人教版 七年级数学上册 一元一次方程培优专题-绝对值方程(解析版)
一元一次方程培优专题——绝对值方程
例题1. 解方程：235x +=
【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为235x +=或者235x +=-，解得1x =或4x =- 【答案】1x =或4x =-
例题2. 解方程
1121
12
3
x x +--+-=
【解析】原方程整理得：1315x +=，即1315x +=或者1315x +=-，所以原方程的解为85x =或185
x =- 【答案】8
5x =或185
x =-
例题3. 已知：当m n >时，代数式()2
223m n -+和225m n +-的值互为相反数，求关于x 的方程
1m x n -=
的解．
【解析】因为代数式()2
223m n -+和225m n +-的值互为相反数， 所以()2
2222350m n m n -+++-=，
所以()2
2230m n -+=，2250m n +-=，
进而222235m n m n ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，解得2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，所以1,2m n =±=±，
因为m n >，当1m =时，2n =-；当1m =-时，2n =-； 当12m n ==-，时，方程为12x -=-，该方程无解；
当1m =-，2n =-时，方程为12x --=-，解得1x =-或3x =．
【答案】1x =-或3x =
【解析】解法一： 令430x +=得34
x =-，将数分成两段进行讨论：
①当34
x ≤-时，原方程可化简为：4329x x --=+，2x =-在34
x ≤-的范围内，是方程的解． ②当34
x >-时，原方程可化简为：4329x x +=+，3x =在34
x >-的范围内，是方程的解． 综上所述2x =-和3x =是方程的解． 解法二：
依据绝对值的非负性可知290x +≥，即9
2
x ≥-．原绝对值方程可以转化为①4329x x +=+，
解得
3x =，经检验符合题意．②43(29)x x +=-+，解得2x =-，经检验符合题意．综合①②可
知2x =-
和3x =是方程的解．
【答案】2x =-或3x =
例题5. 解方程4329x x +=+
【答案】3x =或2x =-
例题6. a 为有理数，23a a =-，求a 的值．
【解析】解法一： 要想求出a 的值，我们必须先化简23a a =-．采用零点分段讨论的方法． 令0a =，230a -=得32
a =．
①当32a ≥时，由原式可得23a a =-，求得3a =，在32
a ≥的范围内； ②当302a ≤<时，由原式可得32a a =-，求得1a =，在302
a ≤<的范围内； ③当0a <，由原式可得23a a -=-+，求得3a =，不在0a <的范围内． 综上可得a 的值为3或1．
解法二：
依题意，a 的绝对值和23a -的绝对值相等，可以得出两者相等或互为相反数，即23
a a =-或
(23)a a =--解得3a =或1a =．
【答案】3a =或1a =
例题7. 解方程2131x x -=+
【解析】根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以由原方程可以得到
2131x x -=+或2131x x -=--，解得20x x =-=，
． 【答案】2x =-或0x =
例题8. 解方程134x x -+-=
【解析】令10x -=，30x -=得1x =，3x =，它们可以将数轴分成3段： ①当1x <时，原方程可化简为：(1)(3)4x x ----=，0x =在1x <的范围内是原方程的解； ②当13x ≤<时，原方程可化简为：1(3)4x x ---=，此方程无解；
③当3x ≥时，原方程可化简为：134x x -+-=，4x =在3x ≥的范围内是原方程的解；
综上所述，原方程的解为：0x =或4x =．
【答案】0x =或4x =
例题9. 解方程154x x -+-=
【解析】由绝对值的几何意义可知15x ≤≤． 【答案】15x ≤≤
例题10. 解方程：2123x x +--=
【解析】零点为：1
2
x =-，2x =，它们可将数轴分成三段：
①当12x <-时，原方程变形为：(21)(2)3x x -+--=，6x =-在12
x <-的范围内，是方程的
解；
②当122
x -≤<时，原方程变形为：(21)(2)3x x +--=，43x =在122
x -≤<的范围内，是方程
的解； ③当2x >时，原方程变形为：(21)(2)3x x ---=，0x =不在2x >的范围内，不是方程的解．
综上所述原方程的解为：6x =-或43
x =．
【答案】6x =-或4
3
x =
例题11. 解方程：方程9
3352
x x x ++-=
+ 【解析】对x 的值分4段讨论： ①若3x <-，则原方程化为93352
x x x --+-=-+，解得2x =，与3x <-矛盾； ②若30x -≤<，则原方程化为93352
x x x ++-=-+，解得29
x =-； ③若03x ≤<，则原方程化为93352x x x ++-=+，解得29
x =；
④若3x ≥，则原方程化为93352
x x x ++-=+，解得2x =-，与3x ≥矛盾．
综上所述方程的解为29
x =±．
【答案】29
±
