矩阵运算大学高数
矩阵的基本运算
如果 AT A 则矩阵A称为反对称矩阵.
由此可知，反对称矩阵旳对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0 1 是3阶反对称矩阵.
4 1 0
例 设列矩阵 X x1, x2 , , xn T 满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T , 证明 H是对称矩阵, 且HH T E.
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
4 2
222 3
4
16
?
32
622 8 16 22
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
2
0
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
解
因
A
aij
,B
34
bij
证 因为 H T (E 2 XX T )T ET 2( XX T )T E 2XX T H
所以H 是对称矩阵. HH T H 2 (E 2 XX T )2
E 4XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X ( X T X )X T E 4XX T 4XX T E
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足互换律,即 AB BA
例如
设
A
1
1
,
B
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵旳 乘积可能是零矩阵
则
线性代数的矩阵运算
线性代数的矩阵运算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，矩阵运算是线性代数的核心内容之一。
通过矩阵运算，我们可以解决各种线性方程组，研究向量空间的性质，以及进行线性变换等。
本文将介绍线性代数中的矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置以及求逆运算等。
1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是相似的运算。
对于两个具有相同维度的矩阵A 和B，它们的加法运算定义为将相同位置的元素相加得到一个新的矩阵C，即C = A + B。
而矩阵的减法运算定义为将相同位置的元素相减得到一个新的矩阵D，即D = A - B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]它们的加法运算结果为：C = A + B = [1+4 2+5 3+6] = [5 7 9][7+10 8+11 9+12] [17 19 21]而减法运算结果为：D = A - B = [1-4 2-5 3-6] = [-3 -3 -3][7-10 8-11 9-12] [-3 -3 -3]这样，我们可以通过矩阵的加法和减法运算来对矩阵进行融合、分解和控制等操作。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以进行乘法运算。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，它们的乘法运算定义为两个矩阵对应元素的乘积之和。
新的矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
记作C = A × B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5][6 7 8] [9 10][11 12]它们的乘法运算结果为：C = A × B = [1×4+2×9+3×11 1×5+2×10+3×12][6×4+7×9+8×11 6×5+7×10+8×12]= [59 64][149 163]矩阵的乘法可以应用于很多实际的问题中，比如线性方程组的求解、向量空间的转换等。
高数 矩阵的概念及运算
若另一商店的价格是
0.4
0.3 0.6 用矩阵如何表示?有何优点?
34.5 37.7 7 . 7 . 7
一分店 二分店
这个结果的意义是什么?
利润 3.2 0.7 (单位： 十万元)
进货金额 销售金额 34.5 37.7 7 7.7
1. 矩阵的乘法
定义
B bij 是一个 设 A a ij 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
并把此乘积记作
k 1
C AB .
例2.2.5
4 2 4 2 C 1 2 22 3 6 22
进货价 销售价
(单位:千元/台) 47吋 42吋 2 1.5 2.2 1.6
3 3.3 (数量矩阵×价格矩阵) 7 3 5 1 2 0 . 2 2.2 1.5 1.6 7 3 3 2 5 1.5 7 3.3 3 2.2 5 1.6 1 3 2 2 0 1.5 1 3.3 2 2.2 0 1.6
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1
三元线性方程组
3x 8 1x1 2 x2 3 8, 5 x 2 x 4, 0 5 2 4 2 3 22 x1 0 3 3x 2 3 2
大学高等数学第六章2矩阵及其运算
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
编辑ppt
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
3 0 2 11
11 1 5
1 2 1 2
D4 2
要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵
来表示。
编辑ppt
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
a 其中：i j 称作矩阵的元素。
Am nO m nAm n
（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 编辑ppt
●矩阵的减法
a11
设
A
a m1
a1n
a mn
Am nAm nO m n
，则称矩阵
a11 a m1
a1n
为A
的负矩阵，记作
A
。
a mn
若A、B为同型矩阵，则规定 ABA(B)，
即 ABaijbij m n编辑ppt
作AB 。
注意：同型是相等的必要条件。 如：
2 0 0
0
0
2 0
0
2
2 0
矩阵的计算方法
矩阵的计算方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对矩阵进行各种计算，比如求逆矩阵、矩阵的乘法、转置等操作。
本文将介绍矩阵的基本计算方法，帮助读者更好地理解和运用矩阵。
首先，我们来介绍矩阵的加法和减法。
对于两个相同大小的矩阵，它们可以进行加法和减法运算。
具体来说，就是将它们对应位置的元素相加或相减，得到的结果构成一个新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B，它们的加法和减法分别如下所示：\[ A + B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} \end{bmatrix} \]\[ A B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22}\end{bmatrix} \]接下来，我们讨论矩阵的乘法。
矩阵的乘法相对复杂一些，它不满足交换律，而且两个矩阵能够相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
