九年级数学下册第2章二次函数2.5二次函数与一元二次方程课件新版北师大版
方法: (1)先作出y=x²-x-3的图象; (2)写出交点的坐标： （-1.3，0），（2.3，0） (3)得出方程的解： x1=-1.3，x2=2.3.
y
x
用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？
本课小结
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次
方程ax2+bx+c=0的根.
课堂探究
【归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况： 有两个交点、有一个交点、没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当
y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
典例精析
例：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.
y
C．①②③
D．①②③④
答案:D
－1
O
1
3
x
随堂检测
2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点 A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3）， 则点B的坐标为（ ） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
y
A
x=2
B
答案:D
预习反馈
3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点
情况是( C )
A.无交点 C.有两个交点 B.只有一个交点 D.不能确定
预习反馈
4.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( C ) A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26
预习反馈
1.抛物线y x 2 2x 3与x轴的交点个数有( C ) A.0个 B.1个 Ｃ．个 Ｄ． 2 3个 2.关于x的一元二次方程x 2 x n 0没有实数根, 则 抛物线y x 2 x n的顶点在( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
北师大版九年级下册数学
2.5二次函数与一元二次方程
情境导入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？
当b2－4ac≥0时，
x b b 2 4 ac 2a
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
情境导入
2.解下列一元二次方程： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0.
1 b c 0, c 3,
解得
故所求解析式为
预习反馈
5.抛物线y mx 2 3x 3m m 2 经过原点, 则其
1 3 , ) 顶点坐标为 __________ . 2 4 (
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方
程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2.=5
y
0
5
x
课堂探究
我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用 h/m 公式 h=－5t2+v0t +h0 表示， 其中h0 (m)是抛出点距地面 的高度，v0 (m/s)是抛出时 的速度.一个小球从地面被 以40 m/s的速度竖直向上抛 起，小球的高度h (m)与运 动时间t(s)的关系如图所示，
方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
课堂探究
解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个. （2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根. ②x1=x2=1,两个相等实数根.
③没有实数根.
课堂探究
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标
就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
O
x
随堂检测
3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图 所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的 交点坐标为（0，3）． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式. （2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
随堂检测
【解析】（1）由题意得
b 2, c 3,
解：（1）x1=0, x2=-2. （2）x1=x2=1. （3）没有实数根.
本节目标
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间 的联系. 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，
理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两 个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一 个、没有.
随堂检测
1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列 说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1= -1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜ x＜3．其中正确的说法是（ A．① B．①② ）
得h=－5t2+40t. （2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或 t=8s.
课堂探究
二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的
图象如图所示. y
y
y
-3 -2 -1
O
1 -1
x
-1
O
1 2 3
x
-1
O
1 2 3
x
课堂探究
（1）每个图象与x轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？ 解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？ （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次
那么
80 70 60 50 40 30 20 O 1 2 10
3 4 5
6 7
8
t/s
课堂探究
（1）h与t 的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流. 解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）
代入关系式h=－5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40，
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数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系.5 二次函数与一元二次方程(第1课时) 演示文稿
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一 次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标 就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
探究一：
1.函数y＝x2＋4x－5与x轴 的交点坐标 解： 2.函数y＝x2－2x－3的图象 与x轴的交点为 方程x2－2x－3 ＝0的两根是
巩固：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的个交点坐标分别是 A（
X1，0 ），
B（
X2，0 ）
探究二
求二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2
与x轴的交点坐标。
观察判断下列图象哪个有可能是抛 2 x 2 x 3 的图象？ 物线 y
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程的关系
（第1课时）
温故知新
－2 ， 0 ） （1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x= －2
0 （2)一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（2 ，） x= 2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
y y
A.
O x
B.
O
x
y
y
C.
√
D.
x
O
x
O
议一议
2 二次函数 y ax bx c 的图象与x轴的交点有三种 情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况：
有两个交点
有一个交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
北师大版九年级数学下册：.1二次函数和一元二次方程关系课件
例如，已知二次函数y = x2－4x的值为3，求自变量x的值， 可以解一元二次方程x2－4x=3（即x2－4x－3=0）．
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
19
5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
19
5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
北师大版九年级数学下册第二章2.5《二次函数与一元二次方程》教学课件(共6份)
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是:（-1，0）和（4，0）
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有 什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2
1
M
N
0
123
x
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它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流
不至于落在池外？
y/m
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，
∴ OA=3m 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3
A
∴水池的半径至少为3m.
O
x/m
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程 没有应用价值，但它体现了“数形结合”这 一重要的数学思想方法。也启示我们只要善 于观察和思考，就能发现事物之间的各种联 系，去探索科学的奥秘。
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
解法2
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； (2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交 点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解;
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5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有 什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2
1
M
N
0
123
x
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它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流
不至于落在池外？
y/m
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，
∴ OA=3m 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3
A
∴水池的半径至少为3m.
