刚体角速度和角加速度的矢量表示

六、运动学中与位置相关的 重要概念——参考体
参考体：描述物体的运动之前所选取的作为 参照物的物体。
参考系：将所选取的参考体经抽象化处理， 以坐标系的形式出现。（坐标系， 参考坐标系）
内容提要
1、点的运动的表示方法 ——三种：矢径表示法， 笛卡儿坐标表示法， 弧坐标表示。
2、刚体的基本运动 ——两种：刚体的平行移动， 刚体的定轴转动。
&x&
ay
d 2y dt 2
&y&
az
d 2z dt 2
&z&
合加速度大小
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
— ( 5 10 )
( 5 11 )
合加速度方向 合加速度的方向由其方向余弦确定
co（ s a, i） ax a
co（ s a,
j）
ay a
(5
12)
co（ s a, k )
平均速度
v r t
瞬时速度
P(t)
S （v
r P'(t+t) r
O
r' v
v lim r dr r& —（5 2） t0 t dt
速度单位
米 / 秒(m / s)
３、加速度：
平均加速度
a v t
瞬时加速度
P(t)
S （v
r P'(t+t) r
O
r' v
v a lim
t 0 t
dv dt
3、定轴轮系的传动比 ——两种：齿轮传动， 带轮传动。
4、刚体角速度和角加速度的矢量表示 ——角速度矢、角加速度矢
5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示
6、泊松公式
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
P、P——动点
v、v ——动点的瞬时速度
S
r、r ——动点的瞬时矢径
r r ——t时间间隔内矢径改变量
速度的笛卡儿坐标轴上的投影式
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
x&
y&
z&
合速度大小
(5 6 )
v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
(5 7 )
合速度方向 合速度的方向由其方向余弦确定
co（ s v, i） vx v
co（ s v,
j）
vy v
(5
8)
co（ s v, k )
az a
总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐 标对时间的一阶导数。
动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的 速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二 阶导数。
三、弧坐标表示法： 举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图） ❖火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（右图）
O
i
x
r
j
y
M
z
y
x
2、运动速度： 速度的笛卡儿坐标表达式
z r= ix + jy + k z
r
k j
O
i
y
x
M
z
y
x
将式 r=ix+jy+kz 对时间求一阶导数，并注意到 i、j、k 是常矢量，然后再将其代入公式（5-2），即 可得到速度在笛卡儿坐标系中的表达式：
v r& (x&i y&j z&k) —（5 5）
变矢为变矢量 A(t) 端点的速度u。
二、笛卡儿坐标表示法：
1、运动方程（运动规律）：

z r= ix+ jy+ k z
由于动点在空间的位置
可用坐标唯一的确定，而坐
标x、y、z又是t的单值连续
的矢量函数，故可表示如下：
k
x f1(t) y f2 (t) ( 5 4) z f3(t)
——运动方程
z
y
x
01-5-12
24
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
S —— 弧坐标、O点至动点M的弧长。是时间ｔ 的单值函数。
正负号—— 规定参考点的一侧方向为正向，相应部 位的弧长为正值；另一侧方向为负向，相 应部位的弧长为负值。
S
M
()
O
()
自然轴系
// ，
P
MM
P平面趋于一极限位置，
即空间曲线在M点的密切面。
三、运动学的建立基础
由于经典力学中空间、时间与物体运动的 无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在 欧几里德几何学公理的基础上。
四、运动学中的两种力学模形：
点： 不计尺寸大小的物体。 刚体：形状和大小都不变化的物体。
五、运动学中与时间相关的两个 重要概念——瞬时和时间间隔
瞬 时： 时间间隔：
在整个时间流逝过程中的某一时刻。 在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间 轴上的一个点。开始计算时间的瞬时 称为初瞬时 两个瞬时之间流逝的时间。
d2 dt
r
2
& r&
—（5 3）
加速度单位
米 / 秒2 (m / s2 )
讨论：速度矢端图
点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的 始端画在同一点O′，按照时间顺序，这些速度矢量的末端 将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端图。
如图所示，速度 为v 时的加速度方向 为M点的切线方向。 指向速度矢变化的方 向。
S ——动点运动轨迹，矢径端图
o ——参考点
O
P
v
r P'
r' v
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
1、运动方程（运动规律）：
由于矢径r的大小与
方向均随时间t而变，是
S
t的单值连续的矢量函数，
故可表示如下：
r
r r(t) (5 1)
——运动方程
O
P(t)
（
r
v
P'(t+t)
r' v
2、运动速度：
vz v
2、运动加速度： 同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
a dv v& & r& & x&i & y&j & z&k dt
—（5 9）
加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式
ax
d 2x dt 2
速度矢端图的
作用：确定瞬时加
速度方向。
o
M
M
v v
a
速度矢端图
总结
动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿 轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。
动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数, 等于 位矢 对时间的二阶导数。其方向 为v的极限方向
变矢量 A(t) 对时间t的导数 dA(t)dt 为一新变矢。此新
第七章 点的一般运动、刚体的基本运动
引言
一、空间、时间与物质运动的关系
1、物体的运动速度接近光速或超越光速时， 空间、时间与物质的运动是相互关联的。
2、经典力学范围内，认为空间、时间与物 质的运动无关。
二、运动学的研究对象
经典力学中的运动学在被认为在与运动无 关的空间和时间中研究物体运动的几何性质
，为切向单位矢量
() O
s A
P
M
() B
M
由于M点附近的微小弧段 可以可以近似的看成为一条 在密切面内的平面曲线，因 此对平面曲线而言，密切面 就是该曲线所在的平面。