当x=-2时，有最小值-3；11、抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12、关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x-1=0有两个实数根，a的取值范围为（）A.a≥0B.a<2C.a≥0且a≠1D.a≤2或a≠113、已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14、由抛物线得到抛物线是经过怎样平移的（）A.右移1个单位上移2个单位B.右移1个单位下移2个单位C.左移1个单位下移2个单位D.左移1个单位上移2个单位15、二次函数的图象如图所示，那么，，，这四个代数式中，值为正数的有（）.A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为________．17、抛物线y=2（x+1）2的顶点坐标为________.18、二次函数y=﹣4（1+2x）（x﹣3）的一般形式y=ax2+bx+c是________．19、如果函数是关于x的二次函数, 则k=________ 。
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，03．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或34．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm26．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣67．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8D．98．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A 为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或解：二次函数的对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm∴S四边形P ABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．∵1＞0，∴当t＝3时，四边形P ABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．故选：C．7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7B．7.5C．8D．9解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴＝﹣2（x﹣2）2+8∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣解：二次函数对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，不合题意，舍去；②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小∴y3最小，y1最大，故选：A．二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是﹣1.5或．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m 的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是1，最大值是9．解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：y max＝9，当x＝﹣1时，y min＝1．故答案为1，9．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为﹣2或．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1∴m＝±，∴m＝；当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意故答案为：﹣2或．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为1．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是﹣4或2．解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝∵＝①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3解得：m＝﹣4；②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3解得：m＝（舍去）．③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2故答案为﹣4或2．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝1．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是0．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）＝x2﹣11x+24＝﹣∴当x≤时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．故答案为：0．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y （cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴∴∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为5；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大∵m＜m+1，∴y1＜y2．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+cy＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；∴c＝﹣或2．当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数含答案(高分练习)
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A.（0，7）B.（﹣1，7）C.（﹣2，7）D.（﹣3，7）2、若将函数y=a（x+3）（x-5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位，则它与直线y=b的交点坐标是( )A.（－3，0）和（5，0）B.（－2，b）和（6，b）C.（－2，0）和（6，0）D.（－3，b）和（5，b）3、将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A. B. C. D.4、若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣2m+2017的值为（）A.2019B.2018C.2016D.20155、下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A.y=x 2+2xB.y=x 2﹣2xC.y=x 2﹣2D.y=x 2﹣4x6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A.2B.4C.8D.167、记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A.y＝﹣（x﹣60）2+1825B.y＝﹣2（x﹣60）2+1850C.y＝﹣（x ﹣65）2+1900D.y＝﹣2（x﹣65）2+20008、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（）A.3 mB. mC.4 mD.9 m9、函数y＝2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1， y1），B（x2， y2），且|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则（）A.y1＜y2B.y1＝y2C.y1＞y2D.y1、y2的大小不确定10、在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（）A.0B.1C.2D.311、已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤ ．正确的是（）A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤12、由二次函数，可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线C.当x<3时，y随x的增大而增大D.其最小值为113、抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（）A.直线x＝－1B.直线x＝1C.直线x＝2D.直线x＝－214、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根15、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________ .17、一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述三条性质的二次函数解析式可以是________（只要求写出一个）.18、如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是________．19、已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=________时，函数取得最大值为________.20、已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为________．21、如果抛物线y=（2+k）x2﹣k的开口向下，那么k的取值范围是________ ．22、抛物线y=x2﹣3x﹣15 与x 轴的一个交点是（m，0），则2m2﹣6m 的值为________．23、已知二次函数y=ax2（a≠0的常数），则y与x2成________ 比例．24、设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________．25、若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．27、某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天160元时，房间会全部住满。
北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题(有答案)
