2-4 转动刚体的角速度和角加速度
角加速度介绍(最全版)PTT文档
在定轴转动过程中，角坐标 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况
是时间的函数：= （t），叫 就足够了。
那么描写平动的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？
v1
t时刻，质点在P点，角坐标为 ，
P 刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。
t到t+Δt时刻，刚体角速度的增量为：
1.平均角加速度
t
刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
2.角加速度 对变速转动，如何确定角加速度？
ω dθ
dt
①.用平均角加速度代替变化的角加速度；
②.令 t 0取极限；
lim d d 2
t0 t dt
dt 2
角加速度为角速度对 时间 t 的一次导数， 或为角坐标对时间 t 的二次导数。
加速度等角量是用来描述定轴转动刚
体的整体运动，也可用来描述质点的 曲线运动；
位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质
点的运动。
5.匀变速转动的计算公式
1.特点： 1.角加速度为一常量 βC
2由.匀变速 转d2d3动.t.定初公轴始有式转条：动d件 。：t d0时 t两边积分000d
t
dt
0
0t 0t （1）
3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。
根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚
体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。
二、定轴转动刚体的角量描述
1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动一、刚体极其运动刚体——受力时不改变形状和体积的物体。
注：（1）刚体是固体物件的理想模型。
（2）刚体是一个特殊的质点系（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。
刚体的运动分为平动和转动。
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
（用质点力学处理）转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动。
二、刚体转动的角速度和角加速度刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质元的角量是一样的。
角坐标：θ=θ(t)角位移：?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度：?θdθ=?t→0?tdt角速度的方向：右手螺旋法则。
dω角加速度：α= dt定轴转动的特点：（1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；（2）任一质点运动?θ,ω,α均相同，但v,a不同；（3）运动描述仅需一个坐标。
三、匀变速转动公式匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动匀变速直线运动v=v+at x=x0+v0t+at2212222v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀四、角量与线量的关系v=rωaτ=rαan=rω24-2力矩转动定律转动惯量一、力矩设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为n-1j=1Fi外+∑fjin-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩：j=1对i求和，刚体所受力的力矩为n M=∑Mi=∑ri?Fi外ii=1（内力矩为零）二、刚体的转动定律组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的力矩为dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。
刚体定轴转动定律
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
刚体的角动量_角速度_力矩和角加速度的关系
〔收稿日期〕1999-11-15刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系陈跃敏(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。
[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B 一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。
和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。
因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。
1 角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例。
一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_i 是它的线速度。
显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。
同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _p ,则各质量元的γ_i ×m i ν_i 各不相同。
合成后,L _p 的方向大致如图2所示。
而且随着杆的转动,L _p 也转动。
可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。
同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。
下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间的关系。
过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的分量式为如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ω。
于是角动量矢量的分量式可写为L x =I xzωL y =-I yz ωL z =-I zzω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zzω),但沿其它轴的分量却不一定为零。
角加速度公式
角加速度公式角加速度的公式：α=Δω/Δt=dω/dt。
如果是匀加速运动，就有α=w/t。
角加速度计算公式α=Δω/Δt单位：弧度/秒²；（rad/s²;）平均角加速度转动刚体从瞬时t开始的角速度变化Δω与相应时间间隔Δt的比值称为平均角加速度，即α=Δω/Δt。
瞬时角加速度若Δt→0，则这一比值就称为在瞬时t刚体转动的角加速度，又称瞬时角加速度，记为ε，即ε=limεm)(Δt→0=Δω/Δt=dω/dt)。
是角速度w对时间的微商dw/dt，不是微分dw。