例题12. 解绝对值方程：35
162
x x --
-= 【解析】35162x x ---=或6-，即3572x x -=-或35
52
x x -=+ ①当70x -≥时（即7x ≥），
3502x ->，3572x x -=-化为35
72
x x -=-，解得9x =-； ②当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x ->（即53x ≥），35
52x x -=+，解得15x =；
③当50x +≥时（5x -≥），若还有
3502x -<（即5<3x ），35
52
x x -=--，解得1x =-．
再来检验这三个解9x =-（舍去）、15x =、1x =-．
【答案】15x =或1x =-
例题13. 解方程：3548x -+=
【解析】3548x -+=或8-（舍），即354x -=，所以354x -=或4-，即39x =或31x =，故3x =或1
3
x =． 【答案】3x =或13
x =
例题14. 求方程314x x -+=的解．
【解析】解法一：
13103x x +==-，；310x x -+=，12x =-，1
4
-，这3个零点将数轴分成4段，我们分段讨论
研究 可以得到结果为：32x =或54
x =-，但其实这么做是没必要的．我们来看看解法二． 解法二：
①当13
x ≤-时，方程可化为：414x +=-，54
x =-，在13
x -≤范围内，是方程的解；
②当13
x >-时，方程可化为214x --=：当214x --=时，得52
x =-，512
3
-<-，52
x =-不是
解， 舍去；当214x --=-时，得32x =，∵3123>-，∴32
x =是方程的一个解．
综上可得，原方程的解为32x =或54
x =-．
【答案】32
x =或54
x =-
例题15. 当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解
【解析】根据x 所在的范围，可得0x ≥，10x -≤，因此11x x x x =-=-，，按从内到外的顺序逐个去除方
程中的绝对值符号，原方程可顺次化为：1110x ---=，即10x -=，所以1x =．
【答案】1
完整版七年级培优专题解含绝对值的一元一次方程
greatout 绝对值邂逅一次方程 模型①c?axb x-3?3?3 1、解方程：4x=2- 2、1=+12732x-4x=24-2 +12=2-2x-2-1+1=7-3x 32x-3+4=a有两个解，求a的取值范围。 3、已知关于x的方程 ax?b?cx?d模型②x?1?2x2x-1?x?1 1、 x-53?2x?x?6x?63x3x4-??x5??71 2、 - 1 - greatout 多重绝对值方程怕不怕 1.解方程：3=x-2-4
解方程：2.32=2-x- 已知满足的x有2个，求a3.的取值范围。a?-1x-2 多个绝对值方程怕不怕 已知x-2+x+4=6,则x的取值范围是____ 1. 已知x-2+x+4=8,则x=____ 2. 已知x?3-x-4?5,则x?____ 3. 已知x?3-x-4??7,则x的取值范围为____ 4. - 2 - greatout 。5.____则x的取值范围是+3+2x-4=7,已知2x
6.个。的整数解共有_____+-52x+7=122x 个。_____的整数-1=8x的值的个数有7符合2x+-2x 7. 含绝对值的方程组6x+y=,x+y=12y=_____ ，则1.已知x=___， ____x+=y,-10,xx++y=x+yy=12则 2. 已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则。x+y=______3. - 3 - greatout 4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.
5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y的值。 22=______ a+b6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则 数形结合突破绝对值 y=x-1+x-2，求y的取值范围。1.已知 x-1+x-2=a分别有2.满足什么条件时，方程2a个解？无解？无数解？当 - 4 - greatout 的取值范围。3.已知，求y2x-1-x-y=
人教版2020七年级数学上册第三章一元一次方程单元综合培优提升训练题(附答案详解)
人教版2020七年级数学上册第三章一元一次方程单元综合培优提升训练题（附答案详解） 1．下列方程中，以﹣2为解的方程是( ) A ．3x+1＝2x ﹣1 B ．3x ﹣2＝2x C ．5x ﹣3＝6x ﹣2 D ．4x ﹣1＝2x+3 2．某工程甲独做需10天完成，乙独做需8天完成.现由甲先做3天，再由甲乙合作完成.若设完成此项工程共需x 天，则下列方程正确的是（ ） A ． 3 1108 x x -+= B ． 331108x x +-+= C ．1108 x x += D ． 31108 x x ++= 3．解方程231232x ?? -= ??? ，下面的几种解法中，较简便的是( ) A ．先两边同乘3 B ．先两边同乘2 C ．括号内先通分 D ．先去括号，再移项 4．在方程3x －y ＝2，x ＋1x －2＝0，12x -＝1 2 ，x 2－2x －3＝0，x ＝2中，一元一次方程的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．