大学物理 机械波及波的形式波长 波线及波面 波速
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大学物理机械波
y
A
cos t
x u
——平面简谐波的波函数
2024/10/13
机械波
y
式
T
y Acos[2π(t x ) ]
波函数的 其它形式
y Acos[2π( t x ) ]
T
y Acos[ 2π (ut x) ]
如果波沿x 轴的负方向传播，则P点的相位要比
Acos[4π
(t
x1 u
1)] 8
波函数为:
y(x,t) Acos[4π (t x x1 1)] u8
(3) 以 A 为原点：
y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
以 B 为原点：
y(x,t) Acos[4π (t x x1 1)] u8
2024/10/13
机械波
ul
E
E— 固体棒的杨氏模量
— 固体棒的密度
2024/10/13
c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：
ut
G
G — 固体的切变弹性模量
— 固体密度
机械波
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出:
ul
B
B — 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为:
RT p
机械波
6.1.3 波的几何描述 波线: 沿波的传播方向作的有方向的线. 波面: 在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位
相同的点构成的曲面. 波前: 波传播过程中, 某一时刻最前面的波面.
注意 在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面.
2024/10/13
机械波
6.1.4 波速 波长 周期（频率）
波长（）: 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间的
机械波及波的形式波长波线及波面波速
机械波及波的形式波长波线 及波面波速
2
一 机械波的形成
1 波源 作机械振动的物体 （声带、乐器等）
2 介质 能传播机械振动的媒质 （空气、水、钢铁等）
注意
波是运动状态的传播，介 质的质点并不随波传播.
4
特点： 波传播方向上各点的振动方 向与波传播方向垂直
2 纵波（又称疏密波） 例如：弹簧波、 声波
负号表示压强增大(减小)时体积缩小(增大)
6
由理想气体绝热方程 取微分，得
常量
又
7
（2） ℃时空气中声速
℃时声速
8
四 波线 波面 波前 1 波线 波的传播方向 2 波阵面 振动相位相同的点组成的面称为波阵面
任一时刻波源最初振动状态在各方向 上传到的点的轨迹. 波前是最前面的波阵面
9
性质 （1）同一波阵面上各点振动状态相同. （2）波阵面的推进即为波的传播. （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.
（1）若视空气为理想气体，试证声速
与压强 的关系为
，与温度 的
关系为
. 式中
为气体
的摩尔热容之比， 为密度， 为摩尔气体常
数， 为摩尔质量.
（2）求 ℃和 ℃时，空气中的声速.
（空气的
，
）
5
已知:绝热过程，证
，
求 ℃， ℃时的声速
解 （1）气体中纵波波速为 式中体积模量 被定义为压强增量 与体积 应变（ ）的比，即
6
3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成
简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动
（本章研究对象）
7
三 波长 波的周期和频率 波速
1 波长 波传播方向上相邻两振动状态完全相同 的质点间的距离（一完整波的长度）.
2
一 机械波的形成
1 波源 作机械振动的物体 （声带、乐器等）
2 介质 能传播机械振动的媒质 （空气、水、钢铁等）
注意
波是运动状态的传播，介 质的质点并不随波传播.
4
特点： 波传播方向上各点的振动方 向与波传播方向垂直
2 纵波（又称疏密波） 例如：弹簧波、 声波
负号表示压强增大(减小)时体积缩小(增大)
6
由理想气体绝热方程 取微分，得
常量
又
7
（2） ℃时空气中声速
℃时声速
8
四 波线 波面 波前 1 波线 波的传播方向 2 波阵面 振动相位相同的点组成的面称为波阵面
任一时刻波源最初振动状态在各方向 上传到的点的轨迹. 波前是最前面的波阵面
9
性质 （1）同一波阵面上各点振动状态相同. （2）波阵面的推进即为波的传播. （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.
（1）若视空气为理想气体，试证声速
与压强 的关系为
，与温度 的
关系为
. 式中
为气体
的摩尔热容之比， 为密度， 为摩尔气体常
数， 为摩尔质量.
（2）求 ℃和 ℃时，空气中的声速.
