高三数学寒假作业 专题01 集合间的关系及其运算(测)Word版 含答案(寒假总动员)
高考数学母题解密专题01 集合的表示及其运算附答案及解析(北京专版)
专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,67．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,38．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,29．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．113．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=315．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________．19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）AB ；（3）()()UU A B ⋂．21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．解析附后专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}0B x x =>，∴{}1,2,3AB =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D.2．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =【答案】B【解析】由2(1)0x -≤，得1x =，所以集合{}1M =，因为{|0}N x x =>，所以M N ⊆，故选：B3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥【答案】B 【解析】若AB A =,则A B ⊆,又{}|1A x x =≤{}2|x x ⊆≤4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为2{|0211},{|320}A x x B x x x =<-≤=-≥，即1{|1},{|02A x x B x x =<≤=≤或2}3x ≥，所以2{|0}3U B x x =<<，则12(){|}23UA B x x ⋂=<<，应选答案D. 5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-【答案】A【解析】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-.6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,6【答案】C【解析】为使()6y lg x =-有意义，则60x ->,解得6x <,()6A ∴=-∞，， 由0212x >=,解得0x >,()0,B ∴=+∞, ∴(],0UB =-∞,∴()(]A 0UB ⋂=-∞，,故选C .7．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】B【解析】由已知：{}|1R C B x x =≤，所以集合(){}1,0,1R A C B ⋂=-．8．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤ B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}0,1,2,3 D ．{}1,2【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x C x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R A C B ⋂=9．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤，当01a <<时，[,1]A a =；当1a =时，{}1A =； 当15a <<，[1,]A a =，{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<，因为A B ，所以p q 是的充分不必要条件.10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则AB =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 【答案】D 【解析】{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，∴{202}A B =-，，，故选：D.11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】由题意可得：{}2|0,1,2x B x x Z x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭又{1,2,3}A = ∴AB ={}123，， 12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B.13．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)【答案】A【解析】,A B 都不是空集，设a A ∈，则()0f a =；a B ∈，则()()()00ff a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时：方程的解为0x = 此时{}0A B ==，满足； 当0n ≠时：2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n =-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n =+=-A B =，则2()f x x nx n =+=-无解，24004n n n ∆=-<∴<<综上所述：04n ≤<，[0,4)m n +∈14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=3【答案】D【解析】∵f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），当f （x ）=0时至少有一个根x=﹣a 当b 2﹣4c=0时，f （x ）=0还有一根只要b≠﹣2a ，f （x ）=0就有2个根；当b=﹣2a ，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根； 当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=215．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.【答案】{1,2,4}【解析】因为{}2A B ⋂=，所以2A ∈，若221m m =⇒=，此时{21}A =，，满足条件； 若2m =，则{24}A =，，{}24A B ⋂=，，不符合题意，舍去. 所以1m =，AB ={1,2,4}.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________【答案】(0,2)【解析】由题意{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 则AB ={|22{|}(003}{|02})2,x x x x x x -<<=<<<<=.17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞ 【解析】由B A ⊆可得： 当B =∅,则121m m +>-， ∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[)1,2 【解析】222222x x a x x a ---+-+-≥()()2222222x x a x x a a -----+-=，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴22222220x x a x x a a ---+-+--≥，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴集合A 中有且仅有两个元素等价于不等式222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，函数2()22f x x x =--=2117248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象关于直线14x =对称， 又(2)8f -=，()11f -=，(0)2f =-，(1)1f =-，(2)4f =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，由图知，要使222a x x a -≤--≤有两个整数解，则12a ≤<.19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .【解析】(1)由220-++>x x 得，12x -<<，∴{|12}A x x =-<<，∴()2222111y x x x =-+=-+≥，∴{|1}B y y =≥. （2）由（1）得，{|12},A B x x ⋂=≤< {}x 1,A B x ⋃=>-又[)U 6,=-+∞，所以()UA B ={|61}x x -≤≤-.20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）A B ；（3）()()UU A B ⋂．