下列是一元一次方程的是 ( ) A ．2230x x --= B ．10x += C ． 1 12x x += D ．25x y += 6．解一元一次方程：212 136 x x -+-=，下列去分母的过程正确的是（ ） A ．2(2x-1）-x+2=1 B ．(2x-1）-（x+2）=1 C ．2(2x-1）-x+2=6 D ．2(2x-1）-（x+2）=6 7．某同学在解关于x 的方程5a x 13-=时，误将x -看作x +，得到方程的解为x 2=-，则a 的值为( ) A ．3 B ． 11 5 C ．2 D ．1 8．若a 与13a -互为相反数，则a 的值为（ ） A ． 12 B ． 13 C ．1 D ． 14 9．一件标价为200元的商品，若该商品按九折销售，则该商品的实际售价是（ ） A ．200 B ．180 C ．90 D ．20 1
人教版 七年级数学上册 一元一次方程培优专题-绝对值方程(解析版)
2 - 1 = 2 2 2 2 进而 ?? ，解得 ?? ? ? 一元一次方程培优专题——绝对值方程 例题1. 解方程： 2 x + 3 = 5 【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为 2x + 3 = 5 或者 2x + 3 = -5 ，解得 x = 1 或 x = -4 【答案】 x = 1 或 x = -4 例题2. 解方程 x + 1 - 1 2 - x + 1 3 【解析】原方程整理得： x + 1 = 13 ，即 x + 1 = 13 或者 x + 1 = - 13 ，所以原方程的解为 x = 8 或 x = - 18 5 5 5 5 5 【答案】 x = 8 或 x = - 18 5 5 例题3. 已知：当 m > n 时，代数式 (m 2 - n 2 + 3) 和 m 2 + n 2 - 5 的值互为相反数，求关于 x 的方程 m 1 - x = n 的解． 【解析】因为代数式 (m 2 - n 2 + 3) 和 m 2 + n 2 - 5 的值互为相反数， 所以 (m 2 - n 2 + 3) + m 2 + n 2 - 5 = 0 ， 所以 (m 2 - n 2 + 3) = 0 ， m 2 + n 2 - 5 = 0 ， ?m 2 - n 2 = -3 ?m 2 + n 2 = 5 ?m 2 = 1 ?n 2 = 4 ，所以 m = ±1, n = ±2 ， 因为 m > n ，当 m = 1时， n = -2 ；当 m = -1 时， n = -2 ； 当 m = 1，n = -2 时，方程为 1 - x = -2 ，该方程无解； 当 m = -1， n = -2 时，方程为 - 1 - x = -2 ，解得 x = -1 或 x = 3 ． 【答案】 x = -1 或 x = 3
《1.2.4绝对值》培优专项练习 (原卷+解析) 2021-2022学年人教版数学七年级上册
2021年人教版七年级数学上册《1.2.4绝对值》培优专项练习一．选择题（共12小题） 1．若a+3＝0，则a的绝对值是（） A．3B．C．﹣D．﹣3 2．若|a|＝|b|，则a，b的关系是（） A．a＝b B．a＝﹣b C．a＝0且b＝0D．a+b＝0或a﹣b＝0 3．如果一个数的绝对值不大于2，则这个数一定不是（） A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3 4．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个 5．已知|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y﹣1．则x+y的值为（） A．2B．3C．4D．5 6．已知|a|＝5，则a等于（） A．+5B．﹣5C．0D．+5或﹣5 7．若m为有理数，则m+|m|的结果必为（） A．正数B．负数C．非正数D．非负数 8．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（） A．﹣7B．﹣1C．5D．11 9．已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）+G（2020）＝90，则a的值为（） A．11B．10C．9D．8 10．已知有理数a，b，c满足a＜0＜b＜c，则代数式的最小值为（） A．c B．C．D． 11．若a＝﹣2018，则式子|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|的值为（） A．4034B．4036C．4037D．4038
12．若|abc|＝abc，则＝（）A．1B．﹣1C．1或7D．﹣1或7 二．填空题（共6小题） 13．如果|x﹣3|＝5，那么x＝． 14．化简|π﹣4|+|3﹣π|＝． 15．若abcd＞0，则的值为． 16．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是． 17．如果一个物体某个量的实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为10cm，测量得9.8cm，那么测量的绝对误差为0.2cm，相对误差为0.02．若某个零件测量所产生的绝对误差为0.3，相对误差为0.02，则该零件的测量值b是． 18．若有理数x、y、z均不为0，设代数式的最大值为a，最小值为b，则a+b＝． 三．解答题（共9小题） 19．已知A＝，B＝． （1）当m＞0时，比较A﹣B与0的大小，并说明理由； （2）设y＝+B， ①当y＝3时，求m的值； ②若m为整数，求正整数y的值． 20．a、b、c在数轴上的位置如图，则： （1）用“＞、＜、＝”填空：a0，b0，c0． （2）用“＞、＜、＝”填空：﹣a0，a﹣b0，c﹣a0． （3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|． 21．解答下列问题： （1）已知x是5的相反数，y比x小﹣7，求x与﹣y的差； （2）求的绝对值的相反数与的相反数的差．
