2020-2021学年最新上海市中考数学一模试卷及答案

中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；tanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A．当时，能判断ED∥BC；B.当时，能判断ED∥BC；C.当时，不能判断ED∥BC；D.当时，能判断ED∥BC；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。

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2020-2021学年上海市嘉定区初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2020-2021学年上海市嘉定区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）如果实数a ，b ，c ，d 满足a cb d=，下列四个选项中，正确的是( ) A ．a b c d b d++=B ．a c a b c d=++ C ．a c c b d d+=+D ．22a cb d=2．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,3)P ，点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为(090)αα︒<<︒，那么tan α的值是( )A ．1010B ．13C ．31010D ．33．（4分）抛物线223y x =-的顶点坐标是( ) A ．(2,3)-B ．(2,3)C ．(0,3)-D ．(0,3)4．（4分）已知单位向量e 与非零向量a ，b ，下列四个选项中，正确的是( ) A ．||a e a =B ．||e b b =C ．1||a e a = D ．11||||a b a b = 5．（4分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，下列四个选项中，不正确的是( ) A ．32AC AB =B ．32BC CD =C ．33BD CD =D ．33BC AC =6．（4分）二次函数2()y a x m k =++的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是( )A ．0m <，0k <B ．0m <，0k >C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．（4分）正方形的边长与它的对角线的长度的比值为．8．（4分）已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，那么:AP AB 的比值为． 9．（4分）如图，点D 在ABC ∆的AB 边上，当ADAC= 时，ACD ∆与ABC ∆相似．10．（4分）已知向量关系式26()0a b x +-=，那么向量x = （用向量a 与向量b 表示）．11．（4分）如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30︒，那么APB ∠的度数为︒．12．（4分）已知一个斜坡的坡度1:3i =，那么该斜坡的坡角的度数是度． 13．（4分）如果抛物线2(21)y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是． 14．（4分）二次函数2(1)3y x =+-的图象与y 轴的交点坐标为．15．（4分）如果抛物线2()2y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为．16．（4分）如果抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b + 0．（从<，=，>中选择）17．（4分）如图，正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，点A 、B 、C 在同一条直线上，联结AD 、BD ，那么cot ADB ∠的值为．18．（4分）已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，5sin 5A =（如图），把ABC ∆绕着点C 按顺时针方向旋转(0360)αα︒<<，将点A 、B 的对应点分别记为点A '，B '，如果△AAC '为直角三角形，那么点A 与点B '的距离为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin452sin60tan60tan45︒+︒-︒⋅︒．20．（10分）我们已经知道二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x 轴的正方向看）．已知一个二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示．（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．21．（10分）如图，已知AC 与BD 相交于点O ，联结AB ．（1）如果//AD BC ，4AOD S ∆=，9BOC S ∆=，求：ABO S ∆；（2）分别将AOD ∆、AOB ∆、BOC ∆记为1S 、2S 、3S ，如果2S 是1S 与3S 的比例中项，求证：//AD BC ．22．（10分）如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，4sin 5B =．（1）求边BC 的长度；（2）求cos A 的值．23．（12分）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在ABC ∆的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB 、AC 上，ABC ∆的高AH 交GF 于点l ．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设(DE n EF n =⋅为正实数），求证：11n BC AH EF+=．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，点(1,6)B ，点(1,4)C ，如果抛物线23(0)y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a 与b 的值；（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移(0)t t >个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点(1,4)C ，设这个新抛物线的顶点是D ，试探究ABD ∆的形状．25．（14分）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2EAD ∠=．点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF ．（1）如图1，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如图2，如果12CF BC =，①求证：CFE DAE∠=∠；②求线段EF的长．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．【解答】解：A 、a cb d =，∴a bc db d++=，故选项正确； B 、当0a b c d +=+=时，等式不成立，故选项错误；C 、当0b d +=时，等式不成立，故选项错误；D 、无法得到22a cb d=，故选项错误．故选：A ．2．【解答】解：如图，过P 点作PA x ⊥轴于A ，则POA α∠=，点P 的坐标为(1,3)， 1OA ∴=，3PA =，3tan 31PA POA OA ∴∠===，即tan 3α=．故选：D ．3．【解答】解：抛物线223y x =-，∴抛物线顶点坐标为(0,3)-，故选：C ．4．【解答】解：A 、当单位向量e 与非零向量a 的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．B 、等式||e b b =成立，故本选项符合题意．C 、当单位向量e 与非零向量a 的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．D 、当单位向量e 与非零向量b 的方向相同时，等式11||||a b a b =才成立，故本选项不符合题意．故选：B ．5．【解答】解：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒， 2AB BC ∴=，60B ∠=︒， CD AB ⊥， 30BAC ∴∠=︒， 2BC BD ∴=，设BD x =，则2BC x =，4AB x =，2223AC AB BC x ∴=-=，223CD BC BD x =-=， 23342AC x AB x ==， A ∴不合题意；22333BC x CD x==， B ∴符合题意；333BD x CD x ==， C ∴不合题意；23323BC x AC x ==， D ∴不合题意；故选：B ．6．【解答】解：二次函数2()y a x m k =++∴顶点为(,)m k -，顶点在第四象限， 0m ∴->，0k <， 0m ∴<，0k <，故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．【解答】解：四边形ABCD 是正方形， AB BC CD AD ∴===，AC BD =，90ABC ∠=︒，22222AC AB BC AB AB ∴++，∴22AB AC AB==2． 8．【解答】解：点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >， 51AP AB -∴=， ∴51AP AB -， 51-． 9．【解答】解：A A ∠=∠，∴当AD ACAC AB=时，ACD ∆与ABC ∆相似，故答案为：ACAB． 10．【解答】解：26()0a b x +-=，∴13x a b =+，故答案为：13a b +．11．【解答】解：根据题意可知： 90PAB ∠=︒，30B ∠=︒， 903060APB ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：60．12．【解答】解：3tan 3α==∴坡角30=︒．13．【解答】解：抛物线2(21)y a x =-的开口向下， 210a ∴-<，即12a <．故答案为12a <． 14．【解答】解：2(1)3y x =+-，∴当0x =时，2y =-，即二次函数2(1)3y x =+-的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)-，故答案为(0,2)-．15．【解答】解：抛物线2()2y x m k =++-的顶点在x 轴上， 20k ∴-=，解得：2k =，故答案为：2．16．【解答】解对称轴为1x =， 12ba∴-=， 20a b ∴+=，故答案为=．17．【解答】解：连接BF 交AD 于G ，设正方形的边长为a ，BD BF ∴=，//AB DF ， ABG DFG ∴∆∆∽，∴12BG AB FG DF ==， 1133BG BF a ∴==，cot 313BD aADB BG a∴∠===，故答案为：3．18．【解答】解：分两种情况：①当点B '在线段AC 上时，△AAC '为直角三角形，90ACB ∠=︒，10AB =，5sin 5A =， 55102555BC AB ∴=⨯=⨯=， 25B C '∴=，2245AC AB BC =-=，452525AB AC B C ''∴=-=-=；②当点B '在线段AC 的延长线上时，△AAC '为直角三角形，同理可得，25B C '=45AC = 452565AB AC B C ''∴=+==综上所述，点A 与点B '的距离为2565．故答案为：55三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：原式221=+-== 20．【解答】解：（1）由图象可得，该函数图象的对称轴是直线2x =；抛物线开口向下；抛物线有最高点，最高点的坐标为(2,7)；当2x <时，y 随x 的增大而增大，当2x >时，y 随x 的增大而减小；（2）依据目前的信息，不可以求出这个二次函数的解析式，补充条件，点C 的坐标为(0,3)，设该函数解析式为2(2)7y a x =-+，则23(02)7a =-+，解得1a =-，即该函数解析式为2(2)7y x =--+．21．【解答】（1）解：//AD BC ， AOD COB ∴∆∆∽， ∴2()AOD COB S OA S OC ∆∆=，即24()9OA OC =，解得，23OA OC =， ∴23AOB BOC S OA S OC ∆∆==，即293ABO S ∆=，解得，6ABO S ∆=；（2）证明：2S 是1S 与3S 的比例中项， ∴AOB BOC AOD AOB S S S S ∆∆∆∆=， ∴OB OC OD OA=， //AD BC ∴．22．【解答】解：（1）如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，10AB AC ==，2BC BD ∴=，在Rt ABD ∆中，sin AD B AB =， 4sin 1085AD AB B ∴==⨯=， 22221086BD AB AD ∴=-=-=，则212BC BD ==；（2）如图，过B 作BH AC ⊥于H ， 1122ABC S AC BH BC AD ∆=⋅=⋅， 12848105CB AD BH AC ⋅⨯∴===， 2222481410()55AH AB BH ∴=-=-=， 1475cos 1025AH BAC AB ∴∠===．23．【解答】（1）证明：四边形DEFG 是矩形，GD BC ∴⊥，FE BC ⊥，DG EF =，AH BC ⊥，////GD AH FE ∴，BDG ABH ∴∆∆∽，FEC ACH ∆∆∽，∴GD BD BD AH BH BD DH==+， FE CE CE AH CH CE EH==+， GD FE =，∴BD CE BD DH CE EH=++， ()()BD CE EH CE BD DH ∴+=+，BD EH DH CE ∴⋅=⋅；（2）证明：//DF BC ，AGF ABC ∴∆∆∽，∴GF AF BC AC=， FC EFAC AH=， ∴1GF EF AF FC AF FC BC AH AC AC AC++=+==， GF DE n EF ==⋅， ∴1n EF EF BC AH ⋅+=， ∴11n BC AH EF+=． 24．【解答】解：（1）抛物线与y 轴的交点记作点E ，针对于抛物线23y ax bx =++，当0x =时，3y =，∴抛物线与y 轴的交点E 的坐标为(0,3)，点(1,6)B ，点(1,4)C ，//BC y ∴轴，∴抛物线23y ax bx =++经过点B 、C 两点中其中的一点，而点(1,2)A -，(0,3)E ，(1,4)C ，∴点A ，E ，C 从左到右，横坐标依次增加1，纵坐标也依次增加1， ∴点A ，E ，C 再同一条直线上，∴点C 不在物线23y ax bx =++上，即抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的A 、B 两个点；（2）将点(1,2)A -、(1,6)B 代入抛物线23y ax bx =++中，得3236a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴12a b =⎧⎨=⎩，即a ，b 的值分别为1，2；（3）由（2）知，1a =，2b =，∴抛物线的解析式为2223(1)2y x x x =++=++，由平移得，平移后新抛物线的解析式为2(1)22y x t =+-+-，即新抛物线的解析式为2(1)y x t =+-，抛物线经过点(1,4)C ，24(11)t ∴=+-，0t ∴=（舍)或4t =，∴新抛物线的解析式为2(3)y x =-，∴顶点(3,0)D ，点(1,2)A -、(1,6)B ，AB ∴=AD =．BD = AB AD ∴=，222202040AB AD BD +=+==，ABD ∴∆是等腰直角三角形．25．【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD 是矩形，90BAC ABC ∴∠=∠=︒，过点F 作FG AB ⊥于G ，////AD GF BC ∴，DAE AFG ∴∠=∠，1tan 2EAD ∠=， 1tan 2AFG ∴∠=，在RtAGF 中，1tan 2AG AFG FG ∠==，设AG m =，则2FG m =，//FG BC ，BFG CBF ∴∠=∠，3tan 4CBF ∠=， 3tan 4BFG ∴∠=，在RtBGF 中，3tan 4BG BFG FG ∠==， ∴324BG m =，32BG m ∴=， 6AB AG BG =+=，362m m ∴+=， 125m ∴=， 125AG ∴=，2425FG m ==，根据勾股定理得，AF ==；（2）①如图2，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，8BC AD ==，6CD AB ==，90D ∠=︒，在Rt ADE ∆中，1tan 2DE DAE AD∠==， 118422DE AD ∴==⨯=， 2CE CD DE ∴=-=，延长AE ，BC 相交于点H ，//AD BC ，ADE HCE ∴∆∆∽， ∴AD DE CH CE =， ∴842CH =， 4CH ∴=， 142CF BC ==， CF CH ∴=，H CFE ∴∠=∠，//AD BC ，H DAE ∴∠=∠，CFE DAE ∴∠=∠；②如图3，过点F 作FP CD ⊥于P ，//AD FP ∴，PFE DAE ∴∠=∠， 1tan 2DAE ∠=， 1tan 2PFE ∴∠=，在Rt EPF ∆中，1tan 2PE PFE PF ∠==，设PE n =，则2PF n =，由①知，2CE =，2CP n ∴=+，在Rt CPF ∆中，4CF =，根据勾股定理得，222CF PF CP =+， 2224(2)(2)n n ∴=++，2n ∴=-（舍)或65n =， 65PE ∴=，1225PE n ==，根据勾股定理得，222261265()()555EF PE PF =+=+=．。

