2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试数学试题(解析版)

2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2230,21A x x x B x x x Z =--≤=-≤<∈且，则A B =I （ ） A ．{}2,1-- B ．{}1,0-C ．{}2,0-D ．{}1,1-【答案】B分别求集合,A B ，再求A B I . 解：2230x x --≤解得：13x -≤≤ ，{}13A x x ∴=-≤≤,{}2,1,0B =--，{}1,0A B ∴=-I .故选：B本题考查解一元二次不等式和求集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型. 2．设(1)1i x yi +=+，其中x ，y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B根据复数相等求得,x y 的值，进而求得复数x yi +的模.解：由已知得1x xi yi +=+，根据两复数相等可得：1x y ==，所以|||1|x yi i +=+=故选：B.本题考查复数相等、模的计算，考查对概念的理解与应用，属于基础题. 3．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则1()2P ξ-<<=（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】C由题意可知曲线关于1x =对称，利用曲线的对称性求1()2P ξ-<<.解：由题意可知1μ=，正态分布曲线关于1x =对称， ()()4140.1P P ξξ>=-<=, 根据对称性可知，()()240.1P P ξξ<-=>=,()()210.520.50.10.4P P ξξ-<<=-<-=-=.故选：C本题考查正态分布在指定区间的概率，正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x μ=对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的,μσ进行对比联系，确定它们属于(),μσμσ-+，()2,2μσμσ-+，()3,3μσμσ-+中的哪一个.4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A ．227B ．258C ．15750D ．355113【答案】B试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=，所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B.【考点】《算数书》中π的近似计算，容易题.5．函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A由函数()y f x =与()y g x =的图象可知两个函数的性质，可知()()y f x g x =⋅的定义域和奇偶性，以及函数在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()y f x g x =⋅的正负，从而得到答案. 解：由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选：A本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型.6．已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ） A ．36种 B ．30种C ．24种D ．20种【答案】D分乙使用现金和银联卡两种方法，分类求结账方法的组合数.解：当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3412⨯=种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有248⨯=种方法， 综上，共有12820+=种方法. 故选：D本题考查分类和分步计数原理，意在考查分析问题和解决问问他的能力，属于基础题型. 7．已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10 B ．10C ．2D ．10【答案】A利用角的变换cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简，求值. 解：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=⨯-⨯=. 故选：A本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.8．已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可证明11MF PF ⊥，说明22PF c =，利用点到直线的距离求OH a =，1OHF ∆中，根据勾股定理可得2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为223250c ac a --=，再求双曲线的离心率.解：取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， Q O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥Q ，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()ay x c b=+ ，即0ax by ac -+= ， 原点到直线的距离22ac OH a a b==+，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ， 解得：53e = ，或1e =-（舍） 故选：C本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c，然后利用公式cea=求解；2.公式法：cea===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c的齐次方程，通过等式两边同时除以2a，进而得到关于e的方程.二、多选题9．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）AB．(1πC．D．(2π+【答案】AB分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.解：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl rπππππ=+=⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积2212S rlππ=⨯=⨯⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π.故选：AB本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10．已知()()22210f x cos x xωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A．2ω=B．函数()f x在[0,]6π上为增函数C．直线3xπ=是函数()y f x=图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心 【答案】BD首先化简函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期求1ω=，然后再判断三角函数的性质.解：()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确； 当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、 当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确. 故选：BD本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.11．