第4章基本搜索和遍历方法
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第4章 LINQ查询大全
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第 4 章 LINQ 查询基础
IQueryable<T>的对象，可以对它进行枚举，遍历每一个元素。此外，它的元素可 以是任何数据类型，所以可以表示任何数据的集合。 目标数据：数据源中的元素并不定是查询所需要的结果。例如，对于一个学生信 息集合中，查询 A 只是查询学生的姓名，查询 B 要查询学生的姓名和各科成绩， 查询 C 则需要学生各科成绩的总分（需要另外计算），而不是原始数据中的各科 成绩。目标数据用来指定查询的具体想要的是什么数据。在 LINQ 中，它定义了 查询结果数据集中元素的具体类型。 筛选条件：筛选条件定义了对数据源中元素的过滤条件。只有满足条件的元素才 作为查询结果返回。筛选条件可以是简单的逻辑表达式表示，也可以用具有复杂 逻辑的函数来表示。 附加操作：附加操作表示一些其他的具体操作。比如，对查询结果进行排序、计 算查询结果的最值和求和、对查询结果进行分组等。 其中，数据源和目标数据是 LINQ 查询的必备元素，筛选条件和附加操作是可选元素。 比如，示例代码 4-1 中的查询 query1 就只包含了数据源和目标数据两个必备元素。本章后 面的章节将进一步介绍 LINQ 查询的具体使用方法。
通常，针对数据的查询是用简单的字符串文本来编写的查询语句，比如传统的 SQL 查 询语句，没有编译时的类型检查，安全性、方便性都不好。此外，开发人员还需要为不同 的数据源学习不同的数据查询语言，比如，查询 SQL 数据库的 T-SQL、查询 XML 数据的 DOM 结构等。
为了解决上面的问题，微软在.NET 3.5 版中推出一项具有突破性的新特性——语言集 成查询（LINQ）。LINQ 是 Language Integrate Query 的缩写，它在对象和数据之间建立一 种对应关系，可以使用访问内存对象的方式查询数据集合。LINQ 使查询成为 C#中的一种 语言构造。开发人员可以在 C#代码中嵌套类似于 SQL 语句的查询表达式，从而实现数据 查询的功能。
第 4 章 LINQ 查询基础
IQueryable<T>的对象，可以对它进行枚举，遍历每一个元素。此外，它的元素可 以是任何数据类型，所以可以表示任何数据的集合。 目标数据：数据源中的元素并不定是查询所需要的结果。例如，对于一个学生信 息集合中，查询 A 只是查询学生的姓名，查询 B 要查询学生的姓名和各科成绩， 查询 C 则需要学生各科成绩的总分（需要另外计算），而不是原始数据中的各科 成绩。目标数据用来指定查询的具体想要的是什么数据。在 LINQ 中，它定义了 查询结果数据集中元素的具体类型。 筛选条件：筛选条件定义了对数据源中元素的过滤条件。只有满足条件的元素才 作为查询结果返回。筛选条件可以是简单的逻辑表达式表示，也可以用具有复杂 逻辑的函数来表示。 附加操作：附加操作表示一些其他的具体操作。比如，对查询结果进行排序、计 算查询结果的最值和求和、对查询结果进行分组等。 其中，数据源和目标数据是 LINQ 查询的必备元素，筛选条件和附加操作是可选元素。 比如，示例代码 4-1 中的查询 query1 就只包含了数据源和目标数据两个必备元素。本章后 面的章节将进一步介绍 LINQ 查询的具体使用方法。
通常，针对数据的查询是用简单的字符串文本来编写的查询语句，比如传统的 SQL 查 询语句，没有编译时的类型检查，安全性、方便性都不好。此外，开发人员还需要为不同 的数据源学习不同的数据查询语言，比如，查询 SQL 数据库的 T-SQL、查询 XML 数据的 DOM 结构等。
为了解决上面的问题，微软在.NET 3.5 版中推出一项具有突破性的新特性——语言集 成查询（LINQ）。LINQ 是 Language Integrate Query 的缩写，它在对象和数据之间建立一 种对应关系，可以使用访问内存对象的方式查询数据集合。LINQ 使查询成为 C#中的一种 语言构造。开发人员可以在 C#代码中嵌套类似于 SQL 语句的查询表达式，从而实现数据 查询的功能。
Python3基础教程第4章
>>> []
#创建空列表对象
[] >>> list()
#创建空列表对象
[] >>> [1,2,3]
#用同类型数据创建列表对象
[1, 2, 3]
>>> [1,2,('a','abc'),[12,34]] [1, 2, ('a', 'abc'), [12, 34]]
#用不同类型的数据创建列表对象
>>> list('abcd') ['a', 'b', 'c', 'd']
也可通过分片将连续多个数据替换成新的数据。
>>> x=list(range(10)) #创建列表对象
>>> x
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> x[2:5]
