高二数学数列：7.2《等差数列》教案(2)沪教版
等差数列
教材：等差数列（二）
目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能
够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。
过程：
一、复习：等差数列的定义，通项公式
二、例一 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+
求证：1︒ q p n m a a a a +=+ 2︒ d q p a a q p )(-+=
证明：1︒ 设首项为1a ，则
d q p a d q a d p a a a d
n m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+
∵ q p n m +=+
∴q p n m a a a a +=+
2∵d p a a p )1(1-+= d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+ ∴ d q p a a q p )(-+=
注意：由此可以证明一个定理：设成等差数列，则与首末两项距离相等的两项和
等于首末两项的和 ，即：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a
同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+
例二 在等差数列{}n a 中，
1︒ 若a a =5 b a =10 求15a
解：155102a a a += 即152a a b += ∴ a b a -=215
2︒ 若m a a =+83 求 65a a +
解：65a a +=m a a =+83
3︒ 若 65=a 158=a 求14a
解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d
从而 33396)514(514=⨯+=-+=d a a
4︒ 若 30521=+++a a a Λ 801076=+++a a a Λ 求
151211a a a +++Λ
解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……
∴ 11162a a a += 12272a a a += ……
从
而
)(151211a a a +++Λ+=+++)(521a a a Λ2)(1076a a a +++Λ ∴151211a a a +++Λ=2)(1076a a a +++Λ-)(521a a a +++Λ =2×80-30=130
三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明 )(1常数d a a n n =--
已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{}n a 成等差数列，并求其
首项、公差、通项公式。
解：12311=-==S a
当2≥n 时
56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n
1=n 时 亦满足 ∴ 56-=n a n
首项11=a )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6
2．中项法： 即利用中项公式，若c a b +=2 则c b a ,,成等差数列。
已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证 a
c b +，b a c +，c b a +也成AP 。
证明： ∵a 1，b 1，c 1成AP ∴c
a b 112+= 化简得：)(2c a b ac +=
ac
c a ac ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b 2
222222)(++=+++=+++=+++
=b
c a c a b c a ac c a +⋅=++=+22
)()()(22 ∴
a
c b +，b a c +，c b a +也成等差数列。
3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n 的一次函数这一性质。
例五 设数列{}n a 其前n 项和322+-=n n S n ，问这个数列成AP
吗？
解： 1=n 时 211==S a 2≥n 时 321-=-=-n S S a n n n
∵321-=n a a n 不满足 ∴ ⎩⎨⎧-=3
22n a n 21≥=n n ∴ 数列{}n a 不成AP 但从第2项起成等差数列。
四、小结： 略
五、作业：。
沪教版(上海)数学高二上册-7.2 等 差 数 列1 课件 优秀课件PPT
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a1和 为d 未知数的二元一次方 程组，解这个方程组，得
a等差数列{an}中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ， 公差 d 及通项an 。
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401, 因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a4 15, a7 27, a10 39
A ab 2
an1
an
an2 2
3、等差数列的通项公式
如果一个数列 a1, a2 , a3 , …，an , …
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
●
等差数列的图象2
