角速度与角加速度
《理论力学 动力学》 第十二讲 瞬时转动轴·角速度·角加速度,各点的速度、加速度
=
l sin q
w12
它垂直由α 和OM 形成的平面，指向如图。
因为α 垂直于ω和ω1, 所以α 垂直于平面OMC，故a1在OMC 平面内。
M点的向轴加速度a2大小为：
a2
=
w2
× ME
=
w2
× 2l
sin q
=
2l sin q
w12
它的方向自点M指向E，也在OMC 平面内。
故： a = a1 + a2 由余弦定理得： a 2 = a12 + a22 - 2a1a2 cos 2q
3、瞬时转动轴·角速度·角加速度 各点的速度、加速度
刚体绕定点运动的运动学描述
(1) 瞬时转动轴·角速度·角加速度
Δt 趋于零时，Δφ 也趋于零，轴OC*趋近于某一 极限位置OC. 轴OC称为刚体在该瞬时的瞬时转动 轴，简称瞬轴。
刚体在不同的瞬时，瞬轴的位置不同。
刚体绕瞬轴转动的角速度ω 为矢量，大小为：
将a1, a2代入上式，并注意到:
cotq
=
l r
,
sinq
=
r r2 + l2
a = w12l
9
+
æ çè
l r
ö2 ÷ø
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
vM
刚体绕定点运动的运动学描述
ω
=
lim Dj Dt®0 Dt
S A
M
NB
B'
Δφ
C*
A' O ω C
ω 方向沿瞬轴，指向按右手法则规定。
ω 为矢量，大小和方向都在变化， ω 对时间t的
一阶导数，称为刚体绕定点运动的角加速度，
刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系
刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系角动量（angular momentum）是描述刚体旋转运动的物理量，它与角速度（angular velocity）、力矩（torque）和角加速度（angular acceleration）之间存在密切的关系。
在本文中，将详细介绍刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度之间的关系。
刚体的角动量通常用字母L表示，它定义为刚体的质量m乘以角速度ω乘以刚体对轴线的距离r，即L = m * ω * r。
这个表达式可以理解为角动量是由刚体的旋转速度和旋转半径所确定的。
角动量的单位是千克·米^2/秒（kg·m^2/s）。
刚体的角速度是描述刚体旋转状态的物理量，通常用字母ω表示。
角速度体现了刚体单位时间内旋转的角度，其定义为角度改变量Δθ除以时间间隔Δt的极限值，即ω = dθ/dt。
角速度的单位是弧度/秒（rad/s）。
根据以上定义，可以推导出刚体的角动量与角速度的关系。
假设刚体的质量分布在一圆盘上，半径为r，质量为m，以轴线为中心沿竖直方向旋转。
则角动量L = m * ω * r。
这个关系表明角动量与角速度成正比，当角速度增加时，角动量也随之增加，反之亦然。
刚体的力矩是描述刚体受力情况的物理量，通常用字母τ表示。
力矩可以定义为力F作用在刚体上，力矩的大小等于力F乘以力臂r的长度，即τ = F * r。
力臂指的是力F作用点到轴线的垂直距离。
力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
力矩与角动量之间存在着密切的关系。
根据牛顿第二定律的角动量形式（τ = dL/dt），力矩可以表示为角动量对时间的变化率。
换句话说，力矩是角动量随时间的变化率，或者说是角动量的导数。
力矩导致角动量的改变，当存在力矩时，角动量将发生变化。
角加速度是描述刚体旋转加速度的物理量，通常用字母α表示。
角加速度可以定义为角速度的改变量Δω除以时间间隔Δt的极限值，即α = dω/dt。
