压弯构件原理分析
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6-钢结构基本原理—压弯构件
求解过程：p.197
方程解：
(1 −
一、单向压弯构件的平面内失稳
参阅 §7.4.1
不对称实腹式截面，弯矩使较大翼缘受压时的 补充计算公式
N A
−
β mx M x
γ xWx2 (1 − 1.25N
/ NE)
≤
fd
§3 压弯构件的整体稳定
二、单向压弯构件的平面外失稳
平面外失稳的特征
参阅 §7.4.2
Mx
N
y
v
Mx zN
N
x u,θ
zN
与受弯构件整体失稳的相似点：
边缘屈服准则
N A
+
Nv 0m
≤
W x (1 − N / N E )
fy
M max
=
Nv0m 1-N / N E
2阶效应放大因子（弹性范围）
整理为 p.103（5-30）
σ cr
=
fy + (1+ ε0 )σEx 2
−
[
fy
+ (1+ ε0 )σEx 2
]2
−
fyσ Ex
1 1-N / N E
ε0
=
则 N + Mx ≤1 N p M ex
N An
+ Mx Wxn
≤
fd
§2 单向压弯（拉弯）构件截面强度
三、全截面屈服准则
准则描述：
参阅 §4.2
截面各点应力（拉、压）都达到钢材屈服点
截面强度公式
y σ1 = fy
x
记 屈服轴力 N p = Af y 塑性弯矩 M px = Wpx fy
N 经推导可得
Av 0m Wx
第四章压弯构件.ppt
N
P M 1 P M 1 P /P s s( E)
P M 1 P M 1 P /P s s( E)
钢结构设计规范中压弯构件稳定验算公式就是由上式
而来，只不过规范公式同时还考虑了其它边界条件、 荷载形式和初始缺陷等因素的影响。
§4-3 考虑弹塑性影响的压弯构件整体 稳定验算
其中Mi为内弯矩，与杆件轴向力P和曲率ρ有关：
2 2 u b、由基本假设第二条得到： u sin z m
M f( P , ) i
l
l
c、由基本假设第三条，平衡方程可以表达为：
M Pu f ( P , u ) q m m
dP d、P的最大值可由 0 得到，即为弯矩作用平 du m 面内的稳定承载力。
9.
10.
11.
4）简化计算方法（耶硕克Jezek法）
基本假定：
a、材料理想弹塑性。
b、杆件两端简支，构件变形曲线为正弦半波曲线，即：
v vm sin z l c、只考虑构件中央截面的内外力平衡。
P P um z
y
P
P um
z
y
计算步骤：
内弯矩
a、平衡方程： M Pu M q i 由横向荷载产生 某点的挠度
y
d y i y dx
中和轴以外为
dx
y点处伸长 量为y dθ
拉，以内为压
3）数值积分法（压杆挠曲线法）
具有初弯曲的压弯构件，假设条件最少，可适用于任
意情况。
截面上内弯矩：
－ EIy ' ' 弹性阶段 M ＝ 内 j 弹塑性阶段 A yjdA
有正负 拉＋，压－
P M 1 P M 1 P /P s s( E)
P M 1 P M 1 P /P s s( E)
钢结构设计规范中压弯构件稳定验算公式就是由上式
而来，只不过规范公式同时还考虑了其它边界条件、 荷载形式和初始缺陷等因素的影响。
§4-3 考虑弹塑性影响的压弯构件整体 稳定验算
其中Mi为内弯矩，与杆件轴向力P和曲率ρ有关：
2 2 u b、由基本假设第二条得到： u sin z m
M f( P , ) i
l
l
c、由基本假设第三条，平衡方程可以表达为：
M Pu f ( P , u ) q m m
dP d、P的最大值可由 0 得到，即为弯矩作用平 du m 面内的稳定承载力。
9.
10.
11.