（空气的
，
）
5
已知:绝热过程，证
，
求 ℃， ℃时的声速
解 （1）气体中纵波波速为 式中体积模量 被定义为压强增量 与体积 应变（ ）的比，即
6
3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成
简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动
（本章研究对象）
7
三 波长 波的周期和频率 波速
1 波长 波传播方向上相邻两振动状态完全相同 的质点间的距离（一完整波的长度）.
大学物理 第7章 机械波
上某点A的简谐运动方程为y =3cos4πt (SI).
(1)以点A为坐标原点,写出波动方程. (2)以距点A为5m处的点B为坐 标原点,写出波动方程; (3)写出传播方向上点C、点D的简谐运动方 程; (4)分别求出BC和CD两点间的相位差.
u • C 8m • B 5m • A 9m
u
解:已知 u=20m/s
频率与周期的关系为:
波速（u） : 振动状态在媒质中的传播速度.
波速与波长、周期和频率的关系为:
1 T
u
T
7.1.4、球面波和平面波
波场--波传播到的空间。
波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。
波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.
x ut y( x x , t t ) A cos[ ( t t ) 0 ] u x A cos[ ( t ) 0 ] u
t时刻的波形方程
u
y( x x , t t ) y( x , t )
例题1: 一平面简谐波以速率u = 20m/s沿直线传播. 已知在传播路径
机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波 波动是一切微观粒子的属性，
与微观粒子对应的波称为物质波。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 有类似的波动方程。
7.1.1 机械波的产生
(1)有作机械振动的物体，即波源
(2)有连续的媒质 y
v x 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力， 则称为弹性波。
p I wu S
1 2 2 I A u 2
(1)以点A为坐标原点,写出波动方程. (2)以距点A为5m处的点B为坐 标原点,写出波动方程; (3)写出传播方向上点C、点D的简谐运动方 程; (4)分别求出BC和CD两点间的相位差.
u • C 8m • B 5m • A 9m
u
解:已知 u=20m/s
频率与周期的关系为:
波速（u） : 振动状态在媒质中的传播速度.
波速与波长、周期和频率的关系为:
1 T
u
T
7.1.4、球面波和平面波
波场--波传播到的空间。
波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。
波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.
x ut y( x x , t t ) A cos[ ( t t ) 0 ] u x A cos[ ( t ) 0 ] u
t时刻的波形方程
u
y( x x , t t ) y( x , t )
例题1: 一平面简谐波以速率u = 20m/s沿直线传播. 已知在传播路径
机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波 波动是一切微观粒子的属性，
与微观粒子对应的波称为物质波。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 有类似的波动方程。
7.1.1 机械波的产生
(1)有作机械振动的物体，即波源
(2)有连续的媒质 y
v x 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力， 则称为弹性波。
p I wu S
1 2 2 I A u 2
大学物理第15章机械波
2222???????????????????22cosyxatxuu???????222cosyxa?ttu?????????????????????222221yyxut?????这就是一维谐波满足的微分关系
第四篇
波动与光学
§15.1
波动
机械波的产生与传播
振动状态(相位）的传播称为波动，简称波。
y ( m)
0.01
y ( m)
0.01
u
x ( m)
0 .2
t (s)
0 .1
a
b
第四篇
波动与光学
直接读出振动特征量:
解
y ( m)
0.01
t (s)
0 .1
A 0.01m T 0.1 s 20 (rad / s)
2 ya (t ) 0.01 cos( 20t
第四篇
波动与光学
二、波动微分方程
1.一维波动方程的导出 对于一维波动方程：
可分别对自变量x、t求偏导得：
x y x, t A cos t u
2 y 2 x A 2 cos t 2 x u u 2 y x 2 A cos t 2 t u
频率 波速
u
uT
u
讨论
①波的周期、频率与介质无关，由波源确定。 ②不同频率的波在同一介质中波速相同。
③波在不同介质中频率不变（由波源决定）。
第四篇
波动与光学
六、弹性介质与波的传播
在一种弹性介质中能够传播的是横波还是纵波，波速能够有多大， 都与介质的弹性有关。 1.长变变形 应力 单位截面上的受力称为应力。
第四篇
波动与光学
§15.1
波动
机械波的产生与传播
振动状态(相位）的传播称为波动，简称波。