人教版七年级上册数学 一元一次方程(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难） 1．用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数 a 和b，规定 ．如： . （1）求的值； （2）若=32，求的值； （3）若，（其中为有理数），试比较m、n的大小． 【答案】（1）解：∵ ∴ = （2）解：∵=32， ∴可列方程为； 解方程得：x=1 （3）解：∵ = ， ； ∴； ∴ 【解析】【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；（3）利用规定的运算方法得出m、n，再进一步作差比较即可．
2．对于任意有理数，我们规定 =ad-bc．例如 =1×4-2×3=-2 （1）按照这个规定，当a=3时，请你计算 （2）按照这个规定，若 =1，求x的值。 【答案】（1）解：当a=3时， =2a×5a-3×4 =10a2-12 =10×32-12 =90-12 =78 （2）解：∵ =1 ∴4(x+2)-3(2x-1)=1 去括号，可得：4x+8-6x+3=1 移项，合并同类项，可得：2x=10， 解得x=5 【解析】【分析】（1）根据规定先求出的表达式，再化简，然后把a=3代入求值即可； （2）根据新定义的规定把=1的右式化成整式，然后去括号、移项、合并同类项，x项系数化为1即可解出x. 3．某织布厂有150名工人，为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30m,或利用所织布制衣4件,制衣一件需要布1.5m,将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣. （1）一天中制衣所获利润P是多少(用含x的式子表示); （2）一天中剩余布所获利润Q是多少 (用含x的式子表示);. （3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11806元? 【答案】（1）解：由题意得，P=25×4×x=100x. 故答案是：100x； （2）解：由题意得,Q=[(150?x)×30?6x]×2=9000?72x. 故答案是：(9000?72x)；
人教版七年级上册 一元一次方程培优专题(含答案)
人教版七年级上册 解一元一次方程培优专题（含答案） 一、单选题 1．若关于x 的方程()2018201662018(1)k x x --=-+的解是整数，则整数k 的取值个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．关于x 的方程253x a +=的解及方程220x +=的解相同，则a 的值是（ ）. A ．1 B ．4 C ．-1 D ．-4 3．若3a 及9 6a -互为相反数，则a 的值为（ ） A ．3 2 B ．3 2- C ．3 D ．3- 4．解方程时，去分母后得到的方程是（ ） A ．3（x ﹣5）+2（x ﹣1）＝1 B ．3（x ﹣5）+2x ﹣1＝1 C ．3（x ﹣5）+2（x ﹣1）＝6 D ．3（x ﹣5）+2x ﹣1＝6 5．若代数式32x +及代数式510x -的值互为相反数，则x 的值为（ ） A.1 B.0 C.-1 D.2 6．方程去分母后正确的结果是( ) A. B. C. D.
7．若方程：()2160x --=及的解互为相反数，则a 的值为（ ） A.-13 B.13 C.7 3 D.-1 8．规定，若，则x =（ ） A.0 B.3 C.1 D.2 9．方程2y ﹣12＝12 y ﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y ＝﹣53 ．这个常数应是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10．已知|m －2|＋(n －1)2＝0，则关于x 的方程2m ＋x ＝n 的解是( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1 二、填空题 11．代数式及代数式32x -的和为4，则x =_____． 12．若1y =-是方程237y a -=的解，则关于x 的方程(31)42a x x a -=+-的解为_______________. 13．()00ax b a -=≠,a 、b 互为相反数，则x 等于___________ 14．代数式31a -及2a 互为相反数，则a =___________ 15．请你写出一个一元一次方程_____,使它的解及一元一次方程3x x 1 的解相同．(只需写出一个满足条件的方程即可) 16．若代数式 4x 8- 及 3x 22+ 的值互为相反数，则x 的值是____.
