【数学】宁夏银川唐徕回民中学2018届高三下学期第四次模拟考数学(理)试题
宁夏银川市唐徕回民中学高三数学第四次模拟考试试题
银川唐徕回中2014～2015学年度第二学期高三年级四模考试数学试卷（文科）（考试时间：120分钟；满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2 2．若复数i ia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 6- B. 2- C. 4 D. 63．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2210x x -+≥B ．x R ∃∈，2210x x -+>C ． x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+< 4．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2， 则该几何体的体积为（ ）A ．38 B ．82π- C ．43πD ．283π-5．已知双曲线222211x y a a -=-(0)a >的离心率为2，则a 的值为（ ） A.12B.2 C.13D.3 6．如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的平均数和众数依次为（ ） A. 85，84 B. 84，85 C. 86，84 D.84，867．如图给出的是计算20141614121+⋅⋅⋅+++的值的程序框图， 其中判断框内应填入的是（ ）A ．2013≤i ？B ．2015≤i ？C ．2017≤i ？D ．2019≤i ？8．设m ba==52，且211=+ba ， 则m 等于（ ） A. 10B. 10C. 20D. 1009．已知函数2()sin cos 3(0,0)f x a x x x a ωωωω=+>>的最小正周期为2π，最小值为3()f x 的图像向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为8x π=，则ϕ的值不可能为（ ）A ．524π B ．1324π C ．1724π D ．2324π10．如图过拋物线22(0)=>y px p 的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于 点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为（ ）A ．=2y x 23B =2y x 9 C ．=2y x 29D ．=2y x 311. 已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 12．设21 x 、x 分别是方程1=x xa 和1log =x x a 的根()1a >其中，则212x x +的取值范围是 A ．()+∞,22 B. [)+∞,22 C ．()+∞,3 D ．[)+∞,3二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若)0,2(,53sin παα-∈-=，则=+)45cos(πα 。
银川唐徕回中第二学期高三年级四模考试
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作银川唐徕回中2014～2015学年度第二学期高三年级四模考试数学试卷（理科）（考试时间：120分钟；满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，则复数iiz 325+-=在复平面内表示的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．函数()2212+++=x x x x f 的值域是( ) A ．21(-，)21 B ．-∞(，)21-∪21[，)∞+C ．21[-，]21 D ．[-1，1]3．已知等差数列{}n a 的公差为()0≠d d ，且32131063=+++a a a a ，若8=m a ，则m 的值 为( ) A ．12 B ．8C ．6D ．44．已知样本：108610 1381012 1178 9 11 9 12 9 10 11 12 11那么频率为0.2的范围是( )A ．5.5～ 7.5B ．7.5～ 9.5C ．9.5～ 11.5D ．11.5 ～ 13.55．在()()()5043111x x x ++++++ 的展开式中，3x 的系数为( )A ．351C B ．450CC ．451CD ．447C6．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．316 B. 310C. 4D. 67．设m ，n 是两条不同的直线，βα，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A ．βαβα⊥⇒⊥n m n m ////，，B ．αα⊥⇒⊥n n m m //，C ．βαβα⊥⇒⊂⊂⊥m n n m ，，D ．n m n m m ////⇒=⊂βααβ ，，8. 一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014， 则输出的i 的结果为（ ） A ．3 B. 5C. 6D. 89. 假如清华大学给某市三所重点中学7个自主招生的推荐名额， 则每所中学至少分到一个名额的方法数为（ ） A ．10 B. 15 C. 21 D. 30 10．函数()12sin cos 442f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y 轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为123,,,P P P ，则24P P 等于（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π11．已知F 1、F 2为双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且PF 2⊥F 1F 2，PF 1与y 轴交于点Q ，点M 满足123F M MF =，若MQ ⊥PF 1，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 3C.232+ D.262+ 12. 设10e x <<，记()()()()ln ln ,lg lg ,ln lg ,lg ln a x b x c x d x ====则,,,a b c d 的大小关系( )A. a b c d <<<B. c d a b <<<C. c b d a <<<D. b d c a <<<二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，则= ．14．若各项均为正数的等比数列{n a }满足123a a a =5，789a a a =10，则192021a a a =________．15. 点P(x ，y )在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤+≥130x y y x x 表示的平面区域内，若点P(x ，y )到直线()01>-=k kx y 的最大距离为22，则k = ．16. 已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知A=4π，255cos B =．（I ）求cosC 的值；（Ⅱ）若BC=25，D 为AB 的中点，求CD 的长．18．（本小题满分12分）实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核为优秀，授予20分降分资格。
宁夏银川唐徕回民中学2018届高三下学期第四次模拟考数学(理)试题(含答案)
银川唐徕回民中学2017～2018学年度第二学期高三年级第四次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}2|230,| ||2A x x x B x x =--≥=≤，则A B =A. [-2，-1]B. [-1，2)C. [-1，1]D. [1，2)2．设复数iz -=12，则下列命题中错误的是 A. 2z =B. i z -=1C.z 在复平面上对应的点在第一象限D. z 的虚部为i3．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则13S = A ．58B ．54C ．52D ．564．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为 A ．1-B ．1C ．12-D ．125．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是 源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为 A. 6 B. 7 C. 8D. 96. 已知实数,x y 满足10,0,0,+-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y 则22+x y 的取值范围是A. ()01，B. (]01，C. [)1+∞，D.2+2⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭， 7．一个棱锥的三视图如图（单位：cm ），则该棱锥的表面积是 正视图 侧视图22 2 1A ．426+2cmB ．462+2cm432cm D ．226+2cm8. ABC ∆的三个内角分别为A ,B ,C ，则“=B 3π”是“A ,B ,C 成等差数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大； 丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是 A ．甲是军人，乙是工人，丙是农民 B ．甲是农民，乙是军人，丙是工人 C ．甲是农民，乙是工人，丙是军人 D ．甲是工人，乙是农民，丙是军人10．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻， 则不同的站法有（ ） A ．8种B ．16种C ．32种D ．48种11．已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<．将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的 函数为偶函数，则关于函数()f x ，下列命题正确的是A. 函数()f x 在区间(,)63ππ-上有最小值 B. 函数()f x 在区间(,)63ππ-上单调递增 C. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=D. 函数()f x 的一个对称点为(,0)3π12. 已知抛物线22y px =（0p >）与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）有相同的焦点F ，点A是两条曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的 区间是A ．(0)6π，B ．()32ππ， C. ()43ππ， D ．()64ππ，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算定积分211dx x=⎰__________． 14. 在5()+x m 的展开式中，含2x 项的系数为-10，则实数m 的值为 ．15．已知向量,a b →→的夹角为60，||2a →=，(cos ,sin )()b R ααα→=∈，则|2|a b →→+=_______．16．已知函数()24,1{ 1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为 必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （1）求实数a 的值；（2）设()()()23sin cos g x f x f x x x =⋅-+，若∈x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥． （1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持50岁以下 8000 4000 2000 50岁以上（含50岁）100020003000（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6概率．20．（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，其右焦点到椭圆C 外一点)1,2(P的距离为2，不过原点．．．．O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2． （1）求椭圆C 的方程； （2）求AOB ∆面积S 的最大值.21．（本小题满分12分）设函数()()ln f x x k x =-，（k 为常数），()()x f xx x g 11-=．曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行（1）求k 的值；（2）求()g x 的单调区间和最小值； （3）若ax g a g 1)()(<-对任意0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4―4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知M ， N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明： 22||PM PN +为定值.23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()3f x x x x =--∈R ． （1）求()f x 的最大值m ；（2）设a ，b ，c +∈R ，且234a b c m ++=，求证：1113234a b c++≥． 唐中2017-2018学年第二学期高三年级模拟四数学（理科）答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1-5AD CDC 6-10D A C A B 11-12B B 二、填空题：（每小题5分，共20分）13．ln2 14． -1 15． 32 16．(),5-∞三、解答题17（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =……1分即 ππ22sincos 04422a a -=-=……3分 解得 1a =．……5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =-．()()()23sin cos g x f x f x x x =⋅-+ …………6分 (sin cos )(sin cos )3sin 2x x x x x =---+ …………7分22(cos sin )3sin 2x x x =-+ cos 23sin 2x x =+…8分π2sin(2)6x =+．……9分由0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x π得ππ7π2666x ≤+≤ 当π262x π+=即π6x =时，()g x 取得最大值2， …10分 当π7266x π+=即π2x =时，()g x 取得最小值-1. …………11分 所以()g x 的值域是[]1,2- …………12分18.（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD 得BD PA ⊥， 又BD AC ⊥，PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥，又PC BM ⊥，BDBC B =，∴PC ⊥平面MBD ．…………5分（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥， 不妨设1PA =，则1BC =，3PC =，2PB =，在Rt PBC △中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==， 可得22333PM PC ==，所以6sin 3PM PBM PB ∠==， 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63．…………12分 法2：取A 为原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P （，()1,0,0B ，()1,1,0C ，…………7分由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =-，而()1,0,1PB =-，…………9分∴()()1,0,11,1,16cos ,323PB PC -⋅-<>==⋅，…………11 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63． (12)19（1）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=， 其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人， 所以30200001205000n =⨯=．…………3分 （2）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4人和6人，0ξ=，1，2，3，()36310106C p C ξ===，()1246310112C C p C ξ===，()21463103210C C p C ξ===，()343101330C p C ξ===， ξ1 2 3p161231013011310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 8分（3）总体的平均数为 ()19.48.69.29.68.79.39.08.28.39.7910x =+++++++++=，…………10分 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2，8.3，9.7，所以任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为310．…………12分20．解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为()0,c ，则由题意得()⎪⎩⎪⎨⎧==+-,22,21222ac c 得⎩⎨⎧==,2,1a c 或 ⎩⎨⎧==,23,3a c （舍去）…………4分所以椭圆方程为1222=+y x ． …………5分 (Ⅱ)：因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，直线l 不过原点．．．．O ，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx m =+，由22,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理，得222(12)4220k x kmx m +++-=.设),(11y x A ，),(22y x B ，又2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->,所以122412kmx x k +=-+，21222(1)12m x x k -=+ …………7分因为2||=AB ,所以2))(1(2122=-+x x k ，即4]4))[(1(212122=-++x x x x k所以2222248(1)(1)41212km m k k k ⎡⎤-⎛⎫+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2212(1)1m k =-+， …………9分 因为211k +≥，所以2112m ≤<．又点O 到直线AB 的距离2||1m h k =+，因为1||2S AB h =⋅h =，所以22S h =222(1)m m =-22112()22m =--+ …………11分所以2102S <≤，即S 的最大值为22． …………12分21．解：（Ⅰ）()()ln f x x k x =- '()ln 1f x k x =--,因为曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行 所以'()0f x =, 所以1k = …………4分 （Ⅱ）()()1111ln g x f x x x x x =-=-+，定义域为{}0x x > ()()2211111'x g x f x x x x x x-=-=-+=令()'0g x =得1x =，当x 变化时，()'g x 和()g x 的变化如下表x()0,11()1,+∞'()g x －＋()g x↘↗由上表可知()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，最小值为()10g =。
(解析版)宁夏银川市唐徕回民中学2018届高三下学期第四次模拟考数学(理)试题
银川唐徕回民中学2017～2018学年度第二学期高三年级第四次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则A. [-2，-1]B. [-1，2)C. [-1，1]D. [1，2)【答案】A【解析】分析：化简集合，利用数轴法计算可得.详解：因为，所以：故选A.点睛：集合是每年高考的必考题，属于得分题，一般以小题的形式出现，解题时应注意区别符号，避免混淆出错..2. 设复数，则下列命题中错误的是A. B.C.在复平面上对应的点在第一象限D.的虚部为【答案】D【解析】分析：将复数化简整理得，依次验证A、B、C、D四个选项，可知D错误.详解：，知复数的虚部为1，故选D.点睛：复数问题是高考数学中的常考题型，属于得分题，解题思路通常是通过解方程或者化简等方式将复数整理成的形式，再进行复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数等相关问题的求解.3. 等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【详解】分析：由根与系数关系可得，由等差数列性质可求得，根据等差数列的性质，即可求出结果.详解：由根与系数关系可得，由等差数列性质可求得，根据等差数列的性质.故选C.点睛：本题考查根与系数关系与等差数列的中项性质，当数列为等差数列，利用跟与系数关系中和的关系，当数列为等比数列时，利用根的乘法关系. 4. 已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【详解】分析：由投影公式列出式子，结合两个向量的模、夹角与乘积，即可求出结果. 详解：，则向量在向量方向上的投影为：.故选D.点睛：本题考查投影公式以及向量的数量积和单位向量，注意题目中隐含的单位向量的模为1，同时由于角度与长度都为特殊值，所以本题也可以使用坐标的方式解.5. 我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】分析：执行程序框图，得到输出值，令，可得. 详解：阅读程序框图，初始化数值，循环结果执行如下：第一次：成立，；第二次：成立，；第三次：成立，；第四次：不成立，输出，解得.故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.6. 已知实数满足则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：的意义为可行域内的点与原点的距离，画出可行域，根据几何图像中的距离，结合点到直线的距离公式，即可求出范围.详解：根据题意作出可行域：此区域为开放区域，所以距离可以无限大，由图像可知最近距离为原点到直线的距离，所以由点到直线距离公式可得：最短距离.故选D.点睛：本题考查线性规划中的非线性目标函数，要与几何公式相结合，用几何意义求解，常见的非线性目标函数由距离型，斜率型以及距离平方型.7. 一个棱锥的三视图如图（单位：），则该棱锥的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：由三视图可知该棱锥侧面为两个全等的等腰三角形和一个与另外两个不同的等腰三角形，底面与俯视图轮廓相同.由三视图的边长可得各条棱长，通过棱长求面积即可. 详解：由三视图可将该几何体还原，如图所示为其某方向上的直观图.由三视图的边长，该几何体可分为如下四个三角形：由勾股定理等性质计算得：，，所以四个面的面积分别为2、2、、，所以表面积为，故选A.点睛：三视图题型需将三视图还原，注意各个面之间的位置关系，一般边长要通过勾股定理以及三角形的性质求得，必要时可将立体图形放至长方体中切割得到.8. 的三个内角分别为,,，则“”是“,,成等差数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】分析：由三角形内角和，可列出A、B、C三个角的关系，进而由等差中项的知识判断为等差数列.详解：由，则，所以A、B、C成等差数列，为充分条件，由A、B、C成等差数列，所以，由内角和公式可得，为必要条件.故选C.点睛：本题考查充分必要条件，与三角形内角和以及等差数列的性质结合，根据题意列式即可.9. 已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是A. 甲是军人，乙是工人，丙是农民 B. 甲是农民，乙是军人，丙是工人C. 甲是农民，乙是工人，丙是军人D. 甲是工人，乙是农民，丙是军人【答案】A【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人.本题选择A选项.10. 有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，选出一人排在左侧，有：种方法，另外一人排在右侧，有种方法，余下两人排在余下的两个空，有种方法，综上可得：不同的站法有种.本题选择B选项.11. 已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是（）A. 函数在区间上有最小值B. 函数在区间上单调递增C. 函数的一条对称轴为D. 函数的一个对称点为【答案】B【解析】【详解】分析：求出函数平移后的解析式，由偶函数的性质求出参数，判断最值、单调区间、对称轴、对称中心时需将结论代入原函数，根据的图像与性质判断正确与否. 详解：由题意知平移后的解析式为：，因为此函数为偶函数，所以y轴为其对称轴之一，所以将代入可得，解得：，由的取值范围可得，所以原解析式为，A选项，将区间代入函数，可得，根据图像可知无最值，B选项，将区间代入函数，可得，根据图像知函数单调递增，C选项，将代入函数，可得，所以应为对称中心的横坐标，D选项，将代入函数，可得，所以应为对称轴与x轴交点.故选B.点睛：本题综合考查函数图像的变换以及对称轴、对称中心、单调区间、最值等知识点，需要明确解题思路，注意结合图像解题，会更容易理解.12. 