具体来说，如果矩阵A的大小为m×n，矩阵B的大小为n×p，那么它们的乘积矩阵C的大小为m×p。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则在数学和众多科学领域中，矩阵是一种极其重要的工具。
它不仅在数学理论中有着深厚的根基，还在物理学、计算机科学、工程学等实际应用中发挥着关键作用。
要深入理解和运用矩阵，就必须掌握其运算及运算规则。
矩阵的加法是较为基础的运算之一。
只有当两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行加法运算。
具体而言，就是将对应位置的元素相加。
例如，有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 和矩阵 B ＝ 5 6; 7 8，那么 A ＋ B ＝1 ＋ 5 2 ＋ 6; 3 ＋ 7 4 ＋ 8 ＝ 6 8; 10 12 。
这种运算规则简单直观，就好像是在两组数量之间进行同步的累加。
矩阵的减法运算与加法类似，同样要求矩阵的行数和列数相同，只是将对应位置的元素相减。
接下来谈谈矩阵的数乘运算。
数乘矩阵，就是用一个数去乘以矩阵中的每一个元素。
比如，对于矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，如果用 2 去乘以 A，得到 2A ＝ 2×1 2×2; 2×3 2×4 ＝ 2 4; 6 8 。
矩阵乘法是一个相对复杂但非常重要的运算。
并非任意两个矩阵都能相乘。
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，它们才能相乘。
假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵 B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C ＝ AB 是一个 m×p 的矩阵。
C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
例如，A ＝ 1 2; 3 4 ，B ＝ 5 6; 7 8 ，AB ＝ 1×5 ＋ 2×7 1×6 ＋ 2×8; 3×5 ＋ 4×7 3×6 ＋ 4×8 ＝19 22; 43 50 。
矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB ≠ BA 。
但它满足结合律（AB)C ＝ A(BC) 和分配律 A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC 。
矩阵的简单运算公式
矩阵的简单运算公式矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在众多领域都有着广泛的应用，比如物理学、计算机科学、统计学等等。
要理解和运用矩阵，掌握其基本的运算公式是必不可少的。
接下来，让我们一起来了解一下矩阵的一些简单运算公式。
首先，矩阵的加法和减法相对来说比较直观。
如果有两个矩阵 A 和B，它们的行数和列数都相同，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和（差）就是将它们对应位置的元素相加（减）得到的新矩阵。
例如，如果矩阵 A＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，矩阵 B ＝ b₁₁ b₁₂; b₂₁ b₂₂，那么 A＋ B ＝ a₁₁＋ b₁₁ a₁₂＋ b₁₂; a₂₁＋ b₂₁ a₂₂＋ b₂₂，A B＝ a₁₁ b₁₁ a₁₂ b₁₂; a₂₁ b₂₁ a₂₂ b₂₂。
接下来是矩阵的数乘运算。
如果有一个矩阵 A 和一个实数 k，那么数 k 与矩阵 A 的乘积，就是将矩阵 A 中的每一个元素都乘以 k。
比如，矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，kA ＝ ka₁₁ ka₁₂; ka₂₁ ka₂₂。
矩阵的乘法运算相对复杂一些。
当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时，矩阵 A 和矩阵 B 才能相乘。
假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积C ＝ AB 是一个 m×p 的矩阵。
C 中的元素 cᵢⱼ等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
例如，矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，矩阵 B ＝ b₁₁ b₁₂; b₂₁b₂₂，那么 AB ＝ a₁₁b₁₁＋ a₁₂b₂₁ a₁₁b₁₂＋ a₁₂b₂₂;a₂₁b₁₁＋ a₂₂b₂₁ a₂₁b₁₂＋ a₂₂b₂₂。
需要注意的是，矩阵的乘法一般不满足交换律，也就是说 AB 不一定等于 BA。
但是矩阵的乘法满足结合律和分配律。
结合律：（AB)C ＝ A(BC)；分配律：A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC。
矩阵运算公式大全
矩阵运算公式大全矩阵运算是线性代数中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
矩阵运算包括加法、减法、乘法等多种运算，掌握这些矩阵运算公式对于理解和解决实际问题至关重要。
本文将为您详细介绍矩阵运算的各种公式，帮助您更好地掌握矩阵运算的知识。
1. 矩阵加法。
矩阵加法是指两个矩阵相加的运算。
如果两个矩阵的行数和列数相等，那么它们可以相加。
具体公式如下：\[ A + B = \begin{bmatrix}。
a_{11} & a_{12} \\。
a_{21} & a_{22}。
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}。
b_{11} & b_{12} \\。
b_{21} & b_{22}。
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}。
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\。
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}。
\end{bmatrix} \]2. 矩阵减法。
矩阵减法和矩阵加法类似，也是针对两个行数和列数相等的矩阵进行的运算。
具体公式如下：\[ A B = \begin{bmatrix}。
a_{11} & a_{12} \\。
a_{21} & a_{22}。
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}。
b_{11} & b_{12} \\。
b_{21} & b_{22}。
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}。
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\。
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22}。
\end{bmatrix} \]3. 矩阵乘法。
矩阵乘法是矩阵运算中最常用的一种运算。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
高等数学矩阵的运算
解法1: 因为
AB
2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
311 170
14 13
130,
所以
AB
T
0 14 3
111703.