第二章 二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x2 D ．y ＝(x －1)2－x 22．对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A ．10 B ．4 C ．5 D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z－3A．②④B．①④C．①③D．②③8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C 重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是()图2－Z－4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE ∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .若设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C. 6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C.9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－3 10．[答案] (－1，0) 11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线开口向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H ， ∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6， 由题可知：OH ＝5，CH ＝4， ∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ， ∵顶点为C (0，9)， ∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19，∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)， ∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)． 故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC . ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝12×2×4＝4.15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． (3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600， －10(x －50)2＝－250， x －50＝±5， x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10. ①当P A AB ＝AQOA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQAB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似．(2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ， ∴AP AB ＝PDOB ， 即10－3t 10＝PD6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)． 把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x －4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝3 2，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴直线x ＝2对称， ∴P A ＝PB ，∴P A ＋PC ＝PB ＋PC ，此时PB ＋PC ＝BC ，∴当点P 在对称轴上运动时，P A ＋PC 的最小值等于BC ， ∴△APC 的周长的最小值＝AC ＋P A ＋PC ＝BC ＋AC ＝3 2＋10. (3)(2，－1)。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》专题训练(含答案)
北师大版九年级下册第二章二次函数专题训练一．选择题（共10小题）1．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系2．抛物线y＝2（x+3）2+5的对称轴是（）A．x＝3 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x＝﹣33．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（）A．B．C．D．4．二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，y取得最大值为﹣4，且二次函数图象还经过点（1，﹣7），则二次函数的表达式为（）A．y＝﹣3x2+12x﹣16 B．y＝﹣3x2+12x﹣8C．y＝3x2+12x﹣16 D．y＝3x2+12x﹣85．如果正三角形的边长为x，那么它的面积y与x之间的函数关系是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 7．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣58．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＞﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a＝b；③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；④3b+2c＜0；⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．210．关于x的二次函数+，其中a为锐角，则：①当a为30°时，函数有最小值﹣；②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二．填空题（共8小题）11．抛物线y＝﹣x2﹣6x+2的对称轴为直线．12．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．13．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y 关于x的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．14．在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x 轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为15．将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为．16．二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1的最大值是．17．已知A（m，n），B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则n ＝．18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y 轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝．三．解答题（共8小题）19．已知函数y＝3x2﹣2x﹣1，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标．20．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．21．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+4回答下列问题：（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴（3）当x取何值时，y随x增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小？22．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，2），B （2，﹣1），C（4，﹣1），且该二次函数的最小值是﹣2．（Ⅰ）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象；（Ⅱ）求出该二次函数的解析．24．抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点坐标．25．双十一期间，某百货商场打算对某商品进行一次促销活动，该商品的进价为每件20元．在之前的销售过程中发现，当每件售价定为30元时，每月销售量为500件，若售价每提高1元，每月的销售量将减少10件．（1）设该商品售价提高x元时，每月获得的利润为y元，求y关于x的函数解析式；（2）如果商场想要获得的月利润为8000元，则该商品的销售单价应定为每件多少元？（3）若有关物价部门规定，该商品的销售单价不得高于其进价的两倍，则此时商场获得的最大月利润是多少？26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：x…0 1 2 3 4 …y… 3 0 ﹣1 0 m…（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C 的横坐标为4，求△ABC的面积．北师大版九年级下册第2章《二次函数》单元练习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．【解答】解：A、关系式为：y＝kx+b，故A错误；B、关系式为t＝，故错误；C、关系式为：C＝3a，故C错误；D、S＝πR2，故D正确．故选：D．2．抛物线y＝2（x+3）2+5的对称轴是（）A．x＝3B．x＝﹣5C．x＝5D．x＝﹣3【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该抛物线的对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝2（x+3）2+5，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故选：D．3．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（）A．B．C．D．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2﹣1．故选：B．4．二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，y取得最大值为﹣4，且二次函数图象还经过点（1，﹣7），则二次函数的表达式为（）A．y＝﹣3x2+12x﹣16B．y＝﹣3x2+12x﹣8C．y＝3x2+12x﹣16D．