2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题06 不等式(文)(预测)
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-2课后巩固提升(含解析)新人教A版
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-2课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 307 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．设集合S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( ) A ．{x |－7<x <－5} B.{x |3<x <5} C ．{x |－5<x <3}D.{x |－7<x <5}解析 C ∵S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}， ∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}． 2．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B.{x |x ≤－1或x >2} C ．{x |－1≤x ≤2}D.{x |－1≤x <2}解析 B x ＋1x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2≥0，x －2≠0⇔x >2或x ≤－1.3．(2013·某某模拟)若集合A ＝{x ||x －2|≤3，x ∈R }，B ＝{y |y ＝1－x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A ．[0,1] B.[0，＋∞) C ．[－1,1]D.∅解析 C 由|x －2|≤3，得－1≤x ≤5，即A ＝{x |－1≤x ≤5}；B ＝{y |y ≤1}．故A ∩B ＝[－1,1]．4．若对任意实数x ，不等式a (x 2＋1)≥3－5x ＋3x 2都成立，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，112 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞解析 A ∵对x ∈R ，a (x 2＋1)≥3－5x ＋3x 2都成立．∴(a －3)x 2＋5x ＋a －3≥0对x ∈R 恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，Δ＝52－4a －3a －3≤0，解得a ≥112.故选A.5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围是( )A ．(0,2)B.(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1,2)解析 B ∵a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，∴x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2，∴x ⊙(x －2)<0化为x 2＋x －2<0⇔－2<x <1.6．(2013·某某模拟)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4，1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 B.(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 A 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)知a <0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－4＋1＝－ba ，－4×1＝c a，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0，即3x 2＋x －4<0，解得－43<x <1.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知函数f (x )＝(x －2)x 2－2x －3，则不等式f (x )≥0的解集是________．解析 f (x )≥0等价于x 2－2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0，x －2≥0，解得x ≥3或x ＝－1.【答案】 {x |x ≥3或x ＝－1}8．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集是________．解析 由于ax >b 的解集为(1，＋∞)，故有a >0且b a ＝1.又ax ＋bx －2>0⇔(ax ＋b )(x －2)＝a (x ＋1)(x －2)>0⇔(x ＋1)(x －2)>0，即x <－1或x >2.【答案】 {x |x <－1或x >2}9．已知函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0，0， x ＝0，－1， x <0，则不等式(x ＋1)sgn(x )>2的解集是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>2，解得x >1；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋1×0>2，解得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x ＋1>2，解得x <－3.综上可得不等式的解集是{x |x >1或x <－3}．【答案】 {x |x >1或x <－3}三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1.解析 由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋－12＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4. ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1， 即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．11．(12分)解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． 解析 原不等式化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇔(x ＋1)(ax －2)≥0.①若－2<a <0，2a <－1，则2a≤x ≤－1；②若a ＝－2，则x ＝－1； ③若a <－2，则－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 12．(16分)一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500，由月利润不少于1 300(元)，得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量20～45件时，月利润不少于1 300元．(2)由(1)，得y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元．。
2014年高考数学(文)真题分类汇编：不等式
2014年高考数学（文）真题分类汇编：不等式E1 不等式的概念与性质 5．[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋15．A5．[2014·四川卷] 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 5．BE2 绝对值不等式的解法 9．[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D10．[2014·辽宁卷] 已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，2x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74B.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤14，23C.⎣⎡⎦⎤13，34∪⎣⎡⎦⎤43，74D.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34 10．A3．[2014·全国卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1} 3．CE3 一元二次不等式的解法3．[2014·全国卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1} 3．CE4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题13．[2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．413．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．13．111．，[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49 11．C4．[2014·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11 4．D4．[2014·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．84．C13．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．7 14．[2014·辽宁卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．14．1815．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．15．59．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1 9．B11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3 11．B10．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C. 5 D ．2 10．B6．[2014·四川卷] 执行如图1-2的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6．C2．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．B12．[2014·浙江卷] 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．12．[1，3]E6 2a b +≤9．[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 9．D16．