高三上学期期末考试数学试题分类汇编
北京市10区高三数学上学期期末试题分类汇编 数列 理
数列一、填空、选择题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】因为124,,S S S 成等比数列，所以2142S S S =，即2111(46)(2)a a d a d +=+，即2112,2d a d d a ==，所以211111123a a d a a a a a ++===，选C. 2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 .【答案】310【解析】因为121,,,9a a 是等差数列，所以121910a a +=+=。
1231,,,,9b b b 是等比数列，所以22199b =⨯=，因为1220b b =>，所以23b =，所以212310b a a =+。
3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ） （B ）53（C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥. 【答案】5,16 12n m+ (第一个空2分，第二个空3分) 5、【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____. 【答案】18,22n +-【解析】由n mnm a a a +=可得211a a a =，所以222124a a ===。
高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用 Word版含答案
北京市部分区届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用、（昌平区届高三上学期期末）设函数，.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行.() 求的值；()求实数的取值范围，使得对恒成立.、（朝阳区届高三上学期期末）设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．、（朝阳区届高三上学期期中）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．、（东城区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）若为的极小值，求的值；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值．、（丰台区届高三上学期期末）已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.、（海淀区届高三上学期期末）已知函数．（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．、（海淀区届高三上学期期中）已知函数，函数.（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.、（石景山区届高三上学期期末）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．、（通州区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）当＝时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数，证明：当∈时，＞.、（西城区届高三上学期期末）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；（Ⅱ）如果在区间上为增函数，求的取值范围．。
江苏省18市县2021届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：立体几何
江苏省18市县2021届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________.2、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，AC＝3，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为▲ ．3、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）已知正三棱柱ABC－则三棱锥D－BB1C1的体积为＿＿＿4、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D 是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1－EBD的体积为▲ ．5、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019高三期末） 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 ． 6、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ．7、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则12V V 的值是8、（无锡市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于 ． 9、（宿迁市2019届高三上学期期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ cm 3． 10、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BDD B -的体积为 ▲ ．11、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 12、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ．参考答案 一、填空题 1、38 2、36 3、233 4、3 5、83 6、23 7、148、3π 9、3π 10、1311、223π12、33π二、解答题1、（常州市2019届高三上学期期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别是棱1,AB CC 的中点. 求证：（1）CM //平面1AB N ； （2）平面1A BN ⊥平面11AA B B .2、（海安市2019届高三上学期期末）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥PC ，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，MD ∥平面P AC ，平面P AB ⊥平面PMC ，△CPM 为锐角三角形，求证： ⑴D 是PB 的中点；⑵平面ABC ⊥平面PM C ．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F//平面ADE．4、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B－EC－D的余弦值．5、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）6、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD 平面PAD，△PAD是PABC DE（第15题图）正三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：AE ⊥PC ； （2）求证：AE ∥平面PBC ．