y＝3x2+12x﹣8【分析】根据题意得出顶点坐标（2，﹣4），再由抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣4，再把（1，﹣7）代入，求出a，b，c的值，即可得出二次函数的解析式．【解答】解：由题意得抛物线的顶点坐标（2，﹣4），∵图象的顶点为（2，﹣4），且经过点（1，﹣7），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣4，再把（1，﹣7）代入，可得a（1﹣2）2﹣4＝﹣7，∴a＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣4，即y＝﹣3x2+12x﹣8；故选：B．5．如果正三角形的边长为x，那么它的面积y与x之间的函数关系是（）A．B．C．D．【分析】首先画出图形，再利用三角函数值计算出三角形BC边上的高，然后再利用三角形面积公式算出面积即可．【解答】解：如图：∵△ABC为正三角形，AD为BC边上的高，且AB＝AC＝BC＝x；∴AD＝x．∴它的面积y与x之间的函数关系是：y＝x×x＝x2．故选：D．6．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx 与直线y＝t的交点的横坐标，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．7．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…A．﹣11B．﹣2C．1D．﹣5【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y＝﹣3x2+1x＝2时y＝﹣11，故选：D．8．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＞﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c ＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴x（ax+b）≤a+b，所以③正确；∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④错误．故选：B．9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a＝b；③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；④3b+2c＜0；⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2【分析】利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（最小值），增减性逐个进行判断，得出答案．【解答】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；对称轴为x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，也就是2a＝b，故②正确；当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c，当x＝t时，y＝at2+bt+c，∴at2+bt+c≤a﹣b+c，即：t（at+b）≤a﹣b，故③正确；由抛物线的对称性可知与x轴另一个交点0＜x＜1，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，又2a＝b，即a＝b，代入得：b+b+c＜0，也就是3b+2c＜0；因此④正确；点A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）到对称轴x＝﹣1的距离分别为L A、L B、L C，则有L A＞L C＞L B，且A、B在对称轴左侧，C在对称轴的右侧，故y1＜y3＜y2，因此⑤正确，综上所述，正确的结论有5个，故选：A．10．关于x的二次函数+，其中a为锐角，则：①当a为30°时，函数有最小值﹣；②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【分析】①由于2sin a＞0，所以函数一定有最小值，将a的值代入抛物线的解析式中，将解析式写成顶点式可得函数的最小值．②令y＝0，在所得方程中若根的判别式大于0，那么抛物线的图象与坐标轴的交点可能有三个：与x轴有两个交点，与y轴有一个交点；当抛物线经过原点时，抛物线的图象与坐标轴只有两个交点．首先将a的值代入解析式，先设抛物线与x轴的两个交点横坐标为x1、x2，那么这两点间的距离可表示为|x1﹣x2|＝，以这条线段为底，抛物线与y轴交点纵坐标的绝对值为高即可得到三交点围成的三角形的面积值，然后判断是否小于1即可．③由①知，抛物线的开口向上，所以一定有最小值；首先求出抛物线的对称轴方程，若x＝1在抛物线对称轴右侧，那么y随x的增大而增大；若x＝1在抛物线对称轴的左侧，那么随x的增大，y值先减小后增大．④图象若过定点，那么函数值就不能受到变量sin a的影响，所以先将所有含sin a的项拿出来，然后令sin a的系数为0，可据此求出x的值，将x的值代入抛物线的解析式中，即可得到这个定点的坐标．【解答】解：①当a＝30°时，sin a＝，二次函数解析式可写作：y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣；所以当a为30°时，函数的最小值为﹣；故①正确．②令y＝0，则有：2sin ax2﹣（4sin a+）x﹣sin a+＝0，△＝（4sin a+）2﹣4×2sin a×（﹣sin a+）＝24sin2a+＞0，所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴可能有三个交点（当图象过原点时，只有两个交点）；设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）；当a＝45°时，sin a＝，得：y＝x2﹣（2+）x﹣，则：三角形的面积S＝|x1﹣x2|×＝×＝×≈0.3＜1故②正确．③∵2sin a＞0，且对称轴x＝﹣＝1+＞1，∴x＝1在抛物线对称轴的左侧，因此x＞1时，y随x的增大先减小后增大；故③错误．④y＝2sin ax2﹣（4sin a+）x﹣sin a+＝sin a（2x2﹣4x﹣1）﹣x+；当2x2﹣4x﹣1＝0，即x＝1±时，抛物线经过定点，且坐标为：（1+，﹣）、（1﹣，）；故④正确．综上，正确的选项是①②④，故选C．二．填空题（共8小题）11．抛物线y＝﹣x2﹣6x+2的对称轴为直线x＝﹣3．【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+2＝﹣（x+3）2+11，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．12．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是0．【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故答案为：0．13．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是y＝﹣+12x．（不需写出x的取值范围）．【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG 的面积为y，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，得DG＝，∴y＝x＝+12x，故答案为：y＝+12x．14．在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为﹣0.75【分析】观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，求得﹣1和0的平均数﹣0.5，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，再求﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，由﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．【解答】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根．我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，故答案为﹣0.75．15．将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝（x﹣1）2﹣1．【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．16．二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1的最大值是﹣1．【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1，∴当x＝﹣2时，二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1的最大值为﹣1，故答案为﹣1．17．已知A（m，n），B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则n＝2020．【分析】由A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2018上两点，可得A（h ﹣4，0），B（h+4，0），当x＝h+4时，n＝﹣（h+4﹣h）2+2018＝2002【解答】解：∵A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，∴A（h﹣4，n），B（h+4，n），当x＝h+4时，n＝﹣（h+4﹣h）2+2036＝2020，故答案为2020．18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标（1，4）；（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝﹣．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；（2）将点Q（x，y）代入抛物线解析式得到：y＝ax2﹣2ax+c．结合一次函数解析式推知：D（x，kx+c）．则由两点间的距离公式知QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．在Rt△QED中，由锐角三角函数的定义推知tanβ＝＝＝ax﹣2a﹣k．所以tanβ随着x的增大而减小．结合已知条件列出方程组，解该方程组即可求得a的值．【解答】解：（1）当a＝﹣1，m＝0时，y＝﹣x2+2x+c，A点的坐标为（3，0），∴﹣9+6+c＝0．解得c＝3．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．即y＝﹣（x﹣1）2+4．∴抛物线的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．（2）∵点Q（x，y）在抛物线上，∴y＝ax2﹣2ax+c．又∵QD⊥x轴交直线l：y＝kx+c（k＜0）于点D，∴D点的坐标为（x，kx+c）．又∵点Q是抛物线上点B，C之间的一个动点，∴QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．