已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以可得p与c之间的关系，因为轴，则点A的坐标可以由抛物线求出，将其代入双曲线方程，再由a、b、c之间的关系，可求出离心率，由离心率公式可得，即斜率的值，由斜率求出倾斜角的范围.详解：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，因为，代入上式可得：，化简得：，两边同时除以得：，解得或（舍），设渐近线斜率为k，由，解得，所以倾斜角应大于，所以区间可能是，故选B.点睛：本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，由焦点与公共点建立系数之间的联系，渐近线斜率与离心率有关，所以由系数求出离心率并求得斜率，与特殊倾斜角的斜率作对比，求出倾斜角取值范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 计算定积分__________．【答案】ln2【解析】由题意结合微积分基本定理可得：.故答案为：．14. 在的展开式中，含项的系数为，则实数的值为______．【答案】-1【解析】【详解】分析：由二项展开式求出该项的表达式，根据系数为-10，即可求出结果.详解：由二项展开式公式可知项为，所以，解得.点睛：本题考查二项式定理，熟练掌握公式，求值即可，要注意区分二项式系数与某项系数的区别.15. 已知向量的夹角为，，，则=_______．【答案】【解析】分析：欲求的值，可先求的值，展开代入可得.详解：由已知，，点睛：本题的核心是通过利用已知向量（向量的坐标、模、夹角）来线性表示求的值，再间接求，本题的易错点在于忘记将的值开平方.16. 已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】分析：由分段函数的分段区间进行分类讨论，当时，易解得只有一个解，则当时也只有一个零点，根据二次函数性质，求出只有一个零点时参数的取值范围.详解：当时，令，解得，所以只有一个解，则时，只有一个解，令，即在时，只有一个解，即函数在此区间内只有一个零点.因为函数对称轴为，且图像开口朝上，所以时函数单调递减，所以根据函数性质，当时，函数值小于0，即，解得：.点睛：本题考查函数零点与方程的解，要熟练掌握零点与解得关系，以及二次函数的有关性质，二次函数中求根的情况要综合考虑对称轴以及单调性，所以简单示意图对解题有非常大的帮助.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17. 已知函数的一个零点是．（1）求实数的值；（2）设，若，求的值域．【答案】(1)a=1;(2).【解析】【详解】分析：（1）令即可求得结果；（2）将原解析式代入，结合二倍角公式、辅助角公式等求得，将x的范围带入解析式，结合三角函数图像的性质即可求出值域.详解：（Ⅰ）解：依题意，得即……3分解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．…8分．由得当即时，取得最大值2，当即时，取得最小值-1.所以的值域是点睛：本题主要考查三角恒等变形及求值域问题，要熟练掌握倍角公式以及辅助角公式，学会通过结合图像，数形结合的方式解题.18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）连接，由线面垂直的性质定理可得，且，故平面，，又，利用线面垂直的判断定理可得平面.（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，设，则，，，结合几何关系计算可得，即直线与平面所成角的正弦值为.法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，结合(1)的结论可得平面得法向量，而，据此计算可得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）连接，由平面，平面得，又，，∴平面，得，又，，∴平面.（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，不妨设，则，，，在中，由射影定理得，可得，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，则，，，由（1）知平面得法向量，而，∴.故直线与平面所成角的正弦值为.19. 针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：岁以下岁以上（含岁）（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人看成一个总体，从这人中任意选取人，求岁以下人数的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过概率．【答案】(1)120;(2)见解析;(3).【解析】试题分析：（1）由题意可知参与调查的总人数为，结合分层抽样的概念计算可得.（2）由题意可知抽取的人中，岁以下与岁以上人数分别为人，人，则，计算相应的概率值有，，，，据此可得分布列，计算相应的期望为.（3）总体的平均数为，则与总体平均数之差的绝对值超过的数有，，，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为.试题解析：（1）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了人，所以.（2）在持“不支持”态度的人中，岁以下及岁以上人数之比为，因此抽取的人中，岁以下与岁以上人数分别为人，人，，，，，，.（3）总体的平均数为，那么与总体平均数之差的绝对值超过的数有，，，所以任取个数与总体平均数之差的绝对值超过的概率为.20. 椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点．．．．的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为．（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【详解】分析：（1）由离心率、两点间距离公式、椭圆系数关系可列方程组，即可求得结果；（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，求得弦长，再求出原点到直线的距离，根据三角形求面积的方法求得面积表达式，由二次函数性质可得三角形面积的最大值.详解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为，则由题意得得或（舍去）所以椭圆方程为．(Ⅱ)：因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，直线不过原．．．点．，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为（），由消去，并整理，得.设，，又,所以，因为,所以，即所以，即，因为，所以．又点到直线的距离，因为，所以所以，即的最大值为．点睛：本题主要考查直线与椭圆关系，掌握基本的解题套路，会用弦长公式及韦达定理，会根据解析式求最值，设直线方程时注意直线的限定条件.21. 设函数，（为常数），．曲线在点处的切线与轴平行（1）求的值；（2）求的单调区间和最小值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)k=1;(2)的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为;(3).【解析】【详解】分析：（1）由曲线切线斜率的性质，令，即可求出k值；（2）给函数求导，球池导函数零点，根据单调性判断的方法，结合定义域，求出单调区间，根据单调性，求出最值；（3）问题为恒成立问题，所以要取最小值，即取最大值时成立即可.详解：（Ⅰ）,因为曲线在点处的切线与轴平行,所以,所以.（Ⅱ），定义域为令得，当变化时，和的变化如下表由上表可知的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为。
2018年宁夏银川市唐徕回民中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
18． （12 分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分 为 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月五种，对于这五种期限的贷 款政府分别补贴 200 元、300 元、300 元、400 元、400 元，从 2016 年享受此 项政策的自主创业人员中抽取了 100 人进行调查统计，选取贷款期限的频数 如表： 贷款期限 频数 6 个月 20 12 个月 40 18 个月 20 24 个月 10 36 个月 10
A．{x|x≥4} ≥4}
3． （5 分）已知函数 f（x）＝ A．[﹣1，+∞） B． （﹣1，+∞）
，则函数 f（x）的值域为（ C．[﹣ ，+∞） D．R ）
）
4． （5 分）下面四个残差图中可反映出回归模型拟合精度较好的为（
A．
B．
C．
D．
5． （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输 出的 M＝（ ）
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 17． （12 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}是等比数列，满足 a1＝3， b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）令 Cn＝ 设数列{cn}的前 n 项和 Tn，求 T2n．
2018 年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个 选项中，选出符合题目要求的一项． 1． （5 分）i 为虚数单位，则 i+i2+i3+i4＝（ A．0 B．i ） D．﹣i
宁夏银川市唐徕回民中学高考数学四模试卷理(含解析)
宁夏银川市唐徕回民中学2015届高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内表示的点位于( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．函数f（x）=的值域是( )A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪D．3．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若a m=8，则m为( ) A．12 B．8 C．6 D．44．已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 78 9 11 9 12 9 10 11 12 11那么频率为0.2的范围是( )A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.55．在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中，x3的系数为( )A．B．C．D．6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为( )A．B．4 C．D．67．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( ) A．m∥α，n⊥β，m∥n⇒α⊥βB．m⊥α，m∥n⇒n⊥αC．m⊥n，n⊂α，m⊂β⇒α⊥βD．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n8．一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x的值为2014，则输出的i的结果为( )A．3 B．5 C．6 D．89．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )A．10 B．15 C．21 D．3010．函数f（x）=2sin（x+）cos（x﹣）﹣在y轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于( )A．πB．2πC．3πD．4π11．已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于点Q，点M满足=3，若MQ⊥PF1，则双曲线C的离心率为( ) A．B．C．D．12．设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d的大小关系( )A．a＜b＜c＜d B．c＜d＜a＜b C．c＜b＜d＜a D．b＜d＜c＜a二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则=__________．14．若各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a19a20a21=__________．15．点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，若点P（x，y）到直线y=kx﹣1（k ＞0）的最大距离为2，则k=__________．16．已知点F为抛物线y2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17．在△ABC中，已知A=，cosB=．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．18．