【解析】{}2|560A x x x =--<={|16}-<<x x ，{||2|1}B x x =-{|1x x =≤或3}x ≥，（1）A B ={|11x x -<≤或36}x ≤<；（2）A B =R ；（3）因为|1{UA x x =≤-或6}x ≥，{|13}UB x x =<<，所以()()UU A B ⋂={|1x x ≤-或6}x ≥{|13}x x ⋂<<=∅.21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．【解析】因为集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭， 所以集合A 表示不包括点(3,4)的直线(1)370a x y a ---+=， 当210a -=且10a -=时，即1a =时，集合B 为空集， 显然AB =∅成立，故1a =符合题意；当1a ≠时，集合B 不为空集，要想AB =∅成立，只需：直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行或者 直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)， 当直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行时，有2(1)(1)1a a a --=-且(37)(1)5a a --≠，解得1a ≠，而1a ≠，所以不存在这种情况；直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)，有()2213(1)453440aa a a -⋅--⋅=-⇒-=，解得2a =或23a =-，综上所述：实数a 的值为21,2,3-22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.【解析】(1)画出1y x =+的图像，又y kx =为过原点的直线. 临界条件为：当y kx =为x 轴时，0k =；当y kx =与1y x=+在[)1,-+∞上的射线平行时，1k =. 故不等式1x kx +>恒成立，则01k <≤(2)因为二次函数()222f x ax x a =--，故0a ≠，且判别式()()22242480a a a ∆=---=+>，所以()0f x =两根之积为12220ax x a-==-<，故不妨设两根120x x <<. 当0a >时，若A B ⋂≠∅则有23x <，故()30f >，即9620a a -->，解得67a >. 当0a <时，若A B ⋂≠∅则有21>x ，故()10f >，即220a a -->，解得2a <-. 综上有2a <-或67a >. 23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由． 【解析】假设存在实数a 和b 同时满足题中的两个条件, 则2315.y ax b y x =+⎧⎨=+⎩，由A B ⋂≠∅， 则必存在整数n 使 23(15)0,n an b -+-=于是它的判别式 2()12(15)0,a b ∆=--- 即212(15).a b -又由 22144a b + 得 22144,a b - 由此便得 12(15-2)144,b b -即 2(6)0,b - 故 6.b = 将 6b = 代人上述的 212(15)a b -及 22144a b -，得 2108a =,所以 a =± 将 6a b =±= 代入方程23(15)0,n an b -+-= 求得 .n =Z故不存在实数a ，b 使A B ⋂≠∅，与(,)a b C ∈同时成立．。
高三数学寒假作业一(含答案)
高三数学寒假作业一一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程）1．已知集合}21{，=A ，{}321，，-=B ，则集合B A ＝ ▲ ． 2．若复数iiz +=12（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ． 3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为 ▲ ．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为2:3:3，为调查该 校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为 ▲ ． 5．函数24)1ln(x x y -++=的定义域为 ▲ ．6．甲、乙两人依次从标有数字321，，的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线12222=-b y a x )00(>>b a ，的离心率为23，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 8．已知函数()sin(2)3f x x π=+，若函数)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ ▲ ．9．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 和为n S ，首项为1，若2262a a a ，，成等比数列，则10S = ▲ ．10．某种圆柱形的饮料罐的容积为128π个单位，当它的底面半径和高的比值为 ▲ 时，可使得所用材料最省．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线03:=-+m y x l ，点)0,3(A ，若满足7222=-PA PO 的点P 到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．如图，在ABC ∆中，23==AC AB ，，=2，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点，则=⋅ ▲ ． 13．已知0,0a b >>，且31126a b a b++≤+， 则3aba b+的最大值为 ▲ ．（第3题图）14．已知偶函数)(x f 满足)4()4(x f x f -=+，且当]4,0(∈x 时xe xx f )()(=，关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 在区间]400400[，-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分） 已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin A B -=，求tan B 的值．16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面⊥C C AA 11平面ABC ，11AC E A ⊥．（1）求证：//DE 平面11C AB ；（2）求证：⊥E A 1平面BDE ．如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点到相应准线的距离为3，离心率为21，过右焦点F 作两条互相垂直的弦CD AB ，，设CD AB ，的中点分别为N M ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦CD AB ，的斜率均存在，且OMF ∆和∆最大时，直线AB 的方程．如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：CD AB //，BC AB ⊥，075=∠DAB ，AD 长1千米，AB 长2千米．公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，D B ，点是公园的进出口．公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ －线段QP －弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点）．根据市场行情，BQ ，QP段的建造费用是每千米10万元，湖岸段PD 的建造费用是每千米3)12(20+万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度，观光步行道的建造费用为w 万元． （1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其定义域； （2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．①若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足203422=+=S S a ，，数列}{n b 是首项为2，公比为q )1(≠q 的等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设正整数r t k ，，成等差数列，且r t k <<，若k r r t t k b a b a b a +=+=+，求实数q的最大值；（3）若数列}{n c 满足⎩⎨⎧=-==，，，，k n b k n a c k k n 212*∈N k ，其前n 项和为n T ，当3=q 时，是否存在正整数m ，使得122-m mT T 恰好是数列}{n c 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．高三数学寒假作业一参考答案一、填空题1. {}3,2,1,1-2. 13. 104. 1205. ]2,1(-6. 137. x y 25±= 8. 512π 9. 145 10. 21 11. )3,9(- 12. 34-13. 19 14. 3122(3,]e e ----二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈ 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩·……………………3分 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=……………………6分 解得85c =……………………7分 （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈- 又()sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B -> 所以()cos 10A B -==……………………10分 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==- ……………………11分所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅………………14分 注：（2）中无角的范围扣1分。
