直线与圆的方程测试卷(含答案)精编版

单元检测(七) 直线和圆的方程 (满分:150分时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0垂直,则a 的值为( )

A.2

B.-3或1

C.2或0

D.1或0 解析：当a=0时,显然两直线垂直;a≠0时,则13

21-=-?-a a a ,得a=2.故选C. 答案：C

2.集合M={(x,y)|y=21x -,x 、y ∈R },N={(x,y)|x=1,y ∈R },则M∩N 等于( ) A.{(1,0)} B.{y|0≤y≤1} C.{1,0} D.

解析：y=21x -表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0).

答案：A

3.菱形ABCD 的相对顶点为A(1,-2),C(-2,-3),则对角线BD 所在直线的方程是 …( ) A.3x+y+4=0 B.3x+y-4=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0

解析：由菱形的几何性质,知直线BD 为线段AC 的垂直平分线,AC 中点O )2

,21(--在BD 上,3

=AC k ,故3-=BD k ,代入点斜式即得所求. 答案：A 4.若直线

1=+b

a x 经过点M(cosα,sinα),则 ……( ) A.a 2+

b 2≤1 B.a 2+b 2≥1

11122≤+b a D.11

2≥+b a

解析：直线1=+b

a x 经过点M(cosα,sinα),我们知道点M 在单位圆上,此问题可转化为直线

1=+b

a x 和圆x 2+y 2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式,有.11

111

1|1|222

2≥+?≤+-b a b a

答案：D

5.当圆x 2+y 2+2x+ky+k 2=0的面积最大时,圆心坐标是( )

A.(0,-1)

B.(-1,0)

C.(1,-1)

D.(-1,1)

解析：r 2=

1444k k k -=-+, ∴当k=0时,r 2最大,从而圆的面积最大.

此时圆心坐标为(-1,0),故选B.

答案：B

6.过直线y=x 上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l 1,l 2,当直线l 1,l 2关于y=x 对称时,它们之间的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：由已知,得圆心为C(5,1),半径为2,设过点P 作的两条切线的切点分别为M,N,当CP 垂直于直线y=x 时,l 1,l 2关于y=x 对称,|CP|为圆心到直线y=x 的距离,即|CP|=

221

15|=+-,|CM|=2,故∠CPM=30°,∠NPM=60°. 答案：C

7.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内,若是目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个,则a 的值等于( )

B.1

C.6

D.3 解析：将z=ax+y 化为斜截式y=-ax+z(a>0),则当直线在y 轴上截距最大时,z 最大. ∵最优解有无数个,∴当直线与AC 重合时符合题意.又k AC =-1, ∴-a=-1,a=1. 答案：B

8.已知直线l 1:y=x,l 2:ax-y=0,其中a 为实数,当这两条直线的夹角在(0,12

)内变动时,a 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.)3,3

(

C.(

,1)∪(1,3) D.(1,3)

解析：结合图象,如右图,

其中α=45°-15°=30°,β=45°+15°=60°. 需a ∈(tan30°,1)∪(1,tan60°), 即a ∈(

,1)∪

(1,3). 答案：C

9.把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得直线正好与圆x 2+y 2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为( )

A.3或13

B.-3或13

C.3或-13

D.-3或-13 解析：直线x-2y+λ=0按a=(-1,-2)平移后的直线为x-2y+λ-3=0,与圆相切,则圆心(-1,2)到直线的距离55

8|=-=

λd ,求得λ=13或3. 答案：A

10.如果直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx+my-4=0交于M 、N 两点,且M 、N 关于直线x+y=0对称,

则不等式组??

??≥≤-≥+-0,0,01y my kx y kx 表示的平面区域的面积是( )

A.41

B.2

C.1

D.2 解析：由题中条件知k=1,m=-1,易知区域面积为4

答案：A 11.两圆??

?+=+-=ββsin 24,cos 23y x 与???==θ

θsin 3,

cos 3y x 的位置关系是( )

A.内切

B.外切

C.相离

D.内含

解析：两圆化为标准式为(x+3)2+(y-4)2=4和x 2+y 2=9,圆心C 1(-3,4),C 2(0,0). 两圆圆心距|C 1C 2|=5=2+3.∴两圆外切. 答案：B

12.方程29x -=k(x-3)+4有两个不同的解时,实数k 的取值范围是( ) A.)247,

0( B.(247,+∞) C.(3

,31) D.]32,247(

解析：设y=29x -,其图形为半圆;直线y=k(x-3)+4过定点(3,4),由数形结合可知,当直线

y=k(x-3)+4与半圆y=29

x -有两个交点时,

2247≤

答案：D

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.若x,y 满足约束条件??

??≤≤≥+-≥+,30,03,0x y x y x 则z=2x-y 的最大值为__________.

解析：作出可行域如图所示.

当直线z=2x-y 过顶点B 时,z 达到最大,代入得z=9. 答案：9

14.在y 轴上截距为1,且与直线2x-3y-7=0的夹角为

的直线方程是_________. 解析：由题意知斜率存在,设其为k,则直线方程为y=kx+1.