y ( m)
0.01
y ( m)
0.01
u
x ( m)
0 .2
t (s)
0 .1
a
b
第四篇
波动与光学
直接读出振动特征量:
解
y ( m)
0.01
t (s)
0 .1
A 0.01m T 0.1 s 20 (rad / s)
2 ya (t ) 0.01 cos( 20t
第四篇
波动与光学
二、波动微分方程
1.一维波动方程的导出 对于一维波动方程：
可分别对自变量x、t求偏导得：
x y x, t A cos t u
2 y 2 x A 2 cos t 2 x u u 2 y x 2 A cos t 2 t u
频率 波速
u
uT
u
讨论
①波的周期、频率与介质无关，由波源确定。 ②不同频率的波在同一介质中波速相同。
③波在不同介质中频率不变（由波源决定）。
第四篇
波动与光学
六、弹性介质与波的传播
在一种弹性介质中能够传播的是横波还是纵波，波速能够有多大， 都与介质的弹性有关。 1.长变变形 应力 单位截面上的受力称为应力。
机械波及波的形式波长 波线及波面 波速
波谷----波谷 波谷 波谷
λ
纵波： 波疏----波疏 纵波：相邻 波疏 波疏
波密----波密 波密 波密
第十章 波动
10
物理学
第五版
2 周期 T 波传过一波长所需的时间， 波传过一波长所需的时间，或一完整 波通过波线上某点所需的时间. 波通过波线上某点所需的时间
10-1 机械波的几个概念 -
T =λ
10-1 机械波的几个概念 -
分类（ ） 分类（1）平面波 （2）球面波 ）
波面 波线
波面
波线
第十章 波动
22
物理学
第五版
3 波形曲线 描述某时刻，波线上各点位移（广义） 描述某时刻，波线上各点位移（广义）分布
10-1 机械波的几个概念 -
对横波： 直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置， 对横波： 直观给出该时刻波形和波峰、波谷的位置，
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念 -
振动和波动的关系： 振动和波动的关系： 波动--振动的传播 波动--振动的传播 -振动--波动的成因 振动--波动的成因 -波动的种类： 波动的种类： 机械波、电磁波、 机械波、电磁波、物质波
1
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念 -
一 机械波的形成
ψ
o
λ
2
r u
λ
x
思考： 对纵波，波形曲线是不是实际波形？ 思考： 对纵波，波形曲线是不是实际波形？ 波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点 的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？ 的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
第十章 波动
23
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念 -
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第七章 机械波
y
Acos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为 横坐标，
y
u
波形方程
x
给出 t1 时刻空间各
点的位移分布。
给出：t1时刻 波线上各个质点偏离各自平衡位置 的位移所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
y
Acos
t1
2
x
0
x
A，波形曲线为余弦曲线，其 “周期” 为 。
B，沿波线（x轴）方向，两个距离相隔的质点的 振动的相位差为：2。
Physics
第7章 机械波
Physics
§7-1 机械波的产生和 传播
§7-1 机械波的产生和传播
波动是振动的传播过程。
机械波：机械振动在介质中的传播过程。
eg，声波、水波、地震波
1、机械波产生的条件
波源 弹性介质
产生机械振动的振源 传播机械振动的介质
注：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中 的传播，介质的质点并不随波前进。eg,裙摆
求：1)振幅，2)波长，3)波的周期，4)弦上任一质点的 最大速率，5)图中a、b两点的相位差，6) 3T/4时的波 形曲线。
y / cm
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
中国矿业大学（北京）
M1
a
10 20
M2
b
30 40
50 60
70 x / cm t =0
18/23
补充例题2
波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波 面即是波前。波前只有一个。
平面波：波阵面为平面的波动
球面波：波阵面为球面的波动
柱面波：波阵面为柱面的波动
中国矿业大学（北京）
大学物理下册课件 第15章 机械波
已知振动状态以速度 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ，
振动状态与原点在
时刻的振动状态相同。
点的
因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为
这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。
15.2.1 平面简谐波的波函数
沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程
t = 7T / 8
t = T
在同一坐标系
XOY 中
正向波
反向波
驻波
点击鼠标，观察在一个周期T 中不同时刻各波的波形图。
每点击一次，
时间步进
合成驻波
15.4.3 驻 波
为简明起见，
设
改写原式得
并用
由
正向波
反向波
驻 波 方 程
注意到三角函数关系
得
驻 波 方 程
驻 波 方 程
波节
波腹
波腹处振幅最大
固体的容变弹性模量
液体和气体:液体可以产生容变,其容变弹性模量如固体一致
对于密度为 的固体,在其中传播横波和纵波的速度为
液体和气体中传播纵波的波速为
15.1.3 波的特征量
关于波速问题: 波速取决于媒质的弹性(弹性模量)和媒质的惯性(密度)
细长棒:沿着棒的长度方向传播纵波的波速取决于杨氏弹性模量及其惯性
上下
抖动
振速 最小
振速 最大
形变最小
形变最大
时刻波形
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，
具有 弹性势能
各体积元以变化的振动速率 上下振动，
具有振动动能
总能量
15.3 波的能量
动能
动能计算
势能计算
10-0 教学基本要求
第十章 波动
6
4
物理学
10-0 教学基本要求
第五版
3 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解波的相干条件，能应用相位差和波 程差分析、确定相干波叠加后振幅加强 和减弱的条件；
4 理解驻波及其形成，了解驻波和 行波的区别；
第十章 波动
5
物理学
10-0 教学基本要求
第五版
5 了解机械波的多普勒效应及其产 生的原因.在波源或观察者沿二者连线 运动的情况下，能计算多普勒频移.
应用专题:声波的应用 多普勒效应及应用
第十章 波动
3
物理学
10-0 教学基本要求
第五版
1 掌握描述简谐波的各物理量及各 量间的关系；
2 理解机械波产生的条件.掌握由 已知质点的简谐运动方程得出平面简 谐波的波函数的方法.理解波函数的物 理意义.解波的能量传播特征及能流、 能流密度概念.
第十章 波动
物理学
第五版
第 第十十 章章 波波 动动
第十章 波动
1本要求 10-1 机械波及波的形式 波长 波线及波面 波速 10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度 10-4 惠更斯原理 波的衍射 干涉
第十章 波动
2
物理学
第五版
本章目录
10-5 驻波 10-6 多普勒效应 10-7 平面电磁波 附 本章练习
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 机械波
6
第七章 机械波
7
二 横波与纵波 1 横波
特点： 波传播方向上各点的振动方 向与波传播方向垂直 (峰或谷的移动)
第七章 机械波
8
2 纵波（又称疏密波） 纵波
特点：质点的振动方向与波传播方向一致
(疏或密状态的移动)
第七章 机械波
9
3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成 简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动
右行波
这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程 P点在t时刻的位移等于原点处质点 在
第七章 机械波
时刻的位移
25
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以
p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第七章 机械波
26
波函数的几种常用形式
第七章 机械波
27
二
波函数的物理含义
2π
2 πx y A cos t
第七章 机械波
33
2）利用波函数研究质点的运动
任意 x 处质点的运动方程为：
该质点的速度和加速度分别为：
该质点的振动初相位为：
第七章 机械波
34
2、建立平面简谐波的波函数 已知质元的振动情况，确定波函数。 难点是确定坐标原点的初相 例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、 周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向 位移的负方向运动。试求该波的波函数。 解 确定坐标原点的振动初相0 由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
Y A A/2
0 -A
u=100m/s
1
X(m)
由图知：t=0时，x=1m 处的质点位于平衡位置 处且向位移负方向运动
第七章 机械波
40
0
T /u 0.024s 2/T 250/3(rad/s)
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 250π x π A cos[ (t ) ](SI) 3 100 3
44
第七章 机械波
11
三、波面和波线
波面 在波传播过程中，振动相位相同的 点联结成的面。 波线 沿波的传播方向的直线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
波面
波线
波线
波线 波 面 球面波
第七章 机械波
波面
柱面波
12
性质
（1）同一波阵面上各点振动状态相同. （2）波阵面的推进即为波的传播. （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.
