研究生《数值分析》练习题(1)
研究生数值分析试卷.docx
2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。
工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。
（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。
五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。
七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
2015研究生试题 (1)数值分析
五、（本题满分 15 分）对常微分方程初值问题： dy = f (x, y) dx y(x0 ) = y0
确定下列显式单步法
yn+1
=
yn
+
h[λ1K1
+
λ2K2 ]
K1 K2
= =
f f
(tn , yn ) (tn + ph,
yn
+
phK1 )
中的参数 λ1，λ2，p 使其为二阶方法。
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六、（本题满分 10 分）（从下列两题中选择一道题完成）
1、定义内积：
( f , g) = ∫1 f (x)g(x)dx 0
在φ = span{1, x 2}中求 f (x ) = x 在[0,1]上的最佳平方逼近多项式 p (x ) 。
2、设数据（-1,0），（0,2）（1,3）（2,1）的最小二乘拟合为 y = a + bx2 ，求 a,b 的
值。
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15
作第 1 列的消元后所得的第 2、3 个方程分别为
。
5、设
A
=
1 2
−31 ，则 Cond F ( A) = ______.
6、利用初等旋转变换将向量a = (1, 2,3)T 化为与 e2 = (0,1, 0)T 平行的向量，则所对应
的初等旋转矩阵 H = I - 2v ⋅ vT 中的单位向量 v=_________。
10、n+1 个求积节点的 Gauss 型求积公式的代数精度为_______________。
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二、（本题满分 15 分）分别写出求解下列两个方程的收敛的迭代公式，并说明理由。 （1） x = cos x + sin x ，（2） x = 4 − 2x 3
研究生《数值分析》试卷
研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。
2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。
3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。
4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。
5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。
6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f二，（10分）在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）四，（10分）设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件)()(j j x f x p ==j 0，1，2，3)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式五，（10分）试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰311dx x，并精确到小数点后4位。
六，（10分）利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶七，（10分）设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=证明： 当1)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。
研究生数值分析考试
工科研究生《数值分析》复习练习一．填空（共4分，每空44分）（1）设i x i =（n i ,,2,1,0⋯=）插值结点，)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则()ni i l x ==∑（）,=∑=ni i i x l x 0)(（）.（2）用简单迭代法求方程3()10f x x x =−−=的正实根，迭代格式（）至少是二阶收敛的。
(3)求解非线性方程01=−x xe 的牛顿迭代公式是（）（4）在所有首项系数为1的n 次多项式中，首项系数为1的n 次（）多项式在[-1，1]上与零的平方逼近误差最小。
（5）设211314122A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则1||||A =（），||||A ∞=（）.（6）32()272f x x x =−+，则[1,2,3,4]f =（），[1,1,1]f =（）（7）n 次Chebyshev 多项式在[-1，1]上的零点为（）（8）插值型求积公式0()()nbk k ak A f x f x dx =≈∑∫至少具有（）次代数精度，求积系数之和0nk k A ==∑（）,而Gauss 求积公式至少具有（）次代数精度。
（9）初值问题'24,(0)2,y y x y =−−=，则显式Euler 格式，隐式Euler 格式和梯形格式分别为（），（），（）。
(10)已知数据对),,2,1)(,(n k y x k k ⋯=，用直线c bx ax y ++=2拟合这n 个点，则参数c b a ,,满足的法方程组是（）（11）第一种幂法迭代格式为（）二（10分）求一个次数不高于4次的代数多项式()p x ，使它满足(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1p p p p p =====，并写出其余项表达式。
（利用Newton 插值公式，制作带重节点的差商表）三（10分）证明：区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式()n g x 的零点都是实数，相异的，且全部落在开区间(,)a b内部。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
研究生现代数值分析复习题
计算方法复习题(1）一、 单项选择题(每小题3分,共１5分）1.近似值210450.0⨯的误差限为( )。
A. ０.5 B ． 0.05C ． 0.00５D ． 0．0005.2. 求积公式)2(31)1(34)0(31)(20f f f dx x f ++≈⎰的代数精确度为（ )。
A. 1 Ｂ.２C.3D ． 43. 若实方阵A 满足( )时,则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。
A. 0det ≠A Ｂ． 某个0det ≠k AC. )1,1(0det -=≠n k A kD. ),,1(0det n k A k =≠4．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=531221112A ,则=∞A ( ）。