#返回分片列表
[2, 3, 4] >>> x[2:]
#省略分片结束位置时，分片直到列表结束
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
6．关系判断 可用in操作符判断对象是否属于列表，示例代码如下。 >>> 2 in [1,2,3] True >>> 'a' in [1,2,3] False
7．索引
与字符串类似，可通过位置来索引列表元素，也可通过索引修改列表元素。
>>> x=[1,2,['a','b']] >>> x[0]
2016年考研核心题型【数据结构部分】【第4章 树与二叉树】
其余的 b 和 c 结点都各有一个前驱结点和后继结点。
那么，将 d 右指针域（初始为空）调整并指向其后继结点 b。将 b 结点的左指针域调整
指向其前驱结点 d，因为 b 的右指针域不为空，所以线索化过程中不需要调整。c 的左右指
针域都为空，令其左指针域指向其前驱结点 b，右指针域指向其后继结点 a。
有在已知前序遍历序列或者后序遍历序列的情况下，又知道中序遍历序列，才能唯一确定
一棵二叉树。
遍历一棵二叉树，要使得前序遍历序列和后序遍历序列刚好相反，那么必须保证每一
个结点都只有一个孩子结点。故而，二叉树的高度为 4。那么，在前序遍历序列为 1、2、3、
4，后序遍历序列为 4、3、2、1 的情况下，该二叉树第 1、2、3、4 层的结点依次为 1、2、
【解析】对于某一种遍历顺序对应的线索化，只需写出对应的遍历序列，然后修改空
指针域分别指向该遍历序列的前驱和后继即可。例如，本题中的二叉树的后序遍历可得到
序列 d、b、c、a。那么，d 是第一个元素，没有前驱，所以其左指针域原来为空，线索化时
亦为空；a 是最后一个元素，但是其左右孩子都不为空，所以不需要考虑该结点的线索化；
24
13
53
37
90
48
图 4.4 插入新的结点 48 之后，我们沿着叶子结点 48 往根节点的路径上，查找第一个不平衡 的结点。显然，24 是第一个不平衡的结点，其左子树的高度为 1，右子树的高度为 3。图中 的粗线部分，即需要旋转的部分。 那么，造成了什么类型的不平衡呢？我们这样判断：53 是 24 右孩子（R），37 是 24 的左孩子（L），所以是 RL 型不平衡。于是，先把结点 24 的右孩子 53 的左孩子 37 向右上 方旋转到原来 53 的位置，再将 37 向左上旋转到 24 的位置，24 被旋转下来。成了如图 4.5 所示的样子。
第四章《程序设计基础》第4课时《运用循环结构描述问题求解过程教学设计粤教版高中信息技术必修1
5.小组合作：与小组成员共同讨论以下问题，并在下节课分享讨论成果。
-循环结构在实际编程中的应用场景。
-如何避免循环结构中的常见错误，如死循环、无限循环等。
- while循环和for循环在实际问题中的选择策略。
请同学们认真完成作业，通过实践提高自己的编程能力。在完成作业的过程中，如有疑问，可以随时向老师和小组成员请教。期待大家在信息技术学科上取得更好的成绩！
6.设想六：评价反馈，促进成长
教学结束后，教师对学生的学习情况进行评价，包括知识掌握、团队合作、创新能力等方面。评价应以鼓励为主，关注学生的个体差异，促进他们在信息技术学科上的持续成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：以一个简单的数学问题“计算1到100的累加和”作为引入，让学生思考如何利用已学的程序设计知识解决这个问题。
二、学情分析
在本章节的学习中，学生已经掌握了程序设计的基本概念、顺序结构以及选择结构，具备了初步的程序设计能力。在此基础上，他们对循环结构的学习将进入一个新的阶段。由于循环结构在算法中的广泛应用，学生需要在此阶段加强对循环概念的理解，以便能够熟练地运用循环结构解决实际问题。
考虑到学生的认知水平，他们对循环结构的理解可能还存在一定的困难。部分学生对循环变量的设置、循环条件的判断以及循环体的编写可能感到困惑。因此，在教学过程中，教师应关注这些难点，通过生动的案例和形象的解释帮助学生克服困难。
2.教师示范：通过案例演示，展示如何使用while循环和for循环解决实际问题，如计算1到100的累加和。
3.知识拓展：介绍循环结构的其他应用场景，如遍历数组、实现排序算法等。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：将学生分成小组，每组讨论以下问题：
- while循环和for循环有哪些区别和联系？
-循环结构在实际编程中的应用场景。
-如何避免循环结构中的常见错误，如死循环、无限循环等。
- while循环和for循环在实际问题中的选择策略。
请同学们认真完成作业，通过实践提高自己的编程能力。在完成作业的过程中，如有疑问，可以随时向老师和小组成员请教。期待大家在信息技术学科上取得更好的成绩！
6.设想六：评价反馈，促进成长