七年级数学上册人教版绝对值专题(课堂学案及配套作业)(解析版)
期末复习绝对值专题（解析版） 第一部分教学案 类型一利用绝对值的性质求值 例1（2022秋•江岸区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝5． （1）若x＜y，求x+y的值； （2）若xy＜0，求x﹣y的值． 思路引领：由题意可知x＝±3，y＝±5， （1）由于x＜y时，有x＝3，y＝5或x＝﹣3，y＝5，代入x+y即可求出答案； （2）由于xy＜0，x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，代入x﹣y即可求出答案． 解：由题意知：x＝±3，y＝±5， （1）∵x＜y， ∴x＝±3，y＝5， ∴x+y＝2或8； （2）∵xy＜0， ∴x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5， ∴x﹣y＝±8． 总结提升：本题考查有理数的运算，绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型． 变式训练 1．（2022秋•方城县校级月考）已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若x＜y，求x+y的值； （2）若x＞y，求x﹣y的值． 思路引领：（1）先求得x＝±3，y＝±7，再根据条件求出x、y即可求解； （2）根据条件求得x、y，进而求解即可． 解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7， ∴x＝±3，y＝±7， ∵x＜y， ∴x＝﹣3，y＝7或x＝3，y＝7， 当x＝﹣3，y＝7时，x+y＝﹣3+7＝4； 当x＝3，y＝7时，x+y＝3+7＝10， ∴x+y的值为4或10； （2）∵x＞y， ∴x＝﹣3，y＝﹣7或x＝3，y＝﹣7，
当x ＝﹣3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝﹣3+7＝4， 当x ＝3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝3+7＝10， ∴x ﹣y 的值为4或10． 总结提升：本题考查代数式求值、绝对值的性质，根据题设求得对应的x 、y 是解答的关键． 类型二 利用绝对值的性质去绝对值 例2 已知a ＜﹣b ，且a b ＞0，化简|a |﹣|b |+|a +b |+|ab |＝ ． 思路引领：根据题中的条件判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 解：∵a ＜﹣b ，且a b ＞0， ∴a +b ＜0，a ，b 同号，都为负数， 则原式＝﹣a +b ﹣a ﹣b +ab ＝﹣2a +ab ． 故答案为：﹣2a +ab 总结提升：此题考查了整式的加减，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 例3（2021秋•渝中区校级期中）已知有理数a ，b ，c 在数轴上面的位置如图所示： 化简|a +b |﹣|c ﹣a |+|b ﹣c |＝ ． 思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可． 解：由图可知b ＜0＜a ＜c ， 则a +b ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0， ∴原式＝﹣a ﹣b ﹣c +a ﹣b +c ＝﹣2b ． 故答案为：﹣2b ． 总结提升：本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键． 变式训练 1．（2022秋•江岸区期中）如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别为a 、b 、c 、d ，且这四个点满足每相邻的两点之间的距离相等． （1）化简|a ﹣c |﹣|b ﹣a |﹣|b ﹣d |． （2）若|a |＝|c |，b ﹣d ＝﹣4，求a 的值．
七年级数学上册第三单元《一元一次方程》-解答题专项(培优专题)
一、解答题 1．数学课上，某班同学用天平和一些物品（如图）探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的质量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），经过多次试验得到以下记录： 记录天平左边天平右边状态 记录一6个乒乓球， 1个10克的砝码 14个一次性纸杯平衡 记录二8个乒乓球7个一次性纸杯， 1个10克的砝码 平衡 请算一算，一个乒乓球的质量是多少克？一个这种一次性纸杯的质量是多少克？ 解：（1）设一个乒乓球的质量是x克，则一个这种一次性纸杯的质量是______克；（用含x的代数式表示） （2）列一元一次方程求一个乒乓球的质量，并求出一个这种一次性纸杯的质量. 解析：（1）610 14 x+ 或 810 7 x- ；（2）一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的 质量是2克. 【分析】 (1)根据题意即可得出答案； （2）弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】 解：（1）610 14 x+ 或 810 7 x- （2）根据题意得，610810 147 x x +- = 6101620 x x +=-6162010 x x -=--1030 x -=-
3x =． 当3x =时， 6106310 21414 x +⨯+==（克）． 答：一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的质量是2克． 【点睛】 本题考查了一元一次方程与实际问题，解题的关键是找到合适的等量关系，列出方程，解方程． 2．在十一黄金周期间，小明、小华等同学随家长共15人一同到金丝峡游玩，售票员告诉他们：大人门票每张100元，学生门票8折优惠．结果小明他们共花了1400元，那么小明他们一共去了几个家长、几个学生？ 解析：10个家长，5个学生 【分析】 设小明他们一共去了x 个家长，则有（15﹣x ）个学生，根据“大人门票购买费用+学生门票购买费用=1400”列式求解即可. 【详解】 解：设小明他们一共去了x 个家长，（15﹣x ）个学生， 根据题意得：100x +100×0.8（15﹣x ）=1400， 解得：x =10， 15﹣x =5， 答：小明他们一共去了10个家长，5个学生． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用. 3．利用等式的性质解下列方程： （1）x －2＝5； （2）－ 2 3 x ＝6； （3）3x ＝x ＋6． 解析：（1）x ＝7；（2）x ＝－9；（3）x ＝3 【分析】 （1）两边同时加上2即可求解； （2）两边同时乘－ 3 2 即可求解； （3）两边同时减x ，然后同时除以2即可求解． 【详解】 解：（1）等式两边加2，得x －2＋2＝5＋2， 即x ＝7． （2）等式两边乘－32，得x ＝6×（－3 2 ）， 即x ＝－9．
人教版七年级数学上思维特训(十一)含答案：含有绝对值的一元一次方程的解法