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：A D⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21．已知函数（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；（3）求证：．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．选修4-5：不等式选讲24．设关于x的不等式log2（|x|+|x﹣4|）＞a（1）当a=3时，解这个不等式；（2）若不等式解集为R，求a的取值范围．宁夏银川市唐徕回民中学2015届高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内表示的点位于( ) A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．解答：解：由=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第三象限．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．函数f（x）=的值域是( )A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪D．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先对函数解析式的倒数整理，运用基本不等式确定范围，进而确定f（x）的范围，最后综合得到答案．解答：解：设=，则y==x+1+，当x+1＞0时，x+1+≥2，当x=0时等号成立，此时y≥2，则0＜≤，即0＜f（x）≤，当x+1＜0时，﹣（x+1）﹣≥2，当x=﹣2时取等号，则y≤﹣2，则0＞≥﹣，即﹣≤f（x）＜0，当x=﹣1时f（x）=0，综合知函数的值域为：，故选：C．点评：本题主要考查函数的值域的求法．对于直接不好求的函数解析式可进行转化，例如倒数，有理化，等价转化．3．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若a m=8，则m为( ) A．12 B．8 C．6 D．4考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据a3+a6+a10+a13中各项下标的特点，发现有3+13=6+10=16，优先考虑等差数列的性质去解．解答：解：a3+a6+a10+a13=32即（a3+a13）+（a6+a10）=32，根据等差数列的性质得 2a8+2a8=32，a8=8，∴m=8故选：B．点评：本题考查了等差数列的性质．掌握等差数列的有关性质，在计算时能够减少运算量，凸显问题的趣味性．4．已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 78 9 11 9 12 9 10 11 12 11那么频率为0.2的范围是( )A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5考点：分布的意义和作用．专题：计算题；概率与统计．分析：由频率的意义可知，每小组的频率=小组的频数÷样本容量．要使频率是0.2，频数应等于20×0.2=4．解答：解：∵共20个数据，频率为0.2的频数为20×0.2=4，又∵其中在11.5─13.5之间的有4个，∴频率为0.2的是11.5～13.5．故选D．点评：本题考查频数、频数的概念及计算．公式：频率=频数÷样本总数．5．在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中，x3的系数为( )A．B．C．D．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：由题意可得，含x﹣3项的系数为+++…+，再利用组合数的性质化为，从而得出结论．解答：解：（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中，含x﹣3项的系数为+++…+=，故选：C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的性质，属于中档题．6．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为( )A．B．4 C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( ) A．m∥α，n⊥β，m∥n⇒α⊥β B．m⊥α，m∥n⇒n⊥αC．m⊥n，n⊂α，m⊂β⇒α⊥β D．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若m∥α，n⊥β，m∥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故A正确；若m⊥α，m∥n，则由直线与平面垂直的判定定理知n⊥α，故B正确；若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则由直线与平面平行的性质知m∥n，故D正确．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x的值为2014，则输出的i的结果为( )A．3 B．5 C．6 D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的执行过程，求出输出的结果是什么．解答：解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，输入x：2014，a=x=2014，i=1，b===﹣，b≠x？是，i=1+1=2，a=b=﹣，b==；b≠x？是，i=2+1=3，a=b=，b==2014；b≠x？否，输出i：3；故选：A．点评：本题考查了程序框图的执行情况的问题，解题时应模拟程序框图的执行过程，求出输出结果是什么．9．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )A．10 B．15 C．21 D．30考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，原问题可以转化为将7个名额排成一排，在排除两端的6个空位中，插入挡板，将其分为3组，对应3个学校的组合问题，由组合数公式计算可得答案．解答：解：根据题意，要求将7个名额分给3给学校，且每个学校至少分到一个名额，可以转化为将7个名额排成一排，在排除两端的6个空位中，插入挡板，将其分为3组，对应3个学校的组合问题；则不同的分法有C62=15种；故选B．点评：本题考查组合数公式的应用，关键是将原问题转化为组合问题，用插空法解题．10．函数f（x）=2sin（x+）cos（x﹣）﹣在y轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于( )A．πB．2πC．3πD．4π考点：二倍角的正弦；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，继而令f（x）=0，求得x 的值的集合，进而求得P2和P4，则答案可求．解答：解：f（x）=2sin（x+）cos（x﹣）﹣=2（sinx+cosx）（sinx+cosx）﹣=1+2sinxcosx﹣=sin2x+，令f（x）=0，即sin2x+=0，sin2x=﹣，解得 2x=2kπ﹣，或 2x=2kπ﹣，k∈z，即 x=kπ﹣，或 x=kπ﹣，k∈z．故P1、P2、…、P n…的横坐标分别为、、、、…∴|P2P4|=π．故选A．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生基础知识的综合运用．11．已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于点Q，点M满足=3，若MQ⊥PF1，则双曲线C的离心率为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，由PF2⊥F1F2，可得P，可得直线PF2的方程，即可得出Q．利用点M满足=3，可得M，由MQ⊥PF1，利用=0，化简解出即可．解答：解：如图所示，∵PF2⊥F1F2，∴P，∴直线PF2的方程为：，令x=0，可得y=，∴Q．∵点M满足=3，∴，∴=+=．∵MQ⊥PF1，∴=•==0，∴2a2c2=（c2﹣a2）2，化为e4﹣4e2+1=0，e＞1，解得，∴．故选：D．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d 的大小关系( )A．a＜b＜c＜d B．c＜d＜a＜b C．c＜b＜d＜a D．b＜d＜c＜a考点：对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．专题：计算题．分析：先根据x的范围判定a、b、c、d的符号，然后令x=e2，可比较a与d的大小关系，令x=10，可比较b与c的大小关系，从而得到a、b、c、d的大小关系解答：解：∵e＜x＜10∴lnx＞1，lgx＜1∴a=ln（lnx）＞0，b=lg（lgx）＜0，c=ln（lgx）＜0，d=lg（lnx）＞0，令x=e2，则a=ln2，d=lg2显然a＞d令x=，则b=lg=﹣lg2，c=ln=﹣ln2，显然b＞c所以c＜b＜d＜a故选C．点评：本题主要考查了对数值大小的比较，往往可以利用特殊值进行比较，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则=﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据三角形法则分别将，用，表示出来，根据向量的数量积运算法则计算出结果即可．解答：解：∵∴==∴=又△ABC为边长为1的等边三角形，∴==故答案为：﹣点评：本题主要考查了向量的三角形法则和数量积的运算，属于中档题．14．若各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a19a20a21=40．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知两式相除可得比为q满足q18=2，而所求式子等于a1a2a3（q18）3，代入计算可得．解答：解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，∴q18===2，∴a19a20a21=a1q18a2q18a3q18=a1a2a3（q18）3=5×23=40故答案为：40点评：本题考查等比数列的性质，得出q18=2是解决问题的关键，属基础题．15．点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，若点P（x，y）到直线y=kx﹣1（k ＞0）的最大距离为2，则k=1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到△ABC及其内部，而直线y=kx﹣1经过定点（0，﹣1）是△ABC下方的一点，由此观察图形得到平面区域内的点B（0，3）到直线y=kx﹣1的距离最大．最后根据点到直线距离公式建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）∵直线y=kx﹣1经过定点（0，﹣1），∴△ABC必定在直线y=kx﹣1的上方时，由此结合图形加以观察，得到平面区域内的点B（0，3）到直线y=kx﹣1的距离最大，将直线y=kx﹣1化成一般式，得kx﹣y﹣1=0因此，可得=2，解之即可得到k=±1，∵k＞0，∴k=1故答案为：1；点评：本题给出平面区域内点到直线y=kx﹣1的距离最大值为2 ，求实数k的值，着重考查了点到直线的距离公式和简单线性规划等知识，属于中档题．16．已知点F为抛物线y2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．解答：解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=故答案为：2．点评：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17．在△ABC中，已知A=，cosB=．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．考点：两角和与差的余弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）由cosB的值及B的范围求出sinB的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根据BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB 的唱，再利用余弦定理即可求出CD的长．解答：解：（Ⅰ）∵cosB=且B∈（0，π），∴sinB==，则cosC=cos（π﹣A﹣B）=cos（﹣B）=cos cosB+sin sinB=﹣﹣+﹣=﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC===，由正弦定理得=，即=，解得AB=6，在△BCD中，CD2=BC2+AD2﹣2BC•ADcosB=（2）2+32﹣2×3×2×=5，所以CD=．点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求都没有得优秀的概率，再利用对立事件求出至少有一名考核为优秀的概率；（2）先求出随机变量ξ的值为0，20，40，60，根据概率公式求出P（ξ=0），P（ξ=20），P（ξ=40），P（ξ=60），的概率数值，列出分布列，求出数学期望．