主题01 集合间的关系与基本运算-2019年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析
【主题考法】本热点为选择题和填空题,常与函数、方程、不等式等知识结合，重点考查集合概念、集合间的关系、集合的运算，偶尔有创新题型，是基础题.2018年的高考将会继续以选择填空题形式，与函数、方程、不等式等知识结合考查集合运算、集合间关系，仍为基础题，分值5分。
【主题考前回扣】1.集合的运算性质：①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ；②A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ；③A ⊆B ⇔∁U A ⊇∁U B .2.子集、真子集个数计算公式对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ,2n －1,2n －1,2n－2.3.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．【易错点提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝∅的情况．【主题考向】 考向一 集合间关系【解决法宝】①对两集合的关系判定问题，常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析，未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.③对子集个数的问题，若集合A 有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.例1【2019届河南省实验中学质测三】集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】分B 是否为空集，结合数轴列出关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围.【解析】若B ＝∅，即＜a ﹣1，即a ＜0时，满足B ⊆A ，若B ≠∅，即≤2a ﹣1，即a ≥0时，要使B ⊆A ，则满足，解得，综上所述，故选A ．综上所求0a =或a =，故()3C S =，故选B.【主题集训】1. 【广东省深圳市高中2018届11月考】已知全集,集合,则)(B C A U ⋂=（ ）A. {}1B. {}2C. {}4D. {}1,2 【答案】A 【解析】∵全集，集合，∴，∴)(B C A U ⋂={1}，故选A 。
寒假作业(一)集合-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
寒假作业（一）2020高一数学【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册全册寒假作业5套高中数学必修一寒假作业寒假作业（一）——集合一、单选题1．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，ba，}b ，则(b a -= ) A ．1B ．1-C ．2D ．2- 2．设全集U R =，若集合1{|0}4x A x x-=-，2{|log 2}B x x =，则(A B = )A ．{|4}x x <B ．{|4}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x3．已知集合{|}A x x a =>，{|12}B x x =<<，且()R AB R =，则实数a 的取值范围是()A ．{|1}a aB ．{|1}a a <C ．{|2}a aD ．{|2}a a >4．已知集合2{|log (1)1}A x x =-<，{|||2}B x x a =-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为()A ．(1,3)B ．[1，3]C ．[1，)+∞D ．(-∞，3]5．设U 为全集，A ，B 是集合，则“A B =∅”是“存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知全集U R =，集合{|(4)0}A x x x =-<，2{|log (1)1}B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{|12}x x <<B ．{|23}x x <<C ．{|03}x x <D ．{|04}x x <<7．设集合1{|24k M x x ==+，}k Z ∈，1{|42k N x x ==+，}k Z ∈，则下列关系正确的是( )A ．M N =B ．MN ⊂≠C ．MN ⊃≠D ．以上都不对8．设P 、Q 是非空集合，定义{|P Q x x P Q ⨯=∈且}x P Q ∉，已知{|P x y ==，{|2}x Q y y e ==，则P Q ⨯等于( )A ．(2,){0}+∞B ．[0，1][2，)+∞C ．[0，1)(2⋃，)+∞D ．[0.1](2,)+∞二、多选题9．已知集合为A ＝{x ∈Z |≥1}，集合B ＝{x |ax ＝1}，且A ∩B ＝B ，则a 的值可能为（ ）A ．0B ．﹣C ．﹣1D ．﹣210．已知全集U 和集合A ，B ，C ，若A ⊆B ⊆∁U C ，则下列关系一定成立的有（ ） A ．A ∩B ＝A B ．B ∪C ＝BC ．C ⊆∁U AD ．（∁U A ）∪（∁U C ）＝U11．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2+3x ﹣10＜0}，B ＝{x |x 2+2ax +a 2﹣4＝0}．若A ∩B 中恰有2个元素，则实数a 值可以为（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣212．设集合M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3）＝0}，N ＝{x |（x ﹣4）（x ﹣1）＝0}，则下列说法不正确的是（ ）A ．若M ∪N 有4个元素，则M ∩N ≠∅B ．若M ∩N ≠∅，则M ∪N 有4个元素C ．若M ∪N ＝{1，3，4}，则M ∩N ≠∅D ．若M ∩N ≠∅，则M ∪N ＝{1，3，4} 三、填空题13．已知集合22{|log (34)}A x y x x ==--，22{|320(0)}B x x mx m m =-+<>，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为14．对于任意两集合A ，B ，定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，*()()A B A B B A =--记{|0}A y y =，{|33}B x x =-，则*A B = ．15．设集合{0A =，4}-，22{|2(1)10B x x a x a =+++-=，}x R ∈．若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．16．设非空集合A 为实数集的子集，若A 满足下列两个条件： （1）0A ∈，1A ∈；（2）对任意x ，y A ∈，都有x y A +∈，x y A -∈，xy A ∈，(0)xA y y∈≠ 则称A 为一个数域，那么命题：①有理数集Q 是一个数域；②若A 为一个数域，则Q A ⊆；③若A ，B 都是数域，那么A B也是一个数域；④若A ，B 都是数域，那么AB 也是一个数域．其中真命题的序号为 ． 四、解答题17．已知集合{|3A x a x a =<<，0}a >，集合{|23}B x x =<． （1）当1a =时，求AB ，AB ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．18．已知全集U R =，集合2{|450}A x x x =--，2{|124}x B x -=．（1）求()U AB ；（2）若集合{|4C x a x a =，0}a >，且满足C A A =，C B B =，求实数a 的取值范围．19．已知集合6{|1}2A x x=+，2{|(4)70}B x x m x m =-+++<． （1）若3m =时，求()R AB ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围．20．已知集合2{|450}A x x x =--<，22{|(34)280}B x x m x m m =-+++<．（1）若2m =，求A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围．寒假作业（一）——集合答案1．解：根据题意，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-，∴1ba=-，1b =； 故1a =-，1b =，则2b a -=，故选：C ．2．