解法2: (AB)T=BTAT
1 7 1
4 2 3
021
2 0 1
231
0 14 3
111703.
12
由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:
16 8
?
32 16
22
例2:
1 2 3
123
1 3 2 2 3 1 10.
4
例3: 求AB, 其中
A
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402,
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4111.
C
AB
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
41 11
5 10 2
(3)
A
a11 a21
am1
称为矩阵A的负矩阵.
a12
a22
am1
a1n a2n
amn
aij
.
(4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
A
A
0 0
1
0
0
1
3
0 0
32 3
0
3
32 3
8
由此归纳出
高数矩阵计算公式
高数矩阵计算公式
1.矩阵加法：
设A、B为同阶矩阵，则它们的和为：
A +
B = [aij + bij]（1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n）。
2.矩阵减法：
设A、B为同阶矩阵，则它们的差为：
A -
B = [aij - bij]（1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n）。
3.矩阵乘法：
设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积C=A×B为m×p矩阵，其中C的元素为：
cij = Σ（ai1 × b1j + ai2 × b2j + … + ain × bnj）（1 ≤
i ≤ m，1 ≤ j ≤ p）。
4.矩阵数乘：
设k为任意实数或复数，A为m×n矩阵，则它们的乘积kA为m×n 矩阵，其中元素为：
(kA)ij = kaij（1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n）。
5.矩阵转置：
设A为m×n矩阵，则它的转置矩阵AT为n×m矩阵，其中元素为：(ATA)ij = aji（1 ≤ i ≤ n，1 ≤ j ≤ m）。
6.矩阵的逆：
设A为n阶方阵，则如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=In，则B
称为A的逆矩阵。
A存在逆矩阵的充要条件是A的行列式不为0，即
|A|≠0。
7.矩阵的秩：
设A为m×n矩阵，则它的秩rank(A)为矩阵A中非零行的最大个数。
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矩阵运算 I. 基本定义 -伴随矩阵 -矩阵的逆 - Determinant -相抵 -实对称阵
II. 矩阵运算 -转置 取逆 伴随 -行列式 -trace - Matrix and data - Matrix Analysis -其他
III. 矩阵的秩 3.1 运算关系 3.2 Examples
IV. 特征值 4.1 定义 4.2 计算
V. 相似 similarity 5.1 定义 5.2 常用性质
VI. 矩阵对角化 6.1 Meaning 6.1.1 by Matrix 6.1.2 by Linear Space
6.2 Existence 6.3 对角化步骤 6.4 性质
6.4.1 实对称阵
VII. 正交性和正交矩阵 7.1 向量组的正交性 7.2 坐标含义 7.3 正交矩阵和标准正交基 7.3.1 性质
I. 基本定义
-伴随矩阵
定义：把方阵 A 中每个元素都换成行列式中该元素的余子式，再转置即得。
性质：
1.
,
2.
时，
3. 可由以上两条得出：
-矩阵的逆
性质 1. A 的逆为 2. A 可逆 等价于 |A|不等于 0 3. A 可逆 等价于 存在 B 使得 AB=I 4. 手动求逆：利用 成 了 A 的逆。
，行变换把 A 变成 I，用 I 记录的操作就
- Determinant
Def 1. one from each row, different column, times them, 2. the sign of each term:
-相抵
定义：两个矩阵 AB 能通过初等变换转换，称为他们相抵 。
实质即两矩阵 同秩。
-实对称阵
实对称阵每个特征值的几何重数等于代数重数。
实对称阵的特征值都是实数。
II. 矩阵运算
-转置 取逆 伴随
叠加 和
1. 转置： 2. 取逆：没有 3. 伴随：没有
数乘
1. 转置： 2. 取逆： 3. 伴随：
乘积
1. 转置： 2. 取逆： 3. 伴随：?