解答：解：∵甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，∴甲、乙、丙考核为不优秀的概率分别为、、，（1）根据独立事件同时发生的概率求解方法得出：在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率：1﹣=（2）∵随机变量ξ的值为0，20，40，60∴P（ξ=0）=，P（ξ=20）=×=，P（ξ=40）=××××+×===，P（ξ=60）=××==，分布列为：ξ 0 20 40 60P数学期望为：==点评：本题考查了离散型的概率分布，数学期望，分布列，对立事件，相互独立事件发生的概率，属于中档题．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；（2）建立直角坐标系，设，求出平面AMD、平面AME的一个法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角E﹣AM﹣D的余弦值为，即可得出结论．解答：（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，∴AM=BM=，∴BM⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量，，设平面AME的一个法向量为，取y=1，得，所以，因为求得，所以E为BD的中点．点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义与几何性质，求出它的标准方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S△TRQ是否有最大值即可．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；∵e==①，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，a2﹣b2=c2③；解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为；…4分（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36=0，∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得；∴直线RQ1的方程为y=（x﹣x1）﹣y1，令y=0，得x===，将①②代人上式得x=1；…9分又S△TRQ==|ST|•|y1﹣y2|==18×=18×=18×≤，当3=，即m2=时取得“=”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．点评：本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目．21．已知函数（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；（3）求证：．考点：数列与不等式的综合；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数小于0，即可求f（x）的单调递减区间；（2）由得a＞（x+2）﹣（x+2）ln（x+1），记g（x）=（x+2），确定函数的最值，即可求a的取值范围；（3）先证明，取，即可证得结论．解答：（1）解：当时，（x ＞﹣1）令f′（x）＜0，可得，∴f（x）的单调递减区间为…（2）解：由得a＞（x+2）﹣（x+2）ln（x+1）记g（x）=（x+2），则当x＞0时g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减又g（0）=2•=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（3）证明：由（Ⅱ）知（x＞0）∴取得，即∴…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．解答：证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈∪∴2sin（θ+）∈，可得x+y的取值范围是．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设关于x的不等式log2（|x|+|x﹣4|）＞a（1）当a=3时，解这个不等式；（2）若不等式解集为R，求a的取值范围．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：（1）把a=3代入不等式可得，log2（|x|+|x﹣4|）＞3，结合对数函数的单调性可得|x|+|x ﹣4|＞8，解绝对值不等式即可．（2）结合绝对值不等式|x|+|y|≥|x+y|可得|x|+|x﹣4|=|x|+|4﹣x|≥|x+4﹣x|=4，从而可得a的取值范围解答：解：（1）a=3，log2（|x|+|x﹣4|）＞3⇒log2（|x|+|x﹣4|）＞log28∴|x|+|x﹣4|＞8当x≥4x+x﹣4＞8得：x＞6当0＜x＜4x+4﹣x＞8不成立当x≤0﹣x+4﹣x＞8得：x＜﹣2∴不等式解集为x|x＜﹣2或x＞6（2）|x|+|x﹣4|≥|x+4﹣x|=4∴log2（|x|+|x﹣4|）≥log24=2∴若原不等式解集为R，则a＜2点评：本题主要考查了对数函数的单调性及绝对值不等式的解法，绝对值不等式|x|+|y|≥|x+y|的应用，不等式f（x）＞a恒成立⇔a＜f（x）min．- 21 -。
2018届宁夏银川市唐徕回民中学高三下学期期中考试(三
银川唐徕回民中学2018～2018学年度第二学期第三次模拟考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x ∈R| |x |≤2 }，B ＝{x ∈R|x ≤1}，则A ∩B 等于( )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]2. 如图，在复平面内，复数12,Z Z 对应的向量分别是,,OA OB 则12||Z Z +=（ ） A ．2 B.3 C.22D.3．已知双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是 y =，它的一个焦点在抛物线 248y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ．22110836x y -= B ．221927x y -= C ．22136108x y -=D ．221279x y -=4. 已知向量)3sin(,),3cos ,1(),1),6(sin(πααπα+⊥-=+=则若b a b a 等于（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-35. 已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（ ） A ．1 B. 2 C. 1- D. 2-6．设不等式组0x y x y y ⎧+⎪⎪-≥⎨⎪≥⎪⎩M，函数y =的图象与x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为（ ）A. 2πB. 4πC.8π D. 16π7. 下列说法正确的是（ ）A. “0x <”是“ln(1)0x +<”的充要条件B. “2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“2,x ∃<2320x x -+<”C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60D. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为0.88．函数()()sin 002f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭其中，，的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象( )A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位9． 执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤910. 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（ ）A ．3B ．25 C ．2D ．2711．过点（1，1）的直线与圆224640x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为（ ） A.B.4C.D.512. 已知函数，，，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10621100|lg |)(x x x x x f 若函数92)(2)(2-+-=b x bf x f y 有6个零点，则b 的取值 范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛31,9297,32 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞31,,32C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3231,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛97,92二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 平面向量a 与b的夹角为60°，a =(2,0)，|b |=1，则|a +2b|＝14. 设212a xdx =⎰，则61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为15. △ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且cos A =，BC=1，AC=3，三棱锥O- ABC 的体积为O 的表面积为__________。
2018年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学四模试卷(理科)
2018年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x|x2−2x−3≥0}，B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（）A.[−2, −1]B.[−1, 2)C.[−1, 1]D.[1, 2)【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】A＝{x|x≤−1, 或x≥3}，B＝{x|−2≤x≤2}；∴A∩B＝[−2, −1]．2. 设复数z=21−i，则下列命题中错误的是（）A.|z|=√2B.z=1−iC.z的虚部为iD.z在复平面上对应的点在第一象限【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一判断四个选项得答案．【解答】∵z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i2=1+i，∴|z|=√2，z=1−i，z的虚部为1，z在复平面上对应的点的坐标为(1, 1)，在第一象限．∴命题错误的是C．3. 等差数列{a n}前n项和为S n，若a4，a10是方程x2−8x+1=0的两根，则S13=()A.58B.54C.56D.52【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】可得a4+a10=8，结合{a n}为等差数列，即可求得结论．【解答】∵a4，a10是方程x2−8x+1=0的两根，∴ a 4+a 10=8， ∴ a 4+a 10=2a 7=8 ∴ S 13=13a 7=52，4. 已知两个单位向量a →和b →的夹角为60∘，则向量a →−b →在向量a →方向上的投影为（ ） A.−1B.1C.−12D.12【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可得a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos60∘=12，a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b =1−12=12，则向量a →−b →在向量a →方向上的投影为(a →−b →)⋅a →|a →|=121=12．故选D ．5. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =2（单位：升），则输入k 的值为（ ）A.6B.7C.8D.9 【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n ，S 的值，当n =4时，不满足条件n <4，退出循环，输出S 的值为2，即可解得k 的值．【解答】模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n<4，执行循环体，n=2，S=k2，满足条件n<4，执行循环体，n=3，S=k3，满足条件n<4，执行循环体，n=4，S=k4，此时，不满足条件n<4，退出循环，输出S的值为k4，由题意可得：k4=2，解得：k=8．6. 已知实数x，y满足{x+y−1≥0x≥0y≥0，则√x2+y2的取值范围是（）A.(0, 1)B.(0, 1]C.[1, +∞)D.