事件的关系及运算
高中数学 3.1.3.1 事件的关系与运算精品课件 新人教A版必修3
事件的关系和运算：
〔1〕包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,
记作 BA （ 或 AB) 。
如图：
BA
例.事件C1 ={出现 1 点 }发生，则事件 H ={出现的点数为奇数 }也
一定会发生，所以 H C1 . 注：不可能事件记作 ，任何事件都包括不可能事件。
事件的关系和运算：
〔1〕包含关系: BA （ 或 AB)
〔2〕相等关系: A=B (BA且 AB)
〔3〕并事件〔和事件〕: AB （ 或 AB ）
〔4〕交事件〔积事件〕:
A B （ 或 AB ）
〔5〕互斥事件: A B
〔6〕互为对立事件: A B 且 A B是必然事件
第九页，编辑于星期五：十点 三十五分。
事件的关系和运算：
〔6〕互为对立事件
若AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件
A 与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生。
如图：
A
B
例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。
第八页，编辑于星期五：十点 三十五分。
第四页，编辑于星期五：十点 三十五分。
事件的关系和运算：
〔3〕并事件〔和事件〕
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件 为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 AB （ 或 AB ） 。
如图：
BA B A
例事.若件事C件1JC=1C5{J出={现出 C5 ={出现
第五页，编辑于星期五：十点 三十五分。
D2 ={ 出现的点数大于 3 }；
事件的关系和运算
事件的关系和运算事件的关系常用的有包含关系、互斥关系和独立关系。
事件的运算常用的有并运算、交运算、差运算和补运算。
1. 包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊆B。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降水"，则A⊆B，因为当今天下雨时，当然也说明今天有降水。
2. 互斥关系：如果事件A和事件B不能同时发生，则称事件A和事件B互斥，记作A∩B=Ø。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为奇数"，事件B为"掷一次骰子，结果为偶数"，则A∩B=Ø，因为掷一次骰子的结果不可能既是奇数又是偶数。
3. 独立关系：如果事件A的发生与发生或不发生事件B无关，则称事件A和事件B独立，记作P(A|B) = P(A)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为1"，事件B为"抽一张牌，结果为红心"，则A和B是独立事件，因为掷骰子的结果不会受到抽牌的影响。
事件的运算包括：1. 并运算：事件A∪B表示事件A和事件B中至少一个事件发生的情况。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降雨"，则A∪B表示今天下雨或者今天有降雨。
2. 交运算：事件A∩B表示事件A和事件B同时发生的情况。
例如，事件A为"掷一次骰子，结果为奇数"，事件B为"掷一次骰子，结果为3"，则A∩B表示掷一次骰子的结果既是奇数又是3。
3. 差运算：事件A－B表示事件A发生但事件B不发生的情况。
例如，事件A为"今天下雨"，事件B为"今天有降雨"，则A－B表示今天下雨但今天没有降雨。
4. 补运算：事件A的补事件表示事件A不发生的情况，记作A'或Ac。
事件的关系与运算PPT
A
B
例.因为事件 C1 ={出现 1 点} 与事件C2 ={出现 2 点}不可能同时发 生，故这两个事件互斥。
事件的关系和运算：
（6）互为对立事件 若 A B 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件A 与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中有且仅有一个发生。 如图： A B
3.1.3 事件的关系与运算
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={ 出现 1 点 }； C2 ={出现 2 点}； C3 ={ 出现 3 点 }； C4 ={ 出现 4 点 }； C5 ={出现 5 点}； C6 ={ 出现 6 点 }； D1 ={ 出现的点数不大于 1 }； D2 ={ 出现的点数大于 3 }； D3 ={ 出现的点数小于 5 }； E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 }; …… 思考： 1. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？
如图：
B A B A
例.若事件 M={出现 1 点且 5 点}发生，则 事件 C1 ={出现 1 点} 与事件 C5 ={出现 5 点} 同时发生，则 M C1 C5 .
事件的关系和运算：
（5）互斥事件 若 A B 为不可能事件（ A B ），那么称事件A与 事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不 会同时发生。 如图：
如图：
BA B
A
例.若事件 J={出现 1 点或 5 点 } 发生，则 事件C1 ={出现 1 点 }与事件 C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会发生，则 J C1 C5 .
事件的关系和运算：
事件的运算与关系解读
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
对立事件和独立事件的
P(A+B+C+…)=P(A)+P(B)+P(C)+…
2, 概率的一般加法公式:
设A、B为任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 显然, 互不相容事件的概率的加法公式 是一般加法公式的特例.
新授
一、对立事件的概率
P( A) 1 P( A)
课堂练习
教材P144 / 1，2，3，4, 5
课后作业
教材P145 / 1，2，3，6
1，四个人在议论逻一辑位推作理家的年龄。甲说
“她不会超过35岁。” 乙说“她不超过
40 岁。” 丙说“她的岁数在50以下。” 丁
说
“她绝对在40岁以上。” 实际上只有一 个
人说A、对甲了说。的那对么下列说法正确的是（ ） B、她的年龄在45~50岁之间 C、她的年龄在50岁以上 D、丁说的对
逻辑推理
2，经过破译敌人的密码，已经知道“香蕉
苹果大鸭梨”的意思是“星期三秘密进攻”，
“苹果甘蔗水蜜桃”的意思是“执行秘密计
划”，“广柑香蕉西红柿”的意思是“星期三
的胜利属于我们”，那么“大鸭梨”的意思
是
（）
A、秘密 C、进攻
B、星期三 D、执行
类比推理
先给出一对相关的词，要求从备选项 中找出一对与之在逻辑关系上最为贴近或 相似的词。
5．相互对立事件
如果“事件A与B满足: AB=φ且A+B=U 则称事件A与B为相互对立事件。
又称互为逆事件. A的对立事件记作：A
“A与B互为对立事件” 就是说: “A与B不能 同时发生(互不相容), 但二者必有一个发生.