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
刚体的角速度与角加速度
参考基 平动参考基 连体基
e
r
e
s
e
b
y
r
y
s
y
b
x
b
qt • r刚C 体tT的平面t一 T般运动
yC
xC t yC t tT
• 连体基相对于参考基的姿态与它 O
相对于的平动参考基的姿态一致
C
rC
xC
x
s
x r
• 结论：在研究连体基相对于参考基的姿态时，可不 考虑基点的移动
B2 B1
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
6
刚体的平面运动/例
C1 e1
– 建•立[公解共] 参考基：
Oe
– 建立摇臂与连杆的连体 基
B1 ：摇臂 B2 ：连杆
C2 e2
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
7
• 四连杆机构两摇臂等长
2019年11月25日
2 (t) 0
理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
8
机械刚体臂的中平面两运动臂/定各轴转做动什么运动
内臂 定轴运动 外臂 定轴运动？ 相对内臂 定轴运动
相对基座
定轴运动 平动
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
EXIT
9
刚体的平面运动/平面一般运动
刚体的平面运动/平面一般运动
• 平面一般运动的分解
先转动后平动
2019年11月25日 理论力学CAI 刚体平面运动学
结论：在刚体平 面运动的定性 分析时可将刚 体的平面一般 运动分解为刚 体的平动与刚 体定轴转动
角加速度介绍范文
角加速度介绍范文角加速度是指物体在单位时间内改变角速度的快慢程度。
角速度是物体旋转的快慢程度，而角加速度则表示物体旋转的加速度。
角速度是指物体围绕其中一轴旋转时所经过的角度变化率。
在物理学中，角速度通常用希腊字母ω来表示，单位是弧度/秒。
角速度的求解公式为角速度=角位移/时间，也可以表示为角速度=dθ/dt，其中θ表示角位移，t表示时间。
角速度主要分为平均角速度和瞬时角速度两种。
平均角速度是指物体在其中一时间段内的角位移与该时间段的时间的比值。
它描述了物体旋转的平均速度。
平均角速度的计算公式为平均角速度=（终止角度-起始角度）/时间。
例如，一物体从初始位置旋转到终止位置所经历的角度是2π，花费的时间是2秒，则平均角速度等于2π/2=π弧度/秒。
瞬时角速度是指物体在其中一时刻的瞬时速度。
瞬时角速度的计算可以通过在一个很短时间内计算角位移的极限值得出。
即瞬时角速度=limδt→0（Δθ/δt），其中δt表示时间的增量，Δθ表示在δt时间内的角位移。
瞬时角速度可以通过对角位移的时间导数来计算。
而角加速度，则是指单位时间内角速度的变化率。
角加速度用希腊字母α表示，单位是弧度/秒的平方。
角加速度可以表示为角加速度=dω/dt，即角加速度等于角速度对时间的导数。
angular acceleration常常用来描述物体的旋转加速度情况。
角加速度也可以通过角位移的二阶导数来计算，即角加速度=d²θ/dt²。
角加速度可以为正、负或零，正角加速度表示物体的角速度在增加，负角加速度表示角速度在减小，零角加速度表示角速度保持恒定。
物体的角加速度可以通过牛顿第二定律求解。
根据牛顿第二定律，物体的角加速度等于物体所受的合外力矩除以物体的转动惯量。
转动惯量表示了物体在旋转过程中抵抗改变自身旋转状态的性质。
转动惯量的大小取决于物体的质量分布以及物体相对于旋转轴的距离分布。
物体的转动惯量具体计算方法因物体形状和旋转轴的不同而有所差异。
角速度及角加速度的矢量表示
矢量积 r的大小及方向都与速度 v 的大
小及方向相同，即