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10 等差数列的图象3
9 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 8
7 6
5
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的通项公式为： an d n (a1 d )
它们是等差数列吗？
《等差数列》教案
《等差数列》教案一、教材分析本课是初中数学七年级下册的课程——等差数列。
本课程的教材分为四个部分，分别是引入、等差数列的概念及一些常用公式、等差数列的性质和等差数列的应用。
教材通过生动形象的例子和图示，让学生对等差数列有一个直观的感受，然后通过公式和性质的推倒，使学生真正理解等差数列的本质和规律，最后让学生通过同类型的应用题目来锻炼等差数列的应用能力。
二、教学目标1、知识目标：（1）了解等差数列的定义、性质、公式和应用。
（2）掌握判断数列是否等差、求等差数列的公式、求等差数列中某一项的值等基本技能。
2、能力目标：（1）能够进一步提高分析问题、解决问题的能力。
（2）培养学生的推理、判断、分析能力。
（3）能够在实际问题中应用等差数列的知识，解决经济和社会生活中的实际问题。
3、情感目标：（1）能够在学习中培养学生的探究精神，积极参与到学习中来。
（2）能够引导学生在学习过程中，锻炼自己的耐心和毅力。
（3）能够引导学生在学习过程中，理解等差数列的好处，认识数学在实际中的应用价值。
三、教学重点与难点（1）深入理解数列的概念和性质。
（2）对数列进行进一步推理并灵活使用公式和性质。
（3）把所学的知识运用于实际问题中。
四、教学策略1、激发学生学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
2、灵活运用PBL教学策略，引导学生学会问题提出、研究和解决问题。
3、注重实际应用，使学生能够在实际问题中灵活地运用学过的知识。
4、采用互动式授课方式，让学生积极参与互动的环节，掌握知识并掌握解题技巧。
五、教学流程1、引入（1）通过三张幻灯片引入本课。
第一张幻灯片标题为《数列》，让学生去思考什么是数列。
第二张幻灯片标题为《等差数列》通过一句话引发学生对等差数列的思考。
第三张幻灯片标题为《数学的跨越》，让学生了解数学在现代社会的应用。
（2）通过一张PBL策略幻灯片，让学生提出所研究的问题，引导学生进一步理解等差数列的概念。
2、知识讲授（3）针对基本问题进行讲解。
《等差数列》教案优秀3篇
《等差数列》教案优秀3篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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沪教版(上海)数学高二上册-7.2 等差数列的前n项和 课件 最新课件PPT
Sn a1 a2 a3 an
a1 a1 d a1 2d a1 n 1 d ①
又 Sn an a n1an2 a1
an an d an 2d an各 项n 组1成d 新 ②
2Sn a1 an ＋a1 an ＋a1 an的＋等…差＋数a列1 an
15 14 13
8 7 6 ① ②
上页 下页
. . .
倒序相加法
S10 ６ ７ ８ １５
S10
①
１５
② 得
１４
１３
６
2S10 (6 15) (7 14) (15 6)
(6 15)10
S10
(6 15)10 105(块2 ）
上页 下页
问题1：
倒序相加法
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，公差是
Sn
na1
n(n 1) 2
dபைடு நூலகம்
d 2
n2
(a1
d )n 2
设
A
d 2
,B
a1
d 2
上式可写成Sn=An2+Bn
若A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。
上页 下页
延伸
已知一个等差数列的前m项和 Sm a ，前2m项和 S2m b ,求它的前3m项的和.
上页 下页
小结
在这节课中,你学到了什么?
（n a1 2
an )
1
an a1(n1)d
Sn
na1
（n n 1) 2
d 2
a1an (n1)d
Sn
nan
（n n 1) 2
d
3
上页 下页
《等差数列》的教学设计(最新整理)
《等差数列》的教学设计一．设计思想数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。
基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。
这正是新课程所倡导的数学理念。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
二．教材分析高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。
研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。
在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
三．学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
沪教版(上海)数学高二上册7.2等差数列课件
数列的一般形式：
，简记为
21，18，15，12，9，6，3。
（4） 0，0，0，0，0,…；
已知等差数列 的首项是 ，公差是 ，
已知等差数列 的首项是 ，公差是 ，
数列2：4，11，18，25。
数列3：1682，1758，1834，1910，1986，2062。
3、本节课用到的数学思想方法：
分析：该女子从第一天起所织布的长度构成等差数列，
练一练
根据等差规律填数 ① 9， 17 ，25； ② 9,13， 17 ， 21 ，25.
