余角和补角
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余角和补角 课件
填空:我来试一试,我能行.
∠α 5° 45° x°
∠α 的余角 90°85 -°5°
45° ( 90-x)°
(角x为锐角)
∠α 的补角 18017°5°- 5 °
135°
( 180-x)°
通过本节课的学习，要求学生： 认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质．
几何语言表示为：
∠1=90° —∠2
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝ ∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ， 如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
A
C A
1
C
2
O
B O
B
1.两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即 其中一个角是另一个角的补角.
2 11
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1=180°-∠2
A
1
1
2
0
D
如图∠AOD = 90°
2 ∠1+∠2 = 90°
2.两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角， 简称互余，即其中一个角是另一个角补角相等
4 3
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
六年级余角和补角知识点
六年级余角和补角知识点在学习角度计算的过程中，我们常常会涉及到余角和补角的概念。
理解和掌握余角和补角的知识点，对我们正确计算角度大小，解决与角度相关的问题具有重要意义。
本文将为大家详细介绍六年级余角和补角的概念、计算方法及实际运用。
一、余角的概念与计算方法余角是指一个角的补角与原角之间的角度关系。
具体计算方法如下：设角A的补角为角B，角A和角B的和为90度，则角B就是角A的余角。
例如，若角A的度数为40度，那么角A的补角角B的度数可以通过以下步骤计算得出：步骤1：计算角A和角B的和：40度 + 角B = 90度步骤2：解方程得出角B的度数：角B = 90度 - 40度 = 50度所以，角A的余角为50度。
二、补角的概念与计算方法补角是指一个角与其余角之间的角度关系。
具体计算方法如下：设角A的余角为角B，角A和角B的和为90度，则角A就是角B的补角。
以刚才的例子为例，角A的余角为50度，我们可以通过以下步骤计算角A的补角角度：步骤1：计算角A和角B的和：角A + 50度 = 90度步骤2：解方程得出角A的度数：角A = 90度 - 50度 = 40度所以，角A的补角为40度。
三、余角和补角的实际运用余角和补角的概念和计算方法在解决与角度相关的实际问题时扮演着重要角色。
例如，对于一个完全直角的角度问题，我们可以通过求解余角或补角来计算角度大小。
举个例子，一根绳子从地面往上拔起，形成了一个与地面垂直的直角，假设这个角度为角A。
我们可以通过求解角A的余角或补角来计算与地面平行的物体与绳子之间的角度关系。
如果角A的度数为60度，我们可以计算出角A的余角和补角分别为30度和150度。
那么与地面平行的物体与绳子之间的角度就确定下来了。
通过掌握余角和补角的知识点，我们能够更加准确地计算和解决与角度相关的问题，为我们的学习和实际生活带来便利。
总结：本文详细介绍了六年级余角和补角的概念、计算方法及实际运用。
通过了解余角和补角的概念和计算方法，我们能够准确计算角度大小，并在实际问题中灵活运用。
余角和补角课件
(1 180 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的
补角相等
执教者：普迹中学
易鹏
第四章 图形初步认识
4.3.3 余角和补角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
2
1
讲授新课
一 余角和补角的概念
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这 定 义： 两个角互为余角(简称互余).
如图，可以说∠1是∠2的余角，也可以说∠2是∠1的余角.
图中给出的各角，那些互为余角？
合作 如图，∠1与∠2，∠3都互为补角， 交流 ∠2与∠3的大小有什么关系？
1
2 ∠2=180°－∠1
3
∠3=180°－∠1
结 论：
同角(等角)的补角相等
同角(等角)的余角相等
类似的可以得到：
课堂小结
互余 互补
两角间的
数量关系
1 2 90 (1 90 2)
1 2 180
15o
24o
46.2o
66o
43.8
o
75o 44o
3
1
4
定 义： 说这两个角互为补角(简称互补).
如果两个角的和等于180°(平角)，就
如图，可以说∠3是∠4的补角，也可以说∠4是∠3的补角.
3
图中给出的各角，那些o
60
o
80o
100o
120
o
150
o
o
170o
40
二 余角和补角的性质
中小学数学课件：余角和补角
课堂检测 3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中∠α与∠β互余的是 （ A ）
A．图①
B．图②
C．图③
D．图④
4.∠α=35°，则∠α的补角为__1_4_5__度．
课堂检测
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
C
(1) 图中有哪几对互余的角？
21
答案：∠A+∠B=90°，∠1+∠B=90°， A
巩固练习
(2)指出图中所有互余和互补的角． 解：互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与 ∠AOF；∠BOE与∠AOF. 互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE； ∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
探究新知
想一想
∠α
∠α的余角
5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90)
解：OE平分∠BOC，理由如下： 因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，
D
所以∠COD+∠COE=90°，
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD， A O
所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．
C E
B
巩固练习
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有_∠__B__O_C__和___∠__A__O__D_.