v r （5-17）
转动刚体内任一点的速度，可由刚体的角速 度矢量与该点矢径的矢量积来表示。
图5-19
为了求出加速度 a 与 和 的关系式，取式（5-17）对于时间
的导数，得
a dv d ( r) d r dr
dt dt
dt
dt
但已知 因此得
d
dt
dr ， dt
v
a r v （5-18）
上式右边的第一项的大小为 | r | r sin R
如图5-20（a）所示，于是切向加速度可写为
aτ r
转动刚体内任一点M 的切向加速度矢量等于刚体的角加速度矢量与 该点矢径的矢量积。 式（5-18）右边的第二项的大小为
理论力学
角速度及角加速度的矢量表示
为了指明转轴在空间的方位，规定角速度矢量 和角加速度矢
量 均沿转动轴线，它们的模分别表示该瞬时刚体角速度和角
加速度的大小，用 k 表示沿轴线 Oz 的正方向的单位矢量，则
k d k
dt
d d k k
dt dt
当 0 ， 0 时， 及 均沿z轴的正向，说明刚体在加速转动， 如图5-18（a）所示；当 0 ， 0 时， 沿正向而 沿z轴的负
向，说明刚体在做减速转动，如图5-18（b）所示。
（a） 图5-18
（b）
从转轴上任一点 O作矢量 ，再作矢径 r OM ，如图5-19所示。以
表示 r 与z轴间夹角，点O1表示 M点描绘的圆周的中心， R 是该圆周
的半径，于是速度 v 的大小是 R 。由直角三角形 OMO1 可知 ，所
以 M点的速度的大小为
角加速度表征刚体角速度变化的快慢
旋转运动中的角加速度
在旋转运动中，角加速度是描述旋转运动状态变化的重要物 理量。在匀速旋转运动中，角速度的大小和方向保持不变； 而在变速旋转运动中，角速度的大小和方向会发生变化，此 时就需要用到角加速度来描述这种变化。
角加速度的大小和方向决定了旋转运动状态变化的快慢和方 向。在圆周运动中，角加速度的方向与圆周切线方向一致， 指向圆心；在旋转抛物面运动中，角加速度的方向与旋转轴 线一致，指向旋转轴线。
角加速度在日常生活中的应用
角加速度在日常生活中的应用非常广 泛，例如汽车转向、陀螺仪、洗衣机 等。
VS
在汽车转向过程中，驾驶员施加在方 向盘上的力矩会使车轮产生角加速度， 使汽车发生转向动作。陀螺仪则利用 角动量守恒原理，通过测量和计算角 速度和角加速度来指示方向和保持平 衡。洗衣机则利用角加速度使衣物产 生离心力，从而将衣物甩干。
角加速度的方向变化与外力矩的方向有关，当外力矩作用 在刚体的转动轴上时，角加速度方向不变；当外力矩作用 在刚体的非转动轴上时，角加速度方向会发生改变。
角加速度与线加速度的关联
在刚体的平面运动中，角加速度与线 加速度存在一定的关系。
当刚体做定轴转动时，线加速度为零 ；当刚体做平面运动时，线加速度等 于角加速度乘以半径。
04
角加速度的特性
角加速度的方向性
01
角加速度的方向始终与刚体的转 动轴线一致，表示刚体角速度变 化的方向。
02
当刚体做定轴转动时，角加速度 方向与转动轴线重合；当刚体做 平面运动时，角加速度方向垂直 于运动平面。
旋转运动知识点总结
旋转运动知识点总结旋转运动是物体绕着某一固定轴线或者某一固定轨道进行运动的一种动力学运动形式。
在自然界和日常生活中，我们都能够看到许多旋转运动的例子，比如地球的自转、风车的旋转、运动员的体操表演等等。
本文将从角速度、角加速度、牛顿第二定律、角动量、角动量守恒定律等方面对旋转运动进行系统的总结。
一、角速度1.1 角速度的定义角速度是指物体绕着某一轴线旋转的速度，通常用符号ω表示，它的大小等于单位时间内通过的弧度数。
角速度的国际单位是弧度每秒(rad/s)或者角度每秒(deg/s)。
1.2 角速度的计算物体的角速度可以通过如下公式来计算：ω = Δθ / Δt其中，ω表示角速度，Δθ表示在时间Δt内物体绕轴线旋转的角度变化，Δt表示时间变化量。