4）简化计算方法（耶硕克Jezek法）
基本假定：
a、材料理想弹塑性。
b、杆件两端简支，构件变形曲线为正弦半波曲线，即：
v vm sin z l c、只考虑构件中央截面的内外力平衡。
P P um z
y
P
P um
z
y
计算步骤：
内弯矩
a、平衡方程： M Pu M q i 由横向荷载产生 某点的挠度
y
d y i y dx
中和轴以外为
dx
y点处伸长 量为y dθ
拉，以内为压
3）数值积分法（压杆挠曲线法）
具有初弯曲的压弯构件，假设条件最少，可适用于任
意情况。
截面上内弯矩：
－ EIy ' ' 弹性阶段 M ＝ 内 j 弹塑性阶段 A yjdA
有正负 拉＋，压－
钢结构设计原理-6拉弯、压弯构件
哈尔滨工业大学 如果考虑构件初始缺陷的影响，并将构件各种初始缺陷等效 为跨中最大初弯曲v0（表示综合缺陷）。假定等效初弯曲为 正弦曲线，可得考虑二阶效应后由初弯曲产生最大弯矩为：
Mxmax2
Nv0 = 1− N NEx
因此构件跨中最大弯矩为上二项之和，根据边缘屈服准则， 截面最大应力应满足：
N Mxmax1 + Mxmax2 N βmx Mx + Nv0 + = + = fy A W A W x (1− N NEx ) 1x 1
钢结构设计原理
哈尔滨工业大学
4) 单向压弯构件的弯矩作用平面外的弯扭失稳
变形特点：无初始缺陷的杆件：压力小时只有平面内挠度； 压力达Ncr后，会突然产生弯矩作用平面外的弯曲变形u和扭 转位移θ。有初始缺陷的杆件：加载之初，就有较小的侧向 位移u和扭转位移θ，并随荷载增加而增加，当达到某一极限 荷载之后，位移u和θ增加速度很快，构件失去了稳定。
1) 极限荷载计算法
解析法是在一定假定基础上，通过理论方法求得平面内稳定 承载力Nux 的解析解。一般受限于初始假设、且表达式复杂， 使用不方便。 数值法可得到Nux 的数值解，可以考虑几何缺陷和残余应力 影响，适用于各种边界条件以及弹塑性工作阶段，是最常用 的方法。详见钢结构稳定理论。
钢结构设计原理
钢结构设计原理
哈尔滨工业大学
2) 弯矩的产生
轴心力的偏心作用； 端弯矩作用； 横向荷载作用。
钢结构设计原理
哈尔滨工业大学
3) 拉弯、压弯构件的实际应用
有节间荷载作用的桁架上下弦杆； 受风荷载作用的墙架柱； 工作平台柱、支架柱； 单层厂房结构及多高层框架结构中的柱。
4) 拉弯、压弯构件的截面形式
《钢结构基本原理》讲稿第7章压弯构件
α0 =
σ max − σ min σ min
λ 为弯矩平面内的长细比，小于30, 取30; 大于100, 取100。
实腹式压弯构件的局部稳定（续二）
2. 箱型截面腹板 当 0 ≤ α 0 ≤ 1 .6 当 1 .6 < α 0 ≤ 2
tw
h0 235 , 40 ≤ min { 0 . 8 (16 α 0 + 0 . 5 λ + 25 ) tw fy h0 235 , 40 ≤ min { 0 . 8 ( 48 α 0 + 0 . 5 λ − 26 . 2 ) tw fy
为了用料经济，可采用格构式柱、变截面柱
实腹式单轴对称截面
格构式截面
阶梯柱
变截面柱
压弯构件的失效形式
钢材屈服 截面强度破坏 钢材断裂 连接破坏 构件弯矩平面内整体失稳 丧失稳定 构件弯矩平面外整体失稳 板件失稳（局部稳定） 格构式构件中的单肢失稳 刚度不足 构件偏柔，变形过大
压弯构件的强度计算
压弯作用 压 压 N M 受压侧 屈服 边缘 屈服准则 弹性设计 部分截面 塑性发展准则 弹塑性设计 全截面 塑性发展准则 塑性设计
跨中截面边缘屈服时
再经其它处理和考虑抗力分项系数，可得
弯矩作用平面内稳定问题处理的要点
N