7、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E F ，，分别是111B C AB AA ，，的中点． （1）求证：EF ∥平面1A BD ；（2）若1111=A B AC ，求证：平面1A BD ⊥平面11BB C C ．8、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：C 1F//平面ABE ．9、（（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末））如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点． （1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角A CE B --的余弦值．10、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。
广东省各地高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 排列组二项式定
排列组合二项式定理1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______答案：82、（广州市2014届高三1月调研测试）有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种． 答案：363、（增城市2014届高三上学期调研）二项式81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是答案：704、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）12(x -展开式中的常数项为A ．220B ．220-C ．1320D ．1320- 答案：B 5、（惠州市2014届高三第三次调研考）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答） 答案：146、（揭阳市2014届高三学业水平考试）10(1)x -的展开式中2x 的系数是 ．（用数字作答） 答案：457、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中含有2x 的项于 答案：2192x -8、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是____________.（用数字作答）答案：459、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是( )A.28B.29C.30D.27答案：B10、（中山市2014届高三上学期期末考试）在二项式521xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，含4x的项的系数是答案：1011、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）展开式中的系数是＿＿＿＿答案：21 212、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）将4个人（含甲、乙）分成两组，每组2人，则甲、乙分别同一组的概率为＿＿＿答案：1 3。
2023届北京市部分区高三上学期期末考试数学试题分类汇编——导数解答题(含解析)
（关华整理2023年西城区）高三期末（20） 已知函数()ln e e xf x a x x =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）当 a = 0时， 求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程； （Ⅱ）当 a > 0时，判断()f x 的零点个数， 并加以证明； （Ⅲ）当 a < 0时，证明：存在实数m ，使()f x ≥ m 恒成立.（关华整理2023年海淀区）高三期末 20. 已知函数()ln(1)f x x x =+.（Ⅰ）判断0是否是()f x 的极小值点，并说明理由； （Ⅱ）证明：2()112f x x x >-+.（关华整理2023年房山区）高三期末20. 已知函数()()()21e 2x f x a x x =-+-（a ∈R ）. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 恰有一个零点，则a 的取值范围为______.（只需写出结论）（关华整理2023年东城区）高三期末 （20）已知函数()e xf x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）证明：当1m ≤时，曲线1:()C y f x =与曲线2:ln C y x x m =++至多存在一个交点.（关华整理2023年大兴区）高三期末（20）已知函数()ln()(1)f x x a a=+（Ⅰ）当函数()y f x =在1x =处的切线斜率为0时，求a 的值； （Ⅱ）判断函数()y f x =单调性并说明理由；（Ⅲ）证明：对12[0)x x ∀∈+∞，，有212|()()||f x f x x --成立.（关华整理2023年朝阳区）高三期末 （20）已知函数ln ()(0)xf x a ax=>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1()f x x a-≤对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若211212ln ln 0()x x x x x x +=≠，证明：122x x +>．（关华整理2023年昌平区）高三期末 20. 已知函数()()e e1,0xxf x m m x m -=++-≤.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当e 1m -≤<-时，证明：对任意的()()0,,2x f x ∞∈+≥-恒成立.（关华整理2023年通州区）高三期末（20） 已知函数22()(1)x af x x -=+.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当函数()f x 存在极小值时，求证：函数()f x 的极小值一定小于0.（关华整理2023年丰台区）高三期末20. 已知函数()ln sin f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[1,e]上的最小值； （3）证明函数()f x 只有一个零点．答案（关华整理2023年西城区）高三期末20. 【答案】（1）2e 2e 0x y --= （2）1个 （3）证明见解析 【解析】【分析】(1)根据0a =代入()f x 解析式,求出()()1,1f f ',根据点斜式写出切线方程即可; (2)对函数()f x 求导求单调性,观察到()10f =,根据单调性分析零点个数即可;(3)先对函数()f x 求导,再通分,令()()1e ,xh x a x x =++再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析()h x 的正负,即()f x '的正负,进而求出()f x 的单调性及最值,若()f x m ≥恒成立,只需()min f x m ≥即可,()f x 有最小值,即存在实数m ,使()f x m ≥恒成立. 