[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l >0，v >0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝1900，当且仅当v ＝11时，取等号．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤2000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时． 14．[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24 16．[2014·辽宁卷] 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________．16．－121．，，[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；(ii)求△OMN 面积的最大值．21．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5. 因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2， 所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)． 可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时，等号成立， 此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.E7 不等式的证明方法 20．[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .E8 不等式的综合应用 16．[2014·浙江卷] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．16.639．[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.9．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 9．C19．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0， 即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1. 综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]12．C21．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围． 21．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －e x 2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增．∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)， 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0<m <23时，函数g (x )有两个零点． (3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a<1恒成立， 等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*)设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.E9 单元综合。
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-1课后巩固提升(含解析)新人教A版
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-1课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 309 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2013·太原质检)若1a <1b <0，则下列不等式①a ＋b <ab ，②|a |>|b |，③a <b ，④b a ＋ab>2中，正确的不等式有( )A ．①② B.②③ C ．①④D.③④解析 C 用特值法，令a ＝－2，b ＝－3，可知①④正确．2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析 B 显然，充分性不成立．若a －c >b －d 和c >d 都成立，则同向不等式相加得a >b ，即由“a －c >b －d ”⇒“a >b ”．故选B.3．已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是 ( )A ．a >ab >ab 2B.ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D.ab >ab 2>a解析 D 由－1<b <0，可得b <b 2<1.又a <0，∴ab >ab 2>a . 4．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( )A ．大于0 B.等于0 C ．小于0D.符号不能确定解析 A 方法一：因为a <0，ay >0，所以y <0， 又x ＋y >0，所以x >0，所以x －y >0.方法二：a <0，ay >0，取a ＝－2，得－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0. 5．下列命题中，真命题有( )①若a >b >0，则1a 2<1b2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ； ③若a >b ，e >f ，则f －ac <e －bc ； ④若a >b ，则1a <1b.A ．1个 B.2个C ．3个 D.4个解析 B ①a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1b2，正确；②a >b ⇒－2a <－2b ⇒c －2a <c －2b ，正确；③当c <0时，不正确；④当b ＝0时，不正确．故选B.6．已知三个不等式：①ab >0，②bc >ad ；③c a >d b.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )A ．0 B.1 C ．2D.3解析 D 命题1：若ab >0，c a >d b，则bc >ad ，正确； 命题2：若ab >0，bc >ad ，则c a >d b，正确； 命题3：若c a >d b，bc >ad ，则ab >0，正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知M ＝2(a 2＋b 2)，N ＝2a －4b ＋2ab －7且a ，b ∈R ，则M ，N 的大小关系为________． 解析 ∵M －N ＝2(a 2＋b 2)－(2a －4b ＋2ab －7) ＝(a －1)2＋(b ＋2)2＋(a －b )2＋2>0， ∴M >N . 【答案】 M >N8．若角α、β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．解析 由－π2<α<β<π，得－π<－β<－α<π2，∴－3π2<α－β<0.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 9．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________(填序号)．解析 1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．【答案】 ①②④三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(2013·西安模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，判断a ，b ，c 的大小关系．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2＋1，c ＝2a 2－4a ＋5.∵b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a .又∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，∴a <b ≤c . 11．(12分)若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c2>e b －d2.解析 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2.12．(16分)已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13[f 2－f 1]，c ＝－43f1＋13f2.所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1， 所以53≤－53f (1)≤203，①因为－1≤f (2)≤5， 所以－83≤83f (2)≤403.②①②两式相加，得－1≤f (3)≤20， 故f (3)的取值范围是[－1,20]．。
2014年高考第六章不等式1.6.4
解析：(1)设该厂应隔 x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付 的总费用为 y1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管与其他费用共是 6(x－1)＋6(x－2)＋„＋6＝3x2－3x(元)． 1 300 从而有 y1＝ x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝ x ＋3x＋357≥417. 300 当且仅当 x ＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值． 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公 a2＋b2 a＋b 式的逆用， 例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤ 2 ； 2 ≥ ab a＋b 2 (a，b＞0)逆用就是 ab≤ 2 (a，b＞0)等．还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
题型探究 题型一 利用基本不等式求最值 例 1 解下列问题： (1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； 4 (2)已知 x＞2，求 x＋ 的最小值； x－2 4 9 (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求x ＋y 的最小值．
(2)∵x＞0，y＞0，且 x＋y＝1， 8 2 8 2 8y 2x ∴x ＋y ＝x ＋y (x＋y)＝10＋ x ＋ y 8y 2x ≥10＋2 x · ＝18. y 8y 2x 当且仅当 x ＝ y ，即 x＝2y 时等号成立， 2 1 8 2 ∴当 x＝3，y＝3时， x＋ y有最小值 18.