解：由A 中不等式变形得：(1)(4)0x x --，且40x -≠， 解得：14x <，即{|14}A x x =<，由B 中不等式变形得：22log 2log 4x =，解得：04x <，即{|04}B x x =<，则{|14}A B x x =<，故选：C ．3．解：()R AB R =，且()R B B R =，()R B B =∅；B A ∴⊆，1a ∴故选：A ．4．解析：2{|log (1)1}{|012}{|13}A x x x x x x =-<=<-<=<<，{|||2}{|22}{|22}B x x a x x a x a x a =-<=-<-<=-<<+，因为A B ⊆，所以2123a a -⎧⎨+⎩，解得13a ．故选：B ． 5．解：由题意A C ⊆，则U U C A ⊆，当UB C ⊆，可得“A B =∅”；若“A B =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ．6．解：由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U AB ，集合{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<，2{|log (1)1}{|3}B x x x x =->=>，{|3}U B x x ∴=，即(){|03}U A B x x =<，故选：C ．7．解：若x M ∈，则11212424k K x -=+=+，k Z ∈，21k Z -∈ 即M 中元素都是N 中元素；所以，M N ⊆． 而当2k =-时，0N ∈，0M ∉MN ∴故选：B ．8．解：由P 知，220x x -，即02x ，即[0P =，2]，由Q 知，20x y e =>，(0,)Q =+∞，[0PQ =，)+∞，(0P Q =，2]，则(2,){0}P Q ⨯=+∞故选：A ．9．解：＝{﹣2，﹣1}，∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴①a＝0时，B＝∅，满足题意；②a≠0时，，则或﹣1，解得或﹣1，∴a的值可能为．故选：ABC．10．解：如图阴影表示集合C，矩形表示集合U，∵A⊆B⊆∁U C，∴A∩B＝A，B∪C＝∁U A，C⊆∁U A，（∁U A）∪（∁U C）＝U，故选：ACD．11．解：集合A＝{x∈Z|x2+3x﹣10＜0}＝{x∈Z|﹣5＜x＜2}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x2+2ax+a2﹣4＝0}，当a＝2时，此时x2+4x＝0，解得x＝0或x＝﹣4，满足A∩B中恰有2个元素，当a＝1时，此时x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，满足A∩B中恰有2个元素，当a＝﹣1时，此时x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，不满足A∩B中恰有2个元素，当a＝﹣2时，此时x2﹣4x＝0，解得x＝0或x＝4，不满足A∩B中恰有2个元素，故选：AB．12．解：∵集合M＝{x|（x﹣a）（x﹣3）＝0}＝{a，3}，N＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＝0}＝{1，4}，在A中，若M∪N有4个元素，则a∉{1，3，4}，∴M ∩N ＝∅，故A 正确；在B 中，若M ∩N ≠∅，则a ∈{1，4}，∴M ∪N 有3个元素，故B 错误； 在C 中，若M ∪N ＝{1，3，4}，则当a ＝3时，M ∩N ＝∅，故C 错误； 在D 中，若M ∩N ≠∅，则a ∈{1，4}，∴M ∪N ＝{1，3，4}，故D 正确． 故选：BC ．13．解：解一元二次不等式2340x x -->得：1x <-或4x >，即(A =-∞，1)(4-⋃，)+∞，解一元二次不等式22320(0)x mx m m -+<>得2m x m <<，即(,2)B m m =， 又B A ⊆，所以210m m -⎧⎨>⎩或40m m ⎧⎨>⎩，解得4m ，14．解：有题意知：{|3}A B x x -=>，{|30}B A x x -=-<， *()()[3A B A B B A =--=-，0)(3⋃，)+∞．故答案为：[3-，0)(3⋃，)+∞．15．解：集合{0A =，4}-，22{|2(1)10B x x a x a =+++-=，}x R ∈，B A ⊆，∴当B =∅时，222(1)10x a x a +++-=无解，△224(1)4(1)0a a =+--<，解得1a <-；当{0}B =时，把0x =代入方程222(1)10x a x a +++-=，得1a =±； 当1a =时，{0B =，4}{0}-≠，1a ∴≠；当1a =-时，{0}B =，1a ∴=-；当{4}B =-时，把4x =-代入方程222(1)10x a x a +++-=，得1a =或7a =； 当1a =时，{0B =，4}{4}-≠-，1a ∴≠； 当7a =时，{4B =-，12}{4}-≠-，7a ∴≠； 当{0B =，4}-时，则1a =； 当1a =时，{0B =，4}-，1a ∴=； 综上所述：1a -或1a =，∴实数a 的取值范围是(-∞，1]{1}-．故答案为：(-∞，1]{1}-．16．解：由已知中数域的定义可得：则有理数集Q 满足定义，是一个数域，故①正确；若A 为一个数域，则A 中包含任意整数和分数，故Q A ⊆，故②正确； 若A ，B 都是数域，那么Q A B ⊆，故AB 中的元素均满足定义，故AB 也是一个数域，故③正确；若{|,}A x x nm n Q ==∈，{|,}B x x ts t Q ==∈，则{|A B x x n ==或,,,}ts t m n Q ∈，此时1)2)AB +∉，故④不正确；故真命题的序号为①②③． 故答案为：①②③17．解：（1）当1a =时，集合{|13}A x x =<<，集合{|23}B x x =<． {|23}AB x x ∴=<<，{|13}A B x x =<．（2）集合{|3A x a x a =<<，0}a >，集合{|23}B x x =<．AB =∅，∴当A =∅时，3a a ，解得0a ，不合题意，当A ≠∅时，33a a a <⎧⎨⎩或332a aa <⎧⎨⎩，解得3a 或23a． 又0a >，故实数a 的取值范围是(0，2][33，)+∞．18．解：（1）{|15}A x x =-，{|24}B x x =，{|2U B x x ∴=<或4}x >，(){|12U AB x x ∴=-<或45}x <；（2）由CA A =得C A ⊆，则1450a a a -⎧⎪⎨⎪>⎩，解得504a <；由CB B =得BC ⊆，则2440a a a ⎧⎪⎨⎪>⎩，解得12a ；∴实数a 的取值范围为5{|1}4a a． 19．解：（1）集合6{|1}{|24}2A x x x x==-<+， 3m =时，{|25}B x x =<<， {|2R C B x x ∴=或5}x ，(){|22}R AC B x x =-<．（2）A B A =，B A ∴⊆， ①当B =∅时，△2(4)4(7)0m m =+-+，解得62m -， ②当B ≠∅时，记2()(4)7f x x m x m =-+++，04242(2)0(4)0m f f >⎧⎪+⎪-<<⎪⎨⎪-⎪⎪⎩，628419373m m m m m ⎧-⎪-<<⎪⎪⎨-⎪⎪⎪⎩或即， 解得1976233m m -<-<或， 综合①②得m 的范围是197[,]33-． 20．解：（1）2m =时，2{|10240}{|46}B x x x x x =-+<=<<，且{|15}A x x =-<<， {|16}A B x x ∴=-<<；（2）{|(2)(4)0}B x x m x m =---<，且B A ⊆，∴①若24m m <+，即4m <时，{|24}B x m x m =<<+，则21454m m m -⎧⎪+⎨⎪<⎩，解得112m -； ②若24m m =+，即4m =时，B =∅，符合题意；③若24m m >+，即4m >时，{|42}B x m x m =+<<，则41254m m m +-⎧⎪⎨⎪>⎩，不等式无解； m ∴的取值范围为1{|14}2m m m -=或．。
集合的关系与运算训练测试题(含答案)
集合的关系与运算一、单选题（共17题；共34分）1.（2020·新课标Ⅲ·文）已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 52.（2020·新课标Ⅲ·理）已知集合，，则中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 63.（2020·新课标Ⅱ·文）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A. B. {–3，–2，2，3） C. {–2，0，2} D. {–2，2}4.（2020·新课标Ⅰ·文）已知集合则（）A. B. C. D.5.（2020·新课标Ⅰ·理）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A. –4B. –2C. 2D. 46.（2020·北京）已知集合，，则（）．A. B. C. D.7.（2020高二下·湖州期末）已知集合，，则（）.A. B. C. D.8.（2020高一下·海南期末）已知集合，，则（）A. B. C. D.9.（2020·新高考Ⅰ）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}10.（2020·新课标Ⅱ·理）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3}11.（2020·天津）设全集，集合，则（）A. B. C. D.12.（2020高一下·宣城期末）已知全集，集合，集合，则=（）A. B. C. D.13.（2020高二下·北京期末）设全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.14.（2020高二下·天津期末）已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.15.（2020高二下·台州期末）已知集合，，则（）A. B. C. D.16.（2020高二下·慈溪期末）设全集，集合，则（）A. B. C. D.17.（2020高二下·长春期末）已知集合，，则集合（）A. B. C. D.二、填空题（共3题；共4分）18.（2020高二下·丽水期末）已知集合，，则________，________.19.（2020高二下·上海期末）已知集合，集合或，求________．20.（2020·扬州模拟）已知集合，，则，则实数a的值是________．三、解答题（共10题；共90分）21.（2020高二下·七台河期末）集合，．（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围．22.（2020高二下·天津期末）已知集合，，.求a的值及集合。