欧拉临界力 弹性 极限承载力 弹塑性 边缘屈服 塑性铰
＝
N－v 曲线
1. 平面内失稳表现为荷载变形曲线的极值现象，源于压力与平面内弯 曲变形产生的 二 阶效应，平面内失稳不是截面的强度问题。 2. 平面内稳定的边缘屈服准则的处理方法是考虑了 二 阶效应之后的 强度问题，但与杆件整体变形有关，不仅仅是截面问题。
20tw 20tw
阴影线－有效截面
第7章压弯构件解读
的压弯构件出现压弯构件在弯矩作用平面内失稳时，视 构件截面形状、尺寸比例、构件长度以及残余应力分布 的不同，构件进入塑性的区域可能只在构件长度的中间 部分截面受压最大的一侧、或同时在截面两侧、或仅在 截面受拉一侧（如图），最后一种情况可能在单轴对称 截面。
单向压弯构件在弯矩作用平面内的稳定计算方法目前有 三种，即按边缘纤维屈服准则的方法、按极限承载能力 准则的方法和实用计算公式。 下面介绍钢结构设计规范采用的边缘纤维屈服准则。 边缘纤维屈服准则的方法是用应力问题代替稳定计算的 近似方法，即以构件截面应力最大的边缘纤维开始屈服 时的荷载，亦即构件在弹性阶段的最大荷载，作为压弯 构件的稳定承载力。这一准则的表达式为：
7.3压弯构件的强度
根据不同的强度准则，采用不同的公式计算，具体见第 4章的有关拉弯构件的内容。 如图，对矩形截面的塑性状态进行分解，分别可得轴心 压力和弯矩：
如同拉弯构件，可得： Ｎ M 1 矩形截面 Ｎ Mp p
2
式中：Np——M=0时，截面所能承受的最大轴力， Np=bhfy。
绘出的相关曲线如图。 《规范》采用直线式：
Ｎ
M 1 Np Mp
为了不使构件产生过大的变形，考虑截面只是部分发展 塑性，将Np=Anfy和Mp=γxwxfy代入式 ,以f代fy,可得单向 压弯构件的强度验算公式：
x
Mx N f An xWnx
推广到双向压弯构件：
My Mx N f An xWnx yWny
mx M x
N W1x (1 x ) N Ex
fy
上式可用来计算格构式或冷弯薄壁型钢压弯构件的稳定。 对于实腹式压弯构件，规范采用压溃理论确定临界力。 为了限制偏心或长细比较大的构件的变形，只允许截面 塑性发展总深度≤h/4（h是截面高度）。根据对11种常 见截面形式进行的计算比较，规范对上式作了修正，用 来验算实腹式压弯构件在弯矩作用平面内的稳定性： mx M x N f N x A xW1x (1 0.8 ' ) N Ex 式中 N—所计算构件段范围内的轴向压力；
钢结构 压弯构件
钢结构压弯构件在钢结构的世界里，压弯构件是一种至关重要的组成部分。
它们在建筑结构、桥梁工程以及各类工业设施中都扮演着不可或缺的角色。
那么，究竟什么是钢结构压弯构件呢？让我们一起来揭开它的神秘面纱。
钢结构压弯构件，简单来说，就是既承受压力又承受弯矩的钢结构部件。
想象一下一根柱子，它不仅要支撑上方的重量（承受压力），还要抵抗来自不同方向的力导致的弯曲（承受弯矩），这根柱子就是一个典型的压弯构件。
为了更好地理解压弯构件的工作原理，我们先来看一看压力和弯矩分别是什么。
压力，就像是有人从上往下压在一个物体上，使物体有被压扁的趋势。
而弯矩呢，则像是有人在物体的一端用力扭动，让物体产生弯曲变形。
当这两种力同时作用在一个钢结构构件上时，就形成了复杂的受力情况。
在实际应用中，压弯构件的形式多种多样。
比如常见的工字钢梁，它的上翼缘承受压力，下翼缘承受拉力，而腹板则主要承受剪力，同时整个梁还要抵抗弯矩的作用。
还有柱子，特别是在多层建筑中，柱子不仅要承受上部结构传来的压力，还要抵抗水平风荷载或地震作用产生的弯矩。
那么，如何确保钢结构压弯构件在复杂的受力情况下能够安全可靠地工作呢？这就需要对其进行详细的设计和计算。