则|

21||

32|4tan k k +-

=π.解得k=5或51-. ∴直线方程为y=5x+1或y=15

+-x ,

即5x-y+1=0或x+5y-5=0. 答案：5x-y+1=0或x+5y-5=0

15.设A(0,3),B(4,5),点P 在x 轴上,则|PA|+|PB|的最小值是________,此时P 点坐标是_______. 解析：点A 关于x 轴的对称点为A′(0,-3), 则|A′B|=45为所求最小值.

直线A′B 与x 轴的交点即为P 点,求得P(2

3,0). 答案：45 (

3,0) 16.已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题: ①对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切; ②对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 有公共点;

③对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l 和圆M 相切; ④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l 和圆M 相切.

其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号) 解析：圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l:kx-y=0的距离1

sin cos |1

sin cos |2

++=

+--=

k k k k d θθθθ

)sin(1|2

2+++=

k k θ?

=|sin(φ+θ)|(其中tanφ=k) ≤1=r,

即d≤r,故②④正确. 答案：②④

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)已知△ABC 的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求: (1)AC 边上的高BD 所在直线的方程; (2)BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程; (3)AB 边的中线的方程.

解：(1)易知k AC =-2,∴直线BD 的斜率k BD =2

.又BD 直线过点B(-4,0),代入点斜式易得直线BD 的方程为x-2y+4=0.

(2)∵k BC =

34, ∴k EF =4

又线段BC 的中点为(2

,2), ∴EF 所在直线的方程为y-2=)2

5(43+-

x . 整理得所求的直线方程为6x+8y-1=0.

(3)∵AB 的中点为M(0,-3), ∴直线CM 的方程为

343-=

++x

y . 整理得所求的直线方程为7x+y+3=0(-1≤x≤0).

18.(本小题满分12分)已知圆C 与y 轴相切,圆心C 在直线l 1:x-3y=0上,且截直线l 2:x-y=0的弦长为22,求圆C 的方程. 解：∵圆心C 在直线l 1:x-3y=0上, ∴可设圆心为C(3t,t). 又∵圆C 与y 轴相切, ∴圆的半径r=|3t|. ∴222

||3)2()2

t t t =+-,解得t=±1. ∴圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为3.

∴所求的圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

19.(本小题满分12分)已知等边△ABC 的边AB 所在的直线方程为3x+y=0,点C 的坐标为

(1,3),求边AC、BC所在的直线方程和△ABC的面积.

解：由题意,知直线AC、BC与直线AB均成60°角,设它们的斜率为k,则3

,解得k=0或k=3.故边AC、BC所在的直线方程为y=3,y=3x,如图所示,故边长为2,高为3.

∴S△ABC=3

20.(本小题满分12分)圆C经过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在P点的切线斜率为1,试求圆C的方程.

解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

将P、Q、R的坐标代入,得

∴圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心为)

(

又∵k CP=-1,

∴k=-3.

∴圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.

21.(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

解法一:设点M的坐标为(x,y),

∵M为线段AB的中点,

∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).

∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),

∴PA⊥PB,k PA·k PB=-1.

而k PA =

204x --k PB =

0224--y

(x≠1), ∴11

212-=-?-y x (x≠1). 整理,得x+2y-5=0(x≠1).

∵当x=1时,A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4),

∴线段AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所述,点M 的轨迹方程是x+2y-5=0.

解法二:设M 的坐标为(x,y),则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结PM, ∵l 1⊥l 2,

∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=22)4()2(-+-y x , |AB|=,)2()2(22y x + ∴.44)4()2(22222y x y x +=

-+-

化简,得x+2y-5=0,即为所求的轨迹方程.

解法三:设M 的坐标为(x,y),由l 1⊥l 2,BO ⊥OA,知O 、A 、P 、B 四点共圆, ∴|MO|=|MP|,即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点.

∵k OP =

2020

4=--,线段OP 的中点为(1,2), ∴y-2=2

-(x-1),

即x+2y-5=0即为所求.

22.(本小题满分12分)实系数方程f(x)=x 2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求: (1)

--a b 的值域; (2)(a-1)2+(b-2)2的值域; (3)a+b-3的值域.

解：由题意??

??>++<++>?????><>.02,012,0.0)2(,0)1(,0)0(b a b a b f f f 即

易求A(-1,0)、B(-2,0).

由??

?=++=++,

02,

012b a b a ∴C(-3,1).

(1)记P(1,2),k PC <

12--a b

,1). (2)|PC|2=(1+3)2+(2-1)2=17,|PA|2=(1+1)2+(2-0)2=8,|PB|2=(1+2)2+(2-0)2=13.

∴(a-1)2+(b-2)2的值域为(8,17). (3)令u=a+b-3,即a+b=u+3. -2

直线与圆的方程单元测试卷含答案

直线与圆的方程单元测试卷一。选择题 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ B ）（A ）2、4、4；（B ）-2、4、4；（C ）2、-4、4；（D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<-