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最 低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试 设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
200 解析：设污水处理池的长为 x 米，则宽为 x 米，再设总造价为 y 元，则有 200 200 (1)y＝2x＋ x ×2×400＋248×2× x ＋80×200 259 200 ＝800x＋ x ＋16 000 259 200 ≥2 800x· x ＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800， 259 200 当且仅当 800x＝ x ，即 x＝18 米时，y 取得最小值． 100 ∴当污水池的长为 18 米，宽为 9 米时总造价最低为 44 800 元
2014年高考数学不等式复习知识
（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式：①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.考纲解读：不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主；不等式的性质常与简易逻辑结合考查；不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等），常与集合（选填题）、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合；线性规划问题难度不大；基本不等式求最值是重点，要加强训练；不等式的恒成立也应当重视。
近几年考点分布从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。
这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想．随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。
考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。
因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。
3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。
2014高考数学理二轮复习好题汇编(真题 模拟)：不等式
不等式一、选择题1．(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或x ＞12} ，则f (10x )＞0的解集为( ) A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2} B ．{x |－1＜x ＜－lg 2} C ．{x |x ＞－lg 2} D ．{x |x ＜－lg 2}【解析】 由题意知，一元二次不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜12.而f (10x )＞0，∴－1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12， 即x ＜－lg 2. 【答案】 D2．(2013·武汉模拟)设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若0<ab <1，则当a <0时，0>b >1a ，此时b <1a 不成立； 若b <1a ，则当a <0时，ab >1， 此时0<ab <1不成立，∴“0<ab <1”是“b <1a ”的既不充分也不必要条件．【答案】 D3．函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，(x ＜0)，x －1，(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}【解析】 不等式转化为⎩⎨⎧x ＋1≥0，x ＋(x ＋1)x ≤1，或⎩⎨⎧x ＋1＜0，x ＋(x ＋1)(－x )≤1， 解得－1≤x ≤2－1或x ＜－1. 综上知x ≤2－1，故选C. 【答案】 C4．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】如图所示，⎩⎨⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)． 当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13. 【答案】 C5．在一次为期15天的大型运动会期间，主办方每天都要安排专用大巴接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴可乘坐40人，已知第t 日参加比赛的运动员人数M 与t 的关系是M (t )＝⎩⎨⎧30t ＋60，1≤t ≤6，－3t 2＋61t ＋88，7≤t ≤15，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴的数量是( )A ．10辆B ．11辆C ．12辆D ．13辆【解析】 ①当1≤t ≤6时，M (t )＝30t ＋60是增函数， ∴M (t )的最大值为M (6)＝240.②当7≤t ≤15时，M (t )＝－3(t －616)2＋88＋3×(616)2， 当t ＝10时，M (t )有最大值M (10)＝398. 由①②知，M (t )的最大值为398， ∴至少准备大巴车10辆． 【答案】 A 二、填空题6．(2013·开封模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1,2)，由⎩⎨⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3,0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3，∴z ∈[－3,3]． 【答案】 [－3,3]7．(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.【解析】 f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36. 【答案】 368．(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．【解析】 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.【答案】 －2 三、解答题9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1a (x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．【解】 (1)由－x 2－2x ＋8＞0得－4＜x ＜2， 即A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1＞0，即x ＞－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合题意；当x ＋1＜0，即x ＜－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1a (x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a ＞0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ； 当a ＜0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a ＜0. 故a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.10．某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎨⎧ x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200. ∴点M 的坐标为(100,200)．∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)． 故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．11．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．【解】 (1)设隔热层厚度x cm ，由题意建筑物每年的能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)， 再由C (0)＝8，得k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)， 又∵隔热层建造费用为6x (万元)，∴f (x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f (x )＝8003x ＋5＋6x ＝1 6006x ＋10＋(6x ＋10)－10， ∵0≤x ≤10， ∴6x ＋10>0，∴f(x)≥21 6006x＋10×(6x＋10)－10＝70，当且仅当1 6006x＋10＝6x＋10.即x＝5时，取“＝”号．故隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．。