三项数的中项是否是另外两项的算术平均数是用来验 证三项数是否成等差数列的简捷的方法，也是检验有限项 数列是否成等差数列的方法之一。
探究2：
我国南北朝的张丘建在《张丘建算经》中这样一个等差 数列：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日 织五尺，末一日织一尺，计织三十日。问：每日织几何？ 分析：该女子从第一天起所织布的长度构成等差数列，
等差数列的通项公式建立了
之间的关系，
3、本节课用到的数学思想方法：
2、等差数列的通项公式：
（4） 0，0，0，0，0,…；
（2）4，11，18，25。
数列的一般形式：
，简记为
（3） -3，1，4，7，10，…；
1682，1758，1834，1910，1986，( )。
引例中的这三个数列的公差
课堂小结
1、等差数列的定义： an an1 d（常数）, n 2, n N 利用定义判断一个数列是否为等差数列。
2、等差数列的通项公式：an a1 n 1 d
利用通项公式知三求一。
3、本节课用到的数学思想方法： 特殊到一般；解方程组的思想； 不完全归纳法，累加法等。
沪教版(上海)数学高二上册7.2等差数列及其通项公式课件3
教学内容分析
学生学情分析
教学目标设置 教学策略分析
教学过程设计
发现新知 形成概念
由特殊到一般，让学生体会知识的形成过程中,感受学习数学 的成就感.进一步培养学生的数学抽象的学科素养.同时让学生感 受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型，初步形成建模 意识.进一步理解等差数列的定义、掌握等差数列的判断方法.
由题意可得a15 1952,公差d 4
（1）求a1 (2)2008是数列中的第几项？
（3）2050是否为数列中的项？
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、等差数列、等差中项的定义 3、应用等差数列解决简单问题
具备一定的运用公式的技能 例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。 应用等差数列通项公式解决问题
谢谢指导！
教学内容分析
学生学情分析
教学目标设置
教学策略分析
教学过程设计
探索发现 提炼公式
通过具体数列的通项公式，归纳得出等差数列的通项公式，体 会从特殊到一般的数学思想方法.培养观察、归纳的能力,同时在 小组讨论中培养团结协作的精神.
通过累加法证明培养学生严密的推理能力和严谨的思维习惯.
教学内容分析
学生学情分析
体在验等从 差特数殊列到中一,已般知再到,特殊,的求认知. 规律，体会数学的应用价值 从等第差2数项列起1，，每4，一7项，与10它，的…前中一，项的差等于同一个常数。
掌握等差数列通项公式及其推导过程，会利 用公式解决简单数列问题及实际问题
即培养an观+1察-a、n是归不纳是的同能一力个,同常时数在？小组讨论中培养团结协作的精神.
3、发现生活中的等差数列，并求其通项公式.
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？ 即 an+1-an是不是同一个常数？ 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 掌握等差数列通项公式及其推导过程，会利用公式解决简单数列问题及实际问题 掌握等差数列、等差中项的概念 具备一定的理性分析能力和概括能力 创设学生比较感兴趣的情景，在游戏中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点，激发学生对本节课的学习的兴趣，同时培养学生观察、归纳能力. 掌握等差数列、等差中项的概念 具备一定的运用公式的技能 在等差数列中,已知 , ,求 . 培养观察、归纳的能力,同时在小组讨论中培养团结协作的精神.
等差数列的基本定义及性质(教案二)
等差数列的基本定义及性质（教案二）。
一、基本定义等差数列是指一个数列中相邻的两个数字之间的差值相等的数列。
这个差值称为公差，记为d，而数列中的第一项记为a1，第n项记为an。
简单来说，等差数列可以表示为：a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, an-1+d, an其中，d为公差，a1为首项，an为末项，n为项数。
二、性质1.通项公式对于一个等差数列，我们可以得到以下的通项公式：an = a1 + (n-1)d这个公式表明了，对于等差数列中的任意一项，我们可以通过首项、公差和项数来求出。
2.求和公式对于一个等差数列，我们可以使用以下的公式来求和：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示前n项和。
3.公差的性质公差有以下的性质：① 两个相邻的项之间的差值等于公差d。
② 对于任意两个项，它们之间的差值可以表示为d × (m - n)，其中m和n分别表示这两个项的下标。
③ 如等差数列的首项和公差均为正数，那么数列中的每一项都是正数。
④ 如果等差数列的首项和公差均为负数，那么数列中的每一项都是负数。
4.项数的性质项数有以下的性质：① 对于任意一个等差数列，我们都可以通过首项、末项和公差来求出项数。