x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
探究新知
素养考点 2 余角、补角、角平分线相结合的题目
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，
余角与补角
问题1：余角与补角的概念 问题2：余角与补角的性质
问题3：余角与补角的应用
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为 余角(complementary angle) 其中一个角是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为 补角(supplementary angle) 其中一个角是另一个角的补角。 互余与互补是指两个
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互 余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相 等吗？为什么？
1
2
3
4
1
2
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互余；∠3与∠4互余， 所以∠2=90°-∠1；∠4=90°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里，我们 用到了“等 量减等量， 差相等”。
C
(∠1+∠B=90°, ∠1+∠2=90°)
1 B
2 A D
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
(∠B=∠2) （同角的余角相等） (∠A=∠1) （同角的余角相等）
判断下列说法是否正确
（1）30°，70°与80°的和为平角，所以这三个 角互补（× ） （2）一个角的余角必为锐角。 （√ ） （3）一个角的补角必为钝角。 （× ） （4）90°的角为余角。 （ × ） （5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有 关（× ）
角之间的数量关系，与 它们的位置关系无关。
《余角和补角》
特殊计算
在计算过程中，如果两个角度相加等于90度或180度，那么他们的补角就是90度或180度。
03
余角和补角的应用
在几何学中的应用
01
02
03
角度计算
在几何学中，余角和补角 的概念被广泛应用于角度 的计算，如证明平行线、 三角形内角和定理等。
三角形内切圆
余角和补角的概念与三角 形内切圆的性质密切相关 ，如内切圆的半径与三角 形各边的关系。
多边形内角和
多边形的内角和与外角和 的计算也涉及到余角和补 角的概念。
在物理学中的应用
光学
在光学中，反射定律、折射定 律等都与余角和补角有关。例 如，反射角等于入射角，入射
角的补角是反射角的余角。
力学
在力学中，余角和补角的概念可以 用于解决一些与角度变化相关的物 理问题，如物体运动的角度、力的 方向等。
计算方法
通过已知的一个角的度数，可以计算出它的余角的度数。方法是做减法，即已 知角减去90度。
例子
如果一个角是45度，则它的余角是90度减去45度，即45度。
余角的特殊情况
• 余角的特殊情况包括：余角的补角相等、余角与补角的和相等 、余角与补角的差相等。这些性质在解决几何问题时非常有用 。
02
补角
《余角和补角》
2023-11-09
目录
• 余角 • 补角 • 余角和补角的应用 • 余角和补角的实验 • 余角和补角的练习与巩固
01
余角
定义与性质
定义
如果两个角的度数之和为90度，则称这两个角互为余角。其 中一个角叫做另一个角的余角。
性质
余角的性质包括：等大、互补、反向延长线相交于一点。
余角的计算
04
在计算过程中，如果两个角度相加等于90度或180度，那么他们的补角就是90度或180度。
03
余角和补角的应用
在几何学中的应用
01
02
03
角度计算
在几何学中，余角和补角 的概念被广泛应用于角度 的计算，如证明平行线、 三角形内角和定理等。
三角形内切圆
余角和补角的概念与三角 形内切圆的性质密切相关 ，如内切圆的半径与三角 形各边的关系。
多边形内角和
多边形的内角和与外角和 的计算也涉及到余角和补 角的概念。
在物理学中的应用
光学
在光学中，反射定律、折射定 律等都与余角和补角有关。例 如，反射角等于入射角，入射
角的补角是反射角的余角。
力学
在力学中，余角和补角的概念可以 用于解决一些与角度变化相关的物 理问题，如物体运动的角度、力的 方向等。
计算方法
通过已知的一个角的度数，可以计算出它的余角的度数。方法是做减法，即已 知角减去90度。
例子
如果一个角是45度，则它的余角是90度减去45度，即45度。
余角的特殊情况
• 余角的特殊情况包括：余角的补角相等、余角与补角的和相等 、余角与补角的差相等。这些性质在解决几何问题时非常有用 。
02
补角
《余角和补角》
2023-11-09
目录
• 余角 • 补角 • 余角和补角的应用 • 余角和补角的实验 • 余角和补角的练习与巩固
01
余角
定义与性质
定义
如果两个角的度数之和为90度，则称这两个角互为余角。其 中一个角叫做另一个角的余角。
性质
余角的性质包括：等大、互补、反向延长线相交于一点。
余角的计算
04
余角和补角在生活中的应用
余角和补角在生活中的应用非常广泛，涉及到很多领域。
以下是一些具体的例子：
1. 几何学：在几何学中，余角和补角是描述两条射线或线段之间角度关系的概念。
例如，在建筑设计、工程制图和机器人的运动规划中，这些概念是非常重要的。
2. 摄影：在摄影中，摄影师经常使用补角来创造出特定的视觉效果。
例如，如果摄影师想要在照片中突出某个对象，他可能会使用补角来使该对象与其他对象形成对比。
3. 交通信号灯：交通信号灯中的红灯和绿灯之间的角度通常是90度，这意味着它们是补角。
这种设计可以帮助驾驶员更清楚地看到交通信号，并确保交通顺畅。
4. 建筑设计：在建筑设计中，设计师经常使用余角和补角来创造具有特定视觉效果的建筑外观。
例如，使用特定的角度或线条可以创建出具有艺术感的建筑设计。
5. 植物学：在植物学中，余角和补角的概念可以用来描述植物的叶子和花朵的排列方式。
例如，有些植物的叶子排列成一个特定的角度，这样可以更好地适应其生长环境。
综上所述，余角和补角在生活中的应用非常广泛，涉及到多个领域。
它们可以帮助我们更好地理解和描述事物之间的关系，并在各个领域中创造出具有特定效果的设计。
数学课件余角和补角
详细描述
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
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∠∠BBOOEE++∠∠AAOODE==9108°0° ∠CBOE+∠ACOED=19800°° ∠∠CBOOED++∠∠AAOODD==9108°0° ∠BCODE+∠COD=9108°0° ∠BOC+∠AOC=180°
E
C
D
B
O
A
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB, 求∠EOF的大小.