设计师们会根据结构的使用要求、荷载情况以及材料的性能等因素，运用各种力学理论和计算公式，来确定压弯构件的尺寸、形状和材料强度等参数。
在设计过程中，稳定性是一个非常关键的问题。
由于压弯构件同时承受压力和弯矩，容易发生失稳现象。
失稳就像是一根细长的柱子在受到较大压力时突然弯曲甚至折断。
为了防止失稳，设计师们需要考虑构件的长细比、截面形状和支撑条件等因素。
比如，通过增加构件的截面尺寸或者设置有效的支撑，可以提高压弯构件的稳定性。
材料的选择对于压弯构件的性能也有着重要影响。
通常，高强度的钢材能够提供更好的承载能力，但同时也要考虑到钢材的韧性、可焊性等性能。
此外，钢材的质量和加工工艺也会直接关系到压弯构件的强度和可靠性。
第四讲 压弯构件解析
各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为 的正弦v0曲线。任意 横向荷载或端弯矩作用下的计算弯矩为M，则跨中总弯矩应
为
M max
m M Nv0
1 N / NE
构件中点截面边缘纤维达到屈服时
N A
mM
1 N /
Nv0
NE W
fy
令M＝0，即有初始缺陷的轴心压杆边缘屈服时表达式
N0 A
N0v0
1
N0 NE
3 《规范》计算公式 将用数值方法得到的压弯构件的极限承载力与用边缘纤维屈 服准则导出的相关公式中的轴心压力进行比较，对于短粗的 实腹杆，偏于安全；对于细长的实腹杆，偏于不安全。因此 借用了边缘纤维屈服时计算公式的形式，但计算弯曲应力时 考虑了截面的塑性发展和二阶弯矩，初弯曲和残余应力的影 响综合为一个等效偏心距，弯矩为非均匀分布时，用等效弯 矩代替，考虑部分塑性深入截面，并引入抗力分项系数，得 到实腹式压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算式
N
mxM x
f
A
xW2 x
1 1.25
N N 'Ex
式中 W2x —受拉侧最外纤维的毛截面模量。 上式第二项分母中的系数1.25也是经过与理论计算结果比
较后引进的修正系数。
二、弯矩作用平面外的稳定计算
开口薄壁截面压弯构件的抗扭刚度及弯矩作用平面外的抗 弯刚度通常较小，当构件在弯矩作用平面外没有足够的支 撑以阻止其产生侧向位移和扭转时，构件可能因弯扭屈曲 而破坏。构件在发生弯扭失稳时，其临界条件为
一类是边缘屈服准则的计算方法 一类是精度较高的数值计算方法
弯矩作用平面外的稳定计算 局部稳定计算 格构式压弯构件的稳定计算
一、弯矩作用平面内的稳定计算
M与N的相关曲线
第五章 受弯与压弯构件分析原理
三、计算理论
1.第一种方法 考虑外包混凝土对钢骨刚度的提高作用，按钢结构稳定理论计算。英国及欧
洲规范采用此方法。 2.第二种方法
假定构件的钢骨与外包混凝土形成一个整体，变形一致；从而套用钢筋混凝 土的有关计算理论。我国及美国ACI规范采用此方法。
第二节 型钢混凝土受弯与压弯构件
3.第三种方法 “强度叠加法”，它不要求钢骨与外包混凝土完全实现整体工作，认为：型
三、数值迭代法求解（简述迭代步骤） 四、长柱的分析
长柱的特性
第二节 型钢混凝土受弯与压弯构件
一、型钢混凝土结构（钢骨混凝土结构SRC）
第二节 型钢混凝土受弯与压弯构件
二、试验研究
1.钢骨与外包混凝土能够较好的共同工作，截面应变符合平截面假定。 2.在柱脚、结构类型转换层等传递较大内力的部位，还应在钢骨翼缘外侧设置栓 钉，以防止钢骨与混凝土之间产生相对滑移。
查得新的
s'u，若所查得的
' 正好与所假设值充分接近，则停止迭代，
su
该
s'u即为所求；将查得的
' su
代入静力平衡方程中可求得叠合梁的抗
弯承载力。
第四节 FRP（纤维增强塑料）受弯构件
一、受力特点