教学结束后，教师对学生的学习情况进行评价，包括知识掌握、团队合作、创新能力等方面。评价应以鼓励为主，关注学生的个体差异，促进他们在信息技术学科上的持续成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：以一个简单的数学问题“计算1到100的累加和”作为引入，让学生思考如何利用已学的程序设计知识解决这个问题。
二、学情分析
在本章节的学习中，学生已经掌握了程序设计的基本概念、顺序结构以及选择结构，具备了初步的程序设计能力。在此基础上，他们对循环结构的学习将进入一个新的阶段。由于循环结构在算法中的广泛应用，学生需要在此阶段加强对循环概念的理解，以便能够熟练地运用循环结构解决实际问题。
考虑到学生的认知水平，他们对循环结构的理解可能还存在一定的困难。部分学生对循环变量的设置、循环条件的判断以及循环体的编写可能感到困惑。因此，在教学过程中，教师应关注这些难点，通过生动的案例和形象的解释帮助学生克服困难。
2.教师示范：通过案例演示，展示如何使用while循环和for循环解决实际问题，如计算1到100的累加和。
3.知识拓展：介绍循环结构的其他应用场景，如遍历数组、实现排序算法等。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：将学生分成小组，每组讨论以下问题：
- while循环和for循环有哪些区别和联系？
《SEO实战密码》第4章、 网站结构优化(整理笔记)
http://192.186.23.243
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//不会索引但会抓取，页面url不会出现在搜索页面中
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2.子域名适用于：大型门户网站、跨国公司、公司多种非同类产品、不同地域分类信息网站
refresh等（被认为作弊行为）
一切正常；404--页面不存在；302--临时性转向；500--内部程序错误
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第4章-哈工大-数据结构-图结构及其应用算法
第4章图结构及其应用算法数据结构与算法Data Structures andgAlgorithms张岩海量数据计算研究中心哈工大计算机科学与技术学院第4章图结构及其应用算法2016/11/20Slide 4-2——图论欧拉欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔城，19岁开始发表论文，直到76岁。
几乎每一个数学领域都可以表论文直到76岁几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。
据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、力学占28%天文学占11%弹道学航海学建筑学等占3%。
1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院学教授年到林担任科了彼得堡科学院数学教授。
1741年到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，重回彼得堡，没有多久，完全失明。
欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。
哥尼斯堡七桥问题能否从某个地方出发，穿过所有的桥仅一次后再回到出发点?学习目标图结构是一种非线性结构，反映了数据对象之间的任意关系，在计算机科学、数学和工程中有着非常广泛的应用。
了解图的定义及相关的术语，掌握图的逻辑结构及其特点；了解图的存储方法，重点掌握图的邻接矩阵和邻接表存储结构；掌握图的遍历方法，重点掌握图的遍历算法的实现；了解图的应用，重点掌握最小生成树、双连通性、强连通性、最短路径、拓扑排序和关键路径算法的基本思想、算法原理和实现过程。
本章主要内容4.1 图的基本概念4.2 图的存储结构4.3 图的遍历(搜索)4.4 最小生成树算法4.5 双连通性算法4.5双连通性算法4.6 强连通性算法4.7最短路径算法4.7 最短路径算法4.8 拓扑排序算法4.9 关键路径算法本章小结本章的知识点结构基本的数据结构（ADT）图无向图有向图加权图网络图（无向图、有向图；加权图----网络）知识点结构定义及相关术语逻辑结构及其特征ADT定义A逻辑结构静态的结构基本操作（算法）存储结构（描述）ADT基本动态的操作存储结构特点存储结构的定义ADT实现数据结构存储结构静态的结构操作（算法）实现算法的性能应用:最小生成树最短路径拓扑排序和关键路径动态的操作,,图的搜索(遍历)算法是有关图问题的重要核心算法！4.1基本定义4.1定义1 图(Graph)图是由顶点（vertex）的有穷非空集合和顶点之间边（edge）的集合组成的一种数据结构，通常表示为：G = (V，E)其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。