[√22,+∞)【答案】D【考点】简单线性规划【解析】先画出可行域，利用目标函数几何意义转化求解即可．【解答】实数x，y满足{x+y−1≥0 x≥0y≥0表示的可行域如图：√x2+y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，可知P到原点的距离最小，即√2=√22．则√x2+y2的取值范围是：[√22, +∞)．7. 一个棱锥的三视图如图（单位：cm），则该棱锥的表面积是（）A.4+2√6cm2B.4+6√2cm2cm2 D.2+2√6cm2C.43【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】几何体为三棱锥，根据三视图数据计算各面面积即可．【解答】由三视图可知几何体为三棱锥P−ABC，其中P在底面ABC上的射影M为AB的中点，由三视图可知PM=CM=AB=2，∴S△PAB=S△ABC=1×2×2=2，2由勾股定理可得：AC=BC=√5，PB=PA=√5，PC=2√2，∴S△PAC=S△PBC=1×2√2×√3=√6，2∴三棱锥的表面积为S=4+2√6．8. △ABC的三个内角分别为A，B，C，则“B=π”是“A，B，C成等差数列”的（）3A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】A，B，C成等差数列⇔2B=A+C，A+B+C=π⇔B=π，即可判断出结论．3【解答】A，B，C成等差数列⇔2B=A+C，A+B+C=π⇔B=π，3∴ “B=π”是“A，B，C成等差数列”的充要条件．39. 已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（）A.甲是军人，乙是工人，丙是农民B.甲是农民，乙是军人，丙是工人C.甲是农民，乙是工人，丙是军人D.甲是工人，乙是农民，丙是军人【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】推导出乙是工人，且乙的年龄比甲的年龄小，比农民的年龄大，得到甲不是农民，从而甲是军人，乙是工人，丙是农民．【解答】由乙的年龄比农民的年龄大，得乙不是农民；由丙的年龄和工人的年龄不同，得到丙不是工人；由工人的年龄比甲的年龄小，得到甲不是工人．从而得到乙是工人，由乙的年龄比甲的年龄小，比农民的年龄大，得到甲不是农民，从而甲是军人，乙是工人，丙是农民．10. 有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（）A.8种B.16种C.32种D.48种【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，选出一人排在左侧，有C21A21种方法，另外一人排在右侧，有A21种方法，余下两人排在余下的两个空，有A22种方法，综上可得，不同的站法有C21A21A21A22=16种．故选B．11. 已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)．将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数f(x)，下列命题正确的是（）A.函数f(x)在区间(−π6,π3)上有最小值B.函数f(x)的一条对称轴为x=π12C.函数f(x)在区间(−π6,π3)上单调递增D.函数f(x)的一个对称点为(π3,0)【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【解答】将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到y=sin[2(x+π3)+φ]=sin(2x+2π3+φ)，此时函数为偶函数，则2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=−π6+kπ，k∈Z，∵−π<φ<0，∴当k=0时，φ=−π6，则f(x)=sin(2x−π6)，当−π6<x<π3时，−π3<2x<2π3，−π2<2x−π6<π2，则此时函数f(x)在区间(−π6,π3)上单调递增，且f(x)在区间(−π6,π3)上没有最小值，故C正确，12. 已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2−y2b2=1，(a>0, b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A.(0,π6) B.(π6,π4) C.(π4,π3) D.(π3,π2)【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标；将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角的范围．【解答】抛物线的焦点坐标为(p2, 0)；双曲线的焦点坐标为(c, 0)所以p=2c∵点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A(c, b2 a )将A的坐标代入抛物线方程得到b4a2=2pc4a4+4a2b2−b4=0解得ba=√2+2√2∵双曲线的渐近线的方程为y=±bax设倾斜角为α则tanα=b a=√2+2√2>√3∴ α>π3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 定积分∫211x dx =________．【答案】 ln2【考点】微积分基本定理 定积分 【解析】直接根据定积分的计算法则计算即可． 【解答】 ∫211xdx =lnx|12=ln2，在(x +m)5的展开式中，含x 2项的系数为−10，则实数m 的值为________． 【答案】 −1【考点】二项式定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由二项展开式的通项可知，含x 2的项为C 53x 2m 3，则C 53m 3=−10， 解得m =−1． 故答案为：−1．已知向量a →，b →的夹角为60∘，|a →|=2，b →=(cosα, sinα)(α∈R)，则|a →+2b →|=________．【答案】 2√3【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】可求出|b →|=1，并且|a →|=2,<a →,b →>=60，这样进行数量积的运算即可求出(a →+2b →)2的值，从而得出|a →+2b →|的值．【解答】|b →|=√cos 2α+sin 2α=1，<a →,b →>=60，|a →|=2；∴ (a →+2b →)2=a →2+4|a →||b →|cos60+4b →2=4+4+4=12； ∴ |a →+2b →|=2√3．已知函数f(x)={x 2−4x +a,x <1lnx +1,x ≥1 ，若方程f(x)=2有两个解，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (−∞, 5) 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】利用分段函数，求出x ≥1时的零点，然后求解x <1时的零点，推出结果即可． 【解答】函数f(x)={x 2−4x +a,x <1lnx +1,x ≥1， 当x ≥1时，方程f(x)=2，可得lnx +1=2，解得x =e ，函数由一个零点， x <1时，函数只有一个零点，即x 2−4x +a =2，在x <1时只有一个解．因为y =x 2−4x +a −2开口向上，对称轴为：x =2，x <1时，函数是减函数，所以f(1)<2，可得：−3+a <2，解得a <5． 故答案为：(−∞, 5)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．已知函数f(x)=sinx −acosx 的一个零点是π4． (1)求实数a 的值；(2)设g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx ，若x ∈[0,π2]，求g(x)的值域． 【答案】(1)依题意，得f(π4)=0， 即 sin π4−acos π4=√22−√2a2=0，解得 a =1．(2)由(1)得 f(x)=sinx −cosx ． g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx −cosx)(−sinx −cosx)+√3sin2x =(cos 2x −sin 2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x=2sin(2x+π6)．由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1, 2]．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值函数零点的判定定理【解析】(1)根据f(π4)=0计算a的值；(2)化简f(x)的解析式，再根据这些函数的单调性得出g(x)的最值即可．【解答】(1)依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1．(2)由(1)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1, 2]．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M是PC上一点，且BM⊥PC．（1）证：PC⊥平面MBD；（2）直线PB与平面MBD所成角的正弦值．【答案】连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得BD ⊥PA ， 又BD ⊥AC ，PA ∩AC =A ，∴ BD ⊥平面PAC ，得PC ⊥BD ， 又PC ⊥BM ，BD ∩BC =B ， ∴ PC ⊥平面MBD ．解法1：由(1)知PC ⊥平面MBD ，即∠PBM 是直线PB 与平面MBD 所成角， 由题意得PB ⊥BC ，而BM ⊥PC ，设PA =1，则BC =1，PC =√3，PB =√2，在Rt △PBC 中，由射影定理得PM:MC =PB 2:BC 2=2:1， 可得PM =23PC =2√33，所以sin∠PBM =PM PB =√63， 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为√63．解法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A −xyz ， 设PA =AB =1，则P(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)， 由(2)知平面MBD 得法向量PC →=(1,1,−1)， PB →=(1,0,−1)， ∴ cos <PB →,PC →>=√2∗√3=√63． 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为√63．【考点】直线与平面垂直直线与平面所成的角 【解析】(1)连接AC ，推导出BD ⊥PABD ⊥AC ，从而BD ⊥平面PAC ，进而PC ⊥BD ，再由PC ⊥BM ，能证明PC ⊥平面MBD ．(2)法1：由PC ⊥平面MBD ，得∠PBM 是直线PB 与平面MBD 所成角，由PB ⊥BC ，BM ⊥PC ，能求出直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值．法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A −xyz ，利用向量法能求出直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值． 【解答】连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得BD ⊥PA ， 又BD ⊥AC ，PA ∩AC =A ，∴ BD ⊥平面PAC ，得PC ⊥BD ， 又PC ⊥BM ，BD ∩BC =B ， ∴ PC ⊥平面MBD ．解法1：由(1)知PC ⊥平面MBD ，即∠PBM 是直线PB 与平面MBD 所成角， 由题意得PB ⊥BC ，而BM ⊥PC ，设PA =1，则BC =1，PC =√3，PB =√2，在Rt △PBC 中，由射影定理得PM:MC =PB 2:BC 2=2:1， 可得PM =23PC =2√33，所以sin∠PBM =PM PB =√63， 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为√63．解法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A −xyz ， 设PA =AB =1，则P(0, 0, 1)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)， 由(2)知平面MBD 得法向量PC →=(1,1,−1)， PB →=(1,0,−1)， ∴ cos <PB →,PC →>=√2∗√3=√63． 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为√63．针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6概率．【答案】参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000，其中从持“不支持”态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=20000×305000=120．