思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法 方法点津 · 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程． 解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 一般有以下两种解法： 1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解． 2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解． ||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）. 典题精练 · 类型一 几何解法 1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上
数x1与数x2对应的点之间的距离． 例1：已知|x|＝2，求x的值． 解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2. 例2：已知|x－1|＝2，求x的值． 解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1. 例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5. 图11－S－1 解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3. 仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值： (1)|x－3|＝3；
数学人教版七年级上册绝对值培优
含绝对值的一元一次方程解法 一、绝对值的代数和几何意义。 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值 是零。 用字母表示为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧-=a a a 0 000<=>a a a 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负 数。 1、 求下列方程的解： （1）| x | = 7； （2）5 | x | = 10； （3）| x | = 0； （4）| x | = – 3； （5）| 3x | = 9. 解： 二、根据绝对值的意义，我们可以得到： 当a > 0时 x =± a | x | =a 当a = 0时 x = 0 当a < 0时 方程无解. （三） 例1：解方程： （1） 19 – | x | = 100 – 10 | x | （2） 2||33||4 x x +=- 解：（1） 例2、思考：如何解 | x – 1 | = 2 分析：用换元（整体思想）法去解决，把 x – 1 看成一个字母y ，则原方程变为： | y | = 2，这个方程的解为 y = ±2，即 x – 1 = ±2，解得 x = 3或x = – 1. 解：
例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0 解方程：3|21|62 y -= 解： 三：形如d cx b ax +=+的绝对值的一元一次方程可变形为：)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。 例1：解方程：5665-=+x x 练习：（1）解方程：43234+=--x x （2）解方程：413=+-x x
七年级数学上册第三单元《一元一次方程》-解答题专项经典练习(专题培优)
一、解答题 1．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打八折.如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价为多少？ 解析：180元或202.5元 【分析】 先根据题意判断出可能打折的情况,再分别算出可能的可能的原价. 【详解】 ∵200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 162÷0.9=180元；162÷0.8=202.5元． 故王明所购书的原价一定为180元或202.5元． 【点睛】 本题考查打折销售问题,关键在于分类讨论. 2．解方程： 2x 13+=x 24 +-1． 解析：x=-2． 【分析】 按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可. 【详解】 去分母得：4(2x+1)=3(x+2)-12， 去括号得：8x+4=3x+6-12， 移项得：8x-3x=6-12-4， 合并同类项得：5x=-10， 系数化为1得：x=-2． 【点睛】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 3．已知方程3210x a +-=的解与方程20x a -=的解互为相反数，求a 的值． 解析：14 a =- 【分析】 先分别求出两个方程的解，再根据解互为相反数列方程计算即可. 【详解】 3210x a +-=，解得123 a x -=； 20x a -=，解得2x a =．
由题意得， 12203a a -+=， 解得14 a =- . 【点睛】 本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是根据两个方程的解互为相反数列方程求解. 4．解下列方程： (1) 51784a -=； (2) 22146y y +--＝1； (3)2131683 x x x -+-= －1 解析：（1）3a =；（2）4y =-；（3）179 x = ． 【分析】 （1）先方程两边同乘以8去分母，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）先方程两边同乘以12去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （3）先方程两边同乘以24去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】 （1）方程两边同乘以8去分母，得5114a -=， 移项，得5141a =+， 合并同类项，得515a =， 系数化为1，得3a =； （2）方程两边同乘以12去分母，得3(2)2(21)12y y +--=， 去括号，得364212y y +-+=， 移项，得341262y y -=--， 合并同类项，得4y -=， 系数化为1，得4y =-； （3）方程两边同乘以24去分母，得4(21)3(31)824x x x --+=-， 去括号，得8493824x x x ---=-， 移项，得8982443x x x --=-++， 合并同类项，得917x -=-， 系数化为1，得179 x =．
七年级数学上册专题提分精练含绝对值的一元一次方程(解析版)