【小问1详解】 解:由题知0a =,()e e x f x x ∴=-, ()()1e x f x x '∴=+, ()()10,12e f f '∴==,故()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 1y x =-, 即2e 2e 0x y --=; 【小问2详解】由题()ln e e xf x a x x =+-,()0x >,()()1e x af x x x'∴=++, 0,0x a >>,()0f x '∴>,故()f x 在()0,∞+上单调递增,()10f =,故()f x 有1个零点; 【小问3详解】由题()ln e e xf x a x x =+-,()0x >,()()()1e 1e x xa x x a f x x x x=++'∴=++,()0x > 令()()1e ,xh x a x x =++()()231e ,x h x x x '=++∴0x ,()0h x '∴>,即()h x ()0,∞+上单调递增,()00h a =<,且()()1e ah a a a a =++()1e aa a a =+-()()1e10aaa =+->,故00x ∃>,使得()00h x =, 即()()00001e 0,xh x a x x ++==()h x 在()0,∞+上单调递增, ()()000,,0,x x h x ∴∈<即()0f x '<,()f x 单调递减,()()00,,0,x x h x ∈+∞>即0fx,()f x 单调递增,故()()0min f x f x =, 若()f x m ≥恒成立, 只需()min f x m ≥, 即()0f x m ≥即可,故存在实数m ,使()f x m ≥恒成立.【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有: (1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数; (3)对新的函数进行求导求单调性;(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止;(5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为0x ,判断0x 左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值.（关华整理2023年海淀区）高三期末（20）解：（Ⅰ）将点(2,1)P -，Q 坐标带入椭圆E 的方程，得222411,8 1.a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得228,2a b ==. 所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线l 斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 点重合，B 和N 点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时||||(2(22GM GN ⋅=⨯+=，符合题意. 若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y (12x ≠-且22x ≠-).联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22(41)1680k x kx +++=.222(16)32(41)32(41)0k k k ∆=-+=->，214k ∴>，即12k >或12k <-.1221641k x x k -+=+，122841x x k =+. 1112PA y k x -=+，所以直线PA 的方程为111(2)12y y x x -=+++，取0x =得112(1)(0,1)2y M x -++. 同理可得222(1)(0,1)2y N x -++.由||||2GM GN ⋅=得12122(1)2(1)1212222y y x x --+-⋅+-=++， 即12122(1)2(1)11222kx kx x x ++-⋅-=++.所以21212(21)222x xk x x -⋅=++， 即2121212(21)22()4x x k x x x x -=+++.2222841(21)283244141k k kk k +-=-+++， 即22(21)1483k k k -=-+， 因为12k >， 所以得|21|1|23|k k -=-，即1k =.经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+.综上所述，直线l 的方程为0x =或2y x =+.（关华整理2023年房山区）高三期末20. 【答案】（1）2211612x y +=（2）1y x =+（答案不唯一） 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，得到4a =，代入(2,3)P ，可得b ，计算得到椭圆C 的方程. （2）联立直线l 与椭圆C ，利用韦达定理，得到12x x +和12x x ，再分别利用,,P A B ，得到直线PA 和直线PB ，进而得到M y 与N y ，利用线段MN 的垂直平分线经过点P ，必有6M N y y +=，整理可得211212123()2()120x y x y x x y y +-+-++=，此时，利用韦达定理进行换元，得到23k m -=-，然后，对k 进行赋值，即可得到满足题意的直线方程. 【小问1详解】点P 到两个焦点的距离之和为8，故28a =，4a =,椭圆C 的方程为222116x y b+=，代入(2,3)P ，可得249116b +=，解得b =，故椭圆C 的方程为：2211612x y += 【小问2详解】由题意，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程，可得，2211612x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得，222(1612)3216(12)0k x kmx m +++-=， 化简∆得，2216120k m +->，故221612k m +>；122321612km x x k -+=+，212216(12)1612m x x k -=+，又)3(2,P ， 可设直线PA ：1133(2)2y y x x --=⋅--，设直线PB ：2233(2)2y y x x --=⋅--， 故113(2)32M y y x -=⋅-+-，223(2)32N y y x -=⋅-+-， 若线段MN 的垂直平分线经过点P ，必有6M N y y +=，故有121233(2)3(2)3622y y x x --⋅-++⋅-+=--，整理得， 121233022y y x x --+=--，化简得，2121(2)(3)(3)(2)x y y x --=---， 得到，21211221326236x y x y x y y x --+=-++-，211212123()2()120x y x y x x y y +-+-++=，21121212()()3()2()120x kx m x kx m x x y y +++-+-++=， 1212122(3)()2()120kx x m x x kx m kx m +-+-++++=， 1212122(3)()2()4120kx x m x x k x x m +-+-+-+=，12122(32)()4120kx x m k x x m +--+-+=，利用韦达定理，得22232(12)(32)32412016121612k m m k kmm k k ---⋅--+=++，2232(12)(32)32(124)(1612)0k m m k km m k ----⋅+-⋅+=，222223238432966419214464480km k km km k m k k m m --++++--=， 238496192144480k km k m -+++-=， 282430k km k m -+++-=，24832k k m km -+=-， (23)(21)(12)k k m k --=-，当12k ≠时，23k m -=-，此时，直线l 为：32y kx k =+-， 故令1k =，则必有1m =，满足221612k m +>， 此时，满足题意的直线l 为：1y x =+（答案不唯一）（关华整理2023年东城区）高三期末20 解：（Ⅰ）因为()e xf x x =所以()()1e xf x x '=+.