破坏类型、二次受力、滞后应变。
二、理论计算时的基本假定
①正截面应变分布符合平截面假定。 ②混凝土和钢筋的应力应变关系为已知，不考虑混凝土的受拉。 ③FRP材料采用线弹性应力应变关系，当考虑二次受力情况时，应计算FRP材料 的滞后应变。 ④FRP采用的拉应变由平截面假定确定，但不应超过其允许拉应变。
第三节 混凝土叠合受弯构件
2）计算公式
As su
K1K3
fcbxn
1.第一种方法 考虑外包混凝土对钢骨刚度的提高作用，按钢结构稳定理论计算。英国及欧
洲规范采用此方法。 2.第二种方法
假定构件的钢骨与外包混凝土形成一个整体，变形一致；从而套用钢筋混凝 土的有关计算理论。我国及美国ACI规范采用此方法。
第二节 型钢混凝土受弯与压弯构件
3.第三种方法 “强度叠加法”，它不要求钢骨与外包混凝土完全实现整体工作，认为：型
三、数值迭代法求解（简述迭代步骤） 四、长柱的分析
长柱的特性
第二节 型钢混凝土受弯与压弯构件
一、型钢混凝土结构（钢骨混凝土结构SRC）
第二节 型钢混凝土受弯与压弯构件
二、试验研究
1.钢骨与外包混凝土能够较好的共同工作，截面应变符合平截面假定。 2.在柱脚、结构类型转换层等传递较大内力的部位，还应在钢骨翼缘外侧设置栓 钉，以防止钢骨与混凝土之间产生相对滑移。
查得新的
s'u，若所查得的
' 正好与所假设值充分接近，则停止迭代，
su
该
s'u即为所求；将查得的
' su
代入静力平衡方程中可求得叠合梁的抗
弯承载力。
第四节 FRP（纤维增强塑料）受弯构件
一、受力特点
破坏类型、二次受力、滞后应变。
二、理论计算时的基本假定
①正截面应变分布符合平截面假定。 ②混凝土和钢筋的应力应变关系为已知，不考虑混凝土的受拉。 ③FRP材料采用线弹性应力应变关系，当考虑二次受力情况时，应计算FRP材料 的滞后应变。 ④FRP采用的拉应变由平截面假定确定，但不应超过其允许拉应变。
第三节 混凝土叠合受弯构件
2）计算公式
As su
K1K3
fcbxn
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轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲
（1）细长柱 —— 屈曲荷载Pcr下的轴向应力小于比例极限fp ，
弹性分析的结果是正确的。 （2）中长柱和短柱 —— 屈曲荷 载Pcr下的轴向应力超过比例极 限fp ，弹性分析不适用，需考
cr
cr= fp
cr
短柱 细长柱
虑非弹性性能。
常用的非弹性屈曲理论：
2E 2
轴心压杆：只受轴向压力作用且压力通过截面形心
的直杆。 假定条件：
（1）等截面直杆；
（2）压力通过截面形心； （3）杆端理想铰接； （4）材料完全弹性； （5）小变形（ 弯曲曲率
y (1 y )
3 2 2
y
）。
欧拉（Euler）早在1744年通过对理想轴心压杆的整体稳定问题进 行的研究，当轴心力达到临界值时，压杆处于屈曲的微弯状态。 在弹性微弯状态下，根据外力矩平衡条件，可建立平衡微分方程， 求解后得到了著名的欧拉临界力和欧拉临界应力。
当 ei 0.3h0时，按小偏心受压计算， 当 ei 0.3h0时，按大偏心受压计算
对称配筋偏心受压构件计算时
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 Ⅳ区
ei 0.3h0 ，且 N Nb ，
大偏心受压； ei 0.3h0 ，且 N Nb ， 小偏心受压； ei 0.3h0 ，且 N Nb ， 小偏心受压； ei 0.3h0 ，且 N Nb 。
Mb e0b Nb
代入并整理得：