② 当n大于2时，等差数列的第n项与第n-1项之间的差值是公差。
③ 任意三个项构成的子等差数列，其公差等于原等差数列的公差。
三、应用等差数列在数学中有着广泛的应用，特别是在数列求和、数学证明、概率统计等方面。
在数列求和中，我们可以通过等差数列的求和公式来求出前n项的和。
在数学证明中，等差数列可以用来证明某些数学定理，例如等差数列的一些性质。
在概率统计中，等差数列可以被用来模拟某些随机变量的分布。
等差数列是数学中一个重要的概念，其基本定义和性质对于我们的数学学习有很大的帮助，因此，掌握等差数列的相关知识是非常必要的。
沪教版(上海)数学高二上册- 等差数列的概念 课件
沪 教 版 （ 上 海）数 学高二 上册-7 .2 等 差 数列的 概念 课 件
在等差数列{an}中：
（1）d＝－
1 3
，a7
＝8，求
a1
；
（2）a1 ＝12，a6 ＝27，求 d ．
沪 教 版 （ 上 海）数 学高二 上册-7 .2 等 差 数列的 概念 课 件
沪 教 版 （ 上 海）数 学高二 上册-7 .2 等 差 数列的 概念 课 件
数列
数
数列
列
数列
等差数列的概念
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了 7 层， 试从上到下列出每层钢管的数量.
每层钢管数为 4，5，6，7，8，9，10．
等差数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前 一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．
这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表 示） ．
例3 在 3 与 7 之间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列．
解 因为 3，A，7 成等差数列， 所以A－3 ＝7－A，
2 A ＝3 ＋7． 解得 A＝5．
一般地，如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做
a与 b 的等差中项．
A＝ a + b 2
沪 教 版 （ 上 海）数 学高二 上册-7 .2 等 差 数列的 概念 课 件
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
an ＝ a1 ＋ （ n – 1 ） d．
等差数列的通项公式
沪 教 版 （ 上 海）数 学高二 上册-7 .2 等 差 数列的 概念 课 件
例1 求等差数列 8，5，2 ， … 的通项公式和第 20 项．
等差数列的概念(第二课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
等差数列的概念第二课时1.课时教学内容等差数列的性质及应用2.课时学习目标(1)能用等差数列的定义推导等差数列的性质；(2)能用等差数列的性质解决一些相关问题；(3)能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题。
3.教学重点与难点重点:等差数列的性质及其应用。
难点:等差数列的性质的推导。
4.教学过程设计环节一复习旧知问题1：你能说出等差数列的概念吗？答案：2 ;前一项 ;同一个常数 ;常数 ;d问题2：你能回忆等差中项的概念吗？(1)条件：如果a,A,b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a+b=2A问题3：等差数列的通项公式为？通项公式的应用？a n=a1+(n−1)d环节二例题解析：例1.已知等差数列{a n}的首项a n=2,d=8,在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}。
(1)求数列{b n}的通项公式。
(2) b29是不是数列{a n}的项？若是，它是{a n}的第几项？若不是，请说明理由。
问题4：如何确定{b n}的公差d′？解：（1）设等差数列{b n}的公差为d。
∵b1=a1,b5=a2, ∴b5−b1=a2−a1=8∵b5−b1=4d′, ∴4d′=8, d′=2,∴b n=2+(n−1)2=2n所以数列{b n}的通项公式是b n=2n追问1：如果插入k(k∈N∗)个数，那么数列{b n}的公差d′是多少？解：b1=a1,b k+2=a2,于是，b k+2−b1=a2−a1=d=(k+1)d′所以d′=d k+1解：（2）由（1）知，b n=2n,于是有b29=2×29=58，有已知，a n=2+(n−1)×8=8n−6.令8n−6=58，得n=8,所以b29是数列{a n}中的第8项。
追问2：第（2）小题，你还有其他解法吗？解法2：数列{a n}的各项，依次是数列{b n}的第1、5、9、13、……项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{c n},则c n=1+(n−1)×4=4n−3,令4n−3=29，得n=8,所以b29是数列{a n}中的第8项。