新教材人教版高中数学必修第二册 10-1-2 事件的关系和运算 教学课件
知识点二 事件的运算 [例 2]在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C1＝{出 现 1 点}，事件 C2＝{出现 2 点}，事件 C3＝{出现 3 点}，事件 C4＝{出现 4 点}，事件 C5＝{出现 5 点}，事件 C6＝{出现 6 点}，事件 D1＝{出现的 点数不大于 1}，事件 D2＝{出现的点数大于 3}，事件 D3＝{出现的点数 小于 5}，事件 E＝{出现的点数小于 7}，事件 F＝{出现的点数为偶数}， 事件 G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
(2)因为事件 D2＝{出现的点数大于 3}＝{出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点}，所以 D2＝C4∪C5∪C6(或 D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F ＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.
第二十页，共二十三页。
[知识小结二]
事件运算应注意的 2 个问题 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全 面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用 Venn 图或列出全部的试验结果进行分析． (2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系 时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得 严格按照事件之间关系的定义来推理．
第四页，共二十三页。
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互
斥事件是
()
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中 靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不 中靶”与之互斥．
事件间的关系与事件的运算
第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系（包含，相等，互不相容，对立）（1）包含关系：若事件,A B 满足A B⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等价），为同一事件。
用示性函数表示为()()A B I I ωω=.（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。
用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。
用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。
n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1=。
（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。
记为A B 或AB 。
n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 nk k A 1=。
（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。
{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。
事件的关系与运算ppt课件
可以发现，事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，用集
合表示就是：1,22,3 2 ，即E1 E2 C2 ，这时我们称事件C2
为事件E1和事件E2的交事件。
交事件（积事件）
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这 个事件为事件A和事件B的交事件（或积事件），记故“甲向南”意味着“ 乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1 点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}， 事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大 于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}， 事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝ {出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请 举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断 上述哪些事件是和事件.
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生； (3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至 少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.
解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3) A B C (4)AB (5)(A∪B) (6)AB∪AC∪BC
A＝B
知识点二 交事件与并事件
观察事件：D1 1,2,3, E1 1,2, E2 2,3
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生，
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§1.3事件的关系及运算
⑴如果事件A 的发生必然导致事件B 的发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记作
B A A B ⊂⊃或.
⑵如果事件B 包含事件A ，且事件A 包含事件B ，即
B A A B ⊂⊃且；
也就是说，二事件A 与B 中任一事件发生必然导致另一事件的发生，则称事件A 与B 相等，记作
B A =.
⑶“二事件A 与B 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件A 与B 的并，记作
B A .
“n 个事件n
A A A ,,,21 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件n
A A A ,,,21 的并，记作 )(121i n
i n A A A A = 简记为. ⑷“二事件A 与B 都发生”这一事件叫做事件A 与事件B 的交，记作。
或AB B A
“n 个事件n A A A ,,,21 都发生”这一事件叫做n A A A ,,,21 的交，记作
).(12121i n
i n n A A A A A A A = 简记为或
⑸如果二事件A 与B 不可能同时发生，即
,φ=AB
则称二事件A 与B 是互不相容的(或互斥的).
通常把两个互不相容事件A 与B 的并记作
B A +.
如果n 个事件n
A A A ,,,21 中任意两个事件不可能同时发生，即
),1(n j i A A j i ≤≤≤=φ
则称这n 个事件是互不相容的(或互斥的).
通常把n 个互不相容事件n
A A A ,,,21 的并记作 ).(121∑=+++n
i i n A A A A 简记为
⑹如果二事件A 与B 是互不相容的，并且它们中必有一事件发生，即二事件A 与B 中有且仅有一事件发生，即
,Ω=+=B A AB 且φ
则称事件A 与事件B 是对立的(或互逆的)，称事件B 是事件A 的对立事件(或逆事件)，同样事件A 也是事件B 的对立事件(或逆事件)，记作
-
-==B A A B 或. 对于任意的事件A ，我们有
.,,
Ω=+==----
A A A A A A φ
⑺如果n 个事件n
A A A ,,,21 中至少有一个事件一定发生，即
,1Ω==i n i A
则称这个事件为完备事件组.
以后对我们特别重要的是互不相容的完备事件组.设n 个事件n
A A A ,,,21 满足下面的关系式: ⎪⎩⎪⎨⎧Ω=≤<≤=∑=,),1(1
n i i j i A n j i A A φ 则称这n 个事件构成互不相容的完备事件组.
显然，样本空间Ω中所有的基本事件构成互不相容的完备事件组.
如果把事件A (或B )所包含的基本事件构成的集合简称为集合A (或B )，则事件的关系及运算可以用集合的关系及运算表述如下:
与集合运算性质类似，事件的运算具有下面的性质.对于任意的事件A ，C B ,有
⑴交换律:
.
,BA AB A B B A == ⑵结合律:
).
()(),()(BC A C AB C B A C B A == ⑶分配律:
).
)(()(,)(C A B A BC A AC AB C B A == ⑷德摩根(De Morgen)定律：
.,___________
___________B A AB B A B A ==
德摩根(De Morgen)定律可以推广到多个事件的情形.对于任意的n 个事件n
A A A ,,,21 ，有 i i n i i i n i A A A A n i n i ____
1_____________1_________
1,1
======
由此可见，德摩根(De Morgen)定律表明:若干个事件的并的对立事件就是各个事件的对立事件的交，若干个
事件的交的对立事件就是各个事件的对立事件的并.。