2020-2021学年上海市浦东新区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市浦东新区九年级一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C二、填空题（共12小题）.7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1y2．（填“＞”或“＜”）15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝厘米．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．三、解答题（共7小题）.19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：1解：取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，A'B'＝5厘米＝0.05米，所以＝＝，所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．故选：B．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα解：∵sin B＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故选：A．3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x解：A、当k＝1时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、化简后y＝﹣x﹣2，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝解：A、||＝计算正确，故本选项符合题意．B、||与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．C、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、与的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：A．5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 解：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∠ADE＝∠B，又∵∠ACD＝∠B，∴∠AEF＝∠ADE，∴△AEF∽△ADE，∴，∴AE2＝AF•AD，故选项A不合题意；∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AB•AD，故选项B不合题意；∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∴AD2＝AB•AF，故选项D不合题意；由题意无法证明AF2＝AE•AC，故选项C符合题意，故选：C．6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C解：∵B、C两点的横坐标相同，∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．解得，（不合题意）；∴抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的A，C两点，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．解：∵＝，∴可设a＝5k，则b＝2k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是2﹣2．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝0．解：原式＝2×﹣1＝0．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是36度．解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角36°，∴乙处看甲处为：仰角为36°，故答案为：36．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝2．解：连接DE，∵AD、BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，DE∥AB，∴△AFB∽△DFE，∴＝＝2，∴AF＝2FD，∵AD＝3，∴AF＝2，故答案为：2．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为﹣．解：如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向向上．（填“向上”或“向下”）解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，∴m＝0，∴a＝4＞0，∴该抛物线的开口方向向上．故答案为：向上．14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1＜y2．（填“＞”或“＜”）解：∵y＝（x+1）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为＜．15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝15厘米．解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，AH⊥BC，DG＝EF，∴AP⊥DG．设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，∴＝，解得x＝15．∴DG＝15厘米，故答案为：15．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，∵DE∥AB，∴BG⊥AB，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，∴四边形ADGB是矩形，∴BG＝AD＝0.4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，∴CH＝＝＝，∵DE∥AB，∴∠E＝∠ABC，∵∠FBE＝∠ACB＝90°，∴△FBE∽△ACB，∵CH⊥AB，BG⊥DE，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y ＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得4﹣m＝±2解得m1＝2，m2＝6．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．解：如图，∵点D是BC的中点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故答案为：2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．解：由（）＝，得＝2，所以7＝﹣2．所以＝（﹣2）．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范围为m＞4．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）解：如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，∴∠BAG＝∠CDH，∵∠BGA＝∠CHD＝90°，∴△BGA≌△CHD（AAS），∴AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，则有，解得，∴BC＝GH＝AG+AD+DH＝100+180+100＝380（毫米）．23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴＝，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（5，0）和O（0，0），∴设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣5），将点A（2，4）代入y＝ax（x﹣5）中，得4＝a×2（2﹣5），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+x；（2）如图1，连接OP，过点P作PD⊥x轴于D，∴∠ODP＝90°，∵A（2，4）、B（5，0）和O（0，0），∴OB＝5，AB＝＝5，∴OB＝AB，∵BC⊥OA，∴AC＝OC，∠OBC＝∠ABC，∵BP＝BP，∴△OBP≌△ABP（SAS），∴∠BOP＝∠BAP，∵AC＝OC，A（2，4），∴点C（1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+①，由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x②，联立①②解得，或，∴P（，），∴OD＝，PD＝，∴cot∠BAP＝cot∠BOP＝＝＝；（3）设M（2，m），∵A（2，4），B（5，0），P（，），∴AM＝|m﹣4|．OA＝2，AB＝5，BP＝＝，∵BC⊥OA，∴∠ACP＝∠BCP＝90°，∴∠ABP＜90°，∠APC＜90°，∵∠BOP＜90°，∴∠BAP＜90°，∴△ABP是锐角三角形，∵△AMO与△ABP相似，∴△AMO为锐角三角形，∴点M在点A的下方，∴AM＝4﹣m，如图2，AM与x轴的交点记作点E，与BC的交点记作点F，∵AM⊥x轴，∴∠AEB＝90°，∴∠OBP+∠BFE＝90°，∵∠AFP＝∠BFE，∴∠OBP+∠AFP＝90°，∵BC⊥OA，∴∠AFP+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠OBP，由（2）知，∠OBP＝∠ABP，∴∠OAE＝∠ABP，∵△AMO与△ABP相似，∴①当△OAM∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），②当△MAO∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），即满足条件的点M的坐标为（2，﹣）或（2，﹣）．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE≌△CEF，∴，∵EC＝3CF，设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，∴，解得，a＝4.5x，∴；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，设CF＝x，则CE＝3x，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，∴BM＝AB•cos B＝6x cos B，AM＝AB•sin B＝6x sin B，CN＝CF•cos∠FCN＝x cos B，FN＝CF•sin∠FCN＝x sin B，∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6x cos B，EN＝EC+CN＝3x+x cos B，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴，即，即，整理得，2sin2B＝3﹣5cos B﹣2cos2B，∴2＝3﹣5cos B，∴cos B＝；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴＝，∵∠AFE＝∠B，tan B＝，tan∠AFE＝，∴，∴，∴BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，∴BM＝a cos B，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cos B，∴a cos B＝EC+CF•cos B，∵CF＝2，EC＝3CF，∴EC＝6，∴a cos B＝6+2cos B，∴cos B＝，∵，AM＝AB•sin B＝a sin B，EN＝6+2cos B，ME＝a﹣a cos B﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sin B，∴，化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，2a＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，a﹣a cos B﹣3cos B﹣9＝0，∵cos B＝，∴a﹣﹣﹣9＝0，解得，a＝17，或a＝0（舍），∴菱形的边长为17．。

