第2讲 概率及其运算性质
概率定义与性质ppt课件
在概率计算中，比较常见的是所谓古典概型概率计算。为 此，首先定义等概完备事件组的概念。
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5
定义 3：若事件 A1, A2 ,..., An满足 (1)事件 A1, A2 ,..., An发生的概率相等（等可能性）； (2)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An至少有一个发生（完备性）； (3)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An只能发生其中之一（互斥性）, 称事件 A1, A2 ,..., An构成等概完备事件组，也称等概基本事件组。
（2） p nCn2 (n 1)! nn
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【例5】从5双不同号码的鞋子中任意抽取4只，问这4只至
少有2只配对的概率是多少？
解：法一. n=C140 210 ,m=C52C5 1C422*2130
故所求概率p=13/21。
法二.4只全不配对方法有m= C542*2*2*280
即4只全不配对的概率为8/21，所以至少有2只配对的概率
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13
几何概型介绍: 例1：设某公交车每10分钟到站一辆，乘客到达车站的时 刻是任意的，求某乘客到站候车不超过5分钟的概率？ 解：设乘客所乘车在a时刻到达，则这辆汽车的前一辆车 在(a-10)时刻到达，乘客在时间段(a-10,a]的任意时刻x都 可能到达车站，而若候车不超过5分钟，则x必满足:
P(A) 1 P(A)
例：设事件 A、B，若 A B，则P(B) P( A) 证明 将 B 写成B A (B A) A B A，由于右边两事件互 斥，所以P(B) P(A) P(B A) P(A)。
10.1.4概率的基本性质课件共17张PPT
3.某校高二(1)班甲、乙两名同学进行投篮比赛,
他们投进球的概率分别是 3 和 4 ,现甲、乙两人各投篮一次, 45
恰有一人投进球的概率是( D )
A. 1 20
C. 1 5
B. 3 20
D. 7 20
甲投进而乙没有投进的概率为
3 4
1
4 5
3 20
,
乙投进而甲没有投进的概率为
1
3 4
4 5
A. 1
B. 2
3
5
C. 2
D. 4
3
5
记事件 A：甲获得冠军，事件 B：比赛进行了三局,
事件 AB：甲获得冠军，且比赛进行了三局，
即第三局甲胜，前二局甲胜了一局，
则
P(
AB)
C12
3 4
1 4
3 4
9 32
,
对于事件 A，甲获得冠军包含两种情况：前两局甲胜和事件 AB，
P(A)
3 4
2
9 32
学习目标：
1通过实例，理解概率的性质. 2结合实例，掌握随机事件概率的运算法则. 3能够利用概率的性质求较复杂事件的概率.
学习重点：
概率的运算法则及性质.
.
探究一: 概率的基本性质
性质 1 对任意的事件 A，都有 P(A)≥0. 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质 3 如果事件 A 和事件 B 互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件， 那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质 5 如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B). 性质 6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件， 我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
概率的计算与性质
概率的计算与性质概率作为一种数学工具，用来描述随机事件发生的可能性。
在我们的日常生活中，概率无处不在，无论是赌博、投资决策还是天气预报，概率都扮演着重要的角色。
本文将围绕概率的计算和性质展开论述。
一、概率的基本概念与计算概率的计算是通过对可能事件发生的次数进行统计分析，来判断事件发生的可能性大小。
在概率的计算中，我们常用到的基本概念有事件、样本空间和概率。
事件是指某个具体结果或一系列结果的集合，例如掷一枚硬币正面朝上的事件。
样本空间是指所有可能结果组成的集合，例如抛掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
概率是对一个事件发生的可能性进行量化的数值，通常表示为一个介于0到1之间的小数。
在概率的计算中，我们有两种基本的计算方法：古典概率和统计概率。
古典概率是基于等可能性原理，即所有可能结果出现的机会相同，常用于计算大小确定的样本空间的概率。
例如，掷一枚均匀硬币正面朝上的概率为1/2。
统计概率则是通过观察频率来推断概率，常用于计算大样本空间中的概率。
例如，通过投掷一枚硬币100次，正面朝上的次数除以总次数，可以推断正面朝上的概率。
二、概率的性质概率具有一些重要的性质，这些性质在概率计算和推理中起到了至关重要的作用。
以下为概率的一些性质：1. 概率的取值范围是0到1之间，即0 ≤ P(A) ≤ 1，其中P(A)表示事件A发生的概率。
2. 若事件A不可能发生，则P(A) = 0；若事件A一定发生，则P(A) = 1。
3. 若事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生），则P(A∪B) = P(A) + P(B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率。
4. 若事件A和事件B独立（即一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响），则P(A∩B) = P(A) × P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