∵QE＝x，∴在Rt△QED中，tanβ＝＝＝ax﹣2a﹣k．∴tanβ是关于x的一次函数，∵a＜0，∴tanβ随着x的增大而减小．又∵当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，且tanβ随着β的增大而增大，∴当x＝2时，β＝60°；当x＝4时，β＝30°．∴，解得，故答案为：﹣．三．解答题（共8小题）19．已知函数y＝3x2﹣2x﹣1，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标．【分析】根据函数y＝3x2﹣2x﹣1，可以求得该函数与x轴和y轴的交点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝3x2﹣2x﹣1，∴当y＝0时，0＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），解得，x1＝﹣，x2＝1，当x＝0时，y＝﹣1，∴此抛物线与坐标轴的交点坐标是（﹣，0），（1，0），（0，﹣1）．20．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【解答】解：（1）依题意m2﹣m＝0且m﹣1≠0，所以m＝0；（2）依题意m2﹣m≠0，所以m≠1且m≠0．21．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+4回答下列问题：（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴（3）当x取何值时，y随x增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小？【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k）．（3）结合对称轴及开口方向可确定抛物线的增减性．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+；（2）由（1）可得顶点为（﹣1，）；对称轴x＝﹣1；（3）图象开口向下，x＜﹣1时，函数为增函数，此时y随x增大而增大；当x＞﹣1时，函数为减函数，此时y随x增大而减小．22．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），求出三角形ABC的面积，分两种情况画出图形，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，表示出三角形ABP的面积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣4．所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5；当x＝0时，y＝9﹣4＝5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，，解得：．所以一次函数解析式为y＝x﹣1；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），∵S△ABP＝S△ABC，∵，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，∴＝15，∴E（a，a﹣1）∴PE＝﹣a2+7a﹣6，∴，∴a2﹣7a+12＝0解得：a1＝4，a2＝3，∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，同理可得＝15，∴，解得a＝0（舍去），a＝7，∴P3（7，12）．综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．23．如图，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，2），B（2，﹣1），C（4，﹣1），且该二次函数的最小值是﹣2．（Ⅰ）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象；（Ⅱ）求出该二次函数的解析．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的对称性可过A、C分别作平行x轴的线段，且分别被对称轴平分，即可求得另外的两个点，利用描点法可画出函数图象；（Ⅱ）设出顶点式，代入A的坐标，即可求得解析式．【解答】解：（Ⅰ）∵B（2，﹣1），C（4，﹣1），且该二次函数的最小值是﹣2．∴该二次函数图象的顶点为（3，﹣2），∵点A（1，2），∴A关于对称轴对称的点为（5，2），利用描点法可画出函数图象，如图；（Ⅱ）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，代入A（1，2）得2＝4a﹣2，解得a＝1，∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+7．24．抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点坐标．【分析】（1）由抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），得出h＝﹣2，抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反，得出a＝﹣3，从而确定该抛物线的函数表达式；（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），∴﹣h＝2，∴h＝﹣2，抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反∴a＝﹣3，则该抛物线的函数表达式是y＝﹣3（x﹣2）2．（2）在函数y＝﹣3（x﹣2）2中，令x＝0，则y＝﹣12，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣12）．25．双十一期间，某百货商场打算对某商品进行一次促销活动，该商品的进价为每件20元．在之前的销售过程中发现，当每件售价定为30元时，每月销售量为500件，若售价每提高1元，每月的销售量将减少10件．（1）设该商品售价提高x元时，每月获得的利润为y元，求y关于x的函数解析式；（2）如果商场想要获得的月利润为8000元，则该商品的销售单价应定为每件多少元？（3）若有关物价部门规定，该商品的销售单价不得高于其进价的两倍，则此时商场获得的最大月利润是多少？【分析】（1）根据销售问题的数量关系单件利润乘以销售量等于月利润即可求解；（2）根据（1）中求得的函数解析式，代入8000，利用一元二次方程即可求解；（3）根据销售单价不得高于其进价的两倍确定自变量的取值进而求得最大值．【解答】解：（1）根据题意，得y＝（30﹣20+x）（500﹣10x）＝﹣10x2+400x+5000．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+400x+5000．（2）当y＝8000时，8000＝﹣10x2+400x+5000．解得x1＝10，x2＝30．则30+x＝40或60．答：该商品的销售单价应定为每件40元或60元．（3）y＝﹣10x2+400x+5000．＝﹣10（x﹣20）2+9000，因为商品的销售单价不得高于其进价的两倍，所以当x＝10，即售价为40元时，月利润最大，最大月利润为8000元．答：最大月利润为8000元．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：x…01234…y…30﹣10m…（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．【分析】（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B、点A和点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到△ABC的面积．【解答】解：（1）由表格可知，该函数有最小值，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m的值是3；（2）由题意可得，点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，，得，所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），故△ABC的面积是：＝3．。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)(满分：100分 时间：100分钟)一、选择题(本大题共10小题；每小题3分；共30分) 1．下列函数中；不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2答案：D2．抛物线y ＝x 2+3与y 轴的交点坐标为（ ）A ．（3；0）B ．（0；3）C ．（0；3）D ．（3；0）答案：B3．把二次函数y ＝－14x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式( )A ．y ＝－14(x －2)2＋2B ．y ＝14(x －2)2＋4C ．y ＝－14(x ＋2)2＋4D ．y ＝21122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3答案：C4．将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位；再向下平移1个单位；所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋1 答案：C5．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3而言；下列结论正确的是( ) A ．与x 轴有两个交点 B ．开口向上C ．与y 轴的交点坐标是(0,3)D ．顶点坐标是(1；－2) 答案：D6．二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示；则m 的值是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．6 答案：B6题图 8题图 9题图7．点P 1（﹣1；y 1）；P 2（3；y 2）；P 3（5；y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2+2x +c 的图象上；则y 1；y 2；y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＝y 2＞y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＝y 2答案：A8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图象如图所示；当－5≤x ≤0时；下列说法正确的是( )A ．有最小值－5、最大值0B ．有最小值－3、最大值6C ．有最小值0、最大值6D ．有最小值2、最大值6 答案：B9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示；下列结论正确的是( )A ．a <0B ．b 2－4ac <0C ．当－1<x <3时；y >0D ．－b2a＝1答案：D10．