2020-2021学年上海市虹口区初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2020-2021学年上海市虹口区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，如果3BC =，4AC =，那么tan A 的值是( )A ．34B ．43C ．35D ．452．（4分）如果向量a 和b 是单位向量，那么下列等式中，成立的是( )A ．a b =B ．||||a b =C ．2a b +=D ．0a b -=3．（4分）下列函数中，属于二次函数的是( )A ．212y x =-B ．22y x =-C ．22y x =-D ．22(2)y x x =--4．（4分）将抛物线23y x =-向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是( )A ．21y x =-B ．25y x =-C ．2(2)3y x =+-D ．2(2)3y x =--5．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度1:2.4i =，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是( )A ．10米B ．24米C ．25米D ．26米6．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=，1CEF S ∆=，那么ABC S ∆的值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入答题纸的相应位置.7．（4分）如果:3:2a b =，那么a a b=+ ． 8．（4分）计算：13(24)2a ab --= ．9．（4分）如果抛物线2y x a =-经过点(2,0)，那么a 的值是． 10．（4分）如果抛物线2(1)y k x =+有最高点，那么k 的取值范围是．11．（4分）如果抛物线l 经过点(2,0)A -和(5,0)B ，那么该抛物线的对称轴是直线．12．（4分）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是的（填“上升”或“下降”)．13．（4分）点P 是线段AB 上的一点，如果2AP BP AB =⋅，那么AP AB的值是． 14．（4分）已知ABC ∆∽△A B C '''，顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''边上的中线，如果3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，那么A D ''的长是．15．（4分）如图，//AB CD ，AD 、BC 相交于点E 过E 作//EF CD 交BD 于点F ，如果3AB =，6CD =，那么EF 的长是．16．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，4AD =，9BC =，那么BD = ．17．（4分）如图，图中提供了一种求cot15︒的方法．作Rt ABC ∆，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，再延长CB 到点D ，使BD BA =，联结AD ，即可得15D ∠=︒．如果设AC t =，则可得(23)CD t =+，那么cot15cot 23CD D AC︒===+．运用以上方法，可求得cot 22.5︒的值是．18．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．D 是BC 的中点，点E 在边AB 上，将BDE ∆沿直线DE 翻折，使得点B 落在同一平面内的点B '处，线段B D '交边AB 于点F ，联结AB '．当△AB F '是直角三角形时，BE 的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2tan 452sin 60cot 302cos45︒-︒︒-︒． 20．（10分）已知二次函数的解析式为2122y x x =-．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为2()y a x m k =++的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系xOy 内描点，画出该函数的图象． x ⋯⋯ y⋯ ⋯21．（10分）如图，在ABC ∆中，点G 是ABC ∆的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．22．（10分）图1是一款家用落地式取暖器．如图2是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD 是取暖器的主体，等腰梯形BEFC 是底座，BE CF =，烘干架连杆GH 可绕边CD 上一点H 旋转，以调节角度．已知50CD cm =，8BC cm =，20EF cm =，12DH cm =，15GH cm =，30CFE ∠=︒．当53GHD ∠=︒时，求点G 到地面的距离．（精确到0.1)cm （参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，3 1.73)≈23．（12分）如图，在ABC ∆中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：~BFE CGE ∆∆；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点．（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC ∆内，求a 的取值范围．25．（14分）如图，在ABCAM BC，点D、BC=，过点A作射线//AB=，4∆中，90ABC∠=︒，3E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、∠=∠．G，DBE C（1）当1AD=时，求FB的长；（2）设AD x=，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；=，FG y（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果DBH∆是等腰三角形，请直接写出AD的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【解答】解：在ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =， 3tan 4BC A AC ∴==，故选：A ．2．【解答】解：A 、向量a 与b 方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．B 、由题意知，||||a b =，故本选项符合题意．C 、当向量a 与b 方向相反时，0a b +=，故本选项不符合题意．D 、当向量a 与b 方向相同时，0a b -=，故本选项不符合题意．故选：B ．3．【解答】解：A 、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；B 、含有二次根式，不是二次函数，故此选项不合题意；C 、是二次函数，故此选项符合题意；D 、22(2)44y x x x =--=-+，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C ．4．【解答】解：将抛物线23y x =-向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是2(2)3y x =-- 故选：D ．5．【解答】解：作AB CB ⊥于B ，由题意得，10AB =米，斜坡的坡度1:2.4i =，∴12.4AB BC =，即1012.4BC =，解得，24BC =，由勾股定理得，2222102426AC AB BC =+=+=（米)，故选：D ．6．【解答】解：90ACB ∠=︒，90BAC B ∴∠+∠=︒，又DF AB ⊥，90ADF ∴∠=︒，90BAC F ∴∠+∠=︒，B F ∴∠=∠，又90ECF ACB ∠=∠=︒，ECF ACB ∴∆∆∽， ∴1tan 3EC CF EAC AC BC ==∠=， ∴19ECF ACB S S ∆∆=，又1ECF S ∆=，9ABC S ∆∴=，故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入答题纸的相应位置.7．【解答】解：:3:2a b =，23a b ∴=，23b a ∴=， 3253a a ab a a ==++；故答案为：35． 8．【解答】解：原式3222a a b a b =-+=+．故答案是：22a b +．9．【解答】解：把(2,0)代入2y x a =-得40a -=，解得4a =．故答案为4．10．【解答】解：抛物线2(1)y k x =+有最高点，10k ∴+<，即1k <-．故答案为：1k <-．11．【解答】解：抛物线经过点(2,0)A -和点(5,0)B ，∴抛物线的对称轴为直线25322x -+==．故答案为：32x =． 12．【解答】解：抛物线22y x =-的开口向上，对称轴为y 轴，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，∴抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．13．【解答】解：点P 是线段AB 上的一点，2AP BP AB =⋅， ∴AP AB BP AP=， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，AP AB ∴=，∴AP AB ，． 14．【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，3BC =， 2.4AD =，2B C ''=， ::BC B C AD A D ∴''=''，2.4:3:2A D ∴''=，A D ''∴的长是1.6，故答案为：1.6．15．【解答】解：//AB CD ， ABE DCE ∴∆∆∽， ∴12BE AB CE CD ==． //EF CD ，BEF BCD ∴∆∆∽， ∴EF BE BE CD BC BE CE ==+，即163EF =， 2EF ∴=．故答案为：2．16．【解答】解：//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，又90A BDC ∠=∠=︒，ABD DCB ∴∆∆∽， ∴AD BD BD BC =， 249BD ∴=⨯，6BD ∴=，故答案为：6．17．【解答】解：作Rt ABC ∆，使90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，再延长CB 到点D ，使BD BA =，联结AD ， AB BD =，BAD D ∴∠=∠，ABC BAD D ∠=∠+∠，122.52D ABC ∴∠=∠=︒，设AC t =，则BC t =，2AB t =，2(21)CD BC BD t t t ∴=+=+=+，在Rt ADC ∆中，(21)cot 21CD t D AC t+===+， cot 22.521∴︒=+．故答案为21+．18．【解答】解：①方法一：如图1，当90AFB ∠'=︒时．在Rt ABC ∆中，6AC =，8BC =，10AB ∴===， D 是BC 的中点，142BD CD BC ∴===， 90AFB BFD '∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，DFB ACB ∴∠=∠，又DBF ABC ∠=∠，BDF BAC ∴∆∆∽， ∴BF BD BC AB =，即4810BF =，解得：165BF =，设BE B E x '==，则165EF x =-， B FB E '∠=∠，sin sin B FB E '∴∠=∠， ∴AC EF AB B E='， ∴166510x x-=，解得2x =．2BE ∴=．方法二：过点E 作EH BC ⊥于点H ，设3EH a =，5BE a =，则4BH a =，将BDE ∆沿直线DE 翻折，3EF a ∴=，48cos 45BF a BD B ∴==⋅∠=⨯， 25a ∴=， 52BE a ∴==；②如图2中，当90AB F ∠'=︒时，连接AD ，作EH AB ⊥'交AB '的延长线于H ．AD AD =，CD DB ='，Rt ADC Rt ADB (HL)∴∆≅∆'，6AC AB ∴='=，将BDE ∆沿直线DE 翻折，B DB E '∴∠=∠，AB DB ''⊥，EH AH ⊥，//DB EH '∴，DB E B EH ''∴∠=∠，B B EH '∴∠=∠，sin sin B B EH '∴∠=∠，设BE x =，则35B H x '=，45EH x =，在Rt AEH ∆中，222AH EH AE +=， ∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得4017x =，4017BE ∴=．则BE 的长为2或4017．方法二：过点E 作EG BD ⊥于点G ，设3EG a =，4BG a =，5BE a =，3922DG EG a ∴=⨯=，DG GB DB +=， ∴9442a a +=，817a ∴=，4017BE ∴=．故答案为：2或4017．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：原式213222322=-⨯-⨯ 1332=--323=+-2=．20．【解答】解：（1）2122y x x =- 21(4)2x x =- 21(444)2x x =-+- 21(2)22x =--；（2）列表：x ⋯0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 0 32- 2-32- 0 ⋯ 描点、连线画出函数图象如图：．21．【解答】解：（1）G 是ABC ∆的重心，AD DC ∴=，2BG GD =，∴1122AD AC b ==， BD BA AD =+，∴12BD a b =-+，∴221333BG BD a b ==-+．（2）AG BD ⊥， 90AGD AGB ∴∠=∠=︒，45GAD ∠=︒，GA GD ∴=，2BG GD =，3AG GD ∴==，232AD DC AG ∴===，//GE BC ，DGE DBC ∴∆∆∽，∴13DE DG DC DB ==， 13223DE ∴=⨯=， 42AE AD DE ∴=+=．22．【解答】解：如图，过点G 作GT EF ⊥于T ，GR CD ⊥于R ，延长AB 交EF 于P ，延长DC 交EF 于Q ，则四边形GRQT ，四边形BPQC 都是矩形．四边形BCFE 是等腰梯形，BE CF ∴=，BEP CFQ ∠=∠，90BPE CQF ∠=∠=︒，()BPE CQF AAS ∴∆≅∆，1()6()2EP QF EF BC cm ∴==-=，在Rt CQF ∆中，tan 303 3.46()CQ QF cm =⋅︒=≈，在Rt GHR ∆中，cos53150.609()RH GH cm =⋅︒≈⨯=， 50CD cm =，12DH cm =，38()CH CD DH cm ∴=-=，938 3.4650.5()GT RQ RH HC CQ cm ∴==++=++≈，答：点G 到地面的距离为50.5cm ．23．【解答】证明：（1）DB DC =， DBC DCB ∴∠=∠，//EG AB ， ∴CE CG BE AG=， BF AG =， ∴CE CG BE BF=， ~BFE CGE ∴∆∆；（2）~BFE CGE ∆∆，BEF GEC ∴∠=∠，BFE EGC ∠=∠，AEG C ∠=∠，GEB AEG AEB C EGC ∠=∠+∠=∠+∠， AEB EGC ∴∠=∠，BEF GEC BFE EGC ∴∠=∠=∠=∠，BE BF ∴=，EC GC =，BE AG ∴=，//GE AB ，AEG BAE ∴∠=∠，BAE C ∴∠=∠，又ABE ABC ∠=∠，ABE CBA ∴∆∆∽， ∴AB BE AC AB=， 2AB AC BE AC AG ∴=⋅=⋅．24．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x =-+．将点C 的坐标(0,3)代入得：33a -=，解得：1a =-， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）如图1，设PB 交y 轴于点E ，(0,3)C ，(3,0)B ，3OB OC ∴==，90COB ∠=︒，45OCB OBC ∴∠=∠=︒，又ACB PCB ∠=∠，ACB OCB PBC OBC ∴∠-∠=∠-∠，即OCA PBO ∠=∠， tan tan OCA PBO ∴∠=∠，即OA OE OC OB=，∴133OE =， 1OE ∴=，点P 在第三象限，(0,1)E ∴-，设PB 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，把(0,1)E -和(3,0)B 代入得：130b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，PB ∴的解析式为：113y x =-，则223113y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-⎪⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩或2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 4(3P ∴-，13)9-；（3）抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点， ∴对称轴是：直线3112x -==， (3,0)B 、(0,3)C ，同理得BC 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，2y =，当顶点(1,2)D 时，设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x =-+，把顶点(1,2)D 代入得：12a =-， ∴抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC ∆内，a 的取值范围是102a -<<． 25．【解答】解：（1）//AM BC ，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90DAB ∴∠=︒，由勾股定理得：BD = //AM BC ，ADF CBF ∴∆∆∽， ∴AD DF BC BF =，1AD =， ∴1104BFBF -=，4105BF ∴=；（2）如图1，//AM BC ， C CAM ∴∠=∠，DBE C ∠=∠， DBE CAM ∴∠=∠，BFG AFD ∠=∠，ADF BGF ∴∆∆∽， ∴AF DFBF FG =，AF FG BF DF ∴⋅=⋅，//AM BC ，ADF CBF ∴∆∆∽，∴4DF AF AD xBF CF BC ===， ∴249x x x =++，4AF xAC x =+， 29x x DF +∴=，54xAF x =+，同理得：249x BF +=2259494x x x x y x ++∴⋅=+2436520x y x +∴=+；如图2，当点E 在直线BC 上时，DBC ACB ADB ∠=∠=∠，AB BA =，ABC DAB ∠=∠， ()DAB CBA AAS ∴∆≅∆，4AD BC ∴==，x ∴的取值范围是04x <<；（3）分三种情况：①当BD DH =时，如图3，过点D 作DP BC ⊥于P ，BD DH =，BP PH AD x ∴===，42CH x ∴=-，DBP DHP ∠=∠， DBE GBH C CGH ∴∠+∠=∠+∠， CGH GBH ∴∠=∠，C C ∠=∠，CHG CGB ∴∆∆∽，∴CG CH BC CG=， 24(42)CG x ∴=-，//AD CH ， ∴AD AG CH CG =，即AD CH AG CG CH CG ++=， ∴42542x x x CG +-=-， 5(42)4x CG x-∴=-， 2225(42)4(42)(4)x x x -∴-=-， 229180x x ∴+-=，132x ∴=，26x =-（舍)， 32AD ∴=； ②当BD BH =时，如图4，由勾股定理得：29BD BH x ==+，由（2）同理得：2204364(4)45(4)5x x CG CF FG x x +-=-=-=++， //AD CH ，∴AD AG CH CG=， ∴AD CH AG CG CH CG ++=224954(4)495x x x x +-+=--+， 22(94)94(9)x x x ∴+++，解得：78x =， 78AD ∴=； ③当BH DH =时，如图5，过点D 作DK BC ⊥于K ，设KH a =， BK AD x ==， DH BH x a ∴==+，在Rt DKH ∆中，由勾股定理得：222DK KH DH +=， 2223()a a x ∴+=+，292x a x-∴=， 229894422x x x CH BH x x x--+-∴=-=--=， //AD CH ， ∴AD AG CH CG=， ∴AD CH AG CG CH CG++=，即2289524(4)8952x x x x x x x x-+-+=--+-， ∴228925894(4)x x x x x +-=-+-， 2(9)(49)0x x ∴+-=， 94x ∴=， 94AD ∴=，综上，AD 的长是32或78或94．。