h h 2a s ' ' 1 f c b ( b ) ( f y f y )( ) e0b h0 h0 h0 h0 1 f c b ' f y' f y
由上式知，配筋率越小，e0b越小，随钢筋强度降低而降低， 随混凝土强度等级提高而降低，当配筋率取最小值时， e0b取 得最小值，若实际偏心距比该最小值还小，必然为小偏心受压。 不对称配筋时，将最小配筋率及常用的钢筋和混凝土强度代入 上式得到的e0b大致在0.3h0上下波动，平均值为0.3h0 ，因此设 计时，
ct c
C M yc xn Ts=sA
s
Nt
y
l
s cb
b
l
受弯
Nt
e’ e0
e’
e e0
As s
e
x
N
Nu
t
1fc
fy’As’ h0 as fyAs fy’As’ h0 as fyAs
Nt
大偏拉
小偏拉
轴拉
正截面分析
基本假定
（1）截面平均应变符合平截面假定，钢筋与砼无相对滑移；
矩形截面对称配筋偏心受压构件计算曲线分区
ei 0.3，仅从偏心距角度看，可能为大偏压，也 ①Ⅰ、Ⅱ区： h
0
可能为小偏压， N 与 N b 比较应为准确的判断。 ②Ⅲ区：两个判别条件是一致的，故为小偏心受压。 ③Ⅳ区：两个判别条件结论相反，出现这种情况的原因是，虽然轴向压
N 力的偏心距较小，实际应为小偏心受压构件，但由于截面尺寸比较大，
As s
As’fy’ fc h0 e0 N
As s
As’fy’
fc h0 e0 N
As fy
As’fy’
fc h0 e0 N
e0很小 As适中
e0较小
e0较大 As较多
e0较大 As适中
受压破坏（小偏心受压破坏） 接近轴压
受拉破坏（大偏心受压破坏） 接近受弯
界限破坏
小偏心受压破坏
大偏心受压破坏
但与钢筋面积有关，设计时无法根据上述条件判断。
e0b
Nb
界限破坏时:= b，由平衡条件得
Nb 1 fcbh0b f y' As' f y As
f y As 1 f cbh0b f'yA's
h b h0 h ' ' h ' M b N b e0b 1 f c bh0 b ( ) f y As ( as ) f y As ( as ) 2 2 2 2
理想的四边支承薄板
特点：在中面内的边缘均匀压力作用下，板在最初阶段保持 平直。当压力达到某一限值 Pcr 时，薄板突然产生凸曲（屈
曲），由于屈曲后薄板不仅有弯曲，而且还产生了中面的拉
伸和压缩（薄膜张力），板内应力发生重分布，荷载向挠度 较小的边缘部分转移，形成在弯曲状态下的新的平衡。
极限荷载：一般利用屈曲后强度，极限荷载Pmax大于屈曲荷
当外力为保守力系时
（体系的总势能） U（变形势能） W（外力势能）
图2
图3
W Tr (外力的功） U Tr
当体系偏离平衡位置，发生微小移动时
若U Tr , 则原体系处于稳定平衡 。 若U Tr , 则原体系处于不稳定平 衡。
若U Tr , 则原体系处于随遇平衡 ，利用此条件确定临界 荷载。
2
初始缺陷对压杆稳定的影响
实际的构件本身存在不同的初始缺陷，包括力学缺陷和 几何缺陷。
（1）力学缺陷
• 截面各部分屈服点不一致
• 残余应力（钢结构）
（2）几何缺陷 • 初弯曲 • 初偏心
主要影响因素
初弯曲的影响
假设初弯曲形状为正弦半波，跨中最大初挠度为v0， 即：
l 内弯矩： M i EIy
（2）截面受拉区的拉力全部由钢筋承担，不考虑混凝土的抗拉作用； （3）材料本构关系已知； （4）不考虑龄期、环境等影响。
基本公式
变形条件
1/
c s
h0
c
kh0
s
(1 k )h0
平衡方程：
力的平衡 弯矩平衡
轴心受压短柱
Nc
As
h
b
Nc
A
混凝土压碎
钢筋凸出
截面分析的基本方程
载；极限承载力最终取决于受力最大部分的应力达到屈服强 度。