平面简谐波的波函数
(2) 它广泛适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；
(3) 若物理量是在三维空间中以波 的形式传播，波动方程为
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
复
习
第七章 机械波
43
作业
• 大作业： • 预习7.5波的干涉
第七章 机械波
第七章 机械波
37
例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图 （a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0 t/s
t=5s时质点第一次回到平衡 位置所以
t=5 t 0.2 0.4 o y/m t=0
38
x=1m处质点的运动方程为
等幅平面简谐波 ：介质不吸收波动的能量，介质中
的质元都作振幅相等的简谐振动 波线
平面简谐波
第七章 机械波
波面
21
一、（等幅）平面简谐波的波函数
波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t) 右行波:沿x轴正向传播 介质中所有质点均作同频率、 左行波:沿x轴负向传播 同振动方向、同振幅的简谐振动。
y
o
第七章 机械波
x
30
3. t 与 x 都发生变化
y y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处， 传播的距离是u t, x ut
总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波 的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.
第七章 机械波
31
三、有关波函数的应用
π , 2.4m, u 100(m/s) 3
第七章 机械波
41
四、平面波的波动微分方程
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 2 y x 2 A cos[ (t ) 0 ] 2 t u 2 y 1 2 y 2 2 2 2 2 y x x u t A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 x u u 说明 2 y (1)上式适用于一切沿x方向传播平面波， 2 系数倒数的平 t 方根是传播速度；
3、波的叠加与干涉 为波动光学的干涉和衍射打下基础。
第七章 机械波
5
7.1 机械波的产生和传播 一 机械波的产生
1 波源
能够产生机械振动的任何物体。 由弹性力相互作用的连续介质。
2 弹性介质
注意
波源的振动通过弹性介质中的弹性力，在介质中 传播开去，从而形成机械波。波动是振动状态的 传播，是能量的传播，而不是质元的传播。
（本章研究对象）
第七章 机械波
10
结 论 (1) “ 上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (2) 质元并未“随波逐流”，波的传播不是媒 质质元的传播，是振动的传播。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于 “下游”某处出现，波动是振动状态 —— 振 动相位的传播。 同相点----质元的振动状态相同。
T
u
单位时间内通过与波传播方向垂直的平面的 完整波形数。在数值上等于波源振动的频率。
1 T
第七章 机械波
17
u
四个物理量的联系
1 T
注意
u
T
u Tu
周期或频率只决定于波源的振动 波速主要决定于介质的性质
第七章 机械波
18
说明
(1) 波长反映了波的空间周期性。周期表征了波的时间周期性； (2) 波的频率 与媒质的性质无关； (3) 波速u 大小主要决定于媒质的性质。 a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为
Y
O
P
x
X
平面简谐波函数的一般形式应为：
y A cos t ( x )
第七章 机械波
关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。
22
波动是振动 相位的传播
u
a
沿波的传播方向 , 各质元 的振动相位依次落后。
传播方向
b
L
x
沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的 振动相位差如何？ 图中b点比a点的相位落后
分类（1）平面波 （2）球面波
第七章 机械波
13
四 波长 周期和频率 波速
1 波速
u
波在介质中传播的速度 例如，声波在空气中 340 m s 1 水 中 1 500 m s 1
1
钢铁中 5 000 m s
决定于介质的弹性（弹性模量）和惯 性（密度）
第七章 机械波
14
2 波长
a点的振动传到b点需时间：
在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量 又转过的角度）为：
第七章 机械波
23
沿波线上相距为一个波长的两点，振动的 相位差为2。
设原点振动表达式为：
第七章 机械波
24
为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知. P点与O点的相位差为：
P点的振动 初相位： 所以，p 点的振动方程为：
ut
T
——
Y ——
T —— 张力
线密度
b. 均匀细棒中，纵波的波速为：
ul
Y
固体棒的杨氏模量 固体棒的密度
——
c. 固体媒质中传播的横波速率
ut
G
G——
固体的切变弹性模量
固体密度
——
d. 液体和气体只能传播纵波，波速
ul
B
B ——
流体的容变弹性模量 流体的密度
——
1、已知波函数—即 均为已知.