离散数学(微课版) 第4章
离散数学（微课版）第4章1. 引言在离散数学的第4章中，我们将讨论图论的基本概念和应用。
图论是研究图及其在现实生活中的应用的数学分支，它在计算机科学、网络设计、运筹学等领域中具有重要的应用价值。
本章将介绍图的定义、图的表示方法、图的遍历算法等内容。
2. 图的定义图由一组节点和一组节点之间的边构成。
节点通常表示现实世界中的对象，而边则表示对象之间的关系。
图可以用于描述各种问题，如社交网络中的用户关系、城市之间的交通网络等。
2.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系。
而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
2.2 顶点和边图由顶点和边组成。
顶点是图的节点，用来表示对象。
边连接两个顶点，表示两个对象之间的关系。
2.3 路径和环路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的连接序列。
环是一条路径，其起点和终点相同。
3. 图的表示方法在计算机中，图可以用不同的数据结构来表示。
常见的表示方法包括：3.1 邻接矩阵邻接矩阵是用二维数组表示图的连接关系。
对于无向图，邻接矩阵是对称的，而对于有向图，则不对称。
A B CA010B101C010上述邻接矩阵表示了一个无向图，其中顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点C相连。
3.2 邻接表邻接表是用链表表示图的连接关系。
对于每个顶点，邻接表保存了与其相连的其他顶点的信息。
A ->B -> NULLB -> A ->C -> NULLC -> B -> NULL上述邻接表表示了一个无向图，顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点A、C相连，顶点C与顶点B相连。
4. 图的遍历算法图的遍历算法是指按照一定的方式访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
4.1 深度优先搜索深度优先搜索从起点开始，尽可能深地访问尚未访问的节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他未访问的节点。
第4章 程序设计基础
计算机科学导论
2
4.1 程序设计
程序设计是指用计算机语言对所要解决的问题中的数 据以及处理问题的方法和步骤所做的完整而准确的描述的 过程。程序设计步骤如下： 1. 确定要解决的问题。 2. 分析问题。 高质量程序设计目标是结构 化程度高、可读性好、效率 3. 选择计算方法。 高、可靠性高、便于维护。 4. 确定数据结构和算法。 5. 绘制流程图。 6. 编写程序。 7. 调试并测试程序。 8. 整理资料，交付使用。
2019/3/10
计算机科学导论
34
4.3.1 基本概念
（2） 数据的物理结构
数据的物理结构是指逻辑结构在计算机存储 器中的表示。 数据的物理结构主要有四种，分别是顺序结 构、链表结构、索引结构及散列结构。
2019/3/10
计算机科学导论
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4.3.1 基本概念
①顺序结构
把所有元素存放在一片连续的存储单元中，逻辑 上相邻的元素存储在物理位置相邻的存储单元中，由 此得到的存储表示称为顺序存储结构。 程序设计语言中的数组常使用顺序存储结构来实
2019/3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10
计算机科学导论
26
4.2.5 程序设计举例
例4.1 输入三角形的3个边长a，b和c ，求三角形面积。
area s(s a)(s b)(s c)
s ( a b c) / 2
则计算该三角形的面积的C语言源程序如下：
#include<stdio.h> #include<math.h> void main() { float a,b,c,s,area; //变量定义 scanf(“%f,%f,%f”,&a,&b,&c); //输入语句 s=1.0/2*(a+b+c); area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)); printf(“a=%7.2f,b=%7.2f,c=%7.2f,s=%7.2f\n”,a,b,c,s); printf(“area=%7.2f\n”,area); //输出语句 27 } 2019/3/10 计算机科学导论
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在时刻d[u]之前结点u为白色，在时刻d[u]和f[u]之间为灰 色， f[u]以后变为黑色。
初始时，对所有结点u， d[u] = f[u]=0 ，时钟的初值为0.