高一数学知识讲学专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(word档含答案解析)
专题一集合、集合与集合的关系、集合的运算知识精讲一知识结构图二.学法指导1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.6.求集合交集的方法为：(1).定义法，(2)数形结合法．（2）．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三.知识点贯通知识点1 元素与集合相关概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．例1.考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④知识点二元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见的数集及表示符号例题2：已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．知识点三集合间的关系1.判断集合关系的方法.1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.2.集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．3.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例题3 .已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.知识点四集合的运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B 的交集，记作A∩B。
高中集合间关系及简单运算含答案
集合间关系及简单运算一．选择题（共40小题）1．集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（）A．16B．15C．14D．132．已知集合A＝{x|x2＜2，x∈Z}，则A的真子集共有（）个．A．3B．4C．6D．73．已知集合，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）4．已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，，则（）A．A＝B B．A⊆B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R5．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈N，y∈N}，则集合A的子集个数为（）A．4B．9C．15D．166．已知M＝{x|x2﹣x≤0}，N＝{x|}，则集合M、N之间的关系为（）A．M∩N＝∅B．M＝N C．N⫋M D．M⫋N7．设集合A＝{x||x﹣a|＝1}，B＝{﹣1，0，b}（b＞0），若A⊆B，则对应的实数（a，b）有（）A．1对B．2对C．3对D．4对8．已知集合A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．89．已知集合A＝{0，x}，B＝{0，2，4}，若A⊆B，则实数x的值为（）A．0或2B．0或4C．2或4D．0或2或4 10．集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（）A．4B．6C．7D．811．已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是（）A．{0，1}B．{x|x2＝1}C．{x|x2＞0}D．R12．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则集合A各子集中元素之和为（）A．320B．240C．160D．813．集合{x|﹣1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为（）A．3B．4C．7D．814．已知集合A＝{x∈Z|﹣x2+x+2＞0}，则集合A的子集个数为（）A．4B．5C．6D．815．已知集合A＝{x|x＜6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为（）A．30B．31C．62D．6316．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m+1}，且A＝B，则m＝（）A．0B．1C．±1D．0或117．设集合A＝{x|x2﹣x＝0}，则集合A的真子集的个数为（）A．1B．2C．3D．418．已知集合A＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，B⊆A，则集合B中的元素个数最多是（）A．1B．2C．3D．419．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x2≤a2，a∈N*}，若A⊆B，则a的最小值为（）A．1B．2C．3D．420．集合的真子集的个数为（）A．7B．8C．31D．3221．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数为（）A．8B．16C．32D．6422．已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣21≤0}，则集合A中的元素个数为（）A．11B．8C．10D．723．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个24．若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S的非空真子集个数是（）A．62B．32C．64D．3025．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|ax＞1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1]D．[0，1）26．已知集合A＝{x∈N*|0≤x＜2}，则集合A的子集的个数为（）A．2B．3C．4D．827．集合{（1，2），（3，4）}的子集个数为（）A．3B．4C．15D．1628．已知集合A＝{a|a⊆{1，2，3}}，则A的真子集个数为（）A．7B．8C．255D．25629．设集合A＝{x|2x＜x﹣1＜4}，B＝{x|x＜﹣2}，则A∪B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|x＜﹣2）C．{x|x＜5}D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 30．设集合A＝{x|x＜3}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2} 31．已知集合A＝{x|x＜9}，B＝{7，8，9}，则A∩B＝（）A．{7，8}B．{7，8，9}C．{7}D．{8}32．设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}33．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则M∪N＝（）A．{1，2，3，4}B．{3，4}C．{1，4}D．{2，3}34．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣3，5]B．[3，5]C．（﹣∞，5]D．[0，3]35．已知集合A＝{0，1，2，3，5}，B＝{0，5}，则A∪B＝（）A．{0，5}B．{0，1，2，5}C．{0，1，3，5}D．{0，1，2，3，5} 36．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣2＜x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，2）37．已知M＝{1，2，4}，N＝{x|2＜x≤5，x∈Z}，则M∪N＝（）A．{4}B．{1，2，3}C．{1，2，3，5}D．{1，2，3，4，5} 38．已知集合，则M∪N＝（）A．[，1）B．[，+∞）C．（0，1）D．（0，+∞）39．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则A∪B＝（）A．{1，3}B．{1，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 40．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{4}B．{1，6}C．{2，4}D．{1，2，4，6}集合间关系及简单运算参考答案一．选择题（共40小题）1．B；2．D；3．B；4．B；5．D；6．C；7．B；8．C；9．C；10．D；11．A；12．B；13．A；14．A；15．A；16．A；17．C；18．C；19．B；20．A；21．C；22．B；23．B；24．D；25．C；26．A；27．B；28．C；29．A；30．C；31．A；32．C；33．A；34．A；35．D；36．D；37．D；38．D；39．D；40．D；。