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法考情分析考点新知掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图.1. (必修5P 69习题2(2)改编)不等式3x 2－x －4≤0的解集是__________. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 解析：由3x 2－x －4≤0，得(3x －4)(x ＋1)≤0，解得－1≤x ≤43.2. (必修5P 71习题1(3)改编)不等式x 2＋x －6≤0的解集为________． 答案：[－3，2]解析：由x 2＋x －6≤0，得－3≤x ≤2.3. (必修5P 71习题7(4)改编)不等式1－2xx ＋1>0的解集是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 解析：不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x)(x ＋1)>0，也就是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ＋1)<0，所以－1<x<12. 4. (必修5P 71习题5(2)改编)已知不等式x 2－2x ＋k 2－3>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值X 围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k 2－3)<0，知k>2或k<－2.5. (必修5P 71习题6改编)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a －b ＝________．答案：－10解析：由题意可知，－12和13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·13＝2a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2，所以a －b ＝－10.1. 一元二次不等式的解法在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，令y ＝0，得到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax 2＋bx ＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象与x 轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：二次函数一元二次方程 一元二次不等式 一 般 式y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)Δ＝b 2－4acax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)ax 2＋bx ＋c＞0(a ＞0)ax 2＋bx＋c ＜0(a ＞0)图 象 与 解Δ>0 x ＝x 1，x ＝x 2 x<x 1或x>x 2 x 1< x<x 2Δ＝0 x ＝x 0＝－b2ax ≠－b 2aΔ<0 无解 R2. 用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程：[备课札记]题型1 一元二次不等式的解法例1 已知a ＞0，解关于x 的不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1＜0.解：原不等式可化为(x －a)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.由a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a ，得①当0＜a ＜1时，a ＜1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a<x<1a ；②当a ＞1时，a ＞1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x<a ；③当a ＝1时，a ＝1a ，(x －1)2＜0的解集为．变式训练已知关于x 的不等式：（a ＋1）x －3x －1<1.(1) 当a ＝1时，解该不等式； (2) 当a>0时，解该不等式．解：(1) 当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴ 1<x<2，解集为{x|1<x<2}．(2) a>0时，由（a ＋1）x －3x －1 <1得ax －2x －1<0，(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝1.①当2a＝1即a ＝2时，解集为；②当2a >1即0<a<2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<2a ；③当2a <1即a>2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a <x<1. 题型2 由二次不等式的解求参数的值或X 围例2 已知不等式(2＋x)(3－x)≥0的解集为A ，函数f(x)＝kx 2＋4x ＋k ＋3(k<0)的定义域为B.(1) 求集合A ；(2) 若集合B 中仅有一个元素，试某某数k 的值； (3) 若B A ，试某某数k 的取值X 围．解：(1) 由(2＋x)(3－x)≥0，得(2＋x)(x －3)≤0， 解得－2≤x≤3，故A ＝[－2，3]．(2) 记g(x)＝kx 2＋4x ＋k ＋3，则g(x)≥0在R 上有且仅有一解，而k<0，所以Δ＝0. 由k<0与16－4k(k ＋3)＝0，解得k ＝－4.(3) 记g(x)＝kx 2＋4x ＋k ＋3，首先g(x)≥0在R 上有解，而k<0，所以Δ＝16－4k(k ＋3)≥0, 解之得－4≤k<0.①设g(x)＝0的两个根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则B ＝[x 1，x 2]．由BA ，得⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）≤0，g （3）≤0，－2<－2k <3，即⎩⎪⎨⎪⎧5k －5≤0，10k ＋15≤0，－2<－2k <3，②由①与②，解得－4≤k≤－32.备选变式（教师专享）已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋b. (1) 解关于a 的不等式f(1)>0；(2) 当不等式f(x)>0的解集为(－1，3)时，某某数a 、b 的值．解：(1) f(1)＝ －3＋a(6－a)＋b ＝ －a 2＋6a ＋b －3，∵ f(1)>0，∴ a 2－6a ＋3－b<0. ∵Δ＝24＋4b ，当b≤－6时，Δ≤0，∴此时f(1)>0的解集为；当b>－6时，3－b ＋6<a<3＋b ＋6.