20
第4章 基本搜索和遍历方法
图2说明了深度优先搜索在有向图（u出发）上的执行过程。
21
第4章 基本搜索和遍历方法
22
第4章 基本搜索和遍历方法
第4章 基本搜索和遍历方法
第4章 基本搜索和遍历方法
4.1 4.2 4.3 4.4 基本概念 图的搜索和遍历 双连通分量 与或图×
1
第4章 基本搜索和遍历方法
4.1 基本概念
搜索和遍历是计算机问题求解最常用的技术之一。 • 搜索（search）是一种通过系统地检查给定数据对象 的每个结点，寻找一条从开始结点到答案结点的路径， 最终输出问题解的求解方法。
v8
v3
5 v5 6 v6
v3
v3
v7
v6
v5
v6
v7
7 v7 8 v8
v4
v5
27
第4章 基本搜索和遍历方法 参考答案： 以v2为起始点：v2-v1-v3-v6-v7-v4-v8-v5 以v8为起始点：v8-v4-v2-v1-v3-v6-v7-v5
v8
v4
v2
v2 v4
B
B
v1
v5
v1 v3
v8
深度优先搜索使用堆栈为活结点表。
18
第4章 基本搜索和遍历方法 1.深度优先遍历算法 初始时，图G的所有结点都为白色结点，从图中某个结点 u出发的深度优先搜索过程DFS可以描述为：
（1）访问结点u,对结点u着灰色；
（2）依次从u的白色邻接点出发，深度优先搜索图G。
为了访问有向图中的所有结点，必须从图中另选白色结点
3
第4章 基本搜索和遍历方法 无知搜索（盲目搜索或穷举搜索），是最简单的搜索状态 空间树的方法。 按照事先约定的某种次序，系统地在状态空间中搜索目标 状态，而无须对状态空间有较多了解。 有知搜索：运用问题的相关知识，克服无知搜索的盲目性， 有效地指导搜索过程，使之尽快到达答案状态。
启发式搜索：采用经验法则的搜索方法。 启发式方法一边搜索，一边评估达到目标状态的剩余距离， 这种评估依赖于已有的关于问题领域的知识和经验规则。
11
第4章 基本搜索和遍历方法 举例：广度优先搜索在一个无向图（结点S开始）上的 执行过程
12
第4章 基本搜索和遍历方法
13
第4章 基本搜索和遍历方法
2.广度优先树
算法BFS同时可生成一棵广度优先树（森林）。 初始时，树中只包含搜索的源结点作为根结点。在搜索中，对 于E结点u，每发现一个白色结点v，便将结点v和边<u,v>添加 到树中。 在广度优先树中，称结点u是结点v的双亲结点。如果结点v是 从根结点到结点w的路径上的一个结点，则称v是w的祖先，w是 v的后裔。 由于从一个给定的起始结点u出发的广度优先搜索，只能访问 从u出发有路径可达的那些结点。如果要遍历整个有向图，还 需从图中另选未访问的结点作为起始结点，再次进行广度优 先搜索。
2
3
32
双连通分量
第4章 基本搜索和遍历方法 对于一个无向连通图G，下列说法是等价的： （1）图G是双连通的； （2）图G的任意两个结点之间存在简单回路；
（3）图G中不包含关节点。
简单回路：在 一个回路中， 出现的边互不 相同。
33
第4章 基本搜索和遍历方法
4.3.2 发现关节点
在网络应用中，通常不希望网络中存在关节点。因为这意味着 一旦在这些位置出现故障，势必导致大面积的通信中断。 因此判定一个无向图是否双连通图，在图中发现关节点及求图 的双连通分量是很有实际意义的问题。 一个无向连通图不是双连通图的充要条件是图中存在关节点。 在无向图中识别关节点的最简单做法是：从图G中删除一个 结点a和该结点的关联边，再检查图G的连通性。如果图G因 此而不再是连通图，则结点a是关节点。
假设初始时图G的所有结点都为白色结点，那么从图中某个结 点u出发的广度优先搜索图的过程可以描述为：
• 访问结点u，结点u着灰色；
• 然后依次访问u的各个白色邻接点，将它们着灰色； • 访问完结点u的所有白色邻接点，结点u着黑色； • 接着再依次访问分别与这些邻接点相邻接的白色结点…… • 队列Q保存搜索过程中产生的活结点。
桥： 如果删除图G的某条边b,该图分离成两个非空子图，则称边b 是图G的桥。
29
第4章 基本搜索和遍历方法
图4-5(a)中的图G有哪些关节点？哪条边是桥？ 5
7 6 4
1
2
0
3
(a)无向连通图G
5
7 6 4 2
0
7 3
5
1
2
0
6
4
3
(b)删除图G的关节点1
(c)删除图G的桥<6,1>
30
第4章 基本搜索和遍历方法 双连通图：无向连通图G中不包含任何关节点。 5 7 1 2 0
1 v1
v2
v1
v3
v4 v5
v1
v2
v6
v8
v7
v1
4 v4 v3 5 v5 6 v6
v2 v4
v8
v2
v3
v8
v7
v5
v6
v7
7 v7 8 v8
v3
v4
v6
v5
16
第4章 基本搜索和遍历方法 参考答案： 以v2为起始点：v2-v1-v4-v5-v3-v8-v6-v7 以v8为起始点：v8-v4-v5-v2-v1-v3-v6-v7
• 加粗的实线边--树枝 • 虚线边--非树枝的边，分别标明B、 C、F以表示反向边、交叉边、正向