O
x/m
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程 没有应用价值，但它体现了“数形结合”这 一重要的数学思想方法。也启示我们只要善 于观察和思考，就能发现事物之间的各种联 系，去探索科学的奥秘。
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
解法2
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； (2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交 点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解;
2-5 二次函数与一元二次方程-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） 2 + 2 − 8 = 2 ，
2） 2 + 2 − 7 = 6
。
y x 2 2 x 10
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
随堂测试
1．已知二次函数 = − 2 + 2 + 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
− 2 + 2 + = 0的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（
A．b＝﹣3
B．b＝﹣2
C．b＝﹣1
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
D．b＝2
数学（北师大版）
九年级 下册
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） 2 + 2 − 8 = 2 ，
2） 2 + 2 − 7 = 6
。
y x 2 2 x 10
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
随堂测试
1．已知二次函数 = − 2 + 2 + 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
− 2 + 2 + = 0的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（
A．b＝﹣3
B．b＝﹣2
C．b＝﹣1
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
D．b＝2
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第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。
2.5++二次函数与一元二次方程第2课时+课件+++2023--2024学年北师大版九年级数学下册+
A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋ c≥－kx＋m的解集是( D )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
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7 ． 【 数 形 结 合 】 已 知 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx － 1 的 图 象 过
A(2，0)，B(4，5)两点．
的解集？例如，如图①，y＝x2－2x－3的图象与x轴的
两个交点分别是A(－1，0)，B(3，0)．
此时x2－2x－3＝0有两个不相等的实数
根x1＝－1，x2＝3；
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观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点的纵坐标大于 0，此时对应的x的取值范围是x<－1或x>3；所以不等式x2－ 2x－3>0的解集为x<－1或x>3.类比上述内容，相信你一定能 够解决如下的问题： (1)x2－2x－3<0的解集是_－__1_<_x_<_3___．
目录
(4)进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2－2x|＝
1 2
有____4____个实数根；
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y＝－x＋1，根
据 图 象 写 出 方 程 |x2 － 2x| ＝ － x ＋ 1 的 一 个 正 数 根 约 为
__0_._4____．(精确到0.1)
解：如图.
其0<x1<1，
∴ 2＋2 0<－2ba<2＋2 1，∴1<－2ba<32，当－2ba<32时，b>－3a，
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，∴b＝－2a－
1 2
c，
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九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
北师大版九年级数学下2.5.1 ：二次函数与一元二次方程 教学课件 (共16张PPT)
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的实数根 有数根
观察判断下列图象哪个有可能是 抛物线 y x 2 2x 3的图象？
y
y
A.
O
B.
x
O
x
y
C.
O
y
√D.
O
x
x
议一议
二次函数 y ax 2 bx c (a0) 的
图象与x轴的交点与一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a 0)的根有什么关系？
的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什
么关系？
(a 0)
议一议
二次函数 y ax 2 bx c (a0) 的
图象与x轴的交点与一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a 0)的根有什么关系？
二次函数 y ax 2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况： 情况：
图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
x 1 0，x 2 2
与x轴有两个交点： （-2,0）、（0,0）
方程有两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0
的图象与x轴有几个交点？有几个根？
解：(x 1)2 0 x 1 0
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h5t24t0
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程
-5t2+40t=0
t/s
二次函数y x 2 2 x ， y x 2 2 x 1 ， y x 2 2 x 2 的图象如下图所示，与同伴交流并回答问题.
最新北师大版九年级下册数学精品课件-2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程(1)
14．已知点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图 象的顶点坐标． 解：(1)b＝2a (2)由(1)y＝x2－2ax＋2a∴Δ＝4a2－8a＝0，解得a＝0 或2，当a＝0时，y＝x2，顶点为(0，0)，当a＝2时，y＝x2－4x＋4＝(x －2)2，顶点(2，0)
13．如图一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于 点O，A1.将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋 转180°得C3，交x轴于点A3……如此进行下去，直至得C13.若P(37，m) 在第13段抛物线C13上，则m＝2 __ __．
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A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 12．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使函数值为0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2－mx＋m－2(m为实数)的零点 的个数是_2_个______．
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(2)令 y＝0，则 kx2＋(2k＋1)x＋2＝0，∴(x＋2)(kx＋1)＝0，∴x1＝ －2，x2＝－k1.∵k 为正整数，x2＝－k1为整数，∴k＝1.∴y＝x2＋3x＋2， 其图象如图，
∴当 y1＞y2 时，a＜－4 或 a＞1 (3)∵y＝kx2＋(2k＋1)x＋2，∴(x2 ＋2x)k＋x＋2－y＝0，即(x2＋2x)k＝y－x－2.∵此抛物线恒过定点，∴ x2＋2x＝0，且 y－x－2＝0，∴x＝0，y＝2 或 x＝－2，y＝0.故抛物线 y ＝kx2＋(2k＋1)x＋2 恒过定点(0，2)与(－2，0)
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
ax2+c≥kx+m的解集是____．
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.5 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程课件
二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解:当h 60时,得 5t2 40t 60. 解得: x1 2, x2 6.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系 如何?
一般地,当y取定值时,二次函数即为一元二次方程.
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
首页
随堂训练
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线
的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最
多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横 坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
b 2a
15 14 1源自07时,y最大值 4ac b2 4a
225 4.02. 56
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第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
由上抛小球落地的时间想到 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s) 的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的 速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系如图所示,那么：