1.3 角速度的方向在右手定则下，如果指尖指向旋转的方向，大拇指指向旋转轴线的方向，那么角速度的方向也是指向旋转轴线的方向。
二、角加速度2.1 角加速度的定义角加速度是指物体旋转运动的速度变化率，用符号α表示，它表示单位时间内角速度的变化量。
角加速度的国际单位是弧度每秒平方(rad/s²)或者角度每秒平方(deg/s²)。
2.2 角加速度的计算物体的角加速度可以通过如下公式来计算：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示在时间Δt内角速度的变化量，Δt表示时间变化量。
2.3 角加速度与速度的关系在匀加速旋转运动中，角加速度和角速度之间的关系可以用如下公式来表示：ω = ω0 + αt其中，ω表示时间t内的角速度，ω0表示初始角速度，α表示角加速度。
三、牛顿第二定律在旋转运动中的应用在旋转运动中，牛顿第二定律也同样适用，其数学表达式可以表示为：τ = Iα其中，τ表示合力对物体产生的力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
在牛顿第二定律的应用中，我们需要注意以下几点：1）转动惯量的计算2）力矩的计算3）角加速度的计算四、角动量4.1 角动量的定义角动量是指物体绕固定轴线的旋转运动所具有的动量，通常用符号L表示，它的大小等于物体运动速度的矢量叉乘转动惯量的大小。
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類1.下列各項有關圓周運動的敘述,何者正確, (,)等速率圓周運動為變角速度運動(,)物體作平移運動時,物體中每點的運動軌跡均與質心運動的軌跡相同(,)剛體繞某一定軸作等角速度轉動時,除軸外,剛體中每一點皆作等速率圓周運動(,)一質點在作固定半徑轉動時,若有角加速度,則向心加速度量值隨時間改變(,)一質點作半徑r等角速度ω運動,此質點與圓心之連線2,單位時間掃過之面積為ωr。答:(,)(,)(,)類2.繞固定軸轉動的剛體內的每一質點(,)角速率相同(,)角加速度大小相同(,)切向速率相同(,)切向速度相同(,)切向加速度相同。答:(,)(,)類3.一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,當輪以等角速度轉動時(,)法向加速度為零(,)切向加速度為零(,)合加速度為零(,)合加速度等於法向加速度(,)此點為一等速度圓周運動。答:(,)(,)
類2.汽車引擎作等角加速度運動,若角速度於12秒內由1200 rpm增至30間內引擎轉動【】轉。答:(,) 5π;(,) 420類3.若家用馬達為60 rps,今切掉電源後20秒停止轉動,設停止前作等角加速度,則: 2(,)角加速度為【】rad/s。
2例2.一質點在半徑為0.4 m的圓周上運動,在某瞬時間的角速度為2 rad/s,其角加速度為3 rad/s
2,求此質點的合加速度之量值為【】m/s。答案:2
類1.當一質點對一固定軸以等角加速度由靜止開始轉動,當該質點的加速度方向與
3速度方向夾37?的瞬間,此質點恰好轉過的角位移為【】弧度。答: 8
例4.圖為某物體轉動的角速度與時間的圖形,則該物體於0,4秒內的平均角速度為(,) 0 (,) 2 (,) 3 (,) 4 rad/s。答:(,)
類1.一質點繞一定軸,作圓周運動,其ω,t圖如圖所示,則(,)全程為等角
ω1加速度(,) 0,t1時間之角加速度為(,)在t1,t2間之角加速度為t1
ω11 (,) t1到t2期間反向旋轉(,)全程角位移為ω1t2。答:(,)(,) (t,t)221
2(,) 3 (,) 4 (,) 5 (,) 6 (,) 8弧度,秒。答:(,)
2例3.有一飛輪,其角加速度為定值且等於2弧度,秒,在其過程中5秒時間內轉過100弧度之角,若此輪係由靜止狀態而開始轉動者,問在此5秒前,已經轉動若干時間, (,) 1 (,) 3 (,) 5 (,) 7.5秒。答:(,)