边。
23
第4章 基本搜索和遍历方法
2.深度优先树
算法同时可生成一棵深度优先树。 初始时，树中只包含搜索的源结点作为根结点。 在搜索中，一个结点，每发现一个白色结点，便将结点及边 添加到树中。 5 1 0
已检测状态：当算法访问了x的所有后继结点时，就称x已由此 算法检测；
正扩展状态：算法正从结点x出发，访问x的某个后继结点,x被 称为扩展结点，简称E-结点。 在算法执行的任何时刻，最多只有一个结点为E-结点，但可以 有多个结点处于未检测状态。
6
第4章 基本搜索和遍历方法 依据如何选择E-结点的规则不同，得到两种不同的搜索 算法：深度优先搜索和广度优先搜索。 由于一个搜索算法总是从一个未检测结点出发，获取 下一个被访问的结点，因此，保存所有未检测结点 对于搜索算法是十分重要的。
14
第4章 基本搜索和遍历方法
图4-2给出了以结点0为起点，广度优先遍历图4-1(a)的
有向图G所得到的广度优先森林，它包含两棵广度优先 树。 5 4 6 3 2 5 4 1 0 1 0
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图G的广度优先森林
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第4章 基本搜索和遍历方法 0
课堂练习
对于下面一个图及其存储结 构，写出以v2、v8为起始点 2 v2 的广度优先遍历序列，并画 3 v3 出广度优先树。
• 遍历(traversal)要求系统地检查数据对象的每个结
点。 • 根据被遍历的数据对象的结构不同，可分成树遍历和 图遍历。
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第4章 基本搜索和遍历方法
4.1 基本概念
一般来说，使用搜索技术来求解计算机问题，需要使用 状态空间的概念精确地描述问题。 • 状态空间用于描述所求问题的各种可能的情况，每一种情 况对应于状态空间中的一个状态。 • 初始状态：代表搜索开始。 • 目标状态（答案状态）：一个或多个状态代表已经求得问 题解的情况。 • 问题的状态空间常用一棵树或一个图表示。树（图）中的 一个结点代表问题的一个状态，问题的状态空间中的所有 状态形成一棵状态空间树（图）。 • 问题的求解过程:从起始状态出发，以某种次序系统地检 查状态空间中的每一个状态，搜索代表问题解的答案状态 的过程。
4
第4章 基本搜索和遍历方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4.2 图的搜索和遍历
遍历：遵循某种次序，系统地访问一个数据结构的全部元素。 实现遍历运算的关键是规定结点被访问的次序。
4.2.1 搜索方法 在树形结构中，一个结点的直接后继结点是它的孩子结点。 在图形结构中，一个结点的后继结点是邻接于该结点的所有 邻接点。
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第4章 基本搜索和遍历方法 为深入认识搜索算法的特点，将被搜索的结点按其状态 分成4类：未访问、未检测、已检测和正扩展。 未访问状态：一个结点x尚未访问； 未检测状态：结点x自身已访问，但x的后继结点尚未全部访问；
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第4章 基本搜索和遍历方法
5.边的分类
（1）树边(tree edge) ：深度优先森林的边。
（2）反向边B(back edge) ：深度优先树中从后裔到祖先的边， 环也被认为是反向边。 （3）正向边F(forward edge) ：深度优先树中从祖先到后裔的 非树边。 （4）交叉边C(cross edge) ：其余的边。
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4 6 3 2
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2 图G的深度优先森林
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对比
第4章 基本搜索和遍历方法
4.深度优先搜索的性质
定理 4-2 括号定理 在对有向图或无向图G=(V,E)的任何深度优先搜索中，对于图
中任意两结点u和v，下述三个条件中有且仅有一条成立：
(1)区间[d[u],f[u]]和区间[d[v],f[v]]是完全分离的，且在 深度优先森林中，u和v互不为后裔； (2)区间[d[u],f[u]]完全包含区间[d[v],f[v]]，且在深度优 先树中v是u的后裔； (3)区间[d[v],f[v]]完全包含区间[d[u],f[u]]，且在深度优 先树中u是v的后裔；
初始时，对所有结点u， d[u] = f[u]=0 ，时钟的初值为0.