以上性质是概率计算中常用的一些法则，它们能够帮助我们更加简便地计算各种复杂事件的概率。
概率的基本性质 课件
状元随笔
事件间的运算方法有两种，第一种利用事件间运算的定义， 列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结 果进行事件间的运算．第二种利用Venn图，借助集合间运算的思 想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在 图中列出，进行运算．
在一些比较简单的题目中，可以根据常识来判断事件之间的 关系，但对于比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定 义来推理．
概率公式的应用 (1)直接用：首先要分清事件间是否互斥，同时要把一个事件 分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，直接应用互斥事 件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，得出结果． (2)间接用：当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可 间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后
解析：至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结 果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
答案：B
4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
1 2
，甲获胜的概
率是13，则甲不输的概率为( )
A.56
B.25
1
1
C.6
D.3
解析：P(甲不输)＝P(和棋)＋P(甲获胜)＝12＋13＝56.
答案：A
类型一 事件关系的判断
例1 (1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加 演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是( )
A．“至少1名男生”与“全是女生” B．“至少1名男生”与“至少1名是女生” C．“至少1名男生”与“全是男生” D．“恰好1名男生”与“恰好2名女生”
【解析】 (1)从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比 赛，A.“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；B.当“恰好 1名男生，1名女生”时，“至少1名男生”与“至少1名是女生” 同时发生，所以“至少1名男生”与“至少1名是女生”不互斥；C. 当“全是男生”时，“至少1名男生”与“全是男生”同时发生， 所以“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；D.“恰好1名男 生”与“恰好2名女生”是互斥事件，当“恰好2名男生”时， “恰好1名男生”与“恰好2名女生”不可能同时发生，所以为互 斥事件，且存在除了这两种情况之外的其他事件，因此不是对立 事件．
概率的计算与性质
概率的计算与性质概率是数学中的一个重要概念，用于描述随机事件发生的可能性。
在现实生活和各个领域中，概率的计算和性质都扮演着至关重要的角色。
本文将探讨概率的计算方法以及其性质。
一、概率的计算方法概率的计算方法有多种，常见的包括古典概率、几何概率和条件概率等。
1. 古典概率古典概率适用于等可能的基本事件。
计算一个事件的概率，可以通过基本事件数目与总事件数目的比值来得到。
例如，抛掷一枚均匀的骰子，出现数字1的概率为1/6，因为在六个等可能的结果中，只有一个是数字1。
2. 几何概率几何概率适用于连续随机变量。
在一些问题中，可以通过对试验空间的几何刻画来计算概率。
例如，在一个正方形的纸上随机点一个位置，落在正方形内的某个区域上的概率可以用该区域的面积与正方形的面积的比值来表示。
3. 条件概率条件概率指在一定条件下事件发生的概率。
根据条件概率公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，可以计算在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率在统计学和机器学习中应用广泛，用于处理涉及多个事件关系的问题。
二、概率的性质概率具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解概率的本质和应用。
1. 非负性概率的取值范围在0到1之间，即P(A)不小于0且不大于1。
这意味着任何事件发生的概率都不会是负数或超过100%。
2. 确定性事件的概率为1对于必然事件，即一定会发生的事件，其概率为1。
例如，抛掷一枚均匀骰子，必定会出现一个数字，因此每个数字的概率都是1/6，且所有数字概率之和为1。
3. 完备性在一组互斥的事件中，它们的概率之和为1。
互斥性指的是这些事件之间不存在交集，同时只能发生其中的一个。
4. 加法法则加法法则用于计算两个事件之和的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
5. 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率，即P(A∩B) = P(A) *P(B|A)。
概率的基本性质 课件
思考1 事件C1={出现1点}与事件H={出现的点数为奇数} 有什么关系？
事件C1发生，则事件H也一定会发生，这时我们说 事件H包含事件C1,记作H C1
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事
件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含
于事件B）,记作 B A（或A B).