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（ ）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【答案】AD由等比数列的公比0q <，可知9100a a <，又由条件99a b >且1010a b >，判断9b 和10b 中至少有一个数是负数，公差0d <，再判断其他选项. 解：Q 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴< ，故A 正确；但不能确定9a 和10a 的大小关系；故B 不正确；9a Q 和10a 异号，且99a b >且1010a b >， 9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b =>Q ，0d ∴< 910b b ∴> ，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b < ，故C 不正确；故选：AD本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用，意在考查推理和判断能力，属于中档题型. 12．把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD首先讨论去掉绝对值，并画出函数的图象，直接判断AB ，然后数形结合，并结合椭圆和双曲线的性质判断CD 选项.解：当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确； 当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确. 故选：ACD本题考查判断函数的性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是画出函数的图象，因为函数图象是椭圆和双曲线的一部分，还需结合曲线的性质做出判断.三、填空题13．向量()(),4,1,a x b x =-=-r r ，若a r 与b r共线，则实数x =__________．【答案】2±根据两向量共线的坐标表示直接求实数x . 解：//a b rrQ()40x x ∴⋅-+=，解得：2x =±. 故答案为：2±本题考查向量共线的坐标表示，属于简单题型.14．已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 【答案】9由题意可知直线过圆心，即21a b +=，()21212a b ab a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最值.解：由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立， 故21a b+的最小值为9. 故答案为：9本题考查圆的性质和基本不等式求最值，意在考查基本计算能力，属于基础题型. 15．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为()2,3，则PA PM+的最小值是__________．1首先根据抛物线的定义转化1PA PM PA PF +=+-，再根据数形结合分析PA PF +的最小值.解：设抛物线的焦点是()1,0F ，根据抛物线的定义可知1PM PF=-1PA PM PA PF∴+=+-，PA PF AF+≥Q，当,,A P F三点共线时，等号成立，PA PM∴+的最小值是1AF-，()()22213010AF=-+-=，PA PM∴+的最小值是101-.故答案为：101-本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化1PM PF=-.16．正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点K在棱11A B上运动，过,,A C K三点作正方体的截面，若K为棱11A B的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB=_______【答案】9851-（1）首先作出截面ACMK ，再求截面的面积；（2）取11B C 上的点M ，11B K B M x ==，连接,KM MC ，由题意可知11111133B MK BCA A B CD ABCD V V --==，利用体积公式求x ，再求11A K KB 的比值.解：（1）取11B C 的中点M ，连接KM ，MC ，11//KM AC Q ，而11A C //AC ，//KM AC ∴,,,A C M K ∴四点共面，且AK MC = ∴四边形ACMK 是等腰梯形，如图，22KM =，2AC =2215122AK ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 222224AH ==， 22225232244KH AK AH ⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1232922248ACKM S ⎛∴=⨯⨯= ⎝； （2）设1B K x =，取11B C 上的点M ，11B K B M x ==，连接,KM MC ， 由（1）知,,,A C M K 四点共面， 由图象可知11111133B MK BCA A B CD ABCD V V --==12111113223B MK BCA V x -⎛∴=⨯++⨯= ⎝， 即210x x +-=，解得：x =即1B K =，11A K ==，此时11312A K KB -==. 故答案为：98本题考查截面面积和几何体的体积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键作出过点,,A C K 的平面.四、解答题17．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1,2n n n a n b -==.（2）121nn S n =-+ （1）首先设等差数列的首项1a ，公差为d ，根据条件建立关于1,a d 的方程组，再求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()1121n n c n n -=++，数列{}12n -是等比数列，按等比数列求和，数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭按照裂项相消法求和.解：解:(1)设数列{}n a 的公差为d ，由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+= ① 又因为124,,a a a 成等比数列， 所以2214a a a =⋅，()()21113a d a a d +=⋅+，21d a d =，又因为0d ≠， 所以1a d =. ② 由①②得11,1a d ==， 所以n a n =，111b a ==，222b a == ，212b qb ==， 12n n b -∴= .(2)因为()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122 (21223)1n n S n n -⎛⎫=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+ 121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和121nn S n =-+.本题考查等差，等比数列和数列的求和，意在考查基本方法和计算能力，属于基础题型，一般数列的求和方法包括1.公式法求和2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和.18．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,,ABCD PA PD E F =分别为棱PC 和AB 的中点.(1)求证://EF 平面PAD ;(2)若直线PC 与AB 所成角的正切值为5，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）4π （1）要证明线面平行，需先证明面面平行，取CD 的中点M ，连接,EM FM ，证明平面//EFM 平面PAD ；（2）分别取AD 和BC 的中点,O N ，连,PO ON ，由条件可证明,,OP ON OA 三条线两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量,m n r r ，利用公式cos ,m n <>r r求值.解：(1)证明:取CD 的中点M ，连接,EM FM ，因为,E F 分别为PC 和AB 的中点，四边形ABCD 为正方形， 所以//, //EM PD FM AD ，因为,EM FM ⊂平面,,EFM PD AD ⊂平面PAD ， 所以平面//EFM 平面PAD ， 因为EF ⊂平面EFM ， 所以//EF 平面PAD .