∴ f(1)>0的解集为{a|3－b －6<a<3＋b ＋6. (2) ∵不等式－3x 2＋a(6－a)x ＋b>0的解集为(－1，3)， ∴f(x)>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a(6－a)x －b<0解集为(－1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝a （6－a ）3，3＝b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.题型3 三个二次之间的关系例3 已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b<0的解集是A∩B，那么a ＋b ＝________．答案：－3解析：由题意：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|－3<x<2}，A ∩B ＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴ a ＋b ＝－3.备选变式（教师专享）关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是________．答案：0解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故填0.题型4 一元二次不等式的应用例4 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？解： 设半圆直径为2R, 矩形的高为a ， 则2a ＋2R ＋πR ＝L(定值)，S ＝2Ra ＋12πR 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋2R 2＋LR ，当R ＝L π＋4时S 最大，此时Ra＝1， 即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线． 备选变式（教师专享）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．(1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么X 围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x)＝x ＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x>5.(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，即x 2－8x ＋7<0，得1<x<7， ∴1<x ≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2， ∴5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的X 围内．(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1. (2013·某某)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为______．答案：{x|x<－lg2}解析：由条件得－1<10x <12，即x<－lg2.2. (2013·某某)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么不等式f(x ＋2)<5的解集是________．答案：(－7，3)解析：解f(x)＝x 2－4x<5(x≥0)，得0≤x<5.由f(x)是定义域为R 的偶函数得不等式f(x)<5的解集是(－5，5)，所以不等式f(x ＋2)<5转化为－5<x ＋2<5，故所求的解集是(－7，3)．3. (2013·某某)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________．答案：52解析：x 2－x 1＝4a －(－2a)＝6a ＝15.4. (2013·某某)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100(5x ＋1－3x)元．(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值X 围； (2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1) 根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 0005x －14－3x ≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2) 设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．1. 解关于x 的不等式(1－ax)2<1.解：由(1－ax)2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1，即ax(ax －2)<0. ①当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解．②当a<0时，不等式转化为x(ax －2)>0，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a <0.∵2a <0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x<0. ③当a>0时，原不等式转化为x(ax －2)<0，又2a >0，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x<2a .综上所述，当a ＝0时，原不等式解集为；当a<0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x<0； 当a>0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x<2a .2. 函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求a 的取值X 围；(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，求a 的取值X 围．解：(1) ∵ x∈R ，f (x)≥a 恒成立，∴ x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值X 围为[－6，2]． (2) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24. 讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a 的取值满足下列条件： ⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤－2，f （－2）≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－a2＜2，3－a 24≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥2，f （2）≥a， 即⎩⎪⎨⎪⎧a≥4，7－2a≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜a ＜4，a 2＋4a －12≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a≤－4，7＋2a≥a. 解得－7≤a≤2.∴ 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值X 围为[－7，2]． 3. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？解：设每件提高x 元(0≤x≤10)，即每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，设每天获得总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x)(100－10x)＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.所以当x ＝4时，y max ＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．要使每天利润在300元以上，则有－10x 2＋80x ＋200＞300，即x 2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天赚300元以上．