事件I和事件D3不会同时发生.
事件的互斥
若A∩B为不可能事件（ A B ），那么称事件A与
事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不 会同时发生.
如图：
A
B
思考6 事件G ={出现的点数为偶数}与 事件H ={出现的点数为奇数}有什么关系？
G∩H= ,G∪H=必然事件，即事件G,件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事
件A与事件B互为对立事件.其含义是：事件A与事件B在 任何一次试验中有且仅有一个发生.
如图：
A
B
例4 判断下面给出的每对事件是互斥事件还是对立事件. 从40张扑克牌（四种花色从1～10 各10张）中任取一张: ①“抽出红桃”和“抽出黑桃”； 互斥事件 ②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”. 对立事件
若事件A发生必有事件B发生；反之事件B发生必有事
件A发生，即若B A，且A B，那么称事件A与事件B
相等，记为 A = B.
A
B
思考3 事件Ｋ={出现1点或5点},事件C1={出现1点}与事 件C5={出现5点}有什么关系？ 若事件C1或C5发生，则事件K发生，反过来，也正确.这时 我们称事件K为事件C1与事件C5的并事件（或和事件）， 记作K=C1∪C5.
A B（或AB）.
如图：
BA B A
例3 某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.0以上.记 事件 A =“左眼视力在1.0以上” 事件 B =“右眼视力在1.0以上” 事件 C =“视力合格” 说出事件A、B、C的关系.
概率的基本性质 课件
【习练·破】 掷一枚骰子,下列事件: A={出现奇数点},B={出现偶数点}, C={点数小于3},D={点数大于2}, E={点数是3的倍数}.
求:(1)A∩B,BC. (2)A∪B,B∪C. (3)记H是事件D的对立事件,求H,AC,H∪E.
【解析】(1)A∩B=∅,BC={出现2点}. (2)A∪B={出现1,2,3,4,5或6点}, B∪C={出现1,2,4或6点}. (3)H={点数小于或等于2}={出现1或2点}; AC={出现1点}; H∪E={出现1,2,3或6点}.
【解析】选D.A项中若取出的3个球是3个红球,则这两 个事件同时发生,故它们不是互斥事件,
所以A项不符合题意;B项中,这两个事件不能同时发生, 且必有一个发生,则它们是互斥事件且是对立事件,所以 B项不符合题意;C项中,若取出的3个球是1个红球2个 白球时,它们同时发生,则它们不是互斥事件,所以C项不 符合题意;D项中,这两个事件不能同时发生,是互斥事件, 若取出的3个球都是红球,则它们都没有发生,故它们不 是对立事件,所以D项符合题意.
2.概率的性质 (1)概率的取值范围为[0,1]. (2)必然事件的概率为1, (3)不可能事件的概率为0.
(4)概率加法公式: ①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). ②若A与B为对立事件,则P(A)=1-P(B).
【思考】 (1)依据概率性质的前三条,你能说出随机事件的概率 的取值范围吗? 提示:随机事件的概率的取值范围为(0,1).
【加练·固】 在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事 件,如: A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是 奇数},D={出现的点数是偶数}. (1)说明以上4个事件的关系. (2)求两两运算的结果.
概率的基本性质ppt课件
我们借助树状图来求相应事件的样本点数,
可以得到,样本空间包含的样本点个数为 n 6 5 30 , 解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P A1 A2
所以P(R1)=P(R2)=6/12, P(R1UR2)=10/12.因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我 们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
解析 设事件 A=“中奖”,事件 A1 =“第一罐中奖”,事件 A2 =“第二罐中奖”,
那么事件 A1A2 =“两罐都中奖”, A1 A2 =“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A1A2 =“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且 A A1A2 A1 A2 A1A2 ,
因为 A1A2, A1 A2, A1A2 两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,
这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
练习1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别
为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥 事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.