2021年上海市杨浦区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市杨浦区九年级中考一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（）A．经过坐标原点B．顶点是坐标原点C．有最高点D．对称轴是直线x＝12．在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝||B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝﹣，那么∥D．如果||＝||，那么＝6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝二、填空题（共12小题）.7．计算：3（+2）﹣2（﹣）＝．8．已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是．9．如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了米．10．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP 的长是厘米．11．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于．12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．13．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．14．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC 于点O，那么的值为．15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cot B＝，正方形DEFG的顶点G、F 分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为．17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．18．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为．三、解答题（共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1 y2．（填“＜”或“＞”）21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N．（1）求的值；（2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：＝；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（）A．经过坐标原点B．顶点是坐标原点C．有最高点D．对称轴是直线x＝1解：∵y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标是：（，﹣），对称轴是直线x＝，∵a＝1＞0，∴开口向上，有最小值，∵当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴图象经过坐标原点，故选：A．2．在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解：∵sin A＝，cot B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：当，则DE∥BC，故选项A不符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项B符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项C不符合题意；由于＝，DE∥BC不一定成立，选项D不符合题意．故选：B．5．下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝||B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝﹣，那么∥D．如果||＝||，那么＝解：A、如果为单位向量，且与方向相同时，那么＝||，故本选项不符合题意．B、如果、都是单位向量且方向相同，那么＝，故本选项不符合题意．C、如果＝﹣，则向量与﹣的大小相等、方向相反，那么∥，故本选项符合题意．D、若||＝||，那么与的模相等，但是方向不一定相等，即＝不一定成立，故本选项不符合题意．故选：C．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝解：如图，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△DCB，即S△AOB+S△OBC＝S△OBC+S△DOC，S△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确；∵AD∥BC，∴＝，∵＝，∴＝；所以B选项的结论正确；∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2，所以C选项的结论错误；∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，∴＝，所以D选项的结论正确；故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3（+2）﹣2（﹣）＝+8．解：原式＝3+6﹣2+2）＝+8．故答案是：+8．8．已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是a＜1．解：因为抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，所以1﹣a＞0，即a＜1．故答案为：a＜1．9．如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了50米．解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．10．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP 的长是（6﹣2）厘米．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，AB＝4厘米，∴BP＝AB＝（2﹣2）厘米，∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（2﹣2）＝（6﹣2）厘米，故答案为：（6﹣2）．11．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于3．解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），∴当y＝0时，x＝1或x＝3，当x＝0时，y＝3，∴点A、B、C的坐标为分别为（1，0），（3，0），（0，3），∴AB＝2，∴△ABC的面积是：＝3，故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（2，2）在抛物线上，∴2＝22+k解得：k＝﹣2，∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．故答案为：y＝x2﹣2．13．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．解：由题意可得：y＝﹣x2+x+＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．14．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC 于点O，那么的值为．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵＝，∴＝，∴＝，∵AE∥CD，∴△AOE∽△COD，∴＝＝．故答案为．15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．解：延长CG交AB于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG＝CG＝1，AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝2+1＝3，∴AB＝6，∠DCB＝∠B，在Rt△ACB中，cos B＝＝＝，∴cos∠GCB＝．故答案为．16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cot B＝，正方形DEFG的顶点G、F 分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为．解：∵∠C＝90°，∴cot B＝＝，设BC＝t，则AC＝2t，∴AB＝＝t，∴t＝10，解得t＝2，∴BC＝2，AC＝4，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x，易得四边形DGMH为矩形，∴MH＝DG＝x，∵CH×AB＝×AC×BC，∴CH＝＝4，∴CM＝CH﹣MH＝8﹣x，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的边长为．17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为9．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．18．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为．解：如图，过点D作DE⊥AB1于E，∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠CAB＝75°，∵BB1∥AC，∴∠CAB＝∠ABB1＝75°，∵将△ABC绕点A旋转，∴AB＝AB1，∠AB1C1＝∠ABC＝45°，∴∠AB1B＝∠ABB1＝75°，∴∠B1AB＝30°，又∵DE⊥AB1，∠AB1C1＝45°，∴AD＝2DE，AE＝DE，DE＝B1E，∴AB1＝DE+DE＝AB，DB1＝DE，∴DB＝AB﹣AD＝DE﹣DE，∴＝＝，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：原式＝＝＝＝4﹣2．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1＜y2．（填“＜”或“＞”）解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．根据题意，得，解得．∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2，故答案为＜．21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N．（1）求的值；（2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量．【解答】（1）解：∵BM＝BC，∴＝．∵DE∥BC，∴＝，∴＝＝．即：的值是；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∵DE∥BC，＝，∴＝＝．∴DN＝BM．由（1）知，＝，则NE＝2DN．∴＝2＝2×＝﹣．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴tan C＝＝1，∴CD＝AD，在Rt△ABD中，∵∠B＝64°，∴tan∠B＝＝2.05，∴BD＝BD，∵BC＝BD+CD＝50米，∴AD+AD＝50米，解得：AD≈33.6（米）．答：河的宽度约为33.6米．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：＝；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴＝，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴＝；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴＝，∴DC2＝DE•DB，∵＝，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．解：（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），∴（1﹣m）2＝4，解得m＝3或﹣1（舍弃），∴A（3，4），P（1，0），∴PA＝＝2．（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（0，0），∴m2＝4，解得m＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝1时，n＝3，∴P（1，3），如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．∵P（1，3），∴tan∠POF＝3，∵tan∠OPQ＝3，∴tan∠POF＝tan∠OPQ，∴∠POF＝∠OPQ，∴OF＝PF，∴t2＝32+（t﹣1）2，∴t＝5，∴F（5，0），∴直线PF的解析式为y＝﹣x+，由，解得（即点P）或，∴Q（，）．（3）如图2中，由题意，，解得＜m＜2且m≠1．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x≤2）．（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF与△AGE相似，∴△CFD与△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x﹣16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），∴CD＝4﹣4或8﹣4，当点F在下方时，同法可得，CD＝，综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．。