1) 从波函数表达式中求: 利用比较法:将所给的波函数化为标准形 式,再与标准式比较,得到所求.
第七章 机械波
32
例1
已知某一简谐波的波函数为：
求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相 解 将原式变形为标准形式： 立即可得： y( x , t )
x A cos[ ( t ) 0 ] u
e. 稀薄大气中的纵波波速为
ul
RT
M p —— 气 Nhomakorabea摩尔热容比
—— M R ——
气体摩尔质量 气体摩尔常数
7.2 平面简谐波
简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐
振动，介质中的质元都作简谐振动。
平面简谐波（plane harmonic waves）
波面是平面的简谐波。
第七章 机械波
把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式
并与x=1.0m处的运动方程作比较，得 波动方程为
第七章 机械波
39
例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的 波形曲线如图所示。试求该波的波函数
解 确定坐标原点的 振动初相0
由图知：t=0时，x=0 处的质点位于A/2处 且向位移正方向运动
第七章 机械波
1
第第 十 章 七 章
6
第七章 机械波
7
二 横波与纵波 1 横波
特点： 波传播方向上各点的振动方 向与波传播方向垂直 (峰或谷的移动)
第七章 机械波
8
2 纵波（又称疏密波） 纵波
特点：质点的振动方向与波传播方向一致
(疏或密状态的移动)
第七章 机械波
9
3 复杂波 例如：地震波 特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成 简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动
右行波
这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程 P点在t时刻的位移等于原点处质点 在
第七章 机械波
时刻的位移
25
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以
p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第七章 机械波
26
波函数的几种常用形式
第七章 机械波
27
二
波函数的物理含义
2π
2 πx y A cos t
第七章 机械波
33
2）利用波函数研究质点的运动
任意 x 处质点的运动方程为：
该质点的速度和加速度分别为：
该质点的振动初相位为：
第七章 机械波
34
2、建立平面简谐波的波函数 已知质元的振动情况，确定波函数。 难点是确定坐标原点的初相 例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、 周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向 位移的负方向运动。试求该波的波函数。 解 确定坐标原点的振动初相0 由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
Y A A/2
0 -A
u=100m/s
1
X(m)
由图知：t=0时，x=1m 处的质点位于平衡位置 处且向位移负方向运动
第七章 机械波
40
0
T /u 0.024s 2/T 250/3(rad/s)
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 250π x π A cos[ (t ) ](SI) 3 100 3
44
第七章 机械波
11
三、波面和波线
波面 在波传播过程中，振动相位相同的 点联结成的面。 波线 沿波的传播方向的直线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
波面
波线
波线
波线 波 面 球面波
第七章 机械波
波面
柱面波
12
性质
（1）同一波阵面上各点振动状态相同. （2）波阵面的推进即为波的传播. （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面.
平面简谐波的波函数
(2) 它广泛适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；
(3) 若物理量是在三维空间中以波 的形式传播，波动方程为
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
复
习
第七章 机械波
43
作业
• 大作业： • 预习7.5波的干涉
第七章 机械波
第七章 机械波
37
例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图 （a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0 t/s
t=5s时质点第一次回到平衡 位置所以
t=5 t 0.2 0.4 o y/m t=0
38
x=1m处质点的运动方程为
等幅平面简谐波 ：介质不吸收波动的能量，介质中
的质元都作振幅相等的简谐振动 波线
平面简谐波
第七章 机械波
波面
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一、（等幅）平面简谐波的波函数
波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t) 右行波:沿x轴正向传播 介质中所有质点均作同频率、 左行波:沿x轴负向传播 同振动方向、同振幅的简谐振动。
y
o
第七章 机械波
x
30
3. t 与 x 都发生变化
y y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处， 传播的距离是u t, x ut
总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波 的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.