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第4章 基本搜索和遍历方法
图2说明了深度优先搜索在有向图（u出发）上的执行过程。
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第4章 基本搜索和遍历方法
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第4章 基本搜索和遍历方法
第4章 基本搜索和遍历方法
第4章 基本搜索和遍历方法
4.1 4.2 4.3 4.4 基本概念 图的搜索和遍历 双连通分量 与或图×
1
第4章 基本搜索和遍历方法
4.1 基本概念
搜索和遍历是计算机问题求解最常用的技术之一。 • 搜索（search）是一种通过系统地检查给定数据对象 的每个结点，寻找一条从开始结点到答案结点的路径， 最终输出问题解的求解方法。
v8
v3
5 v5 6 v6
v3
v3
v7
v6
v5
v6
v7
7 v7 8 v8
v4
v5
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第4章 基本搜索和遍历方法 参考答案： 以v2为起始点：v2-v1-v3-v6-v7-v4-v8-v5 以v8为起始点：v8-v4-v2-v1-v3-v6-v7-v5
v8
v4
v2
v2 v4
B
B
v1
v5
v1 v3
v8
深度优先搜索使用堆栈为活结点表。
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第4章 基本搜索和遍历方法 1.深度优先遍历算法 初始时，图G的所有结点都为白色结点，从图中某个结点 u出发的深度优先搜索过程DFS可以描述为：
（1）访问结点u,对结点u着灰色；
（2）依次从u的白色邻接点出发，深度优先搜索图G。
为了访问有向图中的所有结点，必须从图中另选白色结点
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第4章 基本搜索和遍历方法 无知搜索（盲目搜索或穷举搜索），是最简单的搜索状态 空间树的方法。 按照事先约定的某种次序，系统地在状态空间中搜索目标 状态，而无须对状态空间有较多了解。 有知搜索：运用问题的相关知识，克服无知搜索的盲目性， 有效地指导搜索过程，使之尽快到达答案状态。
启发式搜索：采用经验法则的搜索方法。 启发式方法一边搜索，一边评估达到目标状态的剩余距离， 这种评估依赖于已有的关于问题领域的知识和经验规则。
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第4章 基本搜索和遍历方法 举例：广度优先搜索在一个无向图（结点S开始）上的 执行过程
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第4章 基本搜索和遍历方法
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第4章 基本搜索和遍历方法
2.广度优先树
算法BFS同时可生成一棵广度优先树（森林）。 初始时，树中只包含搜索的源结点作为根结点。在搜索中，对 于E结点u，每发现一个白色结点v，便将结点v和边<u,v>添加 到树中。 在广度优先树中，称结点u是结点v的双亲结点。如果结点v是 从根结点到结点w的路径上的一个结点，则称v是w的祖先，w是 v的后裔。 由于从一个给定的起始结点u出发的广度优先搜索，只能访问 从u出发有路径可达的那些结点。如果要遍历整个有向图，还 需从图中另选未访问的结点作为起始结点，再次进行广度优 先搜索。
2
3
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双连通分量
第4章 基本搜索和遍历方法 对于一个无向连通图G，下列说法是等价的： （1）图G是双连通的； （2）图G的任意两个结点之间存在简单回路；
（3）图G中不包含关节点。
简单回路：在 一个回路中， 出现的边互不 相同。
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第4章 基本搜索和遍历方法
4.3.2 发现关节点
在网络应用中，通常不希望网络中存在关节点。因为这意味着 一旦在这些位置出现故障，势必导致大面积的通信中断。 因此判定一个无向图是否双连通图，在图中发现关节点及求图 的双连通分量是很有实际意义的问题。 一个无向连通图不是双连通图的充要条件是图中存在关节点。 在无向图中识别关节点的最简单做法是：从图G中删除一个 结点a和该结点的关联边，再检查图G的连通性。如果图G因 此而不再是连通图，则结点a是关节点。
假设初始时图G的所有结点都为白色结点，那么从图中某个结 点u出发的广度优先搜索图的过程可以描述为：
• 访问结点u，结点u着灰色；
• 然后依次访问u的各个白色邻接点，将它们着灰色； • 访问完结点u的所有白色邻接点，结点u着黑色； • 接着再依次访问分别与这些邻接点相邻接的白色结点…… • 队列Q保存搜索过程中产生的活结点。
桥： 如果删除图G的某条边b,该图分离成两个非空子图，则称边b 是图G的桥。
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第4章 基本搜索和遍历方法
图4-5(a)中的图G有哪些关节点？哪条边是桥？ 5
7 6 4
1
2
0
3
(a)无向连通图G
5
7 6 4 2
0
7 3
5
1
2
0
6
4
3
(b)删除图G的关节点1
(c)删除图G的桥<6,1>
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第4章 基本搜索和遍历方法 双连通图：无向连通图G中不包含任何关节点。 5 7 1 2 0