上海市宝山区2020-2021学年九年级上学期期末(中考一模)数学试卷带讲解

上海市宝山区2021届初三一模数学试卷一、选择题1. 如果C 是线段AB 延长线上一点，且:3:1AC BC =，那么:AB BC 等于（）．A. 2:1B. 1:2C. 4:1D. 1:4 【答案】A【分析】先画出图形，设BC 为k ，然后用k 表示出AB ，最后求出:AB BC 即可．【详解】解：根据题意可画出下图：∵:3:1AC BC =，设BC 为k ，∴AC=3k ，∴AB=AC-BC=2k ，∴:AB BC =2k∴k=2∶1．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了线段的和差，根据题意画出图形成为解答本题的关键．2. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么sin A 的值为（）． A. 35 B. 34 C. 45 D. 43【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BC AB =，故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3. 如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（）．A. am nB. an mC. am m n +D. an m n+【答案】D【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解AF m AB m n=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案．【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形， DF BE ∴=，::AF FB m n =，AF m AB m n∴=+， //DF BC ，ADF ACB ∴∽AF DF AD AB BC AC∴==, //AB DE ，BE AD m BC AC m n∴==+， BC a =，ma BE m n∴=+， .ma na CE a m n m n ∴=-=++ 故选：.D4. 已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（）． A. AM BM = B. 12AM AB = C. 12BM AB = D. 0AM BM +=【答案】B【分析】根据题意画出图形，因为点M 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．【详解】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确；C 、12BM BA =，故本选项错误； D 、0AM BM +=，，故本选项错误．5. 若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（） A. 2(1)2y x =-+B. 2(1)2y x =--C. 2(1)2y x =++D. 2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+ 故答案为：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．6. 如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）．A. 0ac <B. 抛物线的对称轴为直线1x =C. 0a b c -+=D. 点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >【答案】B 【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：∴二次函数图象开口向上，∴a ＞0，∴二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，∴c ＜0，∴ac ＜0 选项A 正确；∴由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称，∴抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a-b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，∴a-b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，∴y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．二、填空题7. 如果2x ＝3y ，那么x y y+=___．【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案．【详解】解：∵2x =3y ，∴x =32y ， ∴3522y y x y y y ++==．故答案为：52．【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8. 已知线段2a =厘米，8c =厘米，那么线段a 和c 的比例中项b 的长度为______厘米．【答案】4【分析】根据线段的比例中项可直接进行列式求解．【详解】解：由题意可得：22816b ac ==⨯=，∴4b =cm ；故答案为4．【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项是解题的关键．9. 如果线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较短的线段AP =______．【答案】3【分析】设较短的线段AP x =，则BP AB AP =-，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案．【详解】设较短的线段AP x =∵AB 的长为2∴2BP AB AP x =-=- ∴BP AP AB BP= ∴222x x x-=- ∴()222x x -=∴3x =+3（经检验均为方程的根）32+>，故舍去∵(22310x -=-=≠∴3x =-∴较短的线段3AP =故答案为：3【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．10. 计算：32a ba b ______．【答案】54a b -【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【详解】解：326354a ba b a b a b a b ，故答案为：54a b -．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉相关性质是解题的关键．11. 已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______．【答案】26【分析】作DF ⊥BC 于F ，AE ⊥BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出△AEB ≌△DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长．【详解】解：如图示，作DF⊥BC 于F ，AE⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠B=∠C ，AB=CD ，AD ∥BC ，∴∠ADF=∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∴四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，△AEB 和△DFC 中BC AEBDFC AE DF ， ∴△AEB ≌△DFC （AAS ），∴BE=CF ； ∵35cos E ABB B ，设3BE x =，则5AB x =，根据勾股定理，有：2222534AE AB BE x x ，解之得：1x =（取正值），∴3BE =，5AB =，∴3FCBE ，5DC AB ==， ⊥周长AB BE EF FC CD AD 53535526，故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．12. 某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______．【答案】()21001y x =+；【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n ,即可列方程求解．详解】依题意得：()21001y x =+故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 13. 如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______．【答案】向上【分析】根据解析式写出顶点，根据顶点坐标在第二象限求出m 的取值故可求解．【详解】∵抛物线()21y m x m =++的得到为（-1，m ）又顶点坐标在第二象限∴m ＞0∴开口向上故答案为：向上．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟知顶点式的特点．14. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．【答案】2y x =-（答案不唯一）【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，再把()0,0A 代入，得出符合条件的函数解析式即可．【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：()20y ax bx c a =++≠， ∵二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，∴该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，∵函数图象经过()0,0A ，∴0c ，∴符合条件的二次函数解析式可以为：2y x =-（答案不唯一）．故答案为：2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a 的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．15. 如图，已知ABC 中，//EF AB ，12AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为______．【答案】45【分析】根据//EF AB ，易得∴CFE ∽△CAB ，再依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三角形ABC 的面积．【详解】解：∵//EF AB∴△CFE ∽△CAB 又∵12AF FC = ∴32ACFC=， ∴94ABC FEC S S =△△ 设∴ABC 的面积为x 则9254x x =-，解得，x=45，经检验x=45是原方程的根故答案为：45【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形面积比是相似比的平方，构建方程，是解决问题关键．16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明△AEF ∽△DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x=，求解即可．【详解】设正方形铁皮的边长为x ，∵90C ∠=︒，∴∠A+∠B=90︒，在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，∠EFG=∠DGF=90︒,∴∠AFE=∠BGD=90︒，∴∠A+∠AEF=90︒,∴∠AEF=∠B ，∴△AEF ∽△DBG ， ∴EF AF BG DG=， ∴49x x =，解得x=6（负值舍去），故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF ∽△DBG 是解题的关键．17. 如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．【答案】15【分析】过点B 作BC ⊥AC 于C ，由迎水坡的坡度为1:0.75，得到tan ∠BAC=43=BC AC ，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．【详解】过点B 作BC ⊥AC 于C ，∵迎水坡的坡度为1:0.75，∴tan ∠BAC=43=BC AC ， ∵BC=12米，∴AC=9米，∴米)，故答案为：15．．【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为1:0.75得到tan ∠BAC=43=BC AC 是解题的关键． 18. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=______．1．【分析】分两种情形：⊥当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．【详解】解：⊥如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．⊥CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∵AC ＝AB ，∠ACB ＝90°⊥⊥CEF ＝⊥CAB ＝45°，∵PD ＝P A ，∠APD ＝90°⊥⊥PAD ＝⊥PDA ＝45°，⊥⊥HDC ＝⊥PDA ＝45°，∵点E 是边CA 的中点，⊥EA ＝EP ＝EC⊥⊥EPC ＝⊥CEP ，∵∠HDC ＝∠DCA+∠DAC ＝45°，∠CEF ＝∠DCA+∠EPC ＝45°，⊥⊥DAC ＝⊥EPC ＝⊥ECP ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC =,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===②如图3中，当点P 在线段CD 上时，由①可知，EF ∥AB ，∠CAB ＝∠PDA ＝45°， ∴∠CAD ＝180°-∠ACD-45°， ∠COA ＝180°-∠ACO-45° ∴∠CAD ＝∠COA ， ∵EF ∥AB ， ∴∠CPE ＝∠COA ， ∴∠CPE ＝∠CAD ， ∵点E 是边CA 的中点， ⊥EA ＝EP ＝EC ∴∠ECP ＝∠CPE ， ∴∠ECP ＝∠CAD ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===:点P 在线段EF 上，情况⊥不满足条件,情况⊥满足条件，综上所述，tan CAP ∠1．【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题19. 计算：21cos 45cot 30sin 60tan 30-︒︒+︒⋅︒．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算求解．【详解】解：原式21112121112⎛- -=====．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．20. 如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析【分析】（1）根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=23BC ，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；（2）取AD 的中点J ，延长CB 到I ，使BI=DE ，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，边接BK ，则BK 即是所求作的向量．【详解】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ，AG 2=AF 3∴，DE//BC ，BC b = ADE ABC ∴△△∽， DE AG 2==BC AF 3∴， 23b DE BC =＝， 2a 3BE BD DE b ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-， ∴BK 即是所求的求作的向量【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键．21. 已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．【答案】（1）2yx x ，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标；（2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解．【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =， ∴2yx x ，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=， ∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位．【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．22. 如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅；（2）如果1OE =，2EF =，求CFBF的长．【答案】（1）见解析；（2）33CF BF -=【分析】（1）根据菱形的性质证明ABO EDO ，BFO DAO ，得到AB BFED DA=，再由AB DA =，即可证明结论；（2）连接OC ，先证明()ADO CDO SAS ≅得到DAO DCO ∠=∠，就可以证明OEC OCF ，根据对应边成比例求出OC 的长，再根据ADE FCE ~，利用对应边成比例求出结果．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴//AB CD ，//AD BC ，AB DA =， ∴ABO EDO ，BFO DAO ，∴AB BO ED DO =，BF BODA DO =， ∴AB BFED DA=， ∵AB DA =， ∴2AB DE BF =⋅；（2）如图，连接OC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=DC ，ADO CDO ∠=∠，在ADO △和CDO 中，AD CD ADO CDO DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ADO CDO SAS ≅， ∴DAO DCO ∠=∠， ∵//AD BF ， ∴DAO OFC ∠=∠， ∴DCO OFC ∠=∠，∵COE FOC ∠=∠， ∴OEC OCF ，∴OE OCOC OF=，即2OC OE OF =⋅， ∵1OE =，2EF =， ∴123OF =+=，∴OC =∴AO OC == ∵//AD CF ， ∴ADE FCE ~，∴12AD AE FC FE ==，∴12BC AD FC +==，1322BF BC CF FC FC FC =+=+=，∴(236CF BF===．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼()AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．【参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈】【答案】（1）二；（2）36米【分析】（1）根据第二组只测了角度，未给出距离相关信息即可判断；（2）由锐角三角函数可求tan ABBC C =，tan AB BD ADB=∠，由BC BD CD -=，列出方程可求解．【详解】（1）∴第二组中没有线段长度的数据，所以无法测出AB 的高度， ∴填第二组，故答案为：二．（2）可选第一组的方案，设AB xm =，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，tan =ABC BC， ∴4=tan tan 373AB x BC x C ==︒，在Rt ABD △中，90B ∠=︒，tan =ABADB BD∠， ∴tan tan 45AB xBD x ADB ===∠︒，∴BC BD CD -=， ∴4123x x -=， ∴36x =．答：教学大楼高36米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．24. 已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．【答案】（1）231255y x x =-，对称轴为2x =；（2）1,1E ；（3）当OA 为边时，1445S =；当OA 为对角线时，485S =．【分析】（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线2y ax bx =+，求解即可；（2）过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，根据B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =，易得BCF △是等腰直角三角形，ECH 也是等腰直角三角形，求出BC =CED OBD =∠∠，点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，可证得OBCEDB ，DBE BCO ，则DBEBCO ，有DBEBBCOC，可得EB =EC =（3）分两种情况讨论：当OA 对角线时，当OA 为边时，分别求出N 点坐标，然后求解即可．【详解】解：（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线 2y ax bx =+，得：16403a b a b +=⎧⎨-=⎩，解之得： 35125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴该抛物线的表达式是231255y x x =-， ∴22231233124255555y x x x xx ， ∴对称轴为2x =；（2）如图示：过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作 EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，∴B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =， ∴3BF CF ==，∴BCF △是等腰直角三角形，则ECH 也是等腰直角三角形， ∴22223332BCBF CF ,∴CED OBD =∠∠,CED EBD EDB ∠=∠+∠,OBDEBD OBC∴OBCEDB ,∴点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，则D 点坐标是()5,3， ∴//BD FA∴DBE BCO ∴DBE BCO ∴DB EBBCOC, ∴6BD =,2OC =,2EB，即有EB =∴32222ECBCEB,∴ECH 是等腰直角三角形， ∴1EHHC∴1OH =即点E 的坐标是()1,1；（3）∴4OA =∴当OA 是平行四边形的边长时，如图2所示，则MN 必定在y 轴的上方，并有4MN OA ，∴点M 在对称轴上， ∴点N 的横坐标是6或-2，又∴点N 在抛物线上， ∴当6x =时，23123666555y， ∴平行四边形OANM 的面积36144455；当2x =-时，23123622555y ，同理可得平行四边形OANM 的面积36144455； ∴当OA 是平行四边形的对角线时，如图3所示，∵点M 在对称轴上，并MONA ∴点N 也在对称轴2x =上，∴当2x =时，23121222555y， ∴112244255OAN S ∴平行四边形OANM 的面积24482255OAN S ．综上所述，平行四边形的面积为1445或485．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数坐标轴上的点，三角形的相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．25. 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当AC =3，AD =2BD 时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC =，tan ∠FMD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）4DE =；（3）1(02y x =<<．【分析】（1）证明两个角相等证明△CDE ∽△BCE ，列比例式可得结论；（2）如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，根据△ADN 是等腰直角三角形，得AN =DN ，由平行线分线段成比例定理得23AD AN AB AC ==，计算DN 和CN 的长，利用勾股定理计算CD 和BD 的长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得：DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，代入比例式可得结论；（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△AMC ≌△BPC （ASA ），得CM =CP ，证明△MCD ≌△PCD（SAS ），得∠MDC =∠PDC =∠BDC ，证明△BCD ∽△CMD ，列比例式得BD CD BC CM=，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，可知当点E 与A 重合时，BD 最大为12AB ，可得x 的取值范围．【小问1详解】证明：如图1，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠B =∠CAB =45°，∵∠DCE =45°，∴∠B =∠DCE ，∵∠CED =∠CEB ，∴△CDE ∽△BCE ， ∴CE DE BE CE=， ∴2CE BE DE =⋅；【小问2详解】解：如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，∴∠AND =90°，∵∠DAN =45°，∴△ADN 是等腰直角三角形，∵DN ∥BC ，AD =2BD ， ∴23AD AN AB AC ==， ∵AC =3，∴AB AN =DN =2，CN =1，∵AD =2BD ，∴BD由勾股定理得：DC =由（1）知：△CDE ∽△BCE ，∴3DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，3=，∴x ，∴DE ；【小问3详解】解：如图3，过点C 作CP ⊥CM ，交AB 的延长线于点P ，∵∠DCE =45°，∠ACB =90°，∴∠ACM +∠BCD =45°=∠BCD +∠BCP ，∴∠BCP =∠ACM ，∵∠CBP =180°-45°=135°=∠CAM ，AC =BC ，∴△AMC ≌△BPC （ASA ），∴CM =CP ，∵∠DCM =∠DCP =45°，CD =CD ，∴△MCD ≌△PCD （SAS ），∴∠MDC =∠PDC =∠BDC ，∵∠ABC =45°=∠MCD ，∴△BCD ∽△CMD ， ∴BD BC CD CM =，即BD CD BC CM=， ∵FM ⊥FC ，∠DCE =45°，∴△CFM 是等腰直角三角形，∴CM FM ，∴y =tan ∠FMDDF MF CM==)CF CD CM-=CM -=1BD BC=x ；Rt △ABC 中，AC =BC ，∴AB BC ，∵D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，∴当点E与A重合时，BD最大为12 AB，∵BDBC=x，∴0＜x∴y（0＜x＜2）．【点睛】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

2020-2021学年上海黄浦区初三(上)中考一模数学试卷(pdf版,含答案)

黄浦区2020学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷 2021.1一、选择题1. 已知ABC 与DEF 相似，又∠A =40°，∠B =60°，那么∠D 不可能是（）A . 40°B . 60°C . 80°D . 100°2. 抛物线243y x x =−+−不经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 对于锐角α，下列等式中成立的是（）A . sin cos tan ααα=⋅B . cos tan cot ααα=⋅C . tan cot sin ααα=⋅D . cot sin cos ααα=⋅4. 已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍；向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍，则下列等式中成立的是（）A . 23a b =B . 23a b =−C . 32a b =D . 32a b =− 5. 小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）A . 1−B . 3C . 4D . 0 x … 1− 0 1 2 3 …y …3 4 3 0 …6. 如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠BAD =90°，对角线的交点为点O ，如果梯形ABCD 的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（）A . 点O 到边AB 的距离 B . 点O 到边BC 的距离C . 点O 到边CD 的距离 D . 点O 到边DA 的距离二、填空题7. 已知三角形的三边长为,,a b c ，满足234a b c ==，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为____________8. 已知线段MN 的长为4，点P 是线段MN 的黄金分割点，则其较长线段MP 的长是____________9. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶点的距离是____________10. 已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为____________ 11. 在ABC 中，AB =5，BC =8，∠B =60°，则ABC 的面积是____________12. 已知点P 位于第二象限内，OP =5，且OP 与x 轴负半轴夹角的正切值为2，则点P 的坐标是____________13. 如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为____________度14. 已知二次函数图像经过点（3,4）和（7,4），那么该二次函数图像的对称轴是直线____________15. 如图2，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x 分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y 平方分米，那么y 关于x 的函数解析式是____________（不必写定义域）16. 如图3，点D 、E 、F 分别位于ABC 的三边上，且DE //BC ，EF //AB ，如果ADE 的面积为2，CEF的面积为8，那么四边形BFED 的面积是____________17. 如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为（b ,c ），那么该抛物线的顶点坐标是____________ 18. 已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为____________三、解答题19. 计算：222sin 603tan 301cot 301cos 45︒︒−+−︒−︒20. 将二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式；请结合以上两个函数图像，指出当自变量x 在什么取值范围内，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的21. 如图4，一个33⨯的网格，其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点.（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似? 请说明理由；（2）设,AB a BC b ==，写出向量AD 关于,a b 的分解式.22. 如图5，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB 为屋内地面，线段AE 、BC 为房屋两侧的墙，线段CD 、DE 为屋顶的斜坡，已知AB =6米，AE =BC =3.2米，斜坡CD 、DE 的坡比均为1:2.（1）求屋顶点D 到地面AB 的距离；（2）已知在墙AE 距离地面1.1米处装有窗ST ，如果阳光与地面的夹角53MNP β∠==︒，为了防止阳光通过窗ST 照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE 端点E 处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF ），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即090FET α︒<∠=≤︒，长度为1.4米，即EF =1.4米，试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求? 说说你的理由（参考数据：2 1.41,3 1.73,5 2.24,10 3.16,sin530.8,cos530.6,≈≈≈≈︒=︒=4tan 533︒=）23. 某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图6，在梯形ABCD 中，AD //BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则AM CN DM BN =； ②如图7，在梯形ABCD 中，AD //BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于点K 、L ，则AK BL DK CL=.接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分.（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图8中两条平行的线段AB 、CD 同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B 铅笔或水笔完成作图，不要涂改）24. 如图9，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点.（1）求直线AC 的表达式；（2）若抛物线2y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）.①用含b 的代数式表示a ，并写出1b的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC 与DAC 能否相似? 如果能，请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由.25. 如图10，四边形ABCD 中，AB =AD =4，CB =CD =3，∠ABC =∠ADC =90°，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q . （1）求sin ∠MCN 的值；（2）当DN =DC 时，求∠CNM 的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化? 如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相应的位置.参考答案一、选择题1. D2. B3. A4. B5. D6. D二、填空题7. 16 8. 252− 9.5 10. 3 11. 103 12. ()5,25−13. 54° 14. 5x = 15. 220y x x ππ=+ 16. 8 17. ()1,1− 18. 12或1或2三、解答题19. 原式=5220. 12x −<<21.（1）点N ，说明略（2）23AD a b =−22.（1）4.7米（2）符合要求，说明略23.（1）略（2）作图略24.（1）122y x =+（2）①28b a =，101b <<②能，表达式为()()2721021042y x x =−+−+25.（1）45（2）45°（3）不变，值为35百人驳相对论(信念)爱因斯坦的“相对论”发表以后，有人曾创造了一本《百人驳相对论》，网罗了一批所谓名流对这一理论进行声势浩大的反驳。