在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，∴抽取的10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4人，6人，ξ=0，1，2，3，p(ξ=0)=C63C103=16，p(ξ=1)=C41C62C103=12，p(ξ=2)=C42C61C103=310，p(ξ=3)=C43C103=130，∴ξ的分布列为：Eξ=0×16+1×12+2×310+3×130=1.2．总体的平均数为x=110(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2+8.3+9.7)=9，那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2，8.3，9.7，∴任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为310．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n．（2）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，抽取的10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4人，6人，ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（3）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2，8.3，9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．【解答】参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000，其中从持“不支持”态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=20000×305000=120．在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，∴抽取的10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4人，6人，ξ=0，1，2，3，p(ξ=0)=C63C103=16，p(ξ=1)=C41C62C103=12，p(ξ=2)=C42C61C103=310，p(ξ=3)=C43C103=130，∴ξ的分布列为：Eξ=0×16+1×12+2×310+3×130=1.2．总体的平均数为x=110(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2+8.3+9.7)=9，那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2，8.3，9.7，∴任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为310．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其右焦点到椭圆C外一点P(2, 1)的距离为√2，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB的长度为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求△AOB面积S的最大值．【答案】(Ⅰ)设椭圆右焦点为(c, 0)，则由题意得{√(c −2)2+12=√2c a=√22得{c =1a =√2 或 {c =3a =3√2（舍去）， 所以椭圆方程为x 22+y 2=(1)(Ⅱ)因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A 、O 、B 能构成三角形，直线l 不过原点O ，则弦AB 与x 垂直，故可设直线AB 程为y =kx +m ，由{y =kx +mx 22+y 2=1 消去y ，并整理，得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，又△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)>0， 所以x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2(m 2−1)1+2k 2，因为|AB|=2，所以√1+k 2⋅√(x 2−x 1)2=2，即(1+k 2)[(x 2+x 1)2−4x 1x 2]=4， 所以(1+k 2)[(−4m1+2k 2)2−8(m 2−1)1+2k 2]=4，即11+k 2=2(1−m 2)，因为1+k 2≥1，所以12≤m 2<(1) 又点O 到直线AB 的距离ℎ=√1+k2，因为S =12|AB|⋅ℎ=ℎ， 所以S 2=ℎ2=2m 2(1−m 2)=−2(m 2−12)2+12，所以0<S 2≤12，即S 的最大值为√22．【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据题意列方程组求出a ，c 得出椭圆方程；(Ⅱ)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，设直线AB 程为y =kx +m ，与椭圆方程联立方程组，根据根于系数的关系和弦长公式得出11+k 2=2(1−m 2)，及O 到AB 的距离ℎ， 根据三角形的面积表达式，从而得出面积取得最大值 【解答】(Ⅰ)设椭圆右焦点为(c, 0)，则由题意得{√(c −2)2+12=√2c a=√22得{c =1a =√2 或 {c =3a =3√2（舍去）， 所以椭圆方程为x 22+y 2=(1)(Ⅱ)因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A 、O 、B 能构成三角形，直线l 不过原点O ，则弦AB 与x 垂直，故可设直线AB 程为y =kx +m ，由{y =kx +mx 22+y 2=1 消去y ，并整理，得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，又△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)>0， 所以x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2(m 2−1)1+2k 2，因为|AB|=2，所以√1+k2⋅√(x2−x1)2=2，即(1+k2)[(x2+x1)2−4x1x2]=4，所以(1+k2)[(−4m1+2k2)2−8(m2−1)1+2k2]=4，即11+k2=2(1−m2)，因为1+k2≥1，所以12≤m2<(1)又点O到直线AB的距离ℎ=√1+k2，因为S=12|AB|⋅ℎ=ℎ，所以S2=ℎ2=2m2(1−m2)=−2(m2−12)2+12，所以0<S2≤12，即S的最大值为√22．设函数f(x)=x(k−ln x)，（k为常数），g(x)=1x −1xf(x)．曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求g(x)的单调区间和最小值；（3）若g(x)−g(x)<1a对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）因为f(x)=x(k−ln x)，所以f′(x)=k−ln x−1，因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)=0，所以k=1．（2）因为g(x)=1x −1xf(x)=1x−1+ln x，定义域为{x|x>0}，所以g′(x)=−1x2+1 x =x−1x2，令g′(x)=0得x=1，当x变化时，g′(x)和g(x)的变化如下表x(0,1)1(1,+∞)g′(x)−0+g(x)↘0↗由上表可知，g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，最小值为g(1)= 0．（3）若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0恒成立，则g(a)−g(x)min <1a ，即lna <1，解得0<a <e ．则实数a 的取值范围为(0,e)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 【解答】 解：（1）因为f(x)=x(k −ln x)，所以f ′(x)=k −ln x −1，因为曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)=0，所以k =1．（2）因为g(x)=1x −1x f(x)=1x −1+ln x ，定义域为{x|x >0}， 所以g ′(x)=−1x 2+1x=x−1x 2，令g ′(x)=0得x =1，当x 变化时，g ′(x)和g(x)的变化如下表 x (0,1) 1 (1,+∞) g ′(x) − 0 + g(x) ↘ 0 ↗由上表可知，g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，最小值为g(1)=0．（3）若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0恒成立，则g(a)−g(x)min <1a ，即lna <1，解得0<a <e ．则实数a 的取值范围为(0,e)．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为x 2+y 2=4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos2θ=1． （1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：|PM|2+|PN|2为定值． 【答案】圆O 的参数方程为{x =2cosαy =2cosα，（α为参数），由ρ2cos2θ=1得：ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=1，即ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1． 证明：由（1）知M(−1, 0)，N(1, 0)， 可设P(2cosα, 2sinα)，所以|PM|2+|PN|2=(2cosα+1)2+(2sinα)2+(2cosα−1)2+(2sinα)2， =5+4cosα+5−4cosα=10， 所以|PM|2+|PN|2为定值10． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程和直角坐标方程进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换求出定值． 【解答】圆O 的参数方程为{x =2cosαy =2cosα，（α为参数），由ρ2cos2θ=1得：ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=1，即ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1． 证明：由（1）知M(−1, 0)，N(1, 0)， 可设P(2cosα, 2sinα)，所以|PM|2+|PN|2=(2cosα+1)2+(2sinα)2+(2cosα−1)2+(2sinα)2， =5+4cosα+5−4cosα=10， 所以|PM|2+|PN|2为定值10． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x|−|x −3|(x ∈R)． （1）求f(x)的最大值m ；（2）设a ，b ，c ∈R +，且2a +3b +4c =m ，求证：12a +13b +14c ≥3． 【答案】法1：由f(x)={−3,x ≤02x −3,0<x <33,x ≥3知f(x)∈[−3, 3]，即m =3．法2：由三角不等式f(x)=|x|−|x −3|≤|x −x +3|=3得，即m =3．法3：由绝对值不等式的几何意义知f(x)=|x|−|x −3|∈[−3, 3](x ∈R)，即m =3． 法1：∵ 2a +3b +4c =3(a, b, c >0)， ∴12a+13b+14c=13(2a +3b +4c)(12a+13b+14c)=13[3+(2a 3b+3b 2a)+(2a 4c+4c 2a)+(3b 4c+4c 3b)]≥3．当且仅当2a =3b =4c ，即a =12，b =13，c =14时取等号， 即12a +13b +14c ≥3．法2：∵ 2a +3b +4c =3(a, b, c >0)， ∴ 由柯西不等式得3=√2a ⋅√2a √3b √3b+√4c √4c≤√2a +3b +4c ⋅√12a+13b +14c ， 整理得12a +13b +14c ≥3，当且仅当2a =3b =4c ，即a =12，b =13，c =14时取等号．【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）法一：求出f(x)的分段函数的形式，求出f(x)的范围，求出m 的值即可；法二：根据三角不等式的性质求出m 的值即可； 法三：由绝对值不等式的几何意义求出m 的值即可；（2）法一：根据基本不等式的性质证明即可；法二：根据柯西不等式的性质证明即可． 【解答】法1：由f(x)={−3,x ≤02x −3,0<x <33,x ≥3知f(x)∈[−3, 3]，即m =3．法2：由三角不等式f(x)=|x|−|x −3|≤|x −x +3|=3得，即m =3．法3：由绝对值不等式的几何意义知f(x)=|x|−|x −3|∈[−3, 3](x ∈R)，即m =3． 法1：∵ 2a +3b +4c =3(a, b, c >0)，∴ 12a +13b +14c =13(2a +3b +4c)(12a +13b +14c )=13[3+(2a3b +3b2a )+(2a4c +4c2a )+(3b4c +4c 3b)]≥3．当且仅当2a =3b =4c ，即a =12，b =13，c =14时取等号， 即12a +13b +14c ≥3．法2：∵ 2a +3b +4c =3(a, b, c >0)，∴ 由柯西不等式得3=√2a ⋅√2a √3b √3b +√4c √4c≤√2a +3b +4c ⋅√12a+13b +14c ， 整理得12a +13b +14c ≥3，当且仅当2a =3b =4c ，即a =12，b =13，c =14时取等号．。