所以()00f =，()0 1.f '=所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x = (4)分（Ⅱ）令()0f x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1+x ∈-∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x =-时，()0f x '=，()f x 在1x =-时取得极小值.所以函数()f x 的极小值为1e-，不存在极大值.…………………9分（Ⅲ）令()e ln xg x x x x m =---，其定义域为(0,)+∞.11()(1)e 1(1)(e )10.x xg x x x x x x'=+--=+-+>， 令()1e xh x x =-，()21e +0xh x x'=>， 所以()h x 在()0+∞，上单调递增.011(1)0,()0,(,1)22h h x ><∃∈因为所以，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；当0x x =时，()0h x =，即001e =xx ，()g x 取得极小值()0g x . ()00000e ln x g x x x x m =---，因为001e =xx ，所以00e =1xx ，00ln x x =-， 所以()01g x m =-.因此，当1m <时，()00g x >， 所以()0+x ∀∈∞，，()0g x >，即()0+x ∀∈∞，，()ln f x x x m >++，曲线1C 与曲线2C 无交点； 当1m =时，()00g x =，所以存在且仅存在一个01(,1)2x ∈，使得()00g x =，对()0+x ∀∈∞，且0x x ≠，都有()0g x >，即()ln f x x x m >++.所以当1m =时，曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个交点； 故当1m ≤时，曲线1C 与曲线2C 至多存在一个交点.…………………15分（关华整理2023年大兴区）高三期末（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）()ln()f x x a =+，所以1()f x x a '=+，…………………… 2分 由(1)0f '=11a=+，所以1a =.…………………… 4分（Ⅱ）函数()y f x =在(,)0+∞单调递增. …………………… 1分 因为1a ，所以函数()f x 定义域为[0)+∞，.…………………… 2分1()f x x a '==+，因为21)11x a a a -=+--.…………………… 4分因为1a，所以()0f x '. …………………… 5分因此函数()y f x =在区间()+∞0，上单调递增.（Ⅲ）证明：当12x x =时，显然有21|()()||f x f x -=，不等式成立；……………… 1分当12x x ≠时，不妨设12x x <，…………………… 2分由于函数()f x 在区间()+∞0，上单调递增， 所以2121|()()|()()f x f x f x f x -=-，又|=则21|()()|f x f x --21()()f x f x =---21ln()ln()x a x a =++12ln()ln()x a x a =+-+12lnx ax a+=+.…………………… 4分 因为12x x <，所以210x a x a +>+>， 所以1201x ax a+<<+， 所以12ln0x ax a+<+.…………………… 6分综上，对任意的12,[0)x x ∈+∞，，212|()()||f x f x x --成立.（关华整理2023年朝阳区）高三期末（20））解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．由ln ()x f x ax =得21ln ()xf x ax-'=． 令()0f x '=得e x =．因为0a >，所以当(0,e)x ∈时，()0f x '>；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．（Ⅱ）由0a >，依题意，2ln 0x ax x -+≤在(0,)x ∈+∞上恒成立．设2()ln g x x ax x =-+，则2121()21ax x g x ax x x-++'=-+=．令()0g x '=，得10x =<（舍），20x =>．当2(0,)x x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在2(0,)x 上单调递增； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在2(,)x +∞上单调递减． 故2max 2222()()ln g x g x x ax x ==-+．又由2()0g x '=得22212x ax +=． 所以22222211()ln ln 22x x g x x x x +-=-+=+．依题意需max ()0g x ≤，即221ln 02x x -+≤． 设1()ln 2t h t t -=+，则易知()h t 在(0,)+∞为增函数． 又(1)0h =，所以对任意的(0,1]t ∈，有()0h t ≤；对任意的(1,)t ∈+∞，有()0h t >． 所以201x <≤，即01<，解得1a ≥． 所以a 的取值范围为[1,)+∞． （Ⅲ）由211212ln ln 0()x x x x x x +=≠得1212ln ln 0x x x x +=，且11x ≠,21x ≠． 由（Ⅱ）知，当1a =时，ln 1xx x-≤，当且仅当1x =时取等号． 所以111ln 1x x x <-，222ln 1x x x <-． 两式相加得122112ln ln 2x x x x x x +<+-，即1220x x +->． 故122x x +>．（关华整理2023年昌平区）高三期末20. 【答案】（1）()e 11y x =-+ （2）答案详见解析 （3）证明详见解析 【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()f x '，对m 分类讨论，由此来求得()f x 的单调区间. （3）结合（2）求得()f x 在区间()0,∞+上的最小值，由此证得结论成立. 【小问1详解】当0m =时，()()e ,e 1xxf x x f x '=-=-，()()01,1e 1f f '==-，所以切线方程为()()1e 1,e 11y x y x -=-=-+. 