(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面,ABCD AD CD AD =⊥CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ， 所以CD PD ⊥， 因为//AB CD ，所以PCD ∠就是直线PC 与AB 所成的角，所以PD tan PCD DC ∠==，设2PD CD ==，分别取AD 和BC 的中点,O N ，连,PO ON ， 因为PA PD =， 所以PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()()()0,0,2,1,2,0,1,2,0P C B -，所以()()2,0,0,1,2,2CB CP ==-u u u r u u u r，设(),,m x y z =u r 是平面BPC 的一个法向量，则2200x y z x -+=⎧⎨=⎩取1y =，则1z =，所以()0,1,1m =u r()0,1,0n =r是平面PAD 的一个法向量，所以,2m n cos m n m n ⋅<>===u r ru r r u r r ，,4m n π<>=u r r所以所求二面角的大小为4π本题考查证明线面平行和空间坐标法求二面角，意在考查空间想象能力和计算能力，证明线面平行的方法一，可以证明线线平行，证明线面平行，二也可以证明面面平行，证明线面平行，第二问的关键是确定原点，并证明三条线两两垂直，建立空间直角坐标系. 19．在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin+=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积【答案】（1）见解析（2）见解析（1）结合正弦定理，条件选择①3sin 4cos a C c A =，则34sinAsinC sinCcosA =，再利用公式22sin cos 1A A +=求sin A ；若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得252AsinBcos sinAsinB =，再根据二倍角公式求得25A sin=，再根据sin 2sin cos 22A A A =求解. （2）解法1:设BM MC m ==，在BMC △中由余弦定理，解得5m =，再由（1）4sin 5A =，解得AB 边长，最后求得到ABC ∆的面积；解法2：由MB MC = 可知，3225sin C sin A cosA π⎛⎫⎭=⎪⎝=-=，，再根据正弦定理和面积公式ABC S ∆=4545sin cos sin 244C C C ==. 解：解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC V 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =所以2113352252BMC S m sin BMC =∠=⨯⨯=V 在Rt ABM V 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以4AB =，所以158ABM S =V ，所以31527288ABC S =+=V 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又sin sin sin 4b c a B C A ===所以sin ,4b B =,4c C =所以11445sin sin sin sin 2244542ABC S bc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭V 454527sin cos sin 2448C C C === 若选择条件②，则答案为:(1)因为22B C bsin +=，所以22Absin π-=，由正弦定理得22AsinBcos =，因为0sinB ≠，所以2,2A cos =222A A Acos cos =，因为02Acos≠，所以2A sin =，则2A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①本题考查正余弦定理，面积公式解三角形，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，属于中档题型，本题属于开放性试题，需先选择条件，再求解.20．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男女 1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001【答案】（1）0.01P =,n =100,（2）表见解析，没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，()34E X =（1）首先根据频率和为1求P ，再根据频率，频数和样本容量的关系求n ； （2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写22⨯列联表；并根据公式计算2K 和3.841比较大小，做出判断；（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭并求分布列和数学期望.解：（1）()0.0050.0180.0200.0220.025101P +++++⨯= 解得：0.01P =， 所以100.1010n ==. (2)因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525⨯= 从而22⨯列联表如下图所示:将22⨯列联表中的数据代入公式计算得()2210030101545100 3.0304555752533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关(3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14. 由题意可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭所以()3031127041464P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭-=⎝⎭== ()3211271146414P X C ⎛==-=⎫⨯ ⎪⎝⎭， ()223192146414P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-= ()333413641P X C ⎛⎫ ⎪⎭=⎝== 所以X 的分布列为故()13344E X =⨯=. 本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验，二项分布，意在考查利用所给数据，分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.21．在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC V 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程; (2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMG SHN S S =V V ，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）1y x =+或1y x =+. （1）由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =，转化4CA CB AB +=>，利用椭圆定义求椭圆方程；（2）先求点,H S 的坐标，判断2SG SH =，再由6SMG SHN S S =V V ，求得3SM SN =，所以3SM SN =-u u u r u u u r ，求得123x x =-，再分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设直线1y kx =+与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且根据123x x =-求斜率.