在同一平面直角坐标系内；一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是( )A B C D答案：C二、填空题(本大题共8小题；每小题3分；共24分)11．若函数y ＝(m －3)2213m m x ＋－是二次函数；则m ＝______. 答案：－512．抛物线y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1；则b 的值为________． 答案：413．如果抛物线y ＝(m +1)2x 2+x +m 2﹣1经过原点；那么m 的值等于 ． 答案：114．已知抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴仅有一个公共点；则m 的值为 ． 答案：915．二次函数的部分图象如图所示；则使y ＞0的x 的取值范围是 ． 答案：﹣1＜x ＜315题图 16提图 17题图 18题图16．如图所示；已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (1,0)；B (3,0)两点；与y 轴交于点C (0,3)；则二次函数的图象的顶点坐标是________．答案：(2；－1)17．如图；在平面直角坐标系中；抛物线y ＝﹣23（x ﹣3）2+k 经过坐标原点O ；与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于C 、BD ⊥y 轴于D ；则图中阴影部分图形的面积和为 ． 答案：1818．如图；在正方形ABCD 中；E 为BC 边上的点；F 为CD 边上的点；且AE ＝AF ；AB ＝4；设EC ＝x ；△AEF 的面积为y ；则y 与x 之间的函数关系式是__________．答案：y ＝－12x 2＋4x三、解答题(本大题共5小题；共46分)19．求经过A (1,4)；B (－2,1)两点；对称轴为x ＝－1的抛物线的解析式． 解：∵对称轴为x ＝－1；∴设其解析式为y ＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)． ∵抛物线过A (1,4)；B (－2,1)；∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 1＋12＋k ；1＝a －2＋12＋k.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1；k ＝0.∴y ＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1.20．已知；在同一平面直角坐标系中；反比例函数y ＝5x与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象交于点A (－1；m )．(1)求m ；c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵点A 在函数y ＝5x的图象上；∴m ＝5－1＝－5.∴点A 坐标为(－1；－5)． ∵点A 在二次函数图象上； ∴－1－2＋c ＝－5；即c ＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x －2； ∴y ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1；－1)．21．下图是一座拱桥的截面图；拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m ；拱桥的跨度为10cm ．桥洞与水面的最大距离是5m ．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中； （1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．解：（1）抛物线的顶点坐标为（5；5）；与y 轴交点坐标是（0；1）； 设抛物线的解析式是y ＝a （x ﹣5）2+5； 把（0；1）代入y ＝a （x ﹣5）2+5；得a ＝﹣425； ∴y ＝﹣425（x ﹣5）2+5（0≤x ≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4；∴4＝﹣425（x﹣5）2+5；∴425（x﹣5）2＝1；∴x1＝152；x2＝52；∴两景观灯间的距离为152﹣52＝5（米）．22．元旦期间；某宾馆有50个房间供游客居住；当每个房间每天的定价为180元时；房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时；就会有一个房间空闲．如果游客居住房间；宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若房价定为200元时；求宾馆每天的利润；（2）房价定为多少时；宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？解：（1）若房价定为200元时；宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元）；答：宾馆每天的利润为8640；（2）设总利润为y元；则y＝（50﹣18010x）（x﹣20）＝﹣110x2+70x+1360＝﹣110（x﹣350）2+10890故房价定为350时；宾馆每天的利润最大；最大利润是10890元．23．如图；已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧）；与y轴交于点B；且OA＝OB．（1）求线段AC的长度：（2）若点P在抛物线上；点P位于第二象限；过P作PQ⊥AB；垂足为Q．已知PQ＝；求点P的坐标．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B；且OA＝OB；∴点B的坐标为（0；3）；∴OB＝OA＝3；∴点A的坐标为（﹣3；0）；∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3；解得；b＝﹣2；∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1）；∴当y＝0时；x1＝﹣3；x2＝1；∴点C的坐标为（1；0）；∴AC＝1﹣（﹣3）＝4；即线段AC的长是4；（2）∵点A（﹣3；0）；点B（3；0）；∴直线AB的函数解析式为y＝x+3；过点P作PD∥y轴交直线AB于点D；设点P的坐标为（m；﹣m2﹣2m+3）；则点D的坐标为（m；m+3）；∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；∵PD∥y轴；∠ABO＝45°；∴∠PDQ＝∠ABO＝45°；又∵PQ⊥AB；PQ＝2；∴△PDQ是等腰直角三角形；∴PD＝2sin4522PQ=︒＝2；∴﹣m2﹣3m＝2；解得；m1＝﹣1；m2＝﹣2；当m＝﹣1时；﹣m2﹣2m+3＝4；当m＝﹣2时；﹣m2﹣2m+3＝3；∴点P的坐标为（﹣2；3）或（﹣1；4）．24．如图；在平面直角坐标系中；顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A 和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM；求S△AOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2；抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F 的左侧）；如果△MBF与△AOM相似；求所有符合条件的抛物线C2的表达式．解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB ＝120°；∴点B （2；0）；点A （﹣1；﹣）；∴220223(1)(1)a b a b ⎧=⨯+⨯⎪⎨-=⨯-+⨯-⎪⎩；得333a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴该抛物线的解析式为y ＝2232333(1)3333x x x -+=--+； （2）连接MO ；AM ；AM 与y 轴交于点D ； ∵y ＝22323331)3333x x x -+=--+； ∴点M 的坐标为（1；33）； 设过点A （﹣13；M （1；33）的直线解析式为y ＝mx +n ；333m n m n ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩；得2333m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；∴直线AM 的函数解析式为y 23x 3当x ＝0时；y 3∴点D 的坐标为（0；﹣33）；∴OD ＝33； ∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝33；（3）①当△AOM ∽△FBM 时；OM OABM BF=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （13；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴OM ＝BM ；解得；BF ＝OA ＝2；∴点F 的坐标为（4；0）； 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+c ； ∵点F （4；0）在抛物线C 2上；∴c ＝33 ∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)333x --+； ②当△AOM ∽△MBF 时；OM OABF BM=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （1；33）；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴BF ＝23； ∴点F 的坐标为（83；0）； 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+d ； ∵点F （83；0）在抛物线C 2上；∴d 253；∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝231)x -253．。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数 含答案