【小问2详解】依题意，()()e e1,0xxf x m m x m -=++-≤，()()()()()e 1e e e 1e 1e ex x x x x x xm m f x m m m --+'=-+-=-+-=， 当0m =时，()e 10xf x ='-=，解得0x =,则()f x 在区间()()(),0,0,f x f x '-∞<递减；在区间()()()0,,0,f x f x '+∞>递增. 当0m <时，()0f x '=解得()ln x m =-或0x =,当10m -<<时， ()f x 在区间()()()()(),ln ,0,,0,m f x f x '-∞-+∞>递增； 在区间()()()()ln ,0,0,m f x f x '-<递减. 当1m =-时，()()0,f x f x '≥在R 上递增.当1m <-时，()f x 在区间()()()()(),0,ln ,,0,m f x f x '-∞-+∞>递增； 区间()()()()0,ln ,0,m f x f x '-<递减. 【小问3详解】当e 1m -≤<-时，()1e,0ln 1m m <-≤<-≤，由（2）可知，()f x 在()()0,ln m -递减，在()()ln ,m -+∞递增， 所以()()()()()()()ln ln ln ee1ln m m f x f m m m m ---≥-=+⨯+-⨯-()()()11ln m m m m m=-+⨯+-⨯-- ()()()11ln 1112m m m m m =--+-⨯-≥--+-⨯=-，所以对任意的()()0,,2x f x ∞∈+≥-恒成立.【点睛】利用导数研究含参数的复杂函数的单调性，要注意两点，一个是尽量进行因式分解，将复杂的问题转化为较为简单的问题来进行求解；第二个是对参数进行分类讨论，要做到不重不漏，分类标准要根据导函数的结构来制定.（关华整理2023年通州区）高三期末（20） 解：（Ⅰ）当0a =，22()(1)xf x x =+，则 (0)0f = ，因为322()(1)x f x x -+'=+,所以(0)2f '=.所以曲线)(x f y =在)0,0(的切线方程为2y x =. ………………………4分（Ⅱ）函数定义域为{}|1x x ≠-. ………………………5分44(222)(1)21)(1)()(1)(1)x a x x a x f x x x -+++---+'==++（， ………………………6分 令()0f x '=，解得：1x a =+. ……………………7分 当11a +=-即2a =-时33222212()0(1)(1)(1)x x f x x x x ---+-'===<+++（）. 所以函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞，无单调递增区间. 当11a +<-即2a <-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)a -∞+和(1,)-+∞，………………………8分 单调递增区间为(1,1)a +-.当11a +>-即2a >-时， ………………………9分 函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)a ++∞，单调递增区间为(1,1)a -+. ………………………10分 综上所述：2a =-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞，无单调递增区间.2a <-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)a -∞+和(1,)-+∞，单调递增区间为(1,1)a +-.2a >-时，函数)(x f y =的单调递减区间为(,1)-∞-和(1,)a ++∞，单调递增区间为(1,1)a -+. （Ⅲ）函数定义域为{}|1x x ≠-.由题意，函数存在极小值，则在极小值点有定义，且在该点左侧函数单调递减，在该点右侧函数单调递增.………………………12分由（Ⅱ）可知，当2a <-时，函数)(x f y =在1x a =+处取得极小值.………………………14分即222(1)21()(1)0(11)(2)2a a a f x f a a a a +-+=+===<++++极小值. ………………………15分（关华整理2023年丰台区）高三期末20. 【答案】（1）()1cos11sin1cos10x y +--+-= （2）()1sin1f = （3）见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，求出()()1sin1,11cos1f f =+'=，由点斜式方程即可求出答案； （2）令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x-'=-，得出()g x 在[1,e]的单调性，结合零点存在性定理可得()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减，再比较()()1,e f f 的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论01x <≤，1x π<≤和x π>时，()f x 的正负，即可得出证明. 【小问1详解】()ln sin f x x x =+的定义域为()0,∞+，故1()cos f x x x'=+，()()1sin1,11cos1f f =+'=， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()()sin11cos11y x -=+-， 化简得：()1cos11sin1cos10x y +--+-= 【小问2详解】 令()1()cos g x f x x x ==+'，()21sin g x x x-'=-， 当[]1,e x ∈时，()21sin 0g x x x'=--<， 所以()g x 在[]1,e 上单调递减，且()11cos10g =+>， ()11211e cose<cos 0e e 3e 2g π=++=-<，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的α，使()()0g f αα'== 又当()1,x α∈时，()()0g x f x '=>；当(),e x α∈时，()()0g x f x ='<； 所以()f x 在()1,x α∈上单调递增，在(),e x α∈上单调递减， 又因为()()()1ln1sin1sin1,e lne sine 1sine 1,f f f =+==+=+> 所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()1sin1f =. 【小问3详解】()ln sin f x x x =+，()0,x ∈+∞，若01x <≤，1()cos 0f x x x+'=>，所以()f x 在区间(]0,1上单调递增，又()1sin10f =>，111sin 0e ef ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 结合零点存在定理可知，()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点， 若1x π<≤，则ln 0,sin 0x x >≥，则()0f x >， 若x π>，因为ln ln 1sin x x π>>≥-，所以()0f x >， 综上，函数()f x 在()0,∞+有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.。
2019届高三上期末数学分类汇编(18)等差数列与等比数列(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