2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷及答案解析

2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A ．y =22B ．y ＝（x +3）2﹣x 2C ．y =√x 2+2x −1D ．y ＝x （x ﹣1） 2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A ．32B ．23C ．3√1313D ．2√13133．（4分）将抛物线y ＝（x +1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝（x +3）2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣1D ．y ＝（x +1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（）A ．如果|a →|＝|b →|，那么a →=b →B ．如果a →、b →都是单位向量，那么a →=b →C ．如果a →=k b →（k ≠0），那么a →∥b →D ．如果m ＝0或a →=0→，那么m a →=0 5．（4分）已知在矩形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝13．⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（）A ．⊙C 与直线AB 相交B ．⊙C 与直线AD 相切 C ．点A 在⊙C 上 D ．点D 在⊙C 内6．（4分）如果点D 、E ，F 分别在△ABC 的边AB 、BC ，AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（）A ．如果EF ∥AB ，那么AF ：AC ＝BD ：ABB ．如果AD ：AB ＝CF ：AC ，那么EF ∥ABC ．如果△EFC ∽△ABC ，那么 EF ∥ABD ．如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE 二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（a →−2b →）+3（a →+b →）＝．8．（4分）如果x x−y =32，那么x y的值等于． 9．（4分）已知点P 在线段AB 上，且满足BP 2＝AB •AP ，则BP AB 的值等于．10．（4分）已知抛物线y ＝（1+a ）x 2的开口向上，则a 的取值范围是．11．（4分）抛物线y ＝2x 2﹣1在y 轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i ＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB 为米．14．（4分）如图，AC 与BE 交于点D ，∠A ＝∠E ＝90°，若点D 是线段AC 的中点，且AB ＝AC ＝10．则BE 的长等于．15．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 是重心，AC ＝4，tan ∠ABG =13，则BG 的长是．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．。

2020-2021学年上海市徐汇区初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2020-2021学年上海市徐汇区初三数学第一学期中考一模试卷一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）将抛物线22(1)y x =+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是( )A ．22(2)2y x =--B ．22(2)2y x =-+C ．22(4)2y x =+-D ．22(4)2y x =++2．（4分）在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，那么下列结论正确的是( )A ．4tan 3C =B ．4cot 5C = C ．3sin 4C =D ．4cos 5C = 3．（4分）已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是( )A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5)4．（4分）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30︒方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是( )A ．10海里B ．C ．5海里D 5．（4分）下列说法中，正确的是( )A ．两个矩形必相似B ．两个含45︒角的等腰三角形必相似C ．两个菱形必相似D ．两个含30︒角的直角三角形必相似6．（4分）定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数．例如：[1.7]1=，3[]05=，1[2]34-=-．根据你学习函数的经验，下列关于函数[]y x =的判断中，正确的是( )A ．函数[]y x =的定义域是一切整数B ．函数[]y x =的图象是经过原点的一条直线C ．点2(25，2)在函数[]y x =图象上 D ．函数[]y x =的函数值y 随x 的增大而增大二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果:2:3a b =，那么代数式b a a-的值是． 8．（4分）如图，////AB CD EF ，如果2AC =，3CE =， 1.5BD =，那么BF 的长是．9．（4分）已知点P 在线段AB 上，如果2AP AB BP =⋅，4AB =，那么AP 的长是． 10．（4分）已知二次函数23()12y a x =+-的图象在直线32x =-的左侧部分是下降的，那么a 的取值范围是．11．（4分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，如果AED ∆和四边形DECB 的面积相等，22BC =，那么DE 的长是．12．（4分）在坡度为1:3i =的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是米．13．（4分）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45︒，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30︒，那么甲楼高是米．14．（4分）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =，1tan 2C =，那么DP 的长是．15．（4分）如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点D 、E 分别在边AC 、AB 上，点F 、G 在边BC 上，那么AD 的长是．16．（4分）《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH 面积的13倍，那么ABE ∠的余切值是．17．（4分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，将ADE ∆沿直线DE 翻折后与FDE ∆重合，DF 、EF 分别与边BC 交于点M 、N ，如果8DE =，23AD AB =，那么MN 的长是．18．（4分）如图，在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD ∆的面积是6，那么BC 的长是．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin 45cot 45tan60|2cos45cot30|︒︒-︒+︒-︒．20．（10分）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =， 1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC b =．求向量DF （用向量a 、b 表示）．21．（10分）已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1x =-．（1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移(0)m m >个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断MON ∆的形状，并说明理由．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB （如图所示），当无人机在限速道路的正上方C 处时，测得限速道路的起点A 的俯角是37︒，无人机继续向右水平飞行220米到达D 处，此时又测得起点A 的俯角是30︒，同时测得限速道路终点B 的俯角是45︒（注：即四边形ABDC 是梯形）．（1）求限速道路AB 的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，3 1.73)≈23．（12分）如图，在ACB ∆中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD AB =，BE CE =，AD 与BE 交于点F ，且AF DF BF EF ⋅=⋅．求证：（1）ADC BEC ∠=∠；（2）AF CD EF AC ⋅=⋅．24．（12分）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D ．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图象与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图象的对称轴与x 轴交于点A ，如果DC BC ⊥，1tan 3DBC ∠=，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图象上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果ACM ∆的面积是258，求点M 的坐标．25．（14分）如图，在Rt ABCAC=，5BC=，点D是边AC上的动点，以CD∠=︒，12ACB∆中，90为边在ABC∆外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G（1）当AE BE⊥时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果BEH∆和ABG∆相似，求sin ABE∠的值；（3）当AG AE=时，求CD的长．参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【解答】解：抛物线22(1)y x =+的顶点坐标为(1,0)-，把点(1,0)-先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为(2,2)-，所以平移后的抛物线的解析式为22(2)2y x =--．故选：A ．2．【解答】解：如图，由勾股定理得，22221068AC BC AB =-=-=， 63tan 84AB C AC ∴===， 84cot 63AC C AB ===， 63sin 105AB C BC ===， 84cos 105AC C BC ===，因此选项D 符合题意，故选：D ．3．【解答】解：抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，16163c ∴-++=，3c ∴=，∴抛物线为243y x x =-++，当0x =时，2433y x x =-++=；所以点(0,3)在抛物线243y x x =-++上．故选：B ．4．【解答】解：如图，在Rt ABC ∆中，903060ABC ∠=︒-︒=︒，5BC =海里， tan 6053AC BC ∴=⋅︒=，即海监船C 与货轮A 的距离是53海里，故选：B ．5．【解答】解：A 、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误； B 、两个含45︒角的等腰三角形，45︒不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误； C 、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误； D 、两个含30︒角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D ．6．【解答】解：由题意可得，函数[]y x =的定义域是一切实数，故选项A 错误；函数[]y x =的图象是分段函数，故选项B 错误；点2(25，2)在函数[]y x =图象上，故选项C 正确；函数[]y x =的函数值y 随x 的增大不一定增大，如 1.2x =时，[1.2]1y ==， 1.5x =时，[1.5]1y ==，即 1.2x =和 1.5x =时的函数值相等，故选项D 错误；故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【解答】解：:2:3a b =，∴32b a =， ∴311122b a b a a -=-=-=．故答案为：12． 8．【解答】解：////AB CD EF ，2AC =，3CE =， 1.5BD =， ∴AC BD AE BF=，即2 1.523BF=+，解得：154BF =，故答案为：154． 9．【解答】解：点P 在线段AB 上，2AP AB BP =⋅， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，42AP AB ∴===，故答案为：2．10．【解答】解：二次函数23()12y a x =+-， ∴该函数的对称轴为直线32x =-，二次函数23()12y a x =+-的图象在直线32x =-的左侧部分是下降的， 0a ∴>，故答案为：0a >11．【解答】解：AED ∆和四边形DECB 的面积相等， ∴12ADE ABC S S ∆∆=， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴21()2ADE ABC S DE S BC ∆∆==，即212=， 2DE ∴=．故答案为2．12．【解答】解：如图，过B 作BC AD ⊥于C ，山坡AB 的坡度为1:3i =，株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米， ∴水平距离6AC =米，铅垂高度2BC =米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离AB =)，故答案为：13．【解答】解：如图，甲楼为CD 、乙楼为AB ，30BD =米，45ADB ∠=︒，30CAF ∠=︒，过C 作CE AB ⊥于E ，则四边形BDCE 为矩形，//CE AF ， 30CE BD ∴==米，CD BE =，30ACE CAF ∠=∠=︒， 31033AE CE ∴==（米)，在Rt ABD ∆中，45ADB ∠=︒，ABD ∴∆为等腰直角三角形，30BD AB ∴==米，(30103)CD BE AB AE ∴==-=-米，即甲楼的高为(30103)-米，故答案为：(30103)-．14．【解答】解：DP AP ⊥，CD DP ⊥，//AP CD ∴，C APB ∴∠=∠，AB BC ⊥，tan AB APB BP ∴∠=， 1tan 2C =， ∴212BP =， 4BP ∴=，1046PC BC BP ∴=-=-=，在Rt CDP∆中，tanDPCCD=，22226CD PC DP DP=-=-，∴221 26DPDP=-，解得：655DP=或655DP=-（不合题意舍去），故答案为：655．15．【解答】解：过A点作AM BC⊥于M，交DE于N，如图，ABC∆为等边三角形，60C CAB∴∠=∠=︒，112CM BM BC===，33AM CM∴==，设正方形DEFG的边长为x，则DG DE x==，易得四边形DGMN为矩形，MN DG x∴==，3AN AM MN x∴=-=-，//DE BC，ADE ACB∴∆∆∽，∴DE ANCB AM=，即323x x-=，解得436x=-，//DE BC，60ADE C∴∠=∠=︒，ADE∴∆为等边三角形，436AD DE∴==-．故答案为436-．16．【解答】解：设小正方形EFGH面积是2a，则大正方形ABCD的面积是213a，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD13a，图中的四个直角三角形是全等的，AE BF ∴=，设AE BF x ==，在Rt AEB ∆中，222AB AE BE =+，即22213()a x x a =++解得：12x a =，23x a =-（舍去），2AE a ∴=，3BE a =，ABE ∴∠的余切值32BE AE ==，故答案为：32． 17．【解答】解：ADE ∆沿直线DE 翻折后与FDE ∆重合，DA DF ∴=，ADE FDE ∠=∠，//DE BC ，ADE B ∴∠=∠，FDE BMD ∠=∠，B BMD ∴∠=∠，DB DM ∴=，23AD AB =， ∴232AD AB AD =--，即2AD DB =， ∴2DF DM=， FM DM ∴=，//MN DE ，FMN FDE ∴∆∆∽，∴12MN FM DE FD ==， 118422MN DE ∴==⨯=．故答案为4．18．【解答】解：如图，过点E 作EF BC ⊥于F ，过点A 作AH CB ⊥交CB 的延长线于H ．120ABC ∠=︒，18060ABH ABC ∴∠=︒-∠=︒，12AB =，90H ∠=︒，cos606BH AB ∴=⋅︒=，sin 6063AH AB =⋅︒=EF DF ⊥，5DE =，4sin 5EF ADE DE ∴∠==， 4EF ∴=，2222543DF DE EF ∴=-=-，6CDE S ∆=， ∴162CD EF ⋅⋅=， 3CD ∴=，6CF CD DF ∴=+=，tan EF AH C CF CH ==， ∴4636， 93CH ∴=936BC CH BH ∴=-=．故答案为：936．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．【解答】解：原式2213|23=2332= 22=． 20．【解答】解：（1）AE 平分BAD ∠，BAE DAE ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，BEA DAE ∴∠=∠，BAE BEA ∴∠=∠，1.2AB BE ∴==，//BC AD ，BEF DAF ∴∆∆∽， ∴BE BF AD DF =， ∴ 1.221.83BF DF ==；（2）:2:3BF DF =，35DF BD ∴=，BD AB AD =-，∴BD b a =-， ∴3355DF a b =-． 21．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,2)C ，对称轴是直线1x =-． ∴212c b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得22b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式为222y x x =++，2222(1)1y x x x =++=++，∴顶点(1,1)M -；（2）抛物线向下平移(0)m m >个单位，所得新抛物线经过原点O ， ∴设新抛物线的解析式为2(1)1y x m =++-，把(0,0)代入得，011m =+-，2m ∴=，∴顶点N 为(1,1)--，(1,1)M -，222(1)12OM ∴=-+=，222(1)(1)2ON =-+-=，2224MN ==， OM ON ∴=，222OM ON MN +=，MON ∴∆是等腰直角三角形．22．【解答】解：（1）根据题意，得37CAB ∠=︒，220CD =米，30DAB ∠=︒，45DBA ∠=︒，如图，过点C 和点D 作CE 和DF 垂直于AB 于点E 和F ， //CD AB ，∴四边形CDFE 是矩形，CE DF ∴=，CD EF =，45DBA ∠=︒，DF BF ∴=，设DF BF CE x ===米，在Rt ADF ∆中，30DAF ∠=︒，DF x =米，33AF DF x ∴=（米)，(3220)AE AF EF x ∴=-=-米，在Rt AEC ∆中，37CAE ∠=︒，tan37CE AE =⋅︒，(3220)0.75x x ∴=-⨯，解得60(334)(1803240)x ==米，3220(3202403)AE x ∴=-=+米，(1803240)FB x ==+（米)，AB AE EF FB ∴=++32024032201803240=++7804203=+1507≈（米)，答：限速道路AB 的长约为1507米；（2）1分20秒145=小时， ∴该汽车的速度约为：1150767.8/60/45km h km h ÷≈>， ∴该车超速．23．【解答】证明：（1）AF DF BF EF ⋅=⋅， ∴AF EF BF DF=，而AFE BFD ∠=∠，AFE BFD ∴∆∆∽，AEF BDF ∴∠=∠，180AEF BEC ∠+∠=︒，180BDF ADC ∠+∠=︒， ADC BEC ∴∠=∠；（2）AFE BFD ∆∆∽，EAF FBD ∴∠=∠，AEF BDF ∠=∠，EB EC =，AB AD =，EBC C ∴∠=∠，ADB ABD ∠=∠，EAF C ∴∠=∠，ABC AEF ∠=∠，AEF CBA ∴∆∆∽，∴AF EF AC AB=， EF AC AB AF ∴⋅=⋅DAC C ∠=∠，AD CD ∴=，AB AD CD ∴==，EF AC CD AF ∴⋅=⋅，即AF CD EF AC ⋅=⋅．24．【解答】解：（1）22224(21)4(1)4y ax ax a a x x a x =-++=-++=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点(1,4)D ，0a <，∴抛物线的开口向下；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =，(1,0)A ∴，对于224y ax ax a =-++，令0x =，则4y a =+，(0,4)C a ∴+，如图1，过点D 作DH y ⊥轴于H ，90CDH DCH ∴∠+∠=︒，DC BC ⊥，90BCD ∴∠=︒，90DCH OCB ∴∠+∠=︒，CDH BCO ∴∠=∠，90BOC CHD ∠=∠=︒，CDH BCO ∴∆∆∽， ∴CD DHBC CO =，在Rt BDC ∆中，1tan 3CDDBC BC ∠==，(1,4)D ，1DH ∴=， ∴113CO =，3CO ∴=，43a ∴+=，1a ∴=-，∴二次函数的解析式为223y x x =-++；（3）如图2，由（2）知，1a =-，(0,3)C ∴，3OC ∴=，连接OM ，设点M 的横坐标为(1)t t >，∴点M 的纵坐标为223t t -++，ACM ∆的面积是258， ACM OCM OAM AOC S S S S ∆∆∆∆∴=+-211131(23)13222t t t =⨯+⨯⨯-++-⨯⨯258=，52t ∴=，5(2M ∴，7)4．25．【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD 是正方形，CD DE EF CF ∴===，90CDE DEF F ∠=∠=∠=︒， AE BE ⊥，90AEB DEF ∴∠=∠=︒，AED BEF ∴∠=∠，90ADE F ∠=∠=︒，DE FE =，()ADE BFE ASA ∴∆≅∆，AD BF ∴=，55AD CF CD ∴=+=+，12AC CD AD =+=，512CD CD ∴++=， 72CD ∴=， ∴正方形CDEF 的面积为494．（2）如图2中，过点A 作AM BE ⊥于M ．ABG EBH ∠=∠，∴当BAG BEH CBG ∠=∠=∠时，ABG EBH ∆∆∽，BCG ACB ∠=∠，CBG BAG ∠=∠，CBG CAB ∴∆∆∽，2CB CG CA ∴=⋅， 2512CG ∴=， 222225655()1212BG BC CG ∴=+=+=， 11912AG AC CG ∴=-=， 90BCG AMG ∠=∠=︒，CGB AGM ∠=∠，GAM CBG ∴∠=∠，12cos cos 13BC AM GAM CBG BG AG∴∠=∠===， 11913AM ∴=， 222251213AB BC AC =+=+=，119sin 169AM ABM AB ∴∠==．（3）如图3中，延长CA 到N ，使得AN AG =．AE AG AN ==，90GEN ∴∠=︒，由（1）可知，NDE BFE ∆≅∆，ND BF ∴=，设CD DE EF CF x ====，则12AD x =-，5DN BF x ==+，5(12)27AN AE x x x ∴==+--=-，在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+， 222(12)(27)x x x ∴+-=-，1x ∴=或1（舍弃），1CD ∴=。