分块矩阵的逆 1.
则 A 可逆等价于 Ai 都可逆，且 可逆等价于 B、C 都
2.
，A 可逆，且
-行列式
det(A)是原空间的单位球经过 A 变换后得到的体积。
det(A)=0 意味着损失了维 度。
初等变换对行列式的影响是带上一个非零系数
，则
-trace
https:///wiki/Trace_(linear_algebra) def: sum of diagnal elements.
cyclic permutations:
Note: must be cyclic. It is often used on scalar products:
other
- Matrix and data
X is row vector: sum up! X is col vector: generate matrix! vector-matrix <–> scalar-vector
treats X as a collection of row vector, maps to a col vector treats X as a collection of col vector, maps to a row vector sum of squares matrix each row of is a data point .
- Matrix Analysis
-其他
两个上（下）三角阵的乘积仍是上（下）三角阵。
对角元素为对应元素相乘 上（下） 三角阵的逆仍是上（下）三角阵。
逆的对角元素为原对角元素的倒数
III. 矩阵的秩
3.1 运算关系
(to be updated)
3.2 Examples
与
, for
if if else,
, then |A*| is not zero. Thus , then
IV. 特征值
4.1 定义
线性变换定义：线性变换 θ 的矩阵为 A。
则若非零向量 x 满足 θx=λx（共线），则称 λ 为 θ 的特征值。
公式定义：线性变换 θ，或矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=|λI -A| 的根为特征根
4.2 计算
上/下三角矩阵，其对角元素即为特征值。
（写出特征多项式可看出）
V. 相似 similarity
5.1 定义
The matrices of a transform under different basis are similar matrices.
等价于，
For
, we say
when
,
5.2 常用性质
AB 相似，则：
而且 P 相同： 为 一元多项式，则
若
,则
，
其中
A、B 为实对称阵时，AB 相似 等价于 AB 有相同的特征值。
证明：用相似于同一个对角阵来证。
相似变换不改变矩阵的特征值和特征多项式。
单位阵仅与
自己相似。
方阵 A 仅与自己相似 等价于
，c 为常数
VI. 矩阵对角化
即将矩阵相似到一个对角阵。
6.1 Meaning
6.1.1 by Matrix
n 阶方阵与对角阵相似，等价于 它有 n 个线性无关的特征向量，因为那实际是说
也即
其中
就是那 n 个线性无关特征向量，记为 , 可逆；
对角元素即为 A 的特征值。
6.1.2 by Linear Space
Since A is square, we could find a basis for both input and output space of A, under which a dilation transform could be obtained to be equivalent with the effect of transformation A.
The set of basis consists of n independent eignevectors of A.
6.2 Existence
n 阶方阵与对角阵相似，等价于
它有 n 个线性无关的特征向量 等价于其每个特征向量的几何 重数都等于其代数重数。
也就是说，空间可以分为该变换的 一维不变子空间的直和。
对角化不一定存在，但化成 Jordan 标准型是一定可以的。
6.3 对角化步骤
1. 求特征值，求特征向量，组成一组基
2. 正交化、单位化成标正基
3. 记
则所求对角阵为
6.4 性质
对角化后的对角阵为
对角化用的矩阵 Q（也即特征向量构成的基）只是线性无关，未必是正交的。
特例：
当
时，Q 是正交的。
6.4.1 实对称阵
实对称阵一定可以对角化。
实对称阵 -> 对角化 -> 对角阵 相似，相合，对角化用的还是正交矩阵。
VII. 正交性和正交矩阵
7.1 向量组的正交性
正交性定义：内积为零。
利用正交性的 方法：用向量去乘某式 正交 => 线性无 关
对于任何一种内积，定义了其标准正交基后，该内积就成为标准内积形式 味着
7.2 坐标含义
选定任意一组基
,这组基下向量 V 可如下表示：
，则正交意
7.3 正交矩阵和标准正交基
1.
（定义）
2. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵。
3. 正交矩阵 <=> 行（列）向量组为标准正交基
– 说明：1 自然能推出 3.因为，记 Q 的列向量为 qi, 1 即是说
也即，
7.3.1 性质
，是标准正交基。
正交阵的逆、乘积还是正交阵
。