断裂力学讲义Ch5_2

紧凑拉伸
圆盘型紧凑拉伸
三点弯
五种标准试件
中心裂纹拉伸
弧形拉伸
以三点弯试件为例，深缺口（解释：加载下行为基本与a无关）
q Q U J dq 0 a a q
J
M

0
M M P d 0 d 0 d a a c
J a T
CM 4P2 2 c P 1 CM cr
J c
讨论CM与裂纹扩展的稳定性。
E dJR 撕裂模量 TR 2 决定了裂纹扩展的稳定性。 0 da
J积分理论的不足
J积分路径无关性的一个重要前提是超弹性材料（或形变塑性不 卸载），当裂纹未起裂时，这个条件能严格满足，故J积分断裂 准则是准确和严格的。当含有塑性变形的裂纹扩展时，在裂纹 尾岸有塑性卸载，需意识到再使用J积分断裂准则只是近似，需 要用实验或理论来验证其适用性。
1 n 1
n n 1
0 0
n
J J u u 0 I n 0 0 I n r
其中In仅与n有关, u 是刚体位移。
~ ; n u
•当硬化指数n＝1时，HRR场的奇异性退化为K场奇异性；当n>1时，
R
M c
M
确定e：圆弧假设在-e/2≤y<e/2处
2 R y 2R y x y 2R R
在y=-e/2处
e e / 2 ys x R E 2
2 R ys e E
确定R
确定R：由相似性和量级分析得
R c
2 R ys 2 c ys e E E
J 2
cr
0 a J P dcr da a0 c c
仍以深切口三点弯为例:
J 2 cr ˆ , a d ˆ M cr cr c 0


（1）
假设J是裂纹长度a和cr的状态函数 J J cr , a 那么 其中
dJ J cr J J d cr da cr a a cr
J c
静止裂纹柔度曲线
由此式可以计算裂纹扩展驱动力J积 分随裂纹扩展的变化
【习题5-7】推导并理解杨卫书上公式(2.91)-(2.98) 提示：有的公式有错。需要利用深缺口公式：
2P P c c cr
J控制扩展的稳定性
T E J 2 0 a T
ˆ (2) cr 2 2 ˆ d ˆ d c cr 0 cr cr 0 a c 对于拉伸试件： J

所以
2 J dJ Md cr da c c
c
J 2
cr
a J M d cr da a 0 c c
积分可得
方法一：测试多个不同裂纹长度的试件
为什么这样测量满 足J积分的定义？ 缺点：多根试件， 数据处理麻烦，数 据易分散
方法二：由单根试件来确定J积分 深缺口
a c, R 2r
q Q U J dq 0 a a q
2 q J Qdq c 0
2 J Md c 0
2
c 2
是无量纲函数
~
M c
M M 2c 2 c c
R
M c
M
附：定理（ Buckingham π theorem）
E.Buckinghan,1915
量纲分析中的关键定理（key theorem in dimensional analysis）
线弹性裂尖场（K－T）
平行于
I
T
1 1
T应力控制屈服区的大小和方向，影响裂纹的偏折。
弹塑性幂硬化静止裂纹裂尖场（J－Q）
J 0 0 0 I n r
1 n 1
r ˆ ; n ; n Q J 0
(1)
ˆ , a c 2 ˆ M cr 0 cr
c ba



（2）
a
2 M c
（3）
J (1) cr 2 ˆ ,a M cr 0 a c a cr


(3)

cr
0
ˆ d ˆ 2 0 cr cr

(1,2)
代表JR阻力曲线的无量纲切线模量
附：
J控制扩展
附：
SSY
弹塑性
不同条件下的裂尖 应力场的描述
塑性对于裂尖应力 场的影响
LSY 在弹塑性条件下，当 K控制区消失时，J积 分仍然是合理的
真实的裂纹扩展过程
建立理论模型 十分困难!
裂纹起裂后的弹塑性断裂行为 可以由J控制扩展描述 扩展裂纹与静止裂纹的不同之处在于： （1）塑性变形耗散于扩展裂纹上下两岸，而不是集中于裂纹 尖端区； （2）有弹性卸载区；
a 或 ~ D
材料长度D可在0.5～5mm之间变 化，D较小时易于实现J控制扩展。
R的大小与试件形状有关（紧 凑拉伸和三点弯较合适）
附：

J 0 I r 0 0 n
n n 1
~ ; n
d ?
d J 0 I r 0 0 n
n n 1
da n dJ ; n ; n r n 1 J
比例加载 非比例加载
n ; n cos sin n 1
a x1
证明扩展裂纹的J积分为
q
Q代表对HRR场静水压力的修正，控反映三轴约束。
结构缺陷评定
综合利用前面提到的断裂参数和断裂准则：
（3）不满足比例加载；
（4）具有较弱的奇异性。
难点：弹塑性扩展裂纹的力学描述
什么时候J积分近似有效？—J控制扩展
描述裂纹起裂后的 弹塑性断裂行为
两点要求：
•J控制区远大于弹性卸载区
R a
•J控制区远大于非比例加载区
R D
（参见宏微观断裂力学）
D
D的大小相当于非比例加载区 显然，还要求
设影响某现象的物理量数为n个，这些物理量的基本量纲为m个，则该 物理现象可用k=n-m个独立的无量纲数群（准数）关系式表示。用数学 方式表示为： 设n个物理量之间满足函数关系式：
f X1, X 2 ,
关系式与下列关系式等价：
, Xn 0
其中 ， X1,X2,…,Xn为物理量。共包含有m个基本量纲（m<n） ， 则上述
0
J 2
cr
0
a J P dcr da a0 c c
扩展裂纹的J积分
J 2
cr
0
J控制扩展的稳定性
a J P dcr da a 0 c c
J a T
2 CM 4P 2 c P 1 CM cr
c0初始时断裂发生的试件长度
弹塑性材料（如：金属） C2 J C1 a
J max
c0 Y 15
B, b0
25J Q
Y
JQ J IC
如何测JR阻力曲线？试件一旦起裂按道理J积分的概念就不完全正确 了，但在实际过程中，认为在一些条件下（如裂纹少量扩展和稍后 要讲的J控制扩展情况下），仍可以在实验验证的情况下继续使用。 仍采用深缺口单试件法并采用卸载柔度来确定裂纹长度。 利用卸载柔度计算裂纹长度 在计算J时的假设（解释）
弹塑性材料（如：金属）
单边凹槽（为什么？）
J J el J pl
J el K 2 1 2 E
P a K f B W W
J pl
A pl
BN c0
K
P a f BBNW W
2.0 2 0.522 c0 W
CT SEB
代入
是无量纲常数（解释）
R
M c
c e M ys 4 12
2 2
2
M
2 c ys 4 ys 1 4 3 E 可以记为 M c2
M M 2c 2 c c J
M
c=W-a
R
M c
M
M J d 0 c

为了计算M
2y ys x y e sgn y ys
c /2
for y e 2 for e 2 y c 2
问题转化为 确定e
c 2 e2 M y x y dy ys c /2 4 12

0
M 2 d 0 Md c c
也可以由量纲分析得到 量纲：
J

0
2 M d 0 Md c c
c~L
M ~F
根据定理
2
E, ys ~ F / L2
和无量纲
E M c ys ; ; ys
第五章：J积分和M积分
J积分
HRR场
J积分的实验测量和数值计算 讨论 M积分
HRR场


J 0 I r 0 0 n J 0 I r 0 0 n
1 n 1
~ ; n ~ ; n
F 1, 2 ,
, k 0
an Xn
其中 k=n-m，1, 2,…, k 为无量纲量，F为未知函数关系，且