4. 设关于x 的不等式mx 2－2x －m ＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m 都成立，则x 的取值X 围是________．答案：7－12<x<3＋12解析：以m 为主体变元构造函数f(m)＝(x 2－1)m －(2x －1)，问题转化为求x 的X 围，使f(x)在[－2，2]上恒为负值．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＜0，f （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3＜0，2x 2－2x －1＜0，解得7－12＜x ＜3＋12.1. 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0，ax 2＋bx ＋c<0的解就是使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0或小于0时x 的X 围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集表．2. 解带参数的不等式(x －a)(x －b)>0，应讨论a 与b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)3. 应注意讨论ax2＋bx＋c>0的二次项系数a是否为0.4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则．请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.。
2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题06 不等式(文)(教学案)
一．考场传真1. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】不等式222x -<的解集是（ ） （A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）（A ）ac bc > （B ）11a b < （C ）22a b > （D ）33a b >3. 【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】若非负数变量,x y满足约束条件124x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩，则x y +的最大值为__________.5.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是.直线经过(0,1)B -，2u x y =+取得最大值，即min 2u =-. 故2x y +的取值范围是1[2,]2-.6.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为（ ）(A) －7 (B) －4 (C) 1(D) 27.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）168.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元9.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b的最小值为 .二．高考研究I.考纲要求:1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
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（一）选择题（12*5=60分）
1.【2014届湖南省四校高三上学期第三次联考】全集
则（）A．B．C．D．
2.【2014届江西师大附中高三年级10月月考】设全集为实数集，，
，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．B．
C．D．
3.【2014届吉林省实验中学高三上学期第一次阶段检测】已知变量满足约束条件
，则的最小值为( )
A．B．C． 8 D．
4.【2014届安徽省皖南八校高三第一次联考】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
5.【2014届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考】设函数，则满足的x的取值范围是 ( )
A．，2] B．[0，2] C．[1，+) D．[0，+)
6.【2014届河北省衡水中学高三上学期一调考试】实数，条件:，条件:，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7.【2013届吉林省吉林市高三三模（期末）】已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
8. 【2014届内蒙古赤峰市全市优质高中高三摸底考试】已知变量x，y满足
则的取值范围是( )
A．B．C．
D．
9.【2014届北京101中学高三上学期10月阶段性考试】已知点的坐标满足条件
，那么的取值范围为（）
A．B．C．D．
10. 【2012年高考江西卷理科8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
11.【2014届湖北省教学合作高三10月联考】设，若
A．2 B．3 C．4 D．
12. 【2014届湖南省四校高三上学期第三次联考】在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．
C．D．
（二）填空题（4*5=20分）
13.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】若2
x>，则
1
2
x
x
+
-
的最小值为．
14.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，
则2z x y =+的最大值是 ．
15.【2014届山东省临沂市某重点中学高三9月月考】设命题p:,命题
q:
若
是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
___________．
16.【2014届湖南省四校高三上学期第三次联考】定义在R上的函数满足：，
且对于任意的,都有
1
'()
2
f x<，则不等式2
2
log x1
f lo
g x
2
+
（）>的解集为 .
（三）解答题（10+5*12=70分）
17.【2014届甘肃省临夏中学高三上学期期中】（满分10分）记函数
的定义域为集合，函数的定义域为集合．
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值范围
18. 【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】（满分12分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.
19.【2012年高考江苏卷】（本小题满分12分）
如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
20.【2014届甘肃省临夏中学高三上学期期中】（满分12分）设函数
，曲线过点P（1，0），且在P点处的切斜线率为2．（1）求，的值；
（2）证明：
．
21.【2014届广东省广州市执信、广雅、六中高三9月三校联考】（满分12分）已知数列前n项和为成等差数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）数列满足，求证：
.
当时，，，
22.【2014届湖南省四校高三上学期第三次联考理科】（满分12分）已知函数，
．
（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；（Ⅱ）求证:当时，有；
（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.
（四）附加题（15分）
23.【2014届江西省余江一中高三第二次模拟考试】已知函数
（1）当时，求在最小值；
（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）求证：（）．。