【高考数学数学寒假作业】第一章 集合与常用逻辑——3课时
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算一、选择题1．已知集合A＝{y|x2＋y2＝1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．[0,1]C．(0，＋∞) D．{(0,1)，(1,0)}解析∵A＝{y|x2＋y2＝1}，∴A＝{y|－1≤y≤1}．又∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}．A∩B＝{y|0≤y≤1}．答案 B2. 设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN＝{2,4}，则N＝()A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}解析由M∩∁UN＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．答案 B3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U M＝{1,4}．答案 A4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()．A．2 B．3 C．4 D．5解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．答案 B5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析 若N ⊆M ，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a ＝±1或a ＝±2.故“a ＝1”是“N ⊆M”的充分不必要条件． 答案 A 6．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )．A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)}解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]． 答案 B 二、填空题7．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 答案 18．已知集合A ＝{0,2，a2}，B ＝{1，a}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．解析 若a ＝4，则a2＝16∉(A ∪B)，所以a ＝4不符合要求，若a2＝4，则a ＝±2，又－2∉(A ∪B)，∴a ＝2. 答案 29．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．解析 ①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确．②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确．③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，3∈A 1,2∈A 2，但是，3＋2∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确． 答案 ②10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________． 解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， ∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8. 答案 8 三、解答题11．若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}． ∴⎩⎨⎧－a ＝－1＋3＝2，b ＝(－1)×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3. 12．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3， 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3. (2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ， 由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3. 13．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .解 由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3,5}． (1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5. ∴B ＝{5}，∴BA .(2)∵A ＝{3,5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0. 若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ， ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15，∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 14．设集合A ＝{x2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A∩B ＝{9}，求A ∪B. 解 由9∈A ，可得x2＝9或2x －1＝9， 解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去； 当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}；当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}， 此时A∩B ＝{－4,9}与A∩B ＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－8，－4,4，－7,9}．第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a|＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 若a ＝1，则有|a|＝1是真命题，即a ＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a ＝±1，所以若|a|＝1，则有a ＝1是假命题，即|a|＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a|＝1的充分而不必要条件． 答案 A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 答案 B3．已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x<m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥2 B ．m≤2 C ．m>2 D ．－2<m<2解析 A ＝{x ∈R|12<2x<8}＝{x|－1<x<3} ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴∴m ＋1>3，即m>2. 答案 C4．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( ) A ．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B ．若－1<x<1，则x2<1 C ．若x>1或x<－1，则x2>1 D ．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析 x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1. 答案 D5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )． A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B. 答案 B6．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0解析 法一 (直接法)当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a >0，1a<0⇔⎩⎨⎧a <1，a <0⇔a <0； 若方程两根均负，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，－2a<0，1a >0⇔⎩⎨⎧a ≤1，a >0⇔0<a ≤1. 综上所述，所求充要条件是a ≤1.法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，所以选C. 答案 C 二、填空题7．