专题26 含绝对值的一元一次方程 1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：|3|2x -=．解：当30x -时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =．所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法求解 方程：|37|80x --=，则得到的解为 5x =或13 x =- ． 【解答】解：|37|80x --=， 378x ∴-=或378x -=-， 解得5x =或13 x =-， 故答案为：5x =或13 x =-． 2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程|3|2x -=． 解：当30x -时，3x ，方程化为32x -=，解得5x =（符合题意）； 当30x -<时，3x <，方程化为(3)2x --=，解得1x =（符合题意）． ∴方程|3|2x -=的解为5x =或1x =． （1）方程|4|3x x -=的解为 1x = ； （2）方程|3||2|3x x x --+=的解为 ． 【解答】解：（1）当40x -时，即4x 时， 方程化为43x x -=， 解得2x =-， 因为4x ， 所以2x =-不合题意； 当40x -<时，即4x <时， 方程化为(4)3x x --=， 解得1x =， 因为4x <， 所以1x =符合题意； 所以方程的解为1x =． （2）当2x -时，原方程化为： 323x x x -++=，
绝对值-2022-2023学年七年级数学上册课后培优分级练(人教版)(解析版)
1.2.4 绝对值 1.绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 即：（1）如果0a >，那么a a =；（2）如果0a =，那么0a =；（3）如果0a <，那么a a =-． 可整理为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：||0a ≥ 2.有理数的比较大小 1）两个负数，绝对值大的反而小． 2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数． 3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ． 培优第一阶——基础过关练 1.（2022·辽宁沈阳·七年级期末）2022-的绝对值为（ ） A ．2022 B ．2022或2022- C ．12022- D ．2022- 【答案】A 【分析】数轴上表示数a 的点与原点的距离是数a 的绝对值，根据定义直接求解即可. 【详解】解：-2022的绝对值是2022，故A 正确．故选：A ． 【点睛】本题考查绝对值的含义，掌握“利用绝对值的含义求解一个数的绝对值”是解本题的关键． 课后培优练 级练 知识清单
人教版数学七年级上习题试卷第三章 一元一次方程(培优)(解析版)
第三章一元一次方程（培优） -七年级数学上册单元培优达标强化卷（解析） 一、选择题 1.将3x−7=2x变形正确的是() A. 3x+2x=7 B. 3x−2x=−7 C. 3x+2x=−7 D. 3x−2x=7【答案】D 解：等式两边都加7得：3x=2x+7， 等式两边都减2x得：3x−2x=7． 2.已知关于x的方程(m−2)x|m−1|=0是一元一次方程，则m的值是() A. 2 B. 0 C. 1 D. 0或2 【答案】B 【解析】解：根据题意得： |m−1|=1， 整理得：m−1=1或m−1=−1， 解得：m=2或0， 把m=2代入m−2得：2−2=0(不合题意，舍去)， 把m=0代入m−2得：0−2=−2(符合题意)， 即m的值是0， 3.方程2x+1=3与2−a−x 3 =0的解相同，则a的值为() A. 0 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 4.若多项式4x−5与2x−1 2 的值相等，则x的值是() A. 1 B. 3 2C. 2 3 D. 2 【答案】B 解：由题意得，4x−5=2x−1 2 ，去分母，2(4x−5)=2x−1，去括号，8x−10=2x−1，
最后移项，8x−2x=−1+10， 合并同类项，6x=9，系数化为1，x=3 2 ． 5.已知：|m−2|+(n−1)2=0，则方程2m+x=n的解为() A. x=−4 B. x=−3 C. x=−2 D. x=−1 【答案】B 解：∵|m−2|=0，(n−1)2=0 m=2，n=1， 将m=2，n=1代入方程2m+x=n，得4+x=1 移项，得x=−3． 6.某种商品原先的利润率为20%，为了促销，现降价10元销售，此时利润率下降为 10%，那么这种商品的进价是() A. 100元 B. 110元 C. 120元 D. 130元 【答案】A 解：设这件产品的进价为x元， x(1+20%)−10=x[1+(20%−10%)]， 解得，x=100 即这件商品的进价为100元， 7.一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要60天完成，甲先单独做4天，然后 甲乙两人合作x天完成这项工程，则可以列的方程是() A. 4 40+x 40+60 =1 B. 4 40 +x 40×60 =1 C. 4 40+x 40 +x 60 =1 D. 4 40 +x 60 =1 【答案】C 【解析】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分=1列出方程式为： 4 40+x 40 +x 60 =1． 8.下列说法中，正确的是()
七年级数学上册第三单元《一元一次方程》-解答题专项知识点复习(含解析)
一、解答题 1．如果,a b 为定值，关于x 的方程2236 kx a x bk +-=+无论k 为何值时，它的根总是1，求,a b 的值． 解析：a= 13 2 ,b=﹣4 【分析】 先把方程化简，然后把x ＝1代入化简后的方程，因为无论k 为何值时，它的根总是1，就可求出a 、b 的值． 【详解】 解：方程两边同时乘以6得： 4kx ＋2a ＝12＋x−bk ， （4k−1）x ＋2a ＋bk−12＝0①， ∵无论为k 何值时，它的根总是1， ∴把x ＝1代入①， 4k−1＋2a ＋bk−12＝0， 则当k ＝0，k ＝1时，可得方程组： 12120 412120a a b --⎧⎨ --⎩ ＋＝＋＋＝， 解得：a=13 2 ,b=﹣4 当a=13 2 ,b=﹣4时，无论为k 何值时，它的根总是1． ∴a= 13 2,b=﹣4 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．本题利用方程的解求未知数a 、b ． 2．已知方程3210x a +-=的解与方程20x a -=的解互为相反数，求a 的值． 解析：1 4 a =- 【分析】 先分别求出两个方程的解，再根据解互为相反数列方程计算即可. 【详解】 3210x a +-=，解得123 a x -= ； 20x a -=，解得2x a =．