偏心受压构件
特点：从一开始起，构件即产生侧移（产生弯曲变形）。随
着压力的增加，构件的侧移持续增大，由于弯曲变形逐步增
大，跨中截面可能出现部分塑性区，由于塑性变形的产生， 使侧移的增大也越来越快，当压力达到最大值Pmax时，荷载 必须下降才能维持内外力的平衡，即具有极值点和下降段， 称为极值点失稳，亦称第二类失稳。 极限荷载：极限承载力小于屈曲荷载 Pcr ，等于最大荷载 Pmax ，Pmax 称为失稳极限荷载或压溃荷载。
考虑一理想轴压杆，按 随遇平衡法计算构件的分枝
屈曲荷载时取图示脱离体并
建立平衡微分方程。
M i EI y
M e Py
杆件处于临界状态时，内外 弯矩相等，即
EIy Py
令
P k2 得 EI
y k 2 y 0
上式为常系数线形二阶齐次微分方程，其通解为：
y A sin kz B cos kz
切线模量理论、双模量理论、Shanley理论
切线模量理论
假定：当荷载达到Pt构件产生微弯时，其值还略有 增加。增加的平均轴向应力恰好可以抵消截面边缘
由弯曲引起的拉应力，整个截面都处于加载过程中，
因此，切线模量Et通用于全截面。 临界力及临界应力：
Pt
2 Et I
l2 2 Et
t
线发生，这是另一个基本的自然规律。面临弯出去还是缩
短的选择，柱子发现在荷载相当小的时候，缩短比较容易 ；当荷载相当大时，弯出去比较容易。换句话说，当荷载
达到它的临界值时，用弯曲的办法来降低荷载位置比用缩
短的办法更为容易些。”
《建筑结构》萨瓦多里，穆勒
三种平衡状态
图1
（1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。 （2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。 （3）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。
轴心压杆的弹性弯曲屈曲
通常，对于细长柱，在轴向应力超过比例极限之前外荷 载就已经达到临界力，构件始终处在弹性工作范围内，属于
弹性稳定问题。
轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲
对于中长柱和短柱，在外荷载达到临界力之前，轴向应
力将超过材料的比例极限，因此，在确定其屈曲荷载时必须 考虑到非弹性性能。
轴心压杆的弹性弯曲屈曲
A、B为代定常数，由边界条件确定。 边界条件
z 0 得 y 0
B coskz 0
coskz 0
zl 由 y 0
得
B 0
Asin kl 0
A 0
sin kl 0
n 即 kl n （n=1、2、3……），即 k l
当n=1时P最小，即为临界力
x 当 b时，为大偏心受压破坏 h0 x 当 b时，为小偏心受压破坏 h0
N
M
As'
As'
As' 不屈服
受拉破坏
xcb
a s'
' y
y
界限破坏
受压破坏
cu
h0
大、小偏压界限状态的进一步讨论 ei与0.3h0
b即x bh0属于大偏心破坏形态 ＞ b即x > bh0属于小偏心破坏形态
“界限破坏”
破坏特征：破坏时纵向钢筋达到屈服强度，同时压区混凝 土达到极限压应变，混凝土被压碎。同受弯构件的适筋梁 和超筋梁间的界限破坏一样。此时相对受压区高度称为界 限相对受压区高度b。 受压区边缘混凝土极极限应变值。各国取值相差不大， 美国ACI一318—8取0.003；“CEB—FIP一70”和 “DINl045-72„‟取0.0035；我国《规范》根据试验研究取 0.0033. 因此，受压构件的界限相对受压区高度同受弯构件一样。
矩形截面对称配筋偏心受压构件计算曲线