全概率公式与贝叶斯公式_图文.ppt
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1.6 全概率公式与贝叶斯公式
P A1 A2 A1 A2 P A1 A2 P A1 A2
P A1 P A2 | A1 P A1 P A2 | A1 2 1 3 2 2 5 4 5 4 5
Henan Polytechnic University §1.6
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 1
n
全概率公式
Henan Polytechnic University §1.6 全概率公式与贝叶斯公式 10
例：有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票2张有奖票，
乙箱中有4张无奖票1张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张奖
票放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，问最后抽到有奖票
判断到底得了那种疾病 若这 n 种疾病都会导致事件 A {体温异常升高 }发生， 且 A 已发生，则称 P( Bi | A) (i 1, 2, , n) 为后验概率。
① 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算
P Bi | A P ( Bi ) P ( A | Bi )
Bayes公式的重要
2
Henan Polytechnic University
§1.6
全概率公式与贝叶斯公式
16
问题：某人从三个箱子中任选一个箱子，再从中任取一个球， 观察知是红球，则该红球取自1号箱的概率是多少？
1
2
3
Henan Polyte6
全概率公式与贝叶斯公式
17
分析： 设 A={ 取得红球 }, Bi ={ 任取的一箱为 i 号箱 } i 1, 2, 3.
B2
A
B3
Henan Polytechnic University
概率论与数理统计课件 5全概率公式和贝叶斯公式
B3
i 1
P(原因) P(结果 | 原因)
A
Bn
Bn1
2019/3/19
概率论与数理统计
14
设Ai ={第i 个人抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5
则Ai ={第i 个人未抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5 求P(Bi ) ?
2 P( A1 ) 5
P( A2 )=P(A1 )P(A2|A1 ) P( A1 )P( A2|A1 )
A1 A2
2019/3/19
概率论与数理统计
16
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个
复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
B2
B1
A
B3
Bn1
Bn
2019/3/19
概率论与数理统计
17
例1 次品检验问题 箱中装有甲乙丙三个灯泡厂生产的同种型号的
2
S
P( A1 ) 5
A1
A1
PP((AA22)) =P(A2S) =P(A2 A1 A2 A1 )
A2
有限可加性
=P(A2 A1 ) P( A2 A1 )
乘法定理
==PP((AA11))PP((AA22||AA11)) PP((AA11))PP((AA22||AA11))
最简单的全概率公式
2019/3/19
= 1 0.1 1 0.2 1 0.3
2
4
4
=0.175
“执因求果”
2019/3/19
概率论与数理统计
19
已知这个灯泡是次品,现在追究是哪个厂的责任大
甲厂生产 原因: B1 “执果索因” P(Bi | A)
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
由全概率公式得
α = P (B )
= P ( A0 ) P ( B A0 ) + P ( A1 ) P ( B A1 ) + P ( A2 ) P ( B A2 ) = 0.94
1.5.2 贝叶斯公式
(2) 由贝叶斯公式 P ( A0 ) P ( B A0 ) β = P ( A0 B ) = P ( B)
i =1 n
n
n
n
i =1
由假设及乘法公式得到
P ( B ) = ∑ P ( BAi ) = ∑ P ( Ai )P ( B Ai ).
i =1 i =1 n n
利用全概率公式求事件B的概率， 利用全概率公式求事件 的概率，关键是寻求完 的概率 备事件组A1，A2，…，An; 备事件组 ， 寻求完备事件组A 寻求完备事件组 1 ， A2 ， …， An 相当于找导致 ， 事件B发生的所有互不相容的事件 发生的所有互不相容的事件． 事件 发生的所有互不相容的事件．
(1.8)式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式
1.5.2 全概率公式知： 条件概率公式、乘法公式及全概率公式知
P ( BAi ) P ( Ai B ) = P( B)
= P ( B Ai ) P ( Ai )
n
,
j
∑ P( B A )P( A )
下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：
Bayes(贝叶斯 公式 贝叶斯)公式 贝叶斯
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验 的样本空间为Ω ，B为E的事件， 设试验E的样本空间为 的事件， 定理 为 的事件 A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， ， 为完备事件组， ， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则 ， ， ， ， ，
概率 全概公式和贝叶斯定理优选PPT
计算。
容易
一球，问此球是红球的概率？ 在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,
P(ĀB)=P(Ā)P(B/Ā)=0.
=0.
解：设A ——从甲袋放入乙袋的是白球； 13)就称为贝叶斯公式。
求:这颗螺钉由I, II, III号机器生产的1概率各为多少?
A ——从甲袋放入乙袋的是红球； 各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。
由上式不难看出: “全部”概率P(B)可分成许多“部分” 概率 P(AiB) 之和。
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但 总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B 伴随着某个Ai的出现而出现，且每个 P(AiB) 容易计算。可用所有 P(AiB)之和计算P(B)。
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。
P(B)=P(AB)+P(ĀB)=P(A)P(B/A)+P(Ā)P(B/Ā) =0.665+0.24=0.905
定义 :事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样 本空间Ω的一个划分，若满足：
n
(i) Ai ;
i1
(ii)AiAj ,(i j),i, j 1,2,...,n.
… A2 A1
某一事件B的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式。
例6 ：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3 个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球 都是新球的概率。
由Bayes公式:
P(A1
B)=P(A1B)
容易
一球，问此球是红球的概率？ 在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,
P(ĀB)=P(Ā)P(B/Ā)=0.
=0.