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知点（1，y1）,(2，y2)是抛物线y=x2-6x上的两点，则y1， y2的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定2、二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A.x＜﹣1B.x＞2C.﹣1＜x＜2D.x＜﹣1或x＞23、已知二次函数y=a（x﹣1）2+c（a＞0），当自变量x分别取﹣、0、3时，对应的函数值分别为：y1， y2， y3，则y1， y2， y3的大小关系正确的是（）A.y3＜y2＜y1B.y1＜y2＜y3C.y3＜y1＜y2D.y2＜y3＜y14、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象.下列结论：①b＞0；②a ﹣b+c＜0；③ax2+bx+c＝1有两个实数根.其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.35、对抛物线y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A.与x轴有两个公共点；B.与y轴的交点坐标是（0，3）；C.当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小；D.开口向上．6、抛物线y＝﹣3（x＋1）2﹣2的顶点坐标是（）A.（1，2）B.（1，﹣2）C.（﹣1，2）D.（﹣1，﹣2）7、下列是二次函数的是（）A.y=ax 2+bx+cB.y= +xC.y=x 2﹣（x+7）2 D.y=（x+1）（2x﹣1）8、关于x的二次函数y=a（x+1）（x﹣m），其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数a、m应满足（）A.a＞0，m＜﹣1B.a＞0，m＞1C.a≠0，0＜m＜1D.a≠0，m ＞19、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x=1。
下列结论中：①abc>0；②2a+b=0；③4a-2b+c=0；④若点M(m，n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个10、已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（）A.-1B.2C.3D.411、二次函数y= 的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B．C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30 ，则点C的坐标为（）A. B. C. D.12、把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（）A.y=3（x-2）2+1B.y=3（x+2）2-1C.y=3（x-2）2-1 D.y=3（x+2）2+113、抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A.直线x＝1B.直线x＝﹣1C.直线x＝2D.直线x＝﹣214、二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.15、如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（）A.y=x 2﹣1B.y=x 2+6x+5C.y=x 2+4x+4D.y=x2+8x+17二、填空题(共10题，共计30分)16、已知二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是________．17、对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）（t为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”．其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线F，现有点A（2，0）和抛物线F上的点B（﹣1，n），下列结论正确的有________．①n的值为6；②点A在抛物线F上；③当t=2时，“再生二次函数”y在x＞2时，y随x的增大而增大④当t=2时，抛物线F的顶点坐标是（1，2）18、请写出一个开口向上，并且与y轴的交点为（0，0）的抛物线解析式是________．19、已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个解为________.20、如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为________.21、抛物线y＝x2﹣6x+2的对称轴为直线________．22、函数y=（x﹣1）2+4的对称轴是________，顶点坐标是________，最小值是________．23、以x为自变量的二次函数y=x2﹣（b﹣2）x+b﹣3的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是________．24、二次函数的部分对应值如下表：－3 －2 －1 0 1 2 3 4 512 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是________.25、将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值27、如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．28、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.29、如图，已知二次函数y=﹣x2+bx﹣6的图象与x轴交于一点A（2，0），与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．30、抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、D4、D6、D7、D8、D9、C10、C11、B12、D13、A14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、。
九年级数学下(北师大版)第二章《二次函数》综合习题练习(含解析)
二次函数综合题类型一有关图象变换问题1．已知抛物线y＝a(x－1)2＋3(a≠0)与y轴交于点A(0，2)，顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M.(1)填空：a的值为______，点B的坐标为______；(2)有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，求t为何值时P A＋PB最小；(3)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1、l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．第1题图解：(1)－1，(1，3)；【解法提示】把A(0，2)代入抛物线的解析式可得，2＝a＋3，∴a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3，∴抛物线的顶点B的坐标为(1，3)．(2)如解图①，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，点P 即为所求．第1题解图①∵A ′(0，－2)，B (1，3)，易得直线A ′B 的解析式为y ＝5x －2， 令y ＝0得，x ＝25，∴P (25，0)， ∴2t ＝25，∴t ＝15时，P A ＋PB 最小；(3)设抛物线向右平移后的解析式为y ＝－(x －m )2＋3.由⎩⎨⎧y ＝－（x －1）2＋3y ＝－（x －m ）2＋3，解得x ＝m ＋12， ∴点C 的横坐标为m ＋12，∵MN ＝m －1，四边形MDEN 是正方形，如解图②，当点C 在x 轴的上方时，C (m ＋12，m －1)，第1题解图②把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到m －1＝－（m －1）24＋3，解得m ＝3或m ＝－5(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －3)2＋3；当点C 在x 轴下方时，C (m ＋12，1－m )， 把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到1－m ＝－（m －1）24＋3，解得m ＝7或m ＝－1(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －7)2＋3. 综上所述，平移后的解析式为y ＝－(x －3)2＋3或 y ＝－ (x －7)2＋3.2．已知抛物线y ＝x 2－2ax ＋a 2(a 为常数，a >0)，G 为该抛物线的顶点． (1)如图①，当a ＝2时，若抛物线与y 轴交于点M ，则△GOM 的面积为________；(2)如图②，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后，所得新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，D 为x 轴的正半轴上一点，以OD 为一对角线作平行四边形OQDE ，其中Q 点在第一象限，QE 交OD 于点C ，若QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC .求证：△AQO ≌△EQO ；(3)在(2)的条件下，若QD ＝OG ，试求a 的值．图① 图②第2题图解：(1)4；【解法提示】当a ＝2时，令x ＝0，则y ＝a 2＝4，∴点M (0，4)，∵y ＝x 2－2ax ＋a 2＝(x －a )2，∴当a ＝2时，顶点G (2，0)，∴OM ＝4，OG ＝2，S △GOM ＝12OM ·OG ＝12×4×2＝4.(2)证明：∵四边形OQDE 为平行四边形， ∴QC ＝CE ＝12QE ，又∵AQ ＝2QC ，∴AQ ＝EQ ，∵QO 平分∠AQC ，∴∠AQO ＝∠EQO ，∵在△AQO 和△EQO 中，⎩⎨⎧AQ ＝EQ∠AQO ＝∠EQO QO ＝QO，∴△AQO ≌△EQO (SAS)； (3)∵由题意知G (a ，0)， ∴OG ＝a ，∴OA ＝a ， ∵QD ＝OG ，∴QD ＝a ，∵四边形OQDE 为平行四边形，∴OE ＝QD ＝a ， 即A (0，a )，由旋转知，旋转前抛物线点A 的坐标为(2a ，a )， 把(2a ，a )代入y ＝x 2－2ax ＋a 2得，4a 2－2a ·2a ＋a 2＝a ， 即a 2＝a ，解得a ＝1或0. ∵a 为常数，a >0，∴a＝0不合题意，舍去，∴a＝1.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D.(1)求直线BC的解析式；(2)如图②，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC.当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE＋12BE的值最小，求点P的坐标和PE＋12BE的最小值；(3)如图③，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－33x2＋233x＋3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为F.在抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②图③第3题图解：(1)当x＝0时，y＝－33x2＋233x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)，当y＝0时，有﹣33x2＋233x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标为(3，0)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将B (3，0)、C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得：⎩⎨⎧k ＝－33b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣33x ＋3；(2)如解图①中，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点F .