(,) t,3秒之瞬間,角速度為【】rad/s。2(,) t,4秒之瞬時,角加速度為【】rad/s。答:(,) 8;(,) 2類2.若一物體之角速度ω與時間t之函數關係為ω,4,2t:弧度,秒:,當t,0時之角位置θ,2:弧度:,則:(,)第4秒末之角位置為【】。2(,) 3秒末之角加速度為【】。答:(,) 2弧度;(,),2弧度,秒
3
例6.一飛輪傳動系統:如圖所示:,各輪的轉軸均固定且互相平行,甲乙兩輪同軸且無相對轉動,已知甲、乙、丙、丁四輪的半徑比為5:2:3:1,若傳動帶在各輪轉動中不打滑,則(,)甲、乙兩輪角速度量值之比為5:2 (,)乙、丙兩輪角速度量值之比為3:2 (,)丙、丁兩輪角速度量值之比為2:15 (,)甲、丁兩輪切向速率之比為1:5 (,)乙、丁兩輪轉動角加速度量值之比為1:5。答:(,)(,)(,)
(,)共轉過【】轉。答:(,),6π;(,) 600
例5.剛體中一點P距固定轉軸為0.50 m,做變角加速度運動,其角位移θ:rad:與時間t:sec:
32之關係θ,2t,5t,4,求:
(,)第二秒末之角速度為【】rad/s。
2113(,)第二秒末之加速度為【】m/s。答:(,) 4;(,)
2類1.某物繞一定點旋轉,其θ與t之關係為θ,t,2t,4,則此物體於
2
類1.初角速度50 rad/s:方向逆時針:的轉輪,在20秒後角速度變為40 rad/s:方向順時針:,若以等角加速度α轉動,求20秒內之角位移大小為【】rad。答:100類2.已知一等角加速運動的物體,其角速度由10弧度,秒增至30弧度,秒,共轉動50弧度的角2位移,試求其角加度為【】弧度,秒。答:8類3.一質點質量為2 kg,對固定點O由靜止作半徑為1 m的等角加速度運動,若角加速度為π22 rad/s,則此質點在5秒末的動能為【】J。答:25π
類2.同一輪子上A、B兩點至軸心距離比為2:1,當輪子在旋轉時,其切向速度比為,切向加速度比為,向心加速度比為,加速度比為,:設輪子之軸固定不動:答:2:1;2:1;2:1;2:1
類3.一質點沿半徑2米的圓周繞轉,若某時刻其所受淨力與運動方向所夾之銳8,1角為tan、角速度為4弧度,秒,則該時刻質點的角加速度為若干, 3
23.角加速度:單位時間Δt內角速度的變化量Δω ,以α表示;單位為rad / s。(1)平均角加速度: (2)瞬時角加速度:
,想想…等角加速度運動、非等角加速度運動之差異? ?
4.移動與轉動的關係::這個實用唷:當質點以半徑r作圓周運動時,質點的移動與轉動有以下關係2(1) Δx = rΔθ (2) v = rω (3) at = rα (4) an = rω
角速度与角加速度
第十章轉動10-1角速度與角加速度
1.角位移:物體或質點所轉過的角度,以Δθ表示;單位為弧度(或弳度),以rad表示。2.角速度:單位時間Δt內所轉過的角度Δθ ,以ω表示;單位為rad/s。(1)平均角速度: (2)瞬時角速度:(3)圓周運動角速度:
,角速度的方向??利用類似右手安培定則去找,四指為物體轉動方向,則大拇指為角速度方向。,想想…等角速度運動、非等角速度運動之差異? ?
5.若一質點作等角加速度運動,則會有下列這些關係:
物理量移動:比較一下:轉動圓周運動時二者關係(角)位移
平均(角)速度
平均(角)加速度
等(角)加速度
:三大公式:
『課本94頁有美美,但又噁心的圖,』
例1.一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,則(,)當輪以等角速度轉動時,此點的切向加速度為零(,)同(,)此點法向加速度大小一定不為零(,)當輪以等角加速度轉動時,此點切向加速度大小一定(,)同(,)此點的切向加速度隨時間增加而增大(,)同(,)此點的切向速率隨時間增加而增大。答:(,)(,)(,)(,)