第七章 机械波
31
三、有关波函数的应用
π , 2.4m, u 100(m/s) 3
第七章 机械波
41
四、平面波的波动微分方程
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u 2 y x 2 A cos[ (t ) 0 ] 2 t u 2 y 1 2 y 2 2 2 2 2 y x x u t A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 x u u 说明 2 y (1)上式适用于一切沿x方向传播平面波， 2 系数倒数的平 t 方根是传播速度；
3、波的叠加与干涉 为波动光学的干涉和衍射打下基础。
第七章 机械波
5
7.1 机械波的产生和传播 一 机械波的产生
1 波源
能够产生机械振动的任何物体。 由弹性力相互作用的连续介质。
2 弹性介质
注意
波源的振动通过弹性介质中的弹性力，在介质中 传播开去，从而形成机械波。波动是振动状态的 传播，是能量的传播，而不是质元的传播。
（本章研究对象）
第七章 机械波
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结 论 (1) “ 上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 (2) 质元并未“随波逐流”，波的传播不是媒 质质元的传播，是振动的传播。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于 “下游”某处出现，波动是振动状态 —— 振 动相位的传播。 同相点----质元的振动状态相同。
T
u
单位时间内通过与波传播方向垂直的平面的 完整波形数。在数值上等于波源振动的频率。
1 T
第七章 机械波
17
u
四个物理量的联系
1 T
注意
u
T
u Tu
周期或频率只决定于波源的振动 波速主要决定于介质的性质
第七章 机械波
18
说明
(1) 波长反映了波的空间周期性。周期表征了波的时间周期性； (2) 波的频率 与媒质的性质无关； (3) 波速u 大小主要决定于媒质的性质。 a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为
Y
O
P
x
X
平面简谐波函数的一般形式应为：
y A cos t ( x )
第七章 机械波
关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。
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波动是振动 相位的传播
u
a
沿波的传播方向 , 各质元 的振动相位依次落后。
传播方向
b
L
x
沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的 振动相位差如何？ 图中b点比a点的相位落后
分类（1）平面波 （2）球面波
第七章 机械波
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四 波长 周期和频率 波速
1 波速
u
波在介质中传播的速度 例如，声波在空气中 340 m s 1 水 中 1 500 m s 1
1
钢铁中 5 000 m s
决定于介质的弹性（弹性模量）和惯 性（密度）
第七章 机械波
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2 波长
a点的振动传到b点需时间：
在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量 又转过的角度）为：
第七章 机械波
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沿波线上相距为一个波长的两点，振动的 相位差为2。
设原点振动表达式为：
第七章 机械波
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为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知. P点与O点的相位差为：
P点的振动 初相位： 所以，p 点的振动方程为：
ut
T
——
Y ——
T —— 张力
线密度
b. 均匀细棒中，纵波的波速为：
ul
Y
固体棒的杨氏模量 固体棒的密度
——
c. 固体媒质中传播的横波速率
ut
G
G——
固体的切变弹性模量
固体密度
——
d. 液体和气体只能传播纵波，波速
ul
B
B ——
流体的容变弹性模量 流体的密度
——
1、已知波函数—即 均为已知.
1) 从波函数表达式中求: 利用比较法:将所给的波函数化为标准形 式,再与标准式比较,得到所求.
第七章 机械波
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例1
已知某一简谐波的波函数为：
求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相 解 将原式变形为标准形式： 立即可得： y( x , t )
x A cos[ ( t ) 0 ] u
e. 稀薄大气中的纵波波速为
ul
RT
M p —— 气 Nhomakorabea摩尔热容比
—— M R ——
气体摩尔质量 气体摩尔常数
7.2 平面简谐波
简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐
振动，介质中的质元都作简谐振动。
平面简谐波（plane harmonic waves）
波面是平面的简谐波。
第七章 机械波
把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式
并与x=1.0m处的运动方程作比较，得 波动方程为
第七章 机械波
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例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的 波形曲线如图所示。试求该波的波函数
解 确定坐标原点的 振动初相0
由图知：t=0时，x=0 处的质点位于A/2处 且向位移正方向运动
第七章 机械波
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第第 十 章 七 章