《概率》 讲义
《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，充满了各种不确定性和随机事件。
比如抛硬币时正面朝上还是反面朝上，明天会不会下雨，抽奖能不能中奖等等。
而概率，就是用来衡量这些随机事件发生可能性大小的一个数学概念。
简单来说，如果我们把一个随机事件所有可能的结果都列举出来，那么某个特定结果出现的次数与总结果数的比值，就是这个结果的概率。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件的概率是 0，那就意味着它绝对不会发生；如果概率是 1，那就肯定会发生；而介于 0 和 1 之间的概率值，则表示这个事件发生的可能性有大有小。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，结果只有正面和反面两种可能。
所以抛到正面的概率是 1/2，抛到反面的概率也是 1/2。
二、概率的计算方法1、古典概型古典概型是最简单的概率计算模型。
它要求试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
比如，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，问取出红球的概率是多少。
总共有 8 个球，取出红球有 5 种可能，所以取出红球的概率就是 5/8。
古典概型的概率计算公式是：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω) 表示试验的基本结果总数。
2、几何概型当试验的结果是无限的，比如在一个线段上随机取一个点，或者在一个区域内随机投一个点，这时就用到几何概型。
例如，在一个长度为 10 厘米的线段上，随机取一个点，求这个点落在 3 厘米到 7 厘米之间的概率。
这段区间的长度是 4 厘米，总线段长度是 10 厘米，所以概率就是 4/10 ＝ 2/5。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝ m(A) ／ m(Ω)，其中 m(A) 表示事件 A 对应的区域的度量（长度、面积、体积等），m(Ω) 表示试验对应的总区域的度量。
3、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
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a
a
b
值得注意的是P(B)与i无关, 即k个人取球, 尽
管取球的先后次序不同, 各人取到白球的概率
是一样的, 大家机会相同. 另外还值得注意的
是放回抽样的情况与不有一串外观相似的钥匙(共八只)，但其中只有
一只是开大门的，他只好随机地试，问他试到第三把
因而, n个人中至少有两人生日相同的概率为
1
365
364
(365 365n
n
1)
关于组合
n个元素中取m个(1
m
n)的组合数记作C
m n
或记作
n m
,因此C
m n
n m
n! m!(n m)!
而对于任意实数a以及非负整数r,定义
a r
n1
由概率的非负性知,P(φ) 0,故由上式知
P(φ) 0.
性质2(有限可加性) 若A1,A2,...,An是两两互不相容的
事件, 则有
P(A1A2...An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An) (3.2)
证 令An+1=An+2=...=f, 即有AiAj=f, ij, i,j=1,2,....
解 (1) 放回抽样的情况, 显然有
P(B)
a
a
b
(2) 不放回抽样的情况. 各人取一只球, 每种
取法是一基本事件,共有
(a
b)(a
b
1)
(a
b
k
1)
A
k ab
个基本事件,
且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.
当事件B发生时,第i个人取的应是白球,它可以是
a只白球中的任一只,有a种取法.其余被取的k 1只
例1 将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去, 试求每个盒子
至多有一只球的概率(设盒子的容量不限).
解 将n只球放入N个盒子, 每种放法是一基本事件, 共有
NN...N=Nn种不同放法, 而每个盒子中至多放一只球共 有N(N-1)...[N-(n-1)]种不同放法, 因而所求概率为
p
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第二讲 概率及其运算性质
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第一章 随机事件及其概率
本章学习要求： ❖ 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 ❖ 理解事件频率的概念，理解概率的古典定义。 ❖ 掌握概率的基本性质及概率加法定理。 ❖ 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事
性质5(逆事件的概率) 对任一事件A, 有
P(A) 1 P(A).
证 因A A S,且AA ,因此
1 P(S) P(A A) P(A) P(A).
性质6(加法公式) 对任意两事件A,B有
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).
(3.5)
证 因AB= A(B-AB), 且A(B-AB)=f, ABB, 故由(3.2)
C
3 7
43 1 2
3
1 7
2 6
3 5
18 35
P(A3 )
C
3 4
C
3 7
432 765
4 35
根据加法法则得P(A 2
A3 )
P(A2 )
P(A 3
)
22 35
50个产品中有46个合格品与4个废品, 从中一次抽 例7
取3个, 求其中有废品的概率.