〖人教版〗高三数学复习试卷高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
〖人教版〗高三数学复习试卷高三上学期期末考试数学理试题分类汇编不等式一、不等式1、（潮州市高三上期末）已知,x y 满足约束条件：210y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值等于＿＿＿2、（东莞市高三上期末）已知关于点（xy ，）的不等式组1220450y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ，则D 内使得22z x y =+取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为3、（佛山市高三教学质量检测（一））若变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-15020010y y x y x ，则y x 32+的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．554、（广州市高三1月模拟考试）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,25、（惠州市高三第三次调研考试）．设实数,x y 满足条件203600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为（ ）A ．256 B ．83 C ．113D ．46、（揭阳市高三上期末）已知实数x ，y 满足2403000x y x y x y -+≥⎧⎪-+≥⎪⎨≤⎪⎪≥⎩，则目标函数32z y x =-的最大值为7、（茂名市高三第一次高考模拟考试）已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为8、（清远市高三上期末）已知实数变量,x y 满足10220x y x y mx y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，且目标函数3z x y =+的最大值为8，则实数m 的值为（ ） A 、32 B 、12C 、2D 、1 9、（汕头市高三上期末）当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．]23,1[B ．]2,1[-C ．)2,1[-D ．)23,1[10、（汕尾市高三上期末）若变量x , y 满足约束条件则的最大值为 ( )A.3B.4C.8D.1611、（韶关市高三1月调研）实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=取得最大值4，则实数a 的值为 .12、（肇庆市高三第二次统测（期末））已知,x y 满足不等式组0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值等于.13、（珠海市高三上期末）变量x y ，满足3202304120x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则22(3)(3)x y -+-的范围是不等式答案： 1、3 2、3、D4、B5、D6、97、⎥⎦⎤⎝⎛8,516 8、D 9、A 10、D 11、2 12、3 13、9[9]17， 二、绝对值不等式1、（潮州市高三上期末）设函数()|31|3f x x ax =-++。
上海市16区县高三数学上学期期末考试试题分类汇编排列组合与二项式定理
上海市16区县高三数学上学期期末考试试题分类汇编排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理一、排列组合1、（崇明县2017届高三第一次模拟）将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．2、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为．3、（静安区2017届向三上学期期质量检测）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有【】A．336种； B．320种； C．192种； D．144种.4、（闵行区2017届高三上学期质量调研）从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有_____________种排法．（用数字作答）5、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）6、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___________种．7、（金山区2017届高三上学期期末）从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示）排列组合参考答案：1、242、2003、A4、2405、403206、【解析】根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C 52C 52=100，②两人所选两门都相同的有为C 52=10种，都不同的种数为C 52C 32=30， 故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种． 故答案为60． 7、48二、二项式定理1、（宝山区2017届高三上学期期末）设常数0a >，若9()ax x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =2、（崇明县2017届高三第一次模拟）若21(2)(*)n x n N x+∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =3、（虹口区2017届高三一模）设函数6,1()21,1x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩ , 则当1x ≤-时, 则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是 ．4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）()612x +的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字作答）7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）812x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含2x 项的系数是____________8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）若5522105)1(x a x a x a a x ++++=+ ，则=+++521a a a .9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）在二项式62()x x+的展开式中，常数项是 ． 10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=+++++，若2313a a =，则n = ▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）在622()x x +的二项展开式中第四项的系数是____________．