2020-2021学年上海市宝山区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市宝山区九年级中考一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：42．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．3．如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．4．已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0 5．将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+26．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2二、填空题（共12小题）.7．如果2x＝3y，那么＝．8．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是厘米．9．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝．10．计算：3＝．11．已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为．12．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写定义域）13．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向．14．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：．15．如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC 的面积为．16．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．17．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．计算：．20．如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．22．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．23．某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测从点C处测得A点的仰角为从点G处测得A点的仰角EF＝9米，从点P处测得A量数据37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米为37°，测得B点的俯角为45°点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]24．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．25．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．参考答案一、选择题（共6小题）.1．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4解：∵AC：BC＝3：1，∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，则AB：BC＝2：1．故选：A．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝＝，故选：A．3．如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．解：∵DF∥BC，∴＝，∴＝，∵AB∥DE，∴△DEC∽△ABC，∴，∴，∴CE＝，故选：D．4．已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0解：如图所示，点M是线段AB的中点，A、，故本选项不符合题意．B、，故本选项符合题意．C、，故本选项不符合题意．D、＝，故本选项不符合题意．故选：B．5．将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+2解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2，故选：C．6．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；D、点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，∵y1＞0，y2＝0，∴y1＞y2，故D正确；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．如果2x＝3y，那么＝．解：∵2x＝3y，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是4厘米．解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac＝16，解得b＝±4，又∵线段是正数，∴b＝4．故答案为4．9．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝3﹣．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，AP＜BP，∴BP＝AB＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．10．计算：3＝5﹣4．解：原式＝3×2﹣3﹣﹣＝5﹣4．故答案是：5﹣4．11．已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为26．解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意得，AE＝DF＝4，cos∠B＝，AD＝5，设BE＝3x，则可得AB＝5x，AE＝4x，∴x＝1，∴BE＝3，AB＝5，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD＝5，BC＝BE+EF+FC＝3+3+5＝11，∴梯形ABCD的周长＝5+5+5+11＝26，故答案为：26．12．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为y＝10（1+x）2．（不要求写定义域）解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，∴y＝10（1+x）2．故答案为：y＝10（1+x）2．13．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向向上．解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），∵顶点坐标在第二象限，∴m＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：向上．14．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：y＝﹣x2（答案不唯一）．解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，∵经过原点，∴c＝0，∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，∴a＜0，﹣＝0，即：b＝0，只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．故答案为：y＝﹣x2．15．如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC 的面积为45．解：∵，∴，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝，∴设S△EFC＝4x，S△ABC＝9x，∴四边形ABEF的面积5x＝25，∴x＝5，∴△ABC的面积＝45，故答案为：45．16．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为6．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．17．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为15米．解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝﹣1．解：如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，∴tan∠CAP＝＝＝+1；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴tan∠CAP＝＝＝﹣1，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．计算：．解：原式＝＝＝＝．20．如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．解：（1）连接BE．∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴＝＝＝，∵＝，∴＝，∴＝+＝a+．（2）∵＝+，＝3，∴＝3﹣，∴＝＝（3﹣），∴如图即为所求作．21．已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax2﹣ax（a≠0），得a+a＝2．解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．由y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣知，该抛物线的顶点坐标是（，﹣）；（2）可以，理由如下：由y＝x2+3x+，得y＝（x+）2﹣．则平移后抛物线顶点坐标是（﹣，）．而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（﹣，﹣），所以将抛物线y＝x2﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线y＝x2+3x+．22．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE•BF；（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO ＝，∴＝＝．23．某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测量数据从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°EF＝9米，从点P处测得A点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第二小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，所以第二小组的数据无法算出大楼高度，故答案为：二；（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝BD+CD＝（x+12）米，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan37°≈0.75，∴≈，解得：x≈36，即教学大楼AB的高度约为36米．24．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∴对称轴为直线x＝2；（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点D（5，3），∴BD＝6，∵点C（2，0），点B（﹣1，3），∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，如图，连接BO，∵BD∥OC，∴∠DBE＝∠BCO，∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，∴∠OBC＝∠BDE，∴△OBC∽△EDB，∴，∴＝，∴BE＝2，设点E（x，﹣x+2），∴2＝，∴x＝1或x＝﹣2（舍去），∴点E（1，1）；（3）当OA为边时，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴OA＝MN＝4，OA∥MN，∴点N横坐标为6或﹣2，∴点N的纵坐标为，∴平行四边形的面积＝4×＝，当OA为对角线，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN与OA互相平分，∴，∴N x＝2，∴点N（2，﹣），∴平行四边形的面积＝4×＝，综上所述：平行四边形的面积为或．25．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．【解答】（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵∠DCE＝45°，∴∠B＝∠DCE，∵∠CED＝∠CEB，∴△CDE∽△BCE，∴，∴CE2＝BE•DE；（2）解：如图2，过D作DN⊥AC于N，∴∠AND＝90°，∵∠DAN＝45°，∴△ADN是等腰直角三角形，∵DN∥BC，AD＝2BD，∴，∵AC＝3，∴AB＝3，AN＝DN＝2，CN＝1，∵AD＝2BD，∴BD＝，由勾股定理得：DC＝＝＝，由（1）知：△CDE∽△BCE，∴，设DE＝x，CE＝3x，∴＝，∴x＝，∴DE＝x＝；（3）解：如图3，过点C作CP⊥CM，交AB的延长线于点P，∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°∴∠ACM+∠BCD＝45°＝∠BCD+∠BCP，∴∠BCP＝∠ACM，∵∠CBP＝180°﹣45°＝135°＝∠CAM，AC＝BC，∴△AMC≌△BPC（ASA），∴CM＝CP，∵∠DCM＝∠DCP＝45°，CD＝CD，∴△MCD≌△PCD（SAS），∴∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，∵∠ABC＝45°＝∠MCD，∴△BCD∽△CMD，∴，即，∵FM⊥FC，∠DCE＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝FM，∴y＝tan∠FMD＝＝＝＝＝1﹣＝1﹣x；Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝BC，∵D，E是AB上一点，∠DCE＝45°，∴当点E与A重合时，BD最大为AB，∵＝x，∴0＜x＜，∴y＝1﹣x（0＜x＜）．。