作EN ⊥x 轴，设P (a ，－33a 2＋233a ＋3)，则F (a ，－33a ＋3)，第3题解图①∴PF ＝－33a 2＋3a ，∴S △PBC ＝12×PF ×3＝－32a 2＋332a ， ∴当a ＝32时，S △PBC 最大 ， ∴P (32，534)， ∵C (0，3)，B (3，0)， ∴tan ∠CBO ＝33，∴∠CBO ＝30°，∵EN ⊥x 轴，∴EN＝12BE，∴PE＋12BE＝PE＋EN，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE＋12BE的值最小．此时PE＋12BE＝PE＋EN＝PM＝534；(3)存在，点Q坐标为(3，32)或(3，－235)，∵D是对称轴x＝1与x轴的交点，G是BC的中点，∴D(1，0)，G(32，32)，∴直线DG解析式y＝3x﹣3，∵抛物线y＝－33x2＋233x＋3＝－33(x－1)2＋433沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，∴原抛物线向右平移了2个单位，∴y′＝－33(x－3)2＋433，∴F(3，43 3)，∴对称轴为x＝3，∵△FGQ为直角三角形，∴∠FGQ＝90°或∠FQG＝90°，∠GFQ＝90°(不合题意，舍去)，当∠FQG＝90°，则QG∥x轴，∴Q(3，3 2)；当∠FGQ＝90°，设点Q坐标(3，y)，∵FQ 2＝FG 2＋GQ 2，∴(433－y )2＝(3－32)2＋(433－32)2＋(3－32)2＋(32－y )2. ∴y ＝－235， ∴Q (3，－235)，综上所述，Q 的坐标可能为(3，32)或(3，－235)．4．如图，已知二次函数y 1＝ax 2＋bx 的图象经过(－2，4)，(－4，4)两点． (1)求二次函数y 1的解析式；(2)将y 1沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y 2，直线y ＝m (m >0)交y 2于M 、N 两点，求线段MN 的长度(用含m 的代数式表示)； (3)在(2)的条件下，y 1、y 2交于A 、B 两点，如果直线y ＝m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点(C 在左侧)，直线y ＝－m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点(E 在左侧)，求证：四边形CEFD 是平行四边形．第4题图解：(1)将点(－2，4)，(－4，4)代入y 1＝ax 2＋bx ，得 ⎩⎨⎧4a －2b ＝416a －4b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－3，∴y1＝－12x2－3x；(2)将y1配方，得y1＝－12(x＋3)2＋92，∴顶点坐标是(－3，9 2)．此顶点沿x轴翻折后为(－3，－92)，再向右平移2个单位后的点是(－1，－92)．翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，∴翻折后抛物线解析式的二次项系数是1 2.∴y2＝12(x＋1)2－92，即y2＝12x2＋x－4.令y2＝m，得12x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2(4＋m)＝0.设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2(4＋m)．∵x1，x2是点M，N的横坐标，∴MN＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4＋8（4＋m）＝29＋2m；(3)设点A的纵坐标为y0.①当y0≤m＜92时，如题图．对于直线y＝m和函数y1＝－12x2－3x，由第(2)问的方法求得CD＝29－2m.对于直线y＝－m和函数y2＝12x2＋x－4，由第(2)问的方法可知EF＝29－2m.∴CD＝EF.又CD∥EF，∴四边形CEFD是平行四边形．②当0＜m ＜y 0时，如解图，此时直线y ＝m 与y 1的右交点为D ，与y 1的左交点为C ，直线y ＝－m 与y 2的右交点为F ，与y 2的左交点为E .第4题解图由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2－3x ， 消去y ，得－12x 2－3x ＝m ，即x 2＋6x ＋2m ＝0. 解此方程，得x ＝－3±9－2m . 点D 的横坐标为x D ＝－3＋9－2m . 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2＋x －4，消去y ，得 12x 2＋x －4＝m ，即x 2＋2x －2(4＋m )＝0. 解此方程，得x ＝－1±9＋2m . 点C 的横坐标为x C ＝－1－9＋2m . ∴CD ＝x D －x C ＝9－2m ＋9＋2m －2.同理，x F＝－3＋9＋2m，x E＝－1－9－2m.∴EF＝x F－x E＝9－2m＋9＋2m－2.∴CD＝EF.∴四边形CEFD是平行四边形．综上所述，当m＞0时，所构成的四边形CEFD是平行四边形．类型二有关图形规律问题5．如图，在平面直角坐标系中，B(－2，0)，C(0，4)，将△BOC绕原点O顺时针旋转90°得到△DOA，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)将△ADO以每秒一个单位的速度沿x轴的负半轴向左平移，平移后的三角形记为△D′O′A′，平移时间为t秒．①当D′落在抛物线上时，求t的值；②t为何值时，△D′A′C的周长最小？直接写出t的值和△D′A′C周长的最小值；③设△D′O′A′与△BOC重叠部分的面积为S，当0≤t≤4时，请直接写出S与t的函数关系式．第5题图解：(1)根据题意得OA＝OC＝4，BO＝DO＝2，∴D(0，2)，A(4，0)．∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，∵抛物线过点C(0，4)，∴4＝－8a，∴a＝－1 2，∴抛物线的解析式是y＝－12x2＋x＋4；(2)①设D′的坐标是(－t，2)，当D′落在抛物线上时，－12t2－t＋4＝2，解得：t1＝－1＋5，t2＝－1－5(不合题意，舍去)，∴t＝－1＋5；②如解图①，过点A作AE⊥AB，在AE上截取AF＝CD＝2，连接DD′、A′F、CD′、CA′，第5题解图①∵AF＝CD＝2，DD′＝AA′＝t，∠CDD′＝∠A′AF＝90°，∴△AA′F≌△DD′C，∴CD′＝A′F，∵OD＝2，AO＝4，∴AD＝OD2＋AO2＝25，∴A′D′＝25，∵△CD′A′的周长＝A′D′＋CD′＋CA′＝25＋A′F＋CA′，由两点之间线段最短可知，当CA′，A′F共线时，A′F＋CA′值最小，最小值为CF的长度，此时C(0，4)，F(4，－2)，∵CF＝62＋42＝213，∴△CD′A′的周长的最小值为213＋2 5.∵C(0，4)，F(4，－2)，∴直线CF的解析式y＝－32x＋4，当y＝0，则x＝83，∴t＝4－83＝43.③当0≤t≤1时，S＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2时，S＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，S＝－120t2－25t＋165.【解法提示】当0≤t≤1，如解图②，第5题解图②∵tan∠A′＝24＝12＝OEOA′，∴OE＝4－t 2，∴S重叠部分＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2，如解图③，可求S重叠部分＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，如解图④，可求S重叠部分＝－120t2－25t＋165.图③图④第5题解图6．已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1，0)，且a ＜b.(1)抛物线顶点Q的坐标为________(用含a的代数式表示)；(2)猜想直线y＝2x＋m与抛物线的交点情况，并证明你的猜想；(3)设直线y＝2x＋m与抛物线的另一个交点为N，若－1≤a≤－12，求线段MN长度的取值范围．解：(1)(－12，－9a4)；【解法提示】∵抛物线过点M (1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∵y ＝ax 2＋ax ＋b ＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a4)． (2)直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点．证明如下： ∵直线y ＝2x ＋m 经过点M (1，0)， ∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2，联立⎩⎨⎧y ＝2x －2y ＝ax 2＋ax －2a ，得ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0①， ∴Δ＝(a －2)2－4a (－2a ＋2)＝9a 2－12a ＋4， 又∵a ＜b ，b ＝－2a ， ∴a ＜0，b ＞0，∴Δ＝9a 2－12a ＋4＝(3a －2)2＞0， ∴方程①有两个不相等的实数根， ∴直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点；(3)由(2)得M 、N 的横坐标为方程ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0的解，即x 2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0，∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2，解得x 1＝1，x 2＝2a －2，将x ＝2a －2代入y ＝2x －2得y ＝4a －6，∴点N (2a －2，4a －6)， 根据两点间的距离公式得，MN 2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a 2－60a ＋45＝20(1a －32)2，∵－1≤a ≤－12，则－2≤1a ≤－1，∴1a －32＜0， ∴MN ＝25(32－1a )＝35－25a ， 又∵－1≤a ≤－12，∴55≤MN ≤7 5.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c ，经过A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于C 点．已知M (0，1)，E (a ，0)，F (a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标； (3)若△PCM 是以CM 为底边的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．