由题意得，12203 a a -+=， 解得14 a =-. 【点睛】 本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是根据两个方程的解互为相反数列方程求解. 3． 10.3x -﹣ 2 0.5x + =1.2． 解析：4 【解析】 试题分析:先将分母化成整数后,再去分母,去括号,移项,系数为1的步骤解方程即可; 试题 12 1.20.30.5x x -+-= 10103x --10205x +=6 5 50x-50-30x-60=18 20 x=128 x=6.4 4．在十一黄金周期间，小明、小华等同学随家长共15人一同到金丝峡游玩，售票员告诉他们：大人门票每张100元，学生门票8折优惠．结果小明他们共花了1400元，那么小明他们一共去了几个家长、几个学生？ 解析：10个家长，5个学生 【分析】 设小明他们一共去了x 个家长，则有（15﹣x ）个学生，根据“大人门票购买费用+学生门票购买费用=1400”列式求解即可. 【详解】 解：设小明他们一共去了x 个家长，（15﹣x ）个学生， 根据题意得：100x +100×0.8（15﹣x ）=1400， 解得：x =10， 15﹣x =5， 答：小明他们一共去了10个家长，5个学生． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用. 5．解下列方程： (1)2(x －1)＝6； (2)4－x ＝3(2－x)； (3)5(x ＋1)＝3(3x ＋1) 解析：（1）x ＝4；（2）x ＝1；（3）x ＝ 12
人教版七年级上册 一元一次方程相关概念专项培优训练(含答案)
人教版七年级上册 一元一次方程相关概念专项培优训练（含答案） 一、单选题 1．已知下列方程，属于一元一次方程的有（ ） ①x ﹣2＝2x ；②0.5x ＝1；③3x ＝8x ﹣1；④x 2 ﹣4x ＝8；⑤x ＝0；⑥x+2y ＝0． A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2．已知下列方程：①x ﹣2=1x ；②x=0；③3 x =x ﹣3；④x 2 ﹣4=3x ；⑤x ﹣1；⑥x ﹣y=6，其中一元一次方程有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（ ）. A. 5 9 B.- 59 C. 95 D.95 - 4．若方程ax=2x+b 有无数多个解，则( ) A ．a≠0，b≠0 B ．a≠2，b=0 C ．a=2，b=0 D ．a=0，b=0 5．小马虎做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2（x －3）－■＝x ＋1，怎么办呢？他想了想，便翻看书后的答案，方程的解是x ＝9，请问这个被污染的常数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．下列说法正确的是（ ） A.带负号的数一定是负数． B.方程1 2x x += 是一元一次方程． C.单项式22x y -的次数是3． D.单项式与单项式的和一定是多项式． 7．运用等式性质进行的变形，正确的是（ ） A.如果a ＝b ，那么a+c ＝b ﹣c B.如果 a b c c =，那么a ＝b
C.如果a ＝b ，那么 a b c c = D.如果a 2＝3a ，那么a ＝3 8．如果1是关于x 方程x+2m ﹣5=0的解，则m 的值是（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．2 9．关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 10．已知a ＝b ，下列变形正确的有（ ）个． ①a +c ＝b +c ；②a ﹣c ＝b ﹣c ；③3a ＝3b ；④ac ＝bc ；⑤a b c c =． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 11．把方程 1 2 x =1变形为x =2，其依据是 A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分数的基本性质 D.乘法分配律 12．若a ，b ，c 是实数，下列变形正确的是 A.如果a=b ，那么a ＋c=b －c B.如果a=b ，那么ac=bc C.如果a=b ，那么a b c c = D.如果 52a b c c =，那么5a=2b 二、填空题 13．若方程（a ﹣3）x |a|﹣2﹣7＝0是一个一元一次方程，则a 等于_____． 14．若关于x 的方程()k 1 k 2x 5k 0--+=是一元一次方程，则k =________． 15．如果等式ax ﹣3x=2+b 不论x 取什么值时都成立，则a= ________b= ________ .
数学竞赛专题讲座七年级第9讲_绝对值与一元一次方程(含答案)
绝对值与一元一次方程 知识纵横 绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中很多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解 【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题) 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选B 提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数. 【例3】解方程: │x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题) 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 解:x=-5 4 或x= 3 2 提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4 【例4】解下列方程: (1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段实行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;
七年级数学培优竞赛讲座第9讲--绝对值与一元一次方程
第九讲 绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题 【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )． A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径． 注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验． 【例3】解方程：413=+-x x ； 思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题) 【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解． 【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解． 注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究． 学力训练 1．方程15)1(3+=-x x 的解是 ；方程1213+=-x x 的解是 ． 2．已知199519953990=+x ，那么x ＝ ． 3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为 ．