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银川唐徕回民中学2017～2018学年度第二学期高三年级第四次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}2|230,| ||2A x x x B x x =--≥=≤，则A B = A. [-2，-1] B. [-1，2) C. [-1，1] D. [1，2)2．设复数iz -=12，则下列命题中错误的是 A. 2z =B. i z -=1C.z 在复平面上对应的点在第一象限D. z 的虚部为i3．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则13S = A ．58B ．54C ．52D ．564．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为 A ．1-B ．1C ．12-D ．125．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是 源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为 A. 6 B. 7 C. 8D. 96. 已知实数,x y 满足10,0,0,+-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y的取值范围是A. ()01，B. (]01，C. [)1+∞，D. +⎫∞⎪⎪⎭7．一个棱锥的三视图如图（单位：cm ），则该棱锥的表面积是A ．4+2cmB ．4+2cm432cm D ．2+2cm8. ABC ∆的三个内角分别为A ,B ,C ，则“=B 3π”是“A ,B ,C 成等差数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是 A ．甲是军人，乙是工人，丙是农民 B ．甲是农民，乙是军人，丙是工人 C ．甲是农民，乙是工人，丙是军人 D ．甲是工人，乙是农民，丙是军人 10．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ） A ．8种B ．16种C ．32种D ．48种11．已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<．将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数()f x ，下列命题正确的是A. 函数()f x 在区间(,)63ππ-上有最小值 B. 函数()f x 在区间(,)63ππ-上单调递增C. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=D. 函数()f x 的一个对称点为(,0)3π12. 已知抛物线22y px =（0p >）与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）有相同的焦点F ，点A是两条曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的 区间是俯视图侧视图(7题图)A ．(0)6π，B ．()32ππ， C. ()43ππ， D ．()64ππ，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算定积分211dx x=⎰__________． 14. 在5()+x m 的展开式中，含2x 项的系数为-10，则实数m 的值为 ．15．已知向量,a b →→的夹角为60，||2a →=，(cos ,sin )()b R ααα→=∈，则|2|a b →→+=_______．16．已知函数()24,1{ 1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （1）求实数a 的值；（2）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，若∈x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥． （1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和 “不支持”态度的人数如下表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6概率．20．（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，其右焦点到椭圆C 外一点)1,2(P 的距离为2，不过原点．．．．O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2．（1）求椭圆C 的方程； （2）求AOB ∆面积S 的最大值.21．（本小题满分12分）设函数()()ln f x x k x =-，（k 为常数），()()x f xx x g 11-=．曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行 （1）求k 的值；（2）求()g x 的单调区间和最小值； （3）若ax g a g 1)()(<-对任意0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4―4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知M ， N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：22||PM PN +为定值.23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()3f x x x x =--∈R ． （1）求()f x 的最大值m ；（2）设a ，b ，c +∈R ，且234a b c m ++=，求证：1113234a b c++≥． 唐中2017-2018学年第二学期高三年级模拟四数学（理科）答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1-5AD CDC 6-10D A C A B 11-12B B 二、填空题：（每小题5分，共20分）13．ln2 14． -1 15． 32 16．(),5-∞三、解答题17（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =……1分即 ππsincos 04422a -=-=……3分 解得 1a =．……5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =-．()()()cos g x f x f x x x =⋅-+ …………6分(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- …………7分22(cos sin )2x x x =- cos22x x =…8分π2sin(2)6x =+．……9分由0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x π得ππ7π2666x ≤+≤ 当π262x π+=即π6x =时，()g x 取得最大值2， …10分当π7266x π+=即π2x =时，()g x 取得最小值-1. …………11分 所以()g x 的值域是[]1,2- …………12分18.（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD 得BD PA ⊥， 又BD AC ⊥，PA AC A = ，∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥， 又PC BM ⊥，BD BC B = ，∴PC ⊥平面MBD ．…………5分 （2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥， 不妨设1PA =，则1BC =，PC =，PB =在Rt PBC △中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得23PM PC ==，所以sin PM PBM PB ∠==， 故直线PB 与平面MBD．…………12分 法2：取A 为原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P （，()1,0,0B ，()1,1,0C ，…………7分由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =- ，而()1,0,1PB =-，…………9分 ∴cos ,PB PC <>==， (11)故直线PB 与平面MBD ． (12)19（1）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=， 其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人， 所以30200001205000n =⨯=．…………3分 （2）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2:3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4人和6人，0ξ=，1，2，3，()36310106C p C ξ===，()1246310112C C p C ξ===，()21463103210C C p C ξ===，()343101330C p C ξ===，0123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 8分（3）总体的平均数为 ()19.48.69.29.68.79.39.08.28.39.7910x =+++++++++=，…………10分 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2，8.3，9.7，所以任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为310．…………12分20．解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为()0,c ，则由题意得()⎪⎩⎪⎨⎧==+-,22,21222ac c 得⎩⎨⎧==,2,1a c 或 ⎩⎨⎧==,23,3a c （舍去）…………4分所以椭圆方程为1222=+y x ． …………5分 (Ⅱ)：因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，直线l 不．过原点．．．O ，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx m =+，由22,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理，得222(12)4220k x kmx m +++-=. 设),(11y x A ，),(22y x B ，又2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->,所以122412km x x k +=-+，21222(1)12m x x k-=+ …………7分因为2||=AB ,所以2))(1(2122=-+x x k ，即4]4))[(1(212122=-++x x x x k所以2222248(1)(1)41212km m k k k ⎡⎤-⎛⎫+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2212(1)1m k =-+， …………9分 因为211k +≥，所以2112m ≤<．又点O 到直线AB 的距离h =，因为1||2S AB h =⋅h =，所以22S h =222(1)m m =-22112()22m =--+ …………11分所以2102S <≤，即S 的最大值为2． …………12分 21．解：（Ⅰ）()()ln f x x k x =- '()ln 1f x k x =--,因为曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行 所以'()0f x =, 所以1k = …………4分 （Ⅱ）()()1111ln g x f x x x x x =-=-+，定义域为{}0x x > ()()2211111'x g x f x x x x x x-=-=-+=令()'0g x =得1x =，当x 变化时，()'g x 和()g x 的变化如下表由上表可知()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，最小值为()10g =。