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 p1：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3p2：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，πp3：|a －b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p4：|a －b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析 由|a ＋b|＞1可得a2＋2a·b ＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b ＞－12，|a ＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a －b|＞1可得a2－2a·b ＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p4正确．答案 28．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1. 答案 －1 9．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x|－1<x<m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 解析A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ， ∴m ＋1>3，即m >2. 答案 (2，＋∞)10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要三、解答题11．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解 (1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a2≥4b ，则关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0没有非空解集，则a2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a2<4b ，则关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0没有非空解集，为真命题．12．求方程ax2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 解 方程ax2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根． 当a ＝0时，x ＝－12适合条件．当a≠0时，方程ax2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝1a <0， ∴a<0.综上，方程ax2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a ＝1. 13．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0； (2)若x2＋y2＝0，则x ，y 全为零．解 (1)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题． 否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题． 逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题． (2)逆命题：若x ，y 全为零，则x2＋y2＝0，真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则x ，y 不全为零，真命题． 逆否命题：若x ，y 不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．14．已知p ：x2－8x －20≤0，q ：x2－2x ＋1－a2≤0(a>0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 p ：x2－8x －20≤0⇔－2≤x≤10， q ：x2－2x ＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a. ∵p ⇒q ，q ⇒/ p ， ∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－a ≤x ≤1＋a }．故有⎩⎨⎧1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．15．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．解(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1. 已知命题p ：存在n ∈N,2n>1 000，则非p 为( ) A ．任意n ∈N,2n≤1 000 B ．任意n ∈N,2n>1 000 C ．存在n ∈N,2n≤1 000D ．存在n ∈N,2n<1 000解析 特称命题的否定是全称命题，即p ：存在x ∈M ，p(x)，则非p ：任意x ∈M ，非p(x)． 答案 A2． ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )． A ．0＜a≤1 B ．a ＜1C ．a≤1D ．0＜a≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C. 答案 C3．下列命题中的真命题是( )．A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32 B ．∀x ∈(0，＋∞)，ex>x ＋1 C ．∃x ∈(－∞，0)，2x<3x D ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos x解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x<0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x<cos x ，故D 错误．所以选B. 答案 B4．已知命题p ：∃a0∈R ，曲线x2＋y2a0＝1为双曲线；命题q ：x2－7x ＋12＜0的解集是{x|3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p ∧q”是真命题；②命题“p ∧綈q”是假命题；③命题“綈p ∨q”是真命题；④命题“綈p ∨綈q”是假命题．其中正确的是________．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析 因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p ∧q”是真命题，命题“p ∧綈q”是假命题，命题“綈p ∨q”是真命题，命题“綈p ∨綈q”是假命题． 答案 D5．已知命题p ：∃x0∈R ，mx20＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x2＋mx ＋1＞0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m≥2B ．m≤－2C ．m≤－2或m≥2D ．－2≤m≤2解析 若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题，即綈p ：∀x ∈R ，mx2＋1＞0与綈q ：∃x0∈R ，x20＋mx0＋1≤0均为真命题．根据綈p ： ∀x ∈R ，mx2＋1＞0为真命题可得m≥0，根据綈q ：∃x0∈R ，x20＋mx0＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.答案 A6．以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x ＋2≠0”B ． “x ＝1”是“x2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x2＋x ＋1≥0解析 A 、B 、D 正确；当p ∧q 为假命题时，p 、q 中至少有一个为假命题，故C 错误．答案 C二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x2＋2x ＋5＝0成立”的否定是________．答案 对任意x ∈R ，都有x2＋2x ＋5≠08．存在实数x ，使得x2－4bx ＋3b<0成立，则b 的取值范围是________．解析 要使x2－4bx ＋3b<0成立，只要方程x2－4bx ＋3b ＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>34.答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 9．若“∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，则实数a 的取值集合是________． 解析 “∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，等价于(a －2)x ＋1>0的解集为R ，所以a －2＝0，所以a ＝2.答案 {2}10．已知命题p ：“∃x ∈R 且x>0，x>1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“____________”；q 的真假为________．