说出下列各图中点B在点A的什么方向.
B北
70°
西A
东
北偏东70°
方位角都是锐角
南
北偏西20°
顶点是观测点
边:南(北)射线 边：观测点的视线
说出下列各图中点B在点A的什么方向.
北
北
北
西
东
A 30°
B 南
南偏东60°
西
东
A
A
西
东
45°
B
B
南
南
西南方向
正南方向
如图，射线OA表示的
方向是_北_偏__西____; 25°
∠AOC+∠COB=90° ∠BOD+∠COB=90°
A
∠AOB+∠COD=180° ∠AOD+∠COB=180° ∠AOB=∠COD ∠AOC=∠BOD
C B
O
D
2、如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA ，OE 平分∠COB， ① ∠COB +∠ AOC= 180 °,∠ EOD= 90 °。 ②图中互余角有 4 对，互补角有 5 对。
12
3
4
同角或等角的余角相等
解：∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90° ∴ ∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3 即：∠2 =∠4
1、如图，∠AOB=∠COD=90°，图中互余角有 2 对，互 补角有 2 对,相等的角有 2 对.分别把他们列出来。
解：∵ OE平分∠AOC，OF平分∠COB，
∴∠EOC=
1 2
∠AOC，∠COF=12
∠COB E
C
F
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=18
0∴°∠EOF=∠EOC+∠COF
A
O
B
= 1∠AOC+1 ∠COB
2
2
= （1 ∠AOC+∠COB)
2
=90°.
E 西
C F
北 D
正东：射线 OA
H
正南：射线 OB
射线OB表示的方向是
_南__偏__东____; 60° 射线OC表示的方向是
__西_南__方__向__.
A
北
25°
西
东
O
45° 60°
c
南
B
1. 如图，货轮 O在航行过程中,发 现灯塔A在它南偏东 60°的方向上,同时 ,在它北偏东40°、 南偏西10°、西北( 即北偏西45°)方向
上又分别发现了客
解：设这个角是x °，则它的补角是(180－x°), 余角是(90°－x°) ,根据题意得： （180－x）= 4 (90－x) 解得： x = 60 答：这个角的度数是60 °.
补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠ ３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
21
43
同角或等角的补角相等
互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。
二、判断题： 1、90度的角叫余角，180度的角叫补角。 ✘ 2. 如果1 2 3 900 ,则1,2,3互为余角。✘ 3、如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。 ✘ 4、互补的两个角不可能相等。 ✘ 5、钝角没有余角，但一定有补角。 ✔ 6、互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余。✘ 7.如果A 250 ,B 750 ,那么A与B互为余角。✘ 8. 如果 A x0 ,B (90 x)0 ,那么A与B互余。✔
∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180°, ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠ ３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
21
43
同角或等角的补角相等
解：∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180° ∴ ∠2=180°－∠1 ， ∠4=180°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ 180°－∠1 =180°－ ∠3 即：∠2 =∠4
轮B、货轮C和海岛
D. 仿照表示灯塔方
位的方法画出表示
客轮B、货轮C和海
岛D方向的射线.
北
B
D 45°40°
O
西
●
东
60°
10°
●A
C南
方位角都是锐角
钝角和直角都没有余角
填空:
∠α 5° 32° 45° 77°
62°23′
x
∠α的余角 85° 58° 45° 13°
27°37′
90°- x
∠α的补角 175° 148° 135° 103°
117°37′
180°-x
同一个角的补角比它的余角大90度
例1:若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这 个角的度数。
余角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠ ３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
12
3
4
同角或等角的余角相等
∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90°, ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
余角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠ ３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
余角和补角
学习目标
1、理解和掌握余角和补角的定义； 2、会求出一个角的余角和补角； 3、理解掌握和运用余角和补角的性质
互为余角 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角
叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
互为补角 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫
做互为补角，射线 OC 正北：射线 OD
O
45°45°
A 东 西北方向：射线 OE 西南方向：射线 OF
G
东北方向：射线 OH
B 南
东南方向：射线 OG
定义 方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向
书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西