1 v1
v2
v1
v3
v4 v5
v1
v2
v6
v8
v7
v1
4 v4 v3 5 v5 6 v6
v2 v4
v8
v2
v3
v8
v7
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v6
v7
7 v7 8 v8
v3
v4
v6
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第4章 基本搜索和遍历方法 参考答案： 以v2为起始点：v2-v1-v4-v5-v3-v8-v6-v7 以v8为起始点：v8-v4-v5-v2-v1-v3-v6-v7
• 加粗的实线边--树枝 • 虚线边--非树枝的边，分别标明B、 C、F以表示反向边、交叉边、正向
边。
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第4章 基本搜索和遍历方法
2.深度优先树
算法同时可生成一棵深度优先树。 初始时，树中只包含搜索的源结点作为根结点。 在搜索中，一个结点，每发现一个白色结点，便将结点及边 添加到树中。 5 1 0
已检测状态：当算法访问了x的所有后继结点时，就称x已由此 算法检测；
正扩展状态：算法正从结点x出发，访问x的某个后继结点,x被 称为扩展结点，简称E-结点。 在算法执行的任何时刻，最多只有一个结点为E-结点，但可以 有多个结点处于未检测状态。
6
第4章 基本搜索和遍历方法 依据如何选择E-结点的规则不同，得到两种不同的搜索 算法：深度优先搜索和广度优先搜索。 由于一个搜索算法总是从一个未检测结点出发，获取 下一个被访问的结点，因此，保存所有未检测结点 对于搜索算法是十分重要的。
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第4章 基本搜索和遍历方法
图4-2给出了以结点0为起点，广度优先遍历图4-1(a)的
有向图G所得到的广度优先森林，它包含两棵广度优先 树。 5 4 6 3 2 5 4 1 0 1 0
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图G的广度优先森林
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第4章 基本搜索和遍历方法 0
课堂练习
对于下面一个图及其存储结 构，写出以v2、v8为起始点 2 v2 的广度优先遍历序列，并画 3 v3 出广度优先树。
• 遍历(traversal)要求系统地检查数据对象的每个结
点。 • 根据被遍历的数据对象的结构不同，可分成树遍历和 图遍历。
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第4章 基本搜索和遍历方法
4.1 基本概念
一般来说，使用搜索技术来求解计算机问题，需要使用 状态空间的概念精确地描述问题。 • 状态空间用于描述所求问题的各种可能的情况，每一种情 况对应于状态空间中的一个状态。 • 初始状态：代表搜索开始。 • 目标状态（答案状态）：一个或多个状态代表已经求得问 题解的情况。 • 问题的状态空间常用一棵树或一个图表示。树（图）中的 一个结点代表问题的一个状态，问题的状态空间中的所有 状态形成一棵状态空间树（图）。 • 问题的求解过程:从起始状态出发，以某种次序系统地检 查状态空间中的每一个状态，搜索代表问题解的答案状态 的过程。
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第4章 基本搜索和遍历方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4.2 图的搜索和遍历
遍历：遵循某种次序，系统地访问一个数据结构的全部元素。 实现遍历运算的关键是规定结点被访问的次序。
4.2.1 搜索方法 在树形结构中，一个结点的直接后继结点是它的孩子结点。 在图形结构中，一个结点的后继结点是邻接于该结点的所有 邻接点。
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第4章 基本搜索和遍历方法 为深入认识搜索算法的特点，将被搜索的结点按其状态 分成4类：未访问、未检测、已检测和正扩展。 未访问状态：一个结点x尚未访问； 未检测状态：结点x自身已访问，但x的后继结点尚未全部访问；
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第4章 基本搜索和遍历方法
5.边的分类
（1）树边(tree edge) ：深度优先森林的边。
（2）反向边B(back edge) ：深度优先树中从后裔到祖先的边， 环也被认为是反向边。 （3）正向边F(forward edge) ：深度优先树中从祖先到后裔的 非树边。 （4）交叉边C(cross edge) ：其余的边。
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对比
第4章 基本搜索和遍历方法
4.深度优先搜索的性质
定理 4-2 括号定理 在对有向图或无向图G=(V,E)的任何深度优先搜索中，对于图
中任意两结点u和v，下述三个条件中有且仅有一条成立：
(1)区间[d[u],f[u]]和区间[d[v],f[v]]是完全分离的，且在 深度优先森林中，u和v互不为后裔； (2)区间[d[u],f[u]]完全包含区间[d[v],f[v]]，且在深度优 先树中v是u的后裔； (3)区间[d[v],f[v]]完全包含区间[d[u],f[u]]，且在深度优 先树中u是v的后裔；