Ａ. 4B ． 5C. 6 D 95.当实方阵Ａ满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ )。
A. 1+k xB.k k x x 11λ++C. k xD.k k x x 11λ-+二、填空题(每小题３分,共１5分）1． 14159.3=π，具有４位有效数字的近似值为 。
2． 已知近似值21,x x ，则=-∆)(21x x 。
3.已知1)(2-=x x f ,则差商=]3,2,1[f 。
4.雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。
5.改进欧拉法的公式为 。
三、计算题(每小题1２分 ,共60分)１. 求矛盾方程组;⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x的最小二乘解。
2.用列主元法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x3．已知方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131********x x x a a a a （1） 写出雅可比法迭代公式;（2） 证明2<a 时，雅可比法收敛;（3） 取1=a ,初始值T X )1,1,1()0(=,求出)1(X 。
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
研究生数值分析习题
1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。
（即Gauss 型求积公式）2. 已知数值求积公式为311()[(1)4(2)(3)]3f x dx f f f ≈++⎰ ，则其代数精度为______。
3. 数值积分公式1'12()[(1)8(0)(1)]9f x dx f f f -≈-++⎰的代数精度为_________。
4. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。
5. 在Newton-Cotes 求积公式：()()()()nbn i i a i f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。
()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥6. 若用复化梯形公式计算10x e dx ⎰，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用______个求积节点。
7. 对于Gauss 型求积公式31()()()bk k a k f x x dx A f x ρ=≈∑⎰，其中()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。
（A ）该求积公式一定是稳定的； （B ）31()k k k A f x b a ==-∑；（C ）该求积公式的代数精度为5；（D ）2(35)()()0ba x x x x dx ωρ-=⎰ ，其中31()()k k x x x ω==∏-。
8. 0{()}k k x ϕ∞=是区间[0,1]上权函数()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ϕ=，则140()_______x x dx ϕ=⎰。
9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰10. 数值积分公式形如1()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++⎰（1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高； （2）设4()[0,1]f x C ∈，推导余项公式10()()()R x xf x dx S x =-⎰，并估计误差。
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硕士研究生 《数值分析》练习题
一、判断题
1、用Newton 切线法求解非线性线性方程可以任选初值。
（ ）
2、求解非线性线性方程，Newton 切线法比弦截法迭代次数多。
（ ）
3、若n n A R ⨯∈非奇异，用Jacobi 迭代法求解线性方程组Ax b =必收敛。
（ ）
4、Lagrange 插值法与Newton 插值法得到同一个插值多项式。
（ ）
二、填空题
1、近似数 3.14108937a =关
于π具 位有效数字。
2、双点弦截法具有 阶收敛速度。
3、求方程x x e =根的单点弦截法迭代公式是 。
4、设2112A ⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝
⎭
，则()A ρ= 。
5、设,0,1,2,3i x i =是插值基点，,0,1,2,3i l i =是对应的三次Lagrange 插值基函数，则()()3
3012i i i x l =-=∑ 。
6、由下数据表确定的代数插值多项式的不超过 次。
7、若()8754321f x x x x =+-+，则差商[]0,1,2,,8f = 。
8、拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的
直线是y = 。
三、分析与计算题
1、设()14,2,3515T
A x -⎡⎤==-⎢⎥
-⎣⎦
，求∞=,2,1,,p x A p p 和()1A cond 。
2、1001012,20253A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，试计算p
p x
A ,，p=1,2,∞，和1)(A c o n d 。
3、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中
122111221A -⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
4、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中
2-11=11111-2A ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦。
5、已知函数表如下:
⑴ ()111.75ln11.75L ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字； ⑵ ()211.75ln11.75N ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字。
6、已知函数表
如下:
⑴用Lagrange 插值法求ln 0.55的近似值()10.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字；
⑵用Newton
插值法求ln 0.55的近似值()20.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字。
7、已知数据如下，求满足条件的Hermite 插值多项式。
8、求满足条件的Hermite插值多项式。
f x求[0,３]上的三次样条插值函数。
9、已知函数表如下，用三转角法求()
f x在[0,3]上的三次样条插值函数。
10、已知函数表如下，求()
11、试对如下已知数据进行线性拟合。