第7题图 备用图解：(1)将点A (－1，0)，B (5，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得：⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0－25＋5b ＋c ＝0，解得：⎩⎨⎧b ＝4c ＝5，∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)当a ＝1时，E (1，0)，F (2，0)，OE ＝1，OF ＝2. 设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，如解图①，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4.第7题解图①S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(PN ＋OF )·ON －12PN ·MN －12OM ·OE＝12(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x (－x 2＋4x ＋4)－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－(x －94)2＋15316，∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316， 当x ＝94时，y ＝－(94－2)2＋9＝14316. 此时点P 坐标为(94，14316)；(3) ∵M (0，1，)，C (0，5), △PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6. ∵点P 在第一象限，∴P (2＋6，3)．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如解图②，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)；连接PM 2，与x 轴交于点F ，此时ME ＋PF ＝ PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P (2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得：⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，第7题解图②解得：m ＝46－45，n ＝－46＋15，∴y ＝46－45x －46＋15，当y ＝0时，解得x ＝6＋54.∴F (6＋54，0)．∵a＋1＝6＋5 4，∴a＝6＋1 4.∴当a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小．8．如图，已知直线l：y＝13x＋b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，B n(n，y n)(n为正整数)依次在直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，A n＋1(x n＋1，0)，设x1＝d(0<d<1)．(1)求b的值；(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)；(3)当d(0<d<1)的大小变化时，是否存在顶点与x轴的两个交点所构成的三角形是直角三角形的抛物线？若存在，请你求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)∵M(0，14)在直线y＝13x＋b上，∴14＝13×0＋b，∴b＝1 4；(2)由(1)得：y＝13x＋14，∵B1(1，y1)在l上，∴当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712，∴B1(1，7 12)．∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋712(a≠0)，又∵x1＝d，∴A1(d，0)，∴0＝a(d－1)2＋7 12，∴a＝－712（d－1）2，∴经过点A1，B1，A2的抛物线的解析式为：y＝－712（d－1）2(x－1)2＋712；(3)存在．由抛物线的对称性可知，所构成的三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0<d<1，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.∵当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712<1，当x＝2时，y2＝13×2＋14＝1112<1，当x＝3时，y3＝13×3＋14＝114>1，∴该抛物线的顶点只有B1，B2，①若B1为顶点，由B1(1，7 12)，则d＝1－712＝512；②若B2为顶点，由B2(2，11 12)，则d＝1－[(2－1112)－1]＝1112，综上所述，d的值为512或1112时，存在满足条件的抛物线．类型三有关新定义问题9．如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)在图①中，抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与L2：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________；(2)在图②中，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x －h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．图① 图②第9题图解：(2，1)，1； 【解法提示】(1)∵抛物线L 1：y ＝－x 2＋4x －3，∴此抛物线的顶点坐标A (2，1)，∵抛物线L 2过点A (2，1)，∴1＝a (2－4)2－3，∴a ＝1.(2)由L 3：y ＝2x 2－8x ＋4化成顶点式，得y ＝2(x －2)2－4，∴C (0，4)，对称轴为x ＝2，顶点坐标(2，－4)，∴点C 关于对称轴x ＝2的对称点D (4，4)，设L 4：y ＝a (x －h )2＋k则L 4：y ＝a (x －4)2＋4，再将点(2，－4)代入得，－4＝4a ＋4，解得：a ＝－2，L 3的伴随抛物线L 4的解析式为：y ＝－2(x －4)2＋4；(3)a 1＝－a 2.理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，设A (m ，n )，B (h ，k )，∴可以列出两个方程⎩⎨⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ①k ＝a 1（h －m ）2＋n ②， ①＋②得：(a 1＋a 2)(m －h )2＝0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴a 1＝－a 2.10．在平面直角坐标系中，将抛物线L 1：y ＝12x 2，沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得抛物线L 2，顶点为P ，交L 1于点Q .(1)抛物线L 2的表达式为________(用字母m 表示)；(2)连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝60°时，点Q 的坐标为________；(3)若将抛物线L 1与L 2其中任意一条沿着x 轴方向水平向左(或向右)平移得到另一条，记抛物线L 1的顶点为O ，抛物线L 2的顶点为P ，抛物线L 1与L 2的交点为点Q ，连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝90°时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．①当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，求m 的值；②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”．第10题图解：(1)y ＝12(x －m )2；【解法提示】将抛物线L 1沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得到抛物线L 2：y ＝12(x －m )2. (2)(23，6)；【解法提示】如解图①，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，由点Q 到L 1与L 2的对称轴的距离相等，可得：OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝m 2时，y ＝18m 2，即点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，∵∠OQP ＝60°，∴根据抛物线的性质可知：△OPQ 为等边三角形，∴tan ∠QOP ＝QG OG ＝tan60°＝18m 212m ＝3，第10题解图①解得：m ＝43，∴点Q 坐标为(23，6)；(3)①∵∠OQP ＝90°，OQ ＝PQ ，∴∠QOG ＝45°，OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝12m 时，y ＝12×(12m )2＝18m 2，故点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，由∠QOG ＝45°，∠OGQ ＝90°，得：OG ＝GQ ，∴|12m |＝|18m 2|，解得：m ＝0(不符合题意，舍去)，m ＝±4，当m ＝4时，抛物线向右平移；当m ＝－4时，抛物线向左平移，综上所述，当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，m 的值为±4；②如解图②，∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，第10题解图②∴设抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋1－m )2＋4， ∵△PEQ 是等腰直角三角形，∴PF ＝FQ ，则PF ＝|m 2|，当x ＝－1＋12m 时，y ＝－14m 2＋4，即Q (－1＋12m ，－14m 2＋4)，FQ ＝4－(－14m 2＋4)＝14m 2，由PF ＝FQ 可知：|12m |＝14m 2，解得：m ＝±2或m ＝0(不符合题意，舍去)，则抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向右平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x －1)2＋4； 抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向左平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋3)2＋4， 综上所述，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为y ＝－(x －1)2＋4或y ＝－(x ＋3)2＋4.。