2021年上海市闵行区中考数学一模卷(配答案)

闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数学试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次考试不可以使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中，是二次函数的是（A ）223y x x=−−；（B ）22(1)y x x =−−+；（C ）21129y x x =+；（D ）2y ax bx c =++．2．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，B β∠=，AB = 5，那么AC 的长为（A ）5cos β；（B ）5sin β；（C ）5cos β；（D ）5sin β． 3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y a x b x c =++图像经过点O （0，0），那么根据图像，下列判断中正确的是（A ）0a <；（B ）0b >；（C ）0ab >；（D ）0c =．4．以下说法错误的是（A ）如果0k a =，那么0a =；（B ）如果2a b =−，那么2a b =；（C ）如果23a b =（b 为非零向量），那么a //b ；（D ）如果0a 是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0a a a =．5．已知⊙A 与⊙B 的半径分别是6和8，圆心距AB = 2，那么⊙A 与⊙B 的位置关系是（A ）相交；（B ）内切；（C ）外切；（D ）内含．6．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（A ）4cm ；（B ）6cm ；（C ）8cm ；（D ）10cm ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果230a b b =≠（），那么a b= ▲ ． 8．化简：12(3)33a b b −++= ▲ ．9．抛物线23y x x =−−在对称轴的右侧部分是 ▲ 的（填“上升”或“下降”）．10．将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为▲ ．11．已知两个相似三角形的相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长之比为 ▲ ．12．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ，如果25DE BC =，那么AE EC= ▲ ． 13．在直角坐标平面内有一点A （12，5），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ= ▲ ．14．在港口A 的南偏东52︒方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向是▲ ．15．正六边形的边心距与半径的比值为 ▲ （结果保留根号）．16．如图，在△ABC 中，AB = 2AC ，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠B ，那么ACD ABCS S ∆∆= ▲ ． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，5AB =，3BC =，点P 在边AC 上，⊙P 的半径为1．如果⊙P 与边BC 和边AB 都没有公共点，那么线段PC 长的取值范围是 ▲ ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 3，1tan 2B =．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：24sin 452cos60cot 30tan 601︒︒−︒+︒−．B PC A ．（第17题图） A B C （第16题图）D B A C （第18题图）A B C E D F （第23题图）AB C D E Ｏ（第21题图）． 20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为OC 的中点，联结BE 并延长，交边CD 于点F ．设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE = ▲ ；（2）填空：向量BF = ▲ ，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量．(注：本题结果用含向量a b 、的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 长为4，AB AC =，联结CO 并延长，交边AB 于点D ，交AB 于点E ，且E 为AB的中点．求：（1）边BC 的长；（2）⊙O 的半径．22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅垂高度PQ 为9米．区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30︒；区间测速的终点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60︒（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长 (结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:23i =时，求电子眼区间测速路段AB 的长 (结果保留根号）．23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，点E 为△ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．（第22题图） P Q A B v （第20题图） A C E D O B F24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A ′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =−++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =−++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c=−+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．联结CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果∠CFE =∠DEC ，求点F 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：△ADE ∽△CDF ，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG ．当△BGE 与△DEH 相似时，求x 的值．（第25题图）xyO（第24题图）（备用图）闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：1．C ； 2．B ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．C ．二、填空题：7．32（或3︰2）； 8．a b −+； 9．下降； 10．（0，-1）；11．4︰9（或49）； 12．23（或2︰3）； 13．1213； 14．北偏西52︒； 15； 16．14（或1︰4）； 17．713PC <<； 18．3 三、解答题：19．解：原式24122⨯=⨯−…………………………………………………（8分）11)=………………………………………………………（1分）2=………………………………………………………………………（1分）20．解：（1）3344a b −+．（4分）（2）13a b +．（4分）画图及结论正确．…（2分） 21．解：（1）∵CE 过圆心O ，E 为AB 的中点，∴CE 垂直平分弦AB ． ………（1分）∴AC = BC ．……………………………………………………………（1分） ∵AB AC =，∴AB = AC ．……………………………………………（1分） ∴BC = AB ．……………………………………………………………（1分） ∵AB = 4，∴BC =4．……………………………………………………（1分）（2）联结AO ．∵AB = AC ，AC = BC ，∴AB = AC = BC ．∴△ABC 是等边三角形．∴∠ACB =∠BAC = 60°．………………………………………………（1分）又∵CD ⊥AB ，∴AD = BD = 2，1302ACD ACB ∠=∠=︒．…………（1分） ∵OA = OC ，∴∠OAC =∠OCA = 30°．又∵∠OAC +∠OAD =∠BAC = 60°，∴∠OAD = 30°．……………（1分）在Rt △ADO 中，∠ADO = 90°，得cos AD OAD AO ∠=．∴2cos cos30AD AO OAD ===∠︒．…………………………………（2分）22．解：（1）过点P 作PM // BQ ．根据题意可知：∠PQB = 90°，∠MP A = 30°，∠MPB = 60°．∵PM // BQ ，∴∠MPB =∠PBQ ．∵∠MPB = 60°，∴∠PBQ = 60°．（1分）在Rt △PQB 中，∠PQB = 90°，得cot BQ PBQ PQ∠=．∵PQ = 9，∴=cot 9cot 60BQ PQ PBQ ⋅∠=⋅︒=2分）∴路段BQ 的长为……………………………………………（1分）（2）过点A 作AH // BQ 交PQ 于H ，过点A 作AG ⊥BQ 交QB 延长线于点G ．………………………………………………………………………… （1分）设AG =x ，则BG =．根据题意可得：∠PHA = 90°，HQ =AG =x ，PH =9– x ，AH =GQ =．∵AH // BQ ，PM // BQ ，∴PM // AH ．∴∠P AH =∠MP A ，∴∠P AH =30°．在Rt △PHA 中，∠PHA = 90°，得cot AH PAH PH∠=，cot AH PH PAH =⋅∠．∴+=cot 30(9)x ︒⋅−，得+)x −．………（2分）解得x =2．………………………………………………………………（1分）∴AG =2，BG =∵AG ⊥BQ ，∴∠AGB = 90°．在Rt △ABG 中，∠AGB = 90°，AG = 2，BG =利用勾股定理，得AB 1分）∴电子眼区间测速路段AB 的长为…………………………（1分）23．证明：（1）∵AF CD BC AD ⋅=⋅，∴AF AD BC CD=．……………………………（1分） ∵CD ⊥BA ，∴∠ADF =∠ADC = 90°．……………………………（1分）在Rt △ADF 与Rt △CDB 中，AF AD BC CD=． ∴Rt △ADF ∽Rt △CDB ．∴∠F =∠B ．……………………………（2分）又∵∠ADF +∠F +∠F AD =180°，∠AEB +∠B +∠BAE =180°，且∠F AD =∠BAE ．∴∠AEB =∠ADF = 90°．∴AE ⊥BC ．…………………………………………………………（2分）（2）∵AE ⊥BC ，BE = CE ，即AE 是BC 的垂直平分线．∴AB = AC ．∴∠B =∠ACB ．………………………………………………………（1分）又∵AE ⊥BC ，∴90AEC ∠=︒，又∵∠ADC = 90°，∴∠AEC =∠ADC∴△AEC ∽△CDB ．…………………………………………………（1分） ∴CE AC BD BC=．………………………………………………………（1分） ∴BC CE BD AC ⋅=⋅．………………………………………………（1分）∵BE = CE ，∴12CE BC =．………………………………………（1分） ∴12BC BC BD AC ⋅=⋅．即22BC BD AC =⋅．……………………（1分） 24．解：（1）抛物线224y x x =−++是回归抛物线． ……………………………（1分）理由如下，当2x =时，将其代入224y x x =−++中，得222244y =−+⨯+=．∴M （2，4）．……………………………………………………………（1分）∴点M 关于坐标原点O 的对称点M ＇的坐标为（-2，-4）．………（1分）当2x =−时，将其代入224y x x =−++中，得4y =−．……………（1分）∴M ＇（-2，-4）在抛物线224y x x =−++上．∴抛物线224y x x =−++是回归抛物线．（2）由22y x x c =−+，得2(1)1y x c =−+−．∴顶点C 的坐标为(1,1)c −．…………………………………………（1分）∴点C 关于坐标原点O 的对称点C ＇的坐标为(1,1)c −−．………（1分）又∵顶点C 为抛物线22y x x c =−+的回归点，∴点C ＇在抛物线22y x x c =−+上，即21(1)2c c −=−++．………（1分）∴1c =−．∴这条抛物线的表达式为221y x x =−−．……………………………（1分）（3）由（2）中顶点C 为抛物线22y x x c =−+的回归点，可知点E 与点C ′重合，即点E 的坐标为（-1，2）．………………（1分）∵∠CFE =∠DEC ，∠ECD =∠FCE ，∴△CDE ∽△CEF ．∴CD CE CE CF=．……………………………………（1分）又∵CD = 2，CE ==∴ CF = 10．…………………（1分） ∴点F 的坐标为（1，8）．……………………………………………（1分）25．解：（1）在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =∠BCD = 90°，AB = CD ．又∵∠BCD +∠DCF = 180°，∴∠DCF = 90°，∴∠DCF =∠BAD ． ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF = 90°，∴∠EDF =∠ADC = 90°，∴EDF EDH ADC EDH ∠−∠=∠−∠．∴∠ADE =∠CDF ．……………………………………………………（1分）∴△ADE ∽△CDF ．∴AD DE CD DF=．…………………………………（1分）又∵AD = 1，CD = AB = 2，∴12DE DF =．……………………………（1分）在Rt △DEF 中，∠EDF = 90°，∴1tan 2DE EFD DF ∠==．…………（1分）（2）∵△ADE ∽△CDF ，∴12AE AD CF CD ==．………………………………（1分） ∵AE = x ，∴2CF x =． ………………………………………………（1分）在矩形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ．由AB // CD ，得CH CF BE BF=．又∵21BF x =+，2CH y =−，2BE x =−，∴22221y x x x −=−+．…（1分） ∴ y 关于x 的函数解析式为22221x y x +=+．……………………………（1分）其定义域为02x <<． …………………………………………………（1分）（3）延长BG ，交射线CD 于点P ．由AB // CD ，得∠BEG =∠DHE ． ……………………………………（1分） ∴当△EDH ∽△BEG 时，可以有以下两种情况：① 当∠DEH =∠BGE 时，ED // BG ，又∵AB // CD ，∴四边形BEDP 是平行四边形．∴2EB DP x ==−，∴PC x =．∵DH y =，∴2222(2)222121x x x HC y x x +−=−=−=++． ∵AB // CD ，∴HC HG AE GE =，HG PG GE GB =，PG PC GB AB =．∴HC PC AE AB=．即2(2)212x x x x x −+= 02x <<（），解得x =．∴x =．………………………………………………………（2分） ② 当∠DEH =∠GBE 时， ∵EB // DH ，∴∠DEH =∠GBE =∠BPC ．∴tan 2BC BPC PC ∠==． ∴14HC PC AE AB ==．即2(2)1214x x x x −+= 02x <<（），解得32x =． ∴32x =．………………………………………………………………（2分）综上所述，x =或32x =．。

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