由(3.1)式得
P(A1 A2 A n ) P A k P(A k )
k1 k1
n
P(A k ) 0 P(A1 ) P(A2 ) P(A n ). k1
性质3 设A,B是两个事件, 若AB, 则有
P(B-A)=P(B)-P(A)
历史上的掷硬币试验
试验者 德.摩尔根
抛掷次数
n
正面出现次数m
正面出现频率
m/n
2048
1061
0.518
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
维尼
30000
14994
0.4998
大量实验证实, 当重复试验的次数增大时, 频率fn(A)
概率困难, 因此考虑先求此事件的逆事件的概率
例4 掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率. 解: 假设A={至少一次正面}, 则
A={全是反面}, 只包含一个基本事件.
基本事件总数为23=8, 因此
P(A)
1 8
则P(A) 1
P(A)
1
1 8
7 8
如果BA, 则P(B-A)=P(B)-P(A) 这是因为, 如果BA, 则必有B=A+(B-A), 而A与B-A互不相容, 因此 P(B)=P(A)+P(B-A)
球可以是其余a b 1只球中的任意k 1只,共有
(a
b
1)(a
b
2)
[a
b
1
(k
1)
1]
A
k1 a b1
种取法,
于是B中包含a
A
k1 a b1
个基本事件,故得
P(B)
a
A
k1 a b1
A
k a
b
a(a b 1)!(a b k)! (a b k)!(a b)!
333
2000 6
334,
P(A)
333 . 2000
由于
2000 8
250,故得
P(B)
250 2000
.
又由于一个数同时能被6与8整除, 就相当于
能被24整除, 因此, 由
83
2000 24
84,得
P(AB)
83 2000
于是所求概率为
p
1
333 2000
250 2000
及(3.3)得
P(AB)=P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB).
(3.5)式还可推广到多个事件, 例如, 设A,B,C为任意三个事件,
则有
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)
-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
(3.6)
经常有一些概率论的较难的题, 直接计算某事件的
件的独立性概念。 ❖ 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法。
第一章 随机事件及其概率
第二节 概率及其运算性质
一、统计概率 二、古典概型 三、概率的性质
每一个事件都有它的发生概率
即给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称之为事件A的概 率, 记作P(A)或P{A}.
最高的发生概率为1, 表示必然发生. 最低的概率为0, 表示不可能发生. 而一般的随机事件的概率介于0与1之间. 这里只是概率的数学上的规定, 其实就是任何一个事件到实数 轴上的[0,1]区间的映射. 但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?
(二) 概率 定义 设E是随机试验, Ω是它的样本空间, 对 于E的每一事件A赋予一个实数, 记为P(A), 称为事件A的概 率, 如果集合函数P(•)满足下列条件: 1、非负性: 对于每一个事件A, 有P(A)0; 2、规范性: 对于必然事件Ω, 有P(Ω)=1; 3、可列可加性:设A1,A2,...是两两互不相容事件, 即对于 ij, AiAj=f, i,j=1,2,..., 则有
设试验的样本空间为Ω={e1,e2,...,en}. 由于在试验中 每个基本事件发生的可能性相同, 即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1=P(Ω)=P({e1}{e2}...{en})=
P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei}),
(3.3)
P(B)P(A)
(3.4)
证 由AB知B=A(B-A), 且A(B-A)=f, 再由概率的
有限可加性, 得
P(B)=P(A)+P(B-A),
又由概率的非负性1, P(B-A)0知
P(B)P(A).
性质4 对于任一事件A,
P(A)1
证 因AΩ, 由性质3得
P(A)P(Ω)=1
a(a
1) (a r!
r
1),
a 0
1.
例如
3π
(π)(π 1)(π 3!
2)
π(π
1)(π 3!
2)
例2 袋中有a只白球, b只红球, k个人依次在袋中
取一只球, (1)作放回抽样; (2)作不放回抽样, 求
第i(i=1,2,...,k)个人取到白球(记为事件B)的概 率(ka+b).
P({ei })
1 n
,
i
1,2,
,n.
若事件A包含k个基本事件, 即
A {ei1 }{ei2 } {eik }
这里i1,i2,...,ik是1,2,...,n中某k个不同的数. 则有