w均匀变化时，角加速度等于角速度的攺变量除以发生攺変所用的时间。
角加速度与线加速度的关系：a=rα，是成正比例关系。
角加速度描述刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量，线加速度是描述刚体线速度的大小和方向对时间变化率的物理量。
二者关系介绍1、v=rω。
2、dv/dt=ωdr/dt+rdω/dt=rdω/dt(旋转运动r是不变的常量，求导后为0）。
3、线加速度a=dv/dt，角加速度α=dω/dt。
所以他们的关系是a=rα，是成正比例关系。
角加速度与线加速度角加速度：角加速度描述刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量，在国际单位制中，单位是“弧度/秒平方”，通常是用希腊字母α来表示。
线加速度:线加速度是描述刚体线速度随时间变化的大小和方向的物理量，单位为米/平方秒。
线速度相关公式在匀速圆周运动中，线速度的大小等于运动质点通过的弧长（S）和通过这段弧长所用的时间（△t）的值。
即v=S/△t，也是v=2πr/T，在匀速圆周运动中，线速度的大小虽不改变，但它的方向时刻在改变。
它和角速度的关系是v=ω*rv=ωr=2πrf=2πnr=2πr/T当运动质点做圆周运动的同时也做另一种平动时，例如汽车车轮上的某一定点，此时该质点的线速度为做圆周运动的线速度(w*r)与平动运动的速度(v')的矢量之和：v=w*r+v'v=Δl/Δt角速度公式公式为：ω=Ч/t(Ч为所走过弧度，t为时间）ω的单位为：弧度每秒。
定轴转动刚体内各点的速度和加速度
a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布 规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向 加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t， 的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一 点M的速度和加速度。如果在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子， 绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】 由圆轮的转动方程，可得其在任 一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不 可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一 瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例6.3】 如图所示，一半径r
刚体的定轴转动定律
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
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g 2t v g t
2 0 2 2
由总加速度得
ax 0
ay g
ag
a a
2 x 2 y
a a
2 t
2 n
所以，法向加速度
an
g a
2 2 t
v0 g v g t
2 0 2 2
1 2 10 t t 2
试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；
（2）第3s末的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）由角速度和角加速度得 d 10 t dt d dt
（2）由切向加速度和法向加速度得
at r 0.2 (ms )
于是，转子的角速度为
150
t
2
由角速度定义得
d 2 t dt 150
分离变量，代入上下限
t
0 3
d
t dt 0 150
t
2
积分得
450
在300s内，转子转过的转数为
3 4 N (300) 3 10 (圈） 2 2 450
习题2-13 质点作圆周运动，轨道半径r=0.2m,以 角量表示的运动方程为
x v0t
1 2 y gt 2
g y x2 2 消去时间t,可得小球的轨迹方程 2v0
（2）由速度的分量式得
t时刻，小球的速率
dx vx v0 dt
v
dy vy gt dt
v v
2 x 2 y
v g t
2 0
2 2
t时刻，小球的切向加速度
dv at dt
角速度
转动平面
o
r
·
p
d lim t 0 t dt
d 角加速度 dt
角加速度的方向：
2
1
1
2
定轴转动的特点
三 刚体的匀变角速转动 当刚体绕定轴转动的角加速度 为恒量时，刚 体做匀角变速转动 .
0 t
例2-6 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形 转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时 其角速度 0 0 ，经过300s后，其转速达到 18000 r min 1 .已知转子的角加速度 与时间
成正比，问在这段时间内，转子转过多少转？
解：由题意可知，转子的角加速度与时间成正比。 d kt 由角加速度得
2
an r 33.8 (ms )
2 2 2
习题2-19 由山顶上以初速度 v0 水平抛出一小球， 若山顶为坐标原点，沿 v0 方向为x轴正方向，竖 直向下为y轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试 求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t时刻，小球的 切向加速度和法向加速度。
解：（1）小球在x轴作匀速直线运动，y轴上作自由 落体运动，即1 2 0 0t t 22 2 0
2 ( 0 )
质点直线运动 x=x(t) dx v dt d vx a dt a=常数 v v 0 坐标
刚体绕定轴转动 角坐标 (t ) d dt d dt =常数 0 t
dt
分离变量，代入上下限 积分得
0
d
t
0
ktdt
1 2 kt 2
确定比例系数
k,
t 300s 时，
2 n 2 18000 1 1 rad s 600 (rad s ) 60 60
由上式得
2 2 600 3 3 k 2 rad s (rad s ) 2 t 300 75
ds rd
a
an r
et v a
t
v re t
a t r a n r
2
a re t r en
2
例2-5 一飞轮在时间t内转过角度
a bt ct
2
3
求飞轮的角速度和角加速度。 解：由角速度定义得 角加速度定义得
d 2 2bt 3ct dt d 2b 6ct dt
2－4
转动刚体的角速度和角加速度
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生 变化的物体 .
一 刚体的平动和转动
刚体的平动
定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆 周运动. 刚体的平面平行运动 .
二
转动刚体的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 角位移
(t t ) (t )
at
1 2 2
x x0 v 0 t at
2 2 0
0 0t t
1 2
2 2 0 2 ( 0 )
2
v v 2a ( x x 0 )
四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度
ds d r dt dt d d dt dt