解：解:(1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =， ∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点). 设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==， 即2222,3a b a c ==-= 所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠. (2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ， 所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S 因为2a c =，所以2SG SH =， 所以1sin 2261sin 2SMGSMN SM SG MSG SM S S SN SN SH NSH ∠===∠V V 所以3SM SN=，所以3SM SN =-u u u r u u u r 设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-u u u r()22,1SN x y =-u u u r ，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x =此时2SM SN ==+. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+. 联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-= 所以122122834834k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 将123x x =-代入得222228348334k x k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+.所以23,2k k == 所以直线MN的方程为1y x =+或1y x =+.本题考查定义法求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系求直线方程，意在考查转化与化归的思想和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.22．已知函数()()2(,)1x f x ae x a R g x x =--∈=. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;(3)当1,0a x =≥时，不等式()()1f x kxln x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）24a e =（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（1）()1x f x ae '=-，分0a ≤和0a >讨论函数的单调性；（2）曲线1:x C y ae =，曲线()22:C g x x =，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,x x ae x x ，显然12x x ≠，利用导数的几何意义和两点间的斜率公式求得11222122x x ae x ae x x x -==-，解得()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>，()()1 4()1x x F x x e =>- 问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点，利用导数求()F x 的值域；（3）问题等价于不等式()11xe x kxln x --≥+，当0x ≥时恒成立，设()()110()x h x e x kxln x x =---+≥，先求()m x =()h x '，再求()()211'11xm x e k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，分12k ≤和12k >两种情况讨论函数的最小值，判断()0h x ≥是否成立.解：解:(1)()1xf x ae '=-， 当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减， 当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-，由于0a >时，导函数()1x f x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增.综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,x x ae x x ，显然12x x ≠.由于12','2x y ae y x ==， 所以11222122x x ae x ae x x x -==-， 1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ，2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =->因此11x >， 此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>， 设()()1 4()1x x F x x e =>- 问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点， 又()4(2 )xx F x e -'=，令()'0F x =，解得2x =， 则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减，而()()242,10F F e==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故24a e =. (3)当1a =时，()1x f x e x =--，问题等价于不等式()11x e x kxln x --≥+，当0x ≥时恒成立.设()()110()xh x e x kxln x x =---+≥，()00h =， 又设()()()' 1 11) 0(x x m x h x e k ln x x x ⎡⎤==--++≥⎢⎥+⎣⎦则()()211'11xm x e k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ 而()'012m k =-.(i)当120k -≥时，即12k ≤时， 由于0,1x x e ≥≥，()()2211111112111k x x x x ⎡⎤⎡⎤+≤+≤⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦此时()()'0,m x m x ≥在[0,)+∞上单调递增.所以()()00m x m ≥=即()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增所以()()00h x h ≥=，即()110xe x kxln x ---+≥， 故12k ≤适合题意. (ii)当12k >时，()'00m <， 由于()()21111xm x e k x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦在[0,)+∞上单调递增， 令()20x ln k =>，则()()211'222201ln 21ln 2m ln k k k k k x x ⎡⎤=-+>-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故在()0,ln 2k 上存在唯一o x ，使()'0o m x =，因此当()00,x x ∈时，()()'0,m x m x <单调递减，所以()()00m x m <=，即()()'0,h x h x ≤在()00,x 上单调递减，故()()00h x h <=，亦即()1 10xe x hxln x ---+<， 故12k >时不适合题意， 综上，所求k 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题考查利用导数求函数的单调性，以及根据函数的零点和利用不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与化归，推理能力 ，和计算能力，解决零点问题好恒成立问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.。