（结果用数值表示）12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）设常数0a >，9()a x x+展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）已知nb a )3(+展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=n ______．14、（金山区2017届高三上学期期末）若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=参考答案： 1、解析：2、123、604、105、106、1607、78、【解析】∵5522105)1(x a x a x a a x ++++=+ ，∴当x=0时，a 0=1；当x=1时，（1+1）5=a 0+a 1+a 2+…+a 5=32， ∴a 1+a 2+…+a 5=32﹣1=31．故答案为：31． 9、3362160C ⋅=10、1111、160 12、1213、【解析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6 14、2。
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江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
函 数
一、填空题（1）
1、（常州市2016
届高三上期末）函数22()log (f x x =-+的值域为
2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，b x a x x f +-++=)1()2(log )(2（a ，b 为常数），若1)2(-=f ，则)6(-f 的值为
3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x
x
m
f x =+
，设(),1,
()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨
-≤⎩若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ . 4、（南通市海安县2016届高三上期末）若函数⎩
⎨⎧>++-≤-=0,5ln 0
,)()(2x a x x x a x x f 的最小值为)0(f ，
则实数a 的取值范围是 ；
5、（苏州市2016届高三上期末）函数22,
0,()1,0
x
x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲
6、（泰州市2016届高三第一次模拟）设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln
4
x
x
f x =+，记(5)n a f n =-，则数列{}n a 的前8项和为 ▲
7、（无锡市2016届高三上期末）已知函数()32
2,1
ln ,
1x x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，若对于(),t R f t kt
∀∈≤恒成立，则实数k 的取值范围是
8、（扬州市2016届高三上期末）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则1
1
2-+b a 的最小值为 ▲
9、（镇江市2016届高三第一次模拟）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．
填空题答案
1、5、3(,]2-∞
2、4
3、33[,]22
- 4、［0,3］ 5、(,1]-∞ 6、－16 7、1[,1]e
8、3 9、(－2，0)∪(2，＋∞) 二、填空题（2）
1、（常州市2016届高三上期末）已知函数22
23,0
()3,0
x x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，若不等式()f x kx ≥对x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是
2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0
)(0
cos 2)(x x a x x x x x f ，
若关于x 的不等式π<)(x f 的解集为)2
,
(π
-∞，则实数a 的取值范围是 ．
3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设函数32,,
ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩
的图象上存在两点,P Q ，
使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .
4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标xOy 中，将函数])2,0[(232∈-+=x x x y 的图像绕坐标原点O 按逆时针方向旋转角θ，若],0[αθ∈∀，旋转后所得曲线都是某个函数的图像，则α的最大值是 ；
5、（苏州市2016届高三上期末）已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则
2
00
(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 6、（扬州市2016届高三上期末）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，
）
（a a x a x x f 322
1
)(--+-=.若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范
围为 ▲
7、（镇江市2016届高三第一次模拟）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
－x ， x >0，12－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋x ， x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝
kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．
答案
1、2
[3,]e - 2、()
-∞+ 3、1(0,]1e + 4、3
π 5、12 6、1(,]
6-∞ 7、【答案】[－1
3
，1)∪(1，＋∞)．
【解析】作函数图象可得，当y kx k =-过点11,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
时，直线的斜率最小即13k =-，当
直线y kx k =-与()20y x x x =->相切时有一个交点，'
1k y ==，故函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－x ， x >0，12－⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
12＋x ， x ≤0，与直线y kx k =-有两个不同的交点时，k 的取值范围为[－1
3，1)∪(1，＋∞)，即关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为[－1
3，1)
∪(1，＋∞)．。