解：设A ——从甲袋放入乙袋的是白球； 13)就称为贝叶斯公式。
求:这颗螺钉由I, II, III号机器生产的1概率各为多少?
A ——从甲袋放入乙袋的是红球； 各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。
由上式不难看出: “全部”概率P(B)可分成许多“部分” 概率 P(AiB) 之和。
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但 总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B 伴随着某个Ai的出现而出现，且每个 P(AiB) 容易计算。可用所有 P(AiB)之和计算P(B)。
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。
P(B)=P(AB)+P(ĀB)=P(A)P(B/A)+P(Ā)P(B/Ā) =0.665+0.24=0.905
定义 :事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样 本空间Ω的一个划分，若满足：
n
(i) Ai ;
i1
(ii)AiAj ,(i j),i, j 1,2,...,n.
… A2 A1
某一事件B的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式。
例6 ：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3 个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球 都是新球的概率。
由Bayes公式:
P(A1
B)=P(A1B)
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
全概率公式—叶贝斯公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
P(A1)
0.26
13
例如2：试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个
答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答
案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该
考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起
的概率，则用Bayes公式 即求 PAi B
P ( B1 | A)
0.397.
P ( A)
P ( A)
0.956
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收
为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为
0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
i 1
2. 贝叶斯公式：
设A1 ,A2 ,,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且P ( Ai ) 0 ,
i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P ( B) 0 ,有
P ( Ai B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P(B)
0.475
1
=
19
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
0.26
13
例如2：试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个
答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答
案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该
考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起
的概率，则用Bayes公式 即求 PAi B
P ( B1 | A)
0.397.
P ( A)
P ( A)
0.956
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收
为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为
0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
i 1
2. 贝叶斯公式：
设A1 ,A2 ,,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且P ( Ai ) 0 ,
i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P ( B) 0 ,有
P ( Ai B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P(B)
0.475
1
=
19
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
15全概率与贝叶斯公式(共18张PPT)
|
A2 )
0.75 0.9
0.9
0.75 0.9 0.25 0.3
P(A1), P(A2)通常(tōngcháng)称为验前概率，P(A1|B), P(A2|B)称为验后概率。
第十一页，共十八页。
例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂占35%, 丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%。如果消费者已经买到一个
0.3623
i1
类似(lèi sì)可得 P(A2|B)=0.4058， P(A3|B)=0.2319．
第十二页，共十八页。
例6. 对目标进行(jìnxíng)三次独立射击，设三次命中率分别是0.4，0.5，
0.7．已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是0.2，0.6 和0.8．
求（１）炮击三次击毁目标的概率； （２）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率．
§１.5 全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率(gàilǜ)公式引入 二、全概率公式推导
三、全概率公式应用
四、贝叶斯公式及其应用
第一页，共十八页。
全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率公式(gōngshì)问题引入
引例(yǐn lì)1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
袋任取２个球放入乙袋，再从乙袋任取２球，求从乙袋取出２个白球的 概率．
②设Ａ、Ｂ、Ｃ三车间生产同一种(yī zhǒnɡ)产品，产量各占25％、35％、40％， 次品率分别为5％、4％、6％，现从中任取１件产品，已知取得的是次品，问
它是Ａ、Ｂ、Ｃ车间生产的概率分别是多少？
§16全概率公式与贝叶斯公式_图文
的所有的不同的原因． 根据全概率公式，有
29 P B1 P Ai P B1 Ai . 90 i 1
21
3
(2)问题归结为求 P B1 B2 . 由条件概率的 定义可得
PB B . (1.7) PB PB B PB B 下面我们先求 P B B . 由条件概率的本来
是 B 发生的所 有的不同的原 因
A1 A2
An
B
全概率公式 解决由因索 果问题
原因事件
结果事件
每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率 是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式” 之“全”取为此意.
4
自身努力 A1
原
学习环境良好 A2
学生成 绩好 B
因
教师教学水平高An
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
2
1 2 1 3 1 2
6 5 4 6 2 5 2 6 5 2 1 6 3 . 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 4
9
小结例1.22和例1.23的结果：
3 P A1 P A2 P A3 . 4 ◆从件数一定的正品和次品组成一批产品
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
i 1
n
A1
A2
A3 B A4 A5
A6 Ω A7
A8
2
证
n n B B B Ai Ai B i 1 i 1
分配律 A1B, A2 B,, An B 两 两 不 相 容 ，
同理可得，
29 P B1 P Ai P B1 Ai . 90 i 1
21
3
(2)问题归结为求 P B1 B2 . 由条件概率的 定义可得
PB B . (1.7) PB PB B PB B 下面我们先求 P B B . 由条件概率的本来
是 B 发生的所 有的不同的原 因
A1 A2
An
B
全概率公式 解决由因索 果问题
原因事件
结果事件
每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率 是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式” 之“全”取为此意.
4
自身努力 A1
原
学习环境良好 A2
学生成 绩好 B
因
教师教学水平高An
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
2
1 2 1 3 1 2
6 5 4 6 2 5 2 6 5 2 1 6 3 . 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 4
9
小结例1.22和例1.23的结果：
3 P A1 P A2 P A3 . 4 ◆从件数一定的正品和次品组成一批产品
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
i 1
n
A1
A2
A3 B A4 A5
A6 Ω A7
A8
2
证
n n B B B Ai Ai B i 1 i 1
分配律 A1B, A2 B,, An B 两 两 不 相 容 ，
同理可得，