(选填“真”或“假”)答案 ∀x ∈R ＋，x≤1x 假11．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 解析 题目中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R,2x2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，[来源:中_教_网z_z_s_tep] 即可解得－22≤a≤2 2.答案 [－22，22]12．令p(x)：ax2＋2x ＋a ＞0，若对任意x ∈R ，p(x)是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵对任意x ∈R ，p(x)是真命题．∴对任意x ∈R ，ax2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则{ a ＞0，＝4－4a2＜0，∴a ＞1.答案 a ＞113．若命题“∀x ∈R ，ax2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a2＋8a≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a≤0.答案 [－8,0]三、解答题14. 写出下列命题的否定，并判断真假.(1)q: ∀x ∈R ，x 不是5x-12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: ∃x0∈R ，|x0|＞0.解 (1)⌝q: ∃x0∈R ，x0是5x-12=0的根，真命题.(2)⌝r:每一个素数都不是奇数，假命题.(3)⌝s:∀x ∈R ，|x|≤0，假命题.15．已知c>0，设命题p ：函数y ＝cx 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f(x)＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求c 的取值范围．解 由命题p 为真知，0<c<1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c>12，若“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|0<c≤12或c≥1. 16． 已知命题p ：方程x2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q”为真，“p ∧q”为假，求实数m 的取值范围．解 若方程x2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧ Δ＝m2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2. 若方程4x2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因“p ∨q”为真，所以p ，q 至少有一个为真，又“p ∧q”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．∴⎩⎨⎧ m ＞2，m≤1或m≥3或⎩⎨⎧ m≤2，1＜m ＜3.解得：m≥3或1＜m≤2， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].。
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（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业 专题01 集合间的关系及其运算（测）
（含解析）
时间：45分钟 满分：100分
一.选择题（每小题5分，共50分）
1.设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．∅ B ．{2} C ．{2,2}- D ． {2,1,2,3}-
2.已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U
A B = ð （ ）
A ．{1,3,4}
B ．{3,4}
C ．{3}
D ．{4}
3.设集合
{2}S x x =>-,
{41}
T x x =-≤≤,则S T = （ ）
A ．[-4,+∞)
B ．(-2, +∞)
C ．[-4,1]
D ．(-2,1]
4.已知集合
{2},{1}
A x R x
B x R x =∈≤=∈≤， 则A B = （ ）
A ．(,2]-∞
B ．[1,2]
C ．[-2,2]
D ．[-2,1] 【答案】D 【解析】
试题分析：由集合
{2}
A x R x =∈≤可得
{22}
A x x =-≤≤.所以
{21}
A B x R x =∈-≤≤ .故选D.
考点：1.绝对值的不等式的解法.2.集合的交集.
5.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}U
A B = ð,{1,2}B =,则U A B = ð（ ）
A ．{3}
B ．{4}
C ．{3,4}
D ．∅
6.已知全集U ＝R ，集合
{lg 0}
A x x =≤，
{21}
x B x =≤，则∁U(A ∪B)＝( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞)
7.若集合A={x ∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4
8.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,
2
{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T = （ ） A ．{0} B ． {0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【答案】A
9.若集合
}4,3,1{
},
3,2,1{=
=B
A,则B
A 的子集个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．16
10.已知
{}{}
|10,2,1,0,1
A x x B
=+>=--
,则
()
R
C A B
⋂=
（）
A．{}
2,1
--
B．
{}2-
C
{}
1,0,1
-
D．
{}
0,1
二.填空题（每小题5分，共20分）
11.已知集合
{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}
U A B
===,则()
U
C A B=
_____
12. 集合P=()
{}0
,=
+y
x
y
x
，
Q=()
{}2
,=
-y
x
y
x
，则
P Q
=
【答案】{(1,1)}
-
13..对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={a1,a2,an},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中x1=x2=xn=1.其余项均为0,例如子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,,0
(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;
(2) 若E的子集P的“特征数列”P1,P2,…,P100 满足P1=1, P i+Pi+1=1, 1≤i≤99;
E 的子集Q的“特征数列” q1,q2, …,q100 满足q1=1,q j+qj+1+qj+2=1,
1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为_________.
14.设
T
S,是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数)
(x
f
y=满足;
(i)
}
|)
(
{S
x
x
f
T∈
=;(ii)对任意S
x
x∈
2
1
,,当
2
1
x
x<时,恒有)
(
)
(
2
1
x
f
x
f<.
那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:
①
*
,N
B
N
A= =;
②
}
10
8
|
{
},
3
1
|
{≤
≤
-
=
≤
≤
-
=x
x
B
x
x
A;
③
R
B
x
x
A=
<
<
=},
1
0|
{.
其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 【答案】①②③
三.解答题（每小题15分，共30分）
15.已知命题p：方程2220
a x ax
+-=在]1,1
[-上有解；命题q：函数2
()22
f x x ax a
=++的值域为
)
,0[+∞，若命题q
p或是假命题，求a的取值范围.
16．已知集合A＝{|(2)[(31)]0}
x x x a
--+<，B＝2
2
{|0}
(1)
x a
x
x a
-
<
-+.
（1）当a＝2时，求A B
；
（2）求使B A
⊆的实数a的取值范围.
【答案】（1）{45}
x x
<<
；（2）
[1,3]
【解析】
试题分析：（1）因为当a=2时.集合
{27},{45}
A x x
B x x
=<<=<<
.所以
{45}
A B x x
=<<
.
（2）因为集合B中当a=1时B
φ
=.符合B A
⊆.当1
a≠时.2
21
a a
<+.所以2
{21}
B x a x a
=<<+
.又由
集合A，当
1
3
a<
时
{312}
A x a x
=+<<
.不符合条件.又因为
1
3
a=
时，集合A为空集，所以不符合条件.
当
1
3
a>
时.13
a
≤≤.所以a的取值范